Существование иррациональных чисел — ПриМат
Натуральные, целые и рациональные числа
В процессе счёта возникли натуральные числа.
.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
.
Например:
Во множестве рациональных чисел выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени , однако, простейшее уравнение , не всегда разрешимо в , в частности, уравнение не имеет решений в .
Необходимость иррациональных чисел
Докажем, что уравнение не имеет решений в .
Теорема
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа и — числитель и знаменатель данного рационального числа; и — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).
— чётное число, тогда — чётное.
Отсюда:
— чётное — чётное.
Получили противоречие того утверждения, что и — взаимно простые.
Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
— конечная десятичная дробь;
.
— бесконечная периодическая десятичная дробь.
.
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где — первый член геометрической прогрессии, — знаменатель прогрессии.
Получим:
.
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с в периоде.
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с с бесконечной периодической периодической дробью с .
Тест «Существование иррациональных чисел».
Лимит времени: 0
Информация
Тестовые задания по вышеизложенной теме.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Источники:
- З. М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
- В. И. Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса, «Астропринт», 2009г.), стр.1.
- В. И. Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40. (скачать учебник можно здесь).
Подробнее про «существование иррациональных чисел» на:
Wikipedia
Викизнание
Поделиться ссылкой:
Похожее
иррациональные числа — ПриМат
Натуральные, целые и рациональные числа
В процессе счёта возникли натуральные числа.
.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
.
Например:
Во множестве рациональных чисел выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени , однако, простейшее уравнение , не всегда разрешимо в , в частности, уравнение не имеет решений в .
Необходимость иррациональных чисел
Докажем, что уравнение не имеет решений в .
Теорема
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа и — числитель и знаменатель данного рационального числа; и — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).
— чётное число, тогда — чётное.
Отсюда:
— чётное — чётное.
Получили противоречие того утверждения, что и — взаимно простые.
Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
— конечная десятичная дробь;
.
— бесконечная периодическая десятичная дробь.
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где — первый член геометрической прогрессии, — знаменатель прогрессии.
Получим:
.
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с в периоде.
.
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с с бесконечной периодической периодической дробью с .
Тест «Существование иррациональных чисел».
Лимит времени: 0
Информация
Тестовые задания по вышеизложенной теме.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Источники:
- З. М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
- В. И. Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса, «Астропринт», 2009г.), стр.1.
- В. И. Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40. (скачать учебник можно здесь).
Подробнее про «существование иррациональных чисел» на:
Wikipedia
Викизнание
Поделиться ссылкой:
ib.mazurok.com
Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные
28.06.2019
Свежие новостиВ Кремле отреагировали на назначение Кучмы представителем Киева по Донбассу
В Кремле оценили заявление Трампа о «выводе людей» из Венесуэлы
В Кремле отреагировали на информацию о запросе «Яндексу» от ФСБ
Патрушев объяснил необходимость закона об автономном Рунете
Патрушев объяснил необходимость закона об автономном Рунете
Минюст США допускает публикацию деталей доклада Мюллера
Патрушев рассказал о возможном распаде Украины
В Белом доме разъяснили намерение Трампа начать расследование против демократов
В Госдуме предложили запретить в России продукты с трансжирами
Около 360 человек смогли покинуть «Рукбан»
FacebookTwitterInstagramPinterestGoogleYoutube- Армия
- Армия
Известна бурная реакция США на испытанный российский Су-35С:…
24.03.2019
АрмияСу-27 дважды за сутки сопроводили самолеты ВВС США…
23.03.2019
АрмияРоссийский перехватчик «МиГ-21» в небе над Арктикой «нагло»…
22.03.2019
Армия«Новейшая российская ракета «Сармат» разорвет в клочья любую…
22.03.2019
АрмияРогозин рассказал о способности «Сармата» преодолеть любую систему…
22.03.2019
АрмияРоссийский «ракетный поезд» как ответ на выход США…
22.03.2019
- Армия
- Общество
- Общество
В Госдуме предложили запретить в России продукты с…
25.03.2019
ОбществоОколо 360 человек смогли покинуть «Рукбан»
25.03.2019
ОбществоДочь маршала Конева решила не судиться с Comedy…
24.03.2019
ОбществоСбежавший совладелец «Зимней вишни» задержан в Польше
24.03.2019
ОбществоВ России предотвратили 19 терактов
24.03.2019
ОбществоКонец ледовой эпохи
- Общество
novoevmire.biz
рациональные числа — ПриМат
Одна из аксиом сложения предполагает наличие у каждого числа противоположного ему числа , т. е. такого, что .
Определение. Натуральные числа, противоположные им и число будем называть целыми числами. Множество всех целых чисел обозначается через .
Лемма 1. Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.
Пусть A – ограниченное сверху подмножество множества целых чисел. Тогда у него существует верхняя грань . Число не является верхней границей множества A и поэтому найдется такое , что . Это число является наибольшим в A. В самом деле, если найдется , такое, что , то (во множестве между и нет целых чисел). Но , а значит, и , что противоречит тому, что c – верхняя граница множества A.
Следствие. Множество всех натуральных чисел неограничено сверху.
В самом деле, если бы было бы ограниченным сверху, то, согласно лемме 1, в нем нашелся бы наибольший элемент . Но и , что приводит к противоречию.
С помощью кванторов это следствие можно записать так:
Лемма 2. В каждом непустом ограниченном снизу подмножестве
целых чисел существует наименьший элемент (доказывается аналогично лемме 1).
Теорема (принцип Архимеда). Для любого действительного числа и для любого положительного существует единственное целое число , такое, что .
Зададим и . Множество целых чисел , таких, что , непусто в силу следствия из леммы 1, и это множество ограничено снизу. Поэтому, в силу леммы 2, в этом множестве есть наименьший элемент , и он единственный. Так как , а из неравенства следует, что .
С геометрической точки зрения принцип Архимеда означает, что каждая точка попадает в один, и только в один из полуинтервалов .
Определение. Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде , где – целое, – натуральное. Множество всех рациональных чисел обозначается через .
Следствие из принципа Архимеда. Пусть , – действительные числа, такие, что . Тогда найдется такое рациональное число , что .
Выберем натуральное (оно существует в силу следствия из леммы 1).Применяя принцип Архимеда с найдем такое целое , что . Обозначим . Остается показать, что . Если , то из неравенства получим, что , т. е. , что противоречит выбору числа .
Это следствие называют свойством плотности рациональных чисел.
Примеры решения задач
Пример 1.
Пусть — множество чисел, противоположных числам .Доказать, что
a)
b)[2]
a) Обозначим
тогда (из аксиом умножения и так как ), что, в свою очередь и означает что .
b) Поскольку $-(-x)=x$ то множество чисел ${x}$ противоположно ${-x}$ то выполняется следующее: (из примера а). Домножив обе части на -1 получим нужное равенство.
Пример 2.Докажите что для любых 2х разных действительных чисел найдется 2 различных, не пересекающихся полуинтервалов, таких что каждое из чисел принадлежит ровно одному отрезку.
РешениеНе нарушая общности пусть . Тогда по следствию из принципа Архимеда найдется . Теперь найдем такое $c$ что $c<b$. На множестве действительных чисел это можно сделать. Теперь если рассматривать полуинтервалы и то можно заметить что а это то что и требовалось доказать.
Пример 3.Пусть $\left\{x+y\right\}$ есть множество всех сумм $x+y$, где $x\in\{x\}$ и $y\in\{y\}$.
Доказать равенства:
a) $\inf\{x+y\}\;=\;\inf\{x\}\;+\;\inf\{y\}$;
b) $sup\{x+y\}\;=\;sup\{x\}\;+\;sup\{y\}$;[2]
a)Предположим что это не так.
Обозначим $a=\;\inf\{x\}\;,\;b=\inf\{y\}$. Тогда $\exists x_0\in\{x\},y_0\in\{y\}:\;x_0+y_0<a+b$, то есть $(x_0-a)+(y_0-b)<0$. Но это невозможно так как $x_0>a\Rightarrow x_0-a>0,\;y_0>b\Rightarrow y_0-b>0$, а сумма двух положительных не может дать отрицательное. Что значит что наше предположение не верно, а верно то что и требовалось доказать.
b)Из примера (а) если заменить $\{x\}$ на $\{-x\}$ и $\{y\}$ на $\{-y\}$ получим $\inf\{-x-y\}\;=\;\inf\{-x\}\;+\;\inf\{-y\}$. Из примера (1а) можно заметить что $-\sup\{x+y\}\;=\;-\sup\{x\}\;-\;\sup\{y\}$. Домножив на $-1$ обе части равенства получим то что и требовалось доказать.
Литература
Тест. Целые числа. Принцип Архимеда.
Лимит времени: 0
Информация
это тест для того что бы вы узнали что вы выучили и что не выучили с этой лекции
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Поделиться ссылкой:
ib.mazurok.com