Арктангенс, арккотангенс — свойства, графики, формулы
Арктангенс, arctg
Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений .
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x
Арктангенс обозначается так:
.
График функции арктангенс
График функции y = arctg x
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений .
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x
Арккотангенс обозначается так:
.
График функции арккотангенс
График функции y = arcctg x
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.
Свойства – экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
| y = arctg x | y = arcctg x | |
| Область определения и непрерывность | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
| Множество значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы, минимумы | нет | нет |
| Нули, y = 0 | x = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
| – | π | |
| 0 |
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arctg x | arcctg x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| – ∞ | – 90° | – | 180° | π |
| – | – 60° | – | 150° | |
| – 1 | – 45° | – | 135° | |
| – | – 30° | – | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 1 | 45° | 45° | ||
| 60° | 30° | |||
| + ∞ | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Формулы
Формулы суммы и разности
при
при
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
,
.
Выражения через гиперболические функции
Производные
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >
Производные высших порядков:
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.
Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.
Интегралы
Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;
Выразим арккотангенс через арктангенс:
.
Разложение в степенной ряд
При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс
Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.
Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.
Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.
Арксинус
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
- Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = — arcsin x.
- Y = 0 при x = 0.
- На всей своей протяженности график возрастает.
Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
- Функция определена на отрезке [-1; 1].
- ОДЗ для arccos — [0, π].
- График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
- Y = 0 при x = 1.
- Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.
Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.
В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.
Арктангенс
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
- График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
- Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
- Y = 0 при x = 0.
- Кривая возрастает на всей области определения.
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
- Интервал определения функции – бесконечность.
- Область допустимых значений – промежуток (0; π).
- F(x) не является ни четной, ни нечетной.
- На всем своем протяжении график функции убывает.
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg
Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.
Также существуют соотношения для arctg и arcctg:
Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.
Примеры решения задач
Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.
При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:
При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.
Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:
Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.
Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:
Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.
Похожие статьи
Рекомендуем почитать:
karate-ege.ru
Внеклассный урок — Арктангенс и арккотангенс
Арктангенс и арккотангенс
Арктангенс и арккотангенс, так же как и арксинус и арккосинус, являются обратными тригонометрическими функциями.
Арктангенс.
Арктангенс числа а – это такое число из отрезка от –π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Обозначается так: arctg a. |
Говоря иначе:
arctg a = x, следовательно tg x = a. Условие: x больше –π/2, но меньше π/2 (–π/2 < x < π/2) |
Формулы.
(1)
где k – любое целое число (k ∈ Z) |
(2)
|
Пример: Вычислить arctg 1.
Решение.
Решая, следуем буквально по таблице над примером.
Итак, в нашем примере а = 1. Значит:
arctg 1 = х.
Следовательно, tg x = 1. При этом x ∈ [–π/2; π/2].
Находим значение x:
Координату 1 имеет tg π/4. Значит:
x = π/4.
При этом π/4 ∈ [–π/2; π/2].
Ответ: arctg 1 = π/4.
Арккотангенс.
Арккотангенс числа а – это такое число в интервале (0; π), котангенс которого равен а. Обозначается так: arcctg a. |
Говоря иначе:
arcctg a = x, следовательно ctg x = a. Условие: x больше 0, но меньше π (0 < x < π) |
Формулы.
(1)
(k ∈ Z) |
(2)
|
Пример: Вычислить arcctg 1.
Решение.
Опять следуем по таблице над нашим примером.
а = 1.
Следовательно:
ctg x = 1.
Осталось найти значение x (либо вычислить самим, либо посмотреть таблицу котангенсов):
x = π/4.
arcctg 1 = π/4.
Все полученные результаты не выходили из рамок интервала (0; π).
Пример решен.
raal100.narod.ru
arctg — это… Что такое arctg?
arctg — simb. TS mat. arcotangente … Dizionario italiano
Arctg — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Обратные тригонометрические функции — (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin) арккосинус (обозначение: arccos)… … Википедия
Круговые функции — Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin)… … Википедия
Список интегралов элементарных функций — Интегрирование это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является… … Википедия
Подстановка Вейерштрасса — Подстановка Вейерштрасса, здесь показана как стереографическая проекция окружности В интегрировании, Подстановка Вейерштрасса, названная в честь Карла Вейерштрасса, применяется для нахождения первообразных, и следовательно определённых и… … Википедия
Универсальная тригонометрическая подстановка — Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литерат … Википедия
Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Содержание 1 Арксинус 2 Арккосинус … Википедия
Теория автоматического управления — Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия
Effort sur une voile — Exemple d effort du vent sur différents types de voile de voiliers classiques lors d une régate à Cannes en 2006. Le principe d une voile est de récupérer l énergie du vent et de la transmettre au bateau. L effet propulsif est réparti sur toute… … Wikipédia en Français
Решение треугольников — (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Треугольник может располагаться на… … Википедия
universal_en_ru.academic.ru
arctg — это… Что такое arctg?
arctg — simb. TS mat. arcotangente … Dizionario italiano
Arctg — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Обратные тригонометрические функции — (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin) арккосинус (обозначение: arccos)… … Википедия
Круговые функции — Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin)… … Википедия
Список интегралов элементарных функций — Интегрирование это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является… … Википедия
Подстановка Вейерштрасса — Подстановка Вейерштрасса, здесь показана как стереографическая проекция окружности В интегрировании, Подстановка Вейерштрасса, названная в честь Карла Вейерштрасса, применяется для нахождения первообразных, и следовательно определённых и… … Википедия
Универсальная тригонометрическая подстановка — Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литерат … Википедия
Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Содержание 1 Арксинус 2 Арккосинус … Википедия
Теория автоматического управления — Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия
Effort sur une voile — Exemple d effort du vent sur différents types de voile de voiliers classiques lors d une régate à Cannes en 2006. Le principe d une voile est de récupérer l énergie du vent et de la transmettre au bateau. L effet propulsif est réparti sur toute… … Wikipédia en Français
Решение треугольников — (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Треугольник может располагаться на… … Википедия
new_en_ru.academic.ru
arctg — это… Что такое arctg?
arctg — simb. TS mat. arcotangente … Dizionario italiano
Arctg — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Обратные тригонометрические функции — (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin) арккосинус (обозначение: arccos)… … Википедия
Круговые функции — Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin)… … Википедия
Список интегралов элементарных функций — Интегрирование это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является… … Википедия
Подстановка Вейерштрасса — Подстановка Вейерштрасса, здесь показана как стереографическая проекция окружности В интегрировании, Подстановка Вейерштрасса, названная в честь Карла Вейерштрасса, применяется для нахождения первообразных, и следовательно определённых и… … Википедия
Универсальная тригонометрическая подстановка — Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литерат … Википедия
Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Содержание 1 Арксинус 2 Арккосинус … Википедия
Теория автоматического управления — Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия
Effort sur une voile — Exemple d effort du vent sur différents types de voile de voiliers classiques lors d une régate à Cannes en 2006. Le principe d une voile est de récupérer l énergie du vent et de la transmettre au bateau. L effet propulsif est réparti sur toute… … Wikipédia en Français
Решение треугольников — (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Треугольник может располагаться на… … Википедия
dic.academic.ru
arctg — это… Что такое arctg?
arctg — simb. TS mat. arcotangente … Dizionario italiano
Arctg — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Обратные тригонометрические функции — (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin) арккосинус (обозначение: arccos)… … Википедия
Круговые функции — Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение: arcsin)… … Википедия
Список интегралов элементарных функций — Интегрирование это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является… … Википедия
Подстановка Вейерштрасса — Подстановка Вейерштрасса, здесь показана как стереографическая проекция окружности В интегрировании, Подстановка Вейерштрасса, названная в честь Карла Вейерштрасса, применяется для нахождения первообразных, и следовательно определённых и… … Википедия
Универсальная тригонометрическая подстановка — Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литерат … Википедия
Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Содержание 1 Арксинус 2 Арккосинус … Википедия
Теория автоматического управления — Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия
Effort sur une voile — Exemple d effort du vent sur différents types de voile de voiliers classiques lors d une régate à Cannes en 2006. Le principe d une voile est de récupérer l énergie du vent et de la transmettre au bateau. L effet propulsif est réparti sur toute… … Wikipédia en Français
Решение треугольников — (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Треугольник может располагаться на… … Википедия
technical_en_ru.academic.ru