Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.
Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины.
Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. 1.1. Цель преподавания дисциплины. Преподавание курса Численные методы имеет целью приобретение студентами навыков решения различных математических задач, анализа
Подробнее«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»
Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое
Оглавление. От авторов… 3
Оглавление От авторов… 3 Вариационное исчисление. Необходимые условия 4 Гла ва XLI X Экстремумы функционалов… 5 1. Некоторые сведения и понятия из функционального анализа 5 1.1. Функциональные пространства…
ПодробнееВоронежский институт МВД России
Воронежский институт МВД России I. Организационно-методический раздел Вычислительная математика это дисциплина, которая посвящена комплексу вопросов численного решения задач, разработке соответствующих
ПодробнееРАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СЕВЕРНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерства
ПодробнееМЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес — информатика»
ПодробнееМЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес — информатика»
Подробнеео.і. теор. сағат в т.ч. теоретичес ких часов
Қазақстан республикасы білім және ғалым министрлігі Министерство образования и науки республики Казахстан Павлодар Техника — экономикалық колледжі Павлодарский Технико-экономический колледж БЕКІТЕМІН:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИВТ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИВТ 1 Цель и задачи дисциплины Цель дисциплины «Математические методы в информатике и вычислительной технике» формирование у магистрантов представлений о фундаментальных основах
ПодробнееПрограмма дисциплины
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Высшая школа
Подробнее1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Цель изучения дисциплины состоит в математической подготовке специалистов по электротехнике и электроэнергетике в такой степени, чтобы они могли, применяя численные методы,
ПодробнееОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ… 8
ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ… 8 1. ЗАДАЧИ ПО РАЗРАБОТКЕ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ… 10 1.1. Линейные вычислительные процессы… 10 1.2. Циклические вычислительные процессы… 11 1.3. Вычислительные процессы с использованием
ПодробнееЧисленное интегрирование
Численное интегрирование — — Численное интегрирование. Постановка задачи Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. Требуется вычислить определенный интеграл I d.
ПодробнееВычислительная математика
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет Вычислительная математика Методические указания и контрольные работы УХТА 6 УДК.6 7. ББК. я 7
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 1 3-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией
ПодробнееИДЗ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет» «УТВЕРЖДАЮ» Декан ФАИ / П.В. Сараев / РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
ПодробнееТаблица 1 Содержание разделов дисциплины
3 Методические указания по организации аудиторной работы по дисциплине «Вычислительная математика» предназначены для студентов, обучающихся по направлению подготовки 09.03.0 «Информационные системы и технологии»,
ПодробнееII. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная программа предназначена для подготовки к вступительному собеседованию в магистратуру по направлению 01.04.02 «Прикладная математика и информатика» по программе «Вычислительные
Подробнее«Вычислительная математика»
1 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,
Подробнееdocplayer.ru
| Автор(ы): | Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. |
| Год изд.: | 1987 |
| Описание: | «Прочитал бы книгу, только посмотрев на авторов 🙂 Данная книга представляет собой переработанный вариант учебного пособия «Численные методы». Добавлен материал, относящийся к решению систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами, решению задачи Коши для систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, методу сопряженных градиентов. « |
| Оглавление: | Предисловие [7] Введение [8] 1 Погрешность результата численного решения задачи [17] § 1. Источники и классификация погрешности [17] § 2. Запись чисел в ЭВМ [21] § 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных [22] § 4. О вычислительной погрешности [25] § 5. Погрешность функции [27] § 6. Обратная задача [32] 2 Интерполяция и численное дифференцирование [35] § 1. Постановка задачи приближения функций [36] § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа [39] § 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа [43] § 4. Разделенные разности и их свойства [43] § 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями [45] § 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами [48] § 7. Уравнения в конечных разностях [51] § 8. Многочлены Чебышева [58] § 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы [62] § 10. Конечные разности [65] § 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом [68] § 12. Составление таблиц [71] § 13. О погрешности округления при интерполяции [74] § 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция [75] § 15. Численное дифференцирование [76] § 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования [83] § 17. Рациональная интерполяция [84] § 1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов [86] § 2. Оценки погрешности квадратуры [89] § 3. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса [94] § 4. Ортогональные многочлены [99] § 5. Квадратурные формулы Гаусса [106] § 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул [113] § 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций [116] § 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части [119] § 9. О постановках задач оптимизации [124] § 10. Постановка задачи оптимизации квадратур [129] § 11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы [130] § 12. Примеры оптимизации распределения узлов [137] § 13. Главный член погрешности [140] § 14. Правило Рунге практической оценки погрешности [144] § 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности [148] § 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае [150] § 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага [157] 4 Приближение функций и смежные вопросы [164] § 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве [164] § 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении [166] § 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье [171] § 4. Быстрое преобразование Фурье [175] § 5. Наилучшее равномерное приближение [178] § 6. Примеры наилучшего равномерного приближения [181] § 7. О форме записи многочлена [187] § 8. Интерполяция и приближение сплайнами [191] 5 Многомерные задачи [201] § 1. Метод неопределенных коэффициентов [202] § 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация [203] § 3. Примеры регуляризации [206] § 4. Сведение многомерных задач к одномерным [212] § 5. Интерполяция функций в треугольнике [220] § 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке [222] § 8. Метод Монте-Карло [232] § 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных методов решения задач [236] § 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло [239] § 11. О выборе метода решения задачи [243] 6 Численные методы алгебры [250] § 1. Методы последовательного исключения неизвестных [253] § 2. Метод отражений [262] § 3. Метод простой итерации [265] § 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ [268] § 5. (?)-процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости [271] § 6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов [275] § 7. Метод Зейделя [285] § 8. Метод наискорейшего градиентного спуска [290] § 9. Метод сопряженных градиентов [294] § 10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов [300] § 11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация [304] § 12. Проблема собственных значений [315] § 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR-алгоритма [320] 7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации [324] § 1. Метод простой итерации и смежные вопросы [326] § 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений [330] § 3. Методы спуска [336] § 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности [341] § 5. Решение стационарных задач путем установления [345] § 6. Как оптимизировать ? [352] 8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [360] § 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора [361] § 2. Методы Рунге—Кутта [363] § 3. Методы с контролем погрешности на шаге [369] § 4. Оценки погрешности одношаговых методов [371] § 5. Конечно-разностные методы [376] § 6. Метод неопределенных коэффициентов [379] § 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах [383] § 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов [388] § 9. Особенности интегрирования систем уравнений [396] § 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка [409] § 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования [412] 9 Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [417] § 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка [417] § 2. Функция Грина сеточной краевой задачи [423] § 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи [428] § 4. Замыкания вычислительных алгоритмов [436] § 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка [444] § 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка [449] § 7. Нелинейные краевые задачи [455] § 8. Аппроксимации специального типа [461] § 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений [473] § 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов [476] § 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае [485] § 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения [488] 10 Методы решения уравнений в частных производных [495] § 1. Основные понятия теории метода сеток [497] § 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач [505] § 3. Принцип замороженных коэффициентов [521] § 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями [524] § 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения [528] § 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений [543] § 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными [566] § 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений [580] 11 Численные методы решения интегральных уравнений [599] § 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой [599] § 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное [604] § 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода [608] Заключение [617] Список литературы [622] Предметный указатель [627] |
| Формат: | djvu |
| Размер: | 6347570 байт |
| Язык: | RUS |
| Рейтинг: | 10 |
| Открыть: | Ссылка (RU) Ссылка (FR) |
www.nehudlit.ru
Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н. С. Бахвалов
Численные методы (анализ, алгебра, обыкновен¬ные дифференциальные уравнения), Н. С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975 г.
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницыЧисленные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н. С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975 г.
В книге рассматриваются основные положения численных методов, относящиеся к приближению функций, интегрированию, задачам алгебры и опти¬мизации, решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Значительное внимание уделяется вопросам вы¬бора методов и организации вычислений при решении большого числа однотипных задач.
Книга предназначена для студентов университе¬тов и технических вузов с расширенной программой по математике, специализирующихся по прикладной и вычислительной математике, а также для лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение
ЧАСТЬ I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава I. Погрешность результата численного решения задачи
Источники н классификация погрешности
Запись чисел в ЭВМ
Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных
О вычислительной погрешности
Погрешность функции
II. Интерполяция и смежные вопросы
Постановка задачи приближения функций
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа
Разделенные разности и их свойства
Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями
Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами
Уравнения в конечных разностях
Многочлены Чебышева
Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы
Конечные разности
Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков
Интерполяционные формулы Бесселя и Эверетта. Составление таблиц
О погрешности округления при интерполировании
Применение аппарата интерполирования. Обратная интерполяция
Ортогональные системы и их свойства
Ортогональные многочлены
Численное дифференцирование
О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования
Глава III. Численное интегрирование
Квадратурные формулы Ньютона — Котеса
Оценка погрешности квадратурной формулы на классе функций
Квадратурные формулы Гаусса
Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул
Интегрирование сильно осциллирующих функций
Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезкана равные части
О постановках задач оптимизации
§ 8 Оптимальные квадратуры на классах функций с одной производной .
§ 9 Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы
§ 10 Примеры оптимизации распределения узлов .
§ 11 Главный член погрешности
§ 12 Формулы Эйлера и Грегори .
§ 13 Правило Рунге практической оценки погрешности
§ 14 Формулы Ромберга .
§ 15 Эксперименты и их обсуждение .
§ 16 Вычисление интегралов в нерегулярном случае .
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим
выбором шага . .
§ 18 Стандартные программы численного интегрирования
Глава IV. Приближение функций и смежные вопросы
§ 1 Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
§ 2 Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении . .
§ 3 Дискретное преобразование Фурье
§ 4 Быстрое преобразование Фурье
§ 5 Наилучшее равномерное приближение
§ 6 Примеры наилучшего равномерного приближения
§ 7. Итерационный метод построения многочлена наилучшего равномерного приближения .
§ 8 О форме записи многочлена .
§ 9 О способах вычисления элементарных функций
§ 10 О скорости приближения функций различных классов . 253
§ 11 Интерполяция и приближение сплайнами . . 256
§ 12 Энтропия и е-энтропия . … 262
Глава V Многомерные задачи … . 270
§ 1 Метод неопределенных коэффициентов . . 271
§ 2 Метод наименьших квадратов . . … 272
§ 3 Метод регуляризации . . . . . 274
§ 4 Пример регуляризации . . . . 275
§ 5 Сведение многомерных задач к одномерным . …. 281
§ 6 Оценка погрешности численного интегрирования по равномерной
сетке . …. 289
§ 7 Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . 292
§ 8 Об оптимизации оценки погрешности на более широких классах
способов интегрирования . . . 295
§ 9 Метод Монте-Карло . . … 300
§ 10 Обсуждение правомерности использования недетерминированных
методов решения задач 305
§ 11 Ускорение сходимости метода Монте-Карло … . 307
§ 12 Квадратурные формулы повышенной точности со случайными
узлами 311
§ 13 О выборе метода решения задачи . . . …. 316
ЧАСТЬ II ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ
Глава VI Численные методы алгебры 323
§ 1 Методы последовательного исключения неизвестных …. 324
§ 2. Метод ортогонализации . . 333
§ 3 Метод простой итерации
§ 4 Исследование реального итерационного процесса . . . § 5 Спектр семейства матриц
§ 6 б2-процесс практической оценки погрешности и ускорения схо¬димости
§ 7 Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов .
§ 8 Метод Зейделя
§ 9 Метод наискорейшего градиентного спуска
§ 10 Метод сопряженных градиентов .
§ 11. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений § 12. Итерационные методы с использованием спектрально эквивалент-
ных операторов
13 Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц Регуляризация 388
14 Проблема собственных значений 394
Решение полной проблемы собственных значений для симме 400
§ 15
тричной матрицы методом вращений
Тлава VII Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации 405
1. Метод простой итерации и смежные вопросы . 4Э7
2 Метод Ньютона решения нелинейных уравнений 411
3 Другие методы решения одного уравнения … 416
4 Методы спуска …. . 420
5 Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей
размерности . …. 425
6 Решение стационарных задач путем установления 429
7 Что оптимизировать\’ … 436
§ 8 Как оптимизировать\’
ЧАСТЬ III. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
VIII. Численные методы решения задачи Кош и
Разложение решения в ряд Тейлора …
Методы Рунге — Кутта ….
Методы с контролем погрешности на шаге . . .
Оценка погрешности одношаговых методов . .
Конечно-разностные методы . . .
Метод неопределенных коэффициентов
Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах …. . 476
Оценка погрешности конечно-разностных методов . . 483
Главный член погрешности 488
Изучение свойств конечно-разностных методов на более точных
моделях . . . 493
Интегрирование систем уравнений . …. 502
Ряд общих вопросов 512
Формулы численного интегрирования уравнений второго порядка 519
Оценка погрешности численного решения задачи Коши для урав¬
нения второго порядка
Двусторонние методы
Глава IX Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1 Простейшие методы решения краевой задачи для уравнения
второго порядка
§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка
§ 7. Методы дифференциальной ортогональной прогонки
§ 8. Нелинейные краевые задачи
§ 9. Аппроксимации специального типа
§ 10. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы
записи конечно-разностного уравнения
§ 13. Оценка вычислительной погрешности при решении краевой задачи методом прогонки
Список литературы
Предметный указатель
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы
Скачать
studentik.net
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГРУППЫ УПТС-21
Работы выполняется на листах формата А-4 по ГОСТ машинописным текстом. Работа должна содержать решение всех предложенных заданий и список литературы. Номер студента выбирается согласно номеру по списку в журнале.
Рекомендуемая литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.
2. Ращиков В. И., Рошаль А. С. Численные методы решения физических задач.- СПб.: Изд-во «Лань».2005.
3. М.В. Вербицкий «Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения», М. Издательство « Высшая школа», 2000.
4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики (части 1-3). М. РИЦ МГИУ, 2002.
Задание 1. Методом Гаусса вычислить определитель, обратную матрицу и решить СЛАУ вида: A*=
A= =
Где Nc – номер студента по списку в журнале; Nг— номер группы. Пример решения задания 1.
Матрица имеет вид:
A==
Получили единицу в 1-ом столбце, разделив 1-ую строку на 17
Для обнуления 1 элемента во 2-ой строке, умножим 1-ую строку на 5 и вычтем 1 строку из 2.
Для обнуления 1 элемента в 3 строке ,умножим 1 строку на 2 и вычтем её из 3.
Для получения 1 на главной диагонали во 2-ой строке, разделим ее на 264/17.
Для обнуления 2 элемента 3 строки, умножим ее на -78/17 и вычтем ее из 3.
Для получения 1 на главной диагонали, разделим 3 строку на 339/22
Закончился прямой ход метода Гаусса. Эта матрица соответствует системе:
Определитель системы равен произведению тех элементов главной диагонали, на которые мы делили строки:
=17*264/17*339/22=4068
Последнее уравнение сразу даёт z =-61/113.Подставляем найденное z во второе уравнение и находим y, соответственно также находим и x.
Окончательно СЛАУ можно записать:
Найти обратную матрицу для этой же матрицы.
A/E=
Получим 1, разделив 1 строку на 17.
A/E=
Помножим 1 строку на 5 и вычтем ее из 2 строки.
A/E=
Умножим 1 строку на 2 и вычтем ее из 3.
A/E=
Разделим 2 строку на 264/17, для получения 1 во 2 столбце.
A/E=
Получим 0 в 3 строке, умножив 2 строку на -78/17 и вычтем её из 3 строки.
A/E=
Разделим 3 строку на 339/22 и получим 1 на главной диагонали.
A/E=
Закончился прямой ход метода Гаусса. Начинаем обратный ход, в котором обнулим все элементы, лежащие выше главной диагонали в левой подматрице.
Умножим 3 строку на 2/17, вычтем её из 1 строки и получим:
A/E=
Умножим 3 строку на (-13/44),вычтем ее из 2 строки:
A/E=
Процесс преобразования (и обратный ход метода Гаусса тоже) закончен. Та матрица, которая стоит в правой части расширенной матрицы и есть искомая обратная матрица:
Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом простых итераций.
В= с =
С заданной точностью ع=10-3
Пример решения задания 2.
В= с =
С заданной точностью ع=10-3
Составим систему линейных уравнений
В данной системе уравнений, диагональные элементы оставим слева от знака равно, а все остальные перенесем вправо.
Разделим первую и вторую строку на «27», третью на «8», четвертую на «21».
В= с =
Вычислим норму матрицы В и вектора ß.
Так как норма матрицы В меньше 1, запишем итерационный процесс.
(3.1)
Итерационный процесс будет сходиться к точному решению искомой системы. За начальный вектор возьмем x1= ß, получим:
(3.2)
X2 получается путем подстановки численного вектора (1) во (2) систему линейных алгебраических уравнений.
Оценим погрешность найденных значений вектора х2
(3.3)
2ع= (|B1|/ 1- | B1|)*| ß|=(0.6/1-0.6)*1/6=0.25
=
Проведем еще несколько итераций, процесс продолжается пока вычисляемая погрешность не будет равна . Сведем данные в таблицу.
Таблица 3.1
Процесс итераций для нахождения корней СЛАУ
| № | x | y | z | f | | | |
| 1 | 0.148 | 1 | 0 | ||||
| 2 | -0.00178 | 0.975 | -0.2745 | 0.0071 | 0.805 | 0.2745 | |
| 3 | 0.01412 | 1.021 | 0.0305 | 0.0143 | 0.359 | -0.0072 | |
| 4 | -0.004 | 0.9945 | -0.2588 | -0.0018 | 0.16 | 0.289 | |
| 5 | 0.014 | 1.019 | -0.247 | 0.0129 | -0.2478 | 0.0129 | |
| 6 | 0.005 | 0.0151 | -0.257 | 0.0104 | 0.0318 | 1.0038 | |
| 7 | 0.155 | 1.0174 | -0.0058 | -0.00042 | 0.01421 | 0.0109 | |
| 8 | -0.002 | 0.9775 | -0.2736 | -0.0079 | 0.00634 | 0.2678 | |
| 9 | 0.01375 | 1.0219 | -0.243 | 0.0143 | 0.0028 | -0.0161 | |
| 10 | 0.053 | 1.0148 | -0.2588 | 0.0099 | 0.00126 | 0.0063 | |
| 11 | 0.007 | 1.0105 | -0.2616 | 0.0091 | 0.00056 | 0.046 | |
| 12 | 0.007 | 1.017 | -0.2465 | 0.0117 | 0.0025 | 0.0009 | |
Процесс сходиться на 12 шаге, Если подставить значения в компонент х8 в исходную систему уравнений, то получим равенство с точностью
Задание 3. Апроксимация методом наименьших квадратов.
По заданной таблице построить интерполяционный многочлен по первым 4 узлам по последним 4 узлам и по всем 5 узлам табличной функции. Рассчитать во всех случаях функционал невязки и сделать выводы о наилучшей аппроксимации.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | Nс | Nг | -1 | Nс | Nг |
Пример решения задания 3.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 17 | 4 | -1 | 17 | 4 |
Для нахождения вида полинома и исключения отрицательных и положительных ошибок, возводятся в квадрат все ошибки и складываются для всех узлов
хi. (1)
Для разных парабол (для разных a b c) значение функционала невязки будет разным. Попробуем найти такие три числа a, b, c, для которых значение невязки было бы минимально.
Поскольку ищется минимум функции трех переменных, все частные производные должны приравняться нулю:
(2)
После преобразования получаем систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b, c:
(3)
Решим эту систему (например, методом Гаусса), найдем числовые значения a,b,c, те самые, для которых квадратическая невязка (1) будет принимать минимальное значение. Полученный таким образом многочлен
является для табличной функции оптимальным в смысле минимизации невязки (1) среди всех многочленов второй степени.
Вычислим коэффициенты системы (3)
N=4
, , , , , .
Теперь система примет вид (3)
Решив эту систему, получим a=7.75, b=7.25, c=1.25, т.е.
Построим этот многочлен и точки таблицы:
Рисунок 1. График интерполяционного многочлена.
Среднеквадратическая невязка .
Определить по примеру все многочлены и функционалы невязки. Сделать выводы о наилучшем приближении.
Задание 4. Найти решение системы нелинейных уравнений методом ньютона при помощи программного комплекса Mahtcad. Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x)= 0 с точностью е=10-4 методом Ньютона (касательных), используя функцию until. Определить число итераций в каждом методе, с помощью функции last
Построить график табл.1).
Таблица 1
Варианты задания 4
Пример выполнения задания 4.
Использование функции until для реализации метода Ньютона.
| | — начальное приближение, определенное по графику | |
| | | |
Отделение корней для функции:
Рис.1. Определение начального приближения
Уточнение корней (методом Ньютона).
al.na5bal.ru
Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1975.
⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 19
2. В а fl н б е р г М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.
Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. — М.: Мир, 1974.
Василенко В. А. Теория сплайн-функций. — Новосибирск: ИГУ, 1978.
Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1980.
Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. — М.: Наука, 1971.
Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.— М.: ИЛ, 1962; Спектральная теория. — М.: Мир, 1966.
9. Иванов В. К., В а с н н В. В., Т а н а н а В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.
Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
11. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. — М.: Физматгиз, 1959.
К а р м а н о в В. Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1975.
13. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1979.
Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.— М.: Мир, 1969.
15. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968.
!6. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
КреЛн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971.
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. I, И. — М.: Высшая школа, 1970.
19. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Физматгиз, 1958.
20. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнении. — Новосибирск: НГУ, 1973.
21. Люстериик Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
М изо хат а С. Теория уравнений с частными производными.—М.: Мир, 1977.
23. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1976.
Найм арк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М: Гостех- издат, 1954.
25. Н а и м а р к М. А., Мартынов В. В. Функциональный анализ. — Долгопрудный: МФТИ, 1970.
26. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969.
Обэн Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.— М.: Мир, 1977.
Понтрягин Jl. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Физматгиз, 1961.
Р и с с Ф., С — Н а д ь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: ИЛ, 1954.
С а м а р с к и й А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV, V. — М.: Физматгиз, 1959.
32. С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
33. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике.— М.: Наука, 1976.
34. Т и х о н о в А. Н., Арсен ин В. Н. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1974.
35. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.; Наука, 19G6.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема 145 Абсолютная погрешность 236
— сходимость ряда 53, 57 Абсолютно непрерывная функция 103 Абстрактная функция 142
——— , аналитичность 146
——— , дифференцирование 143
——— , интегрирование 262
——— , непрерывность 143
——— , предел 142
Абстрактный эллиптический оператор 362
Аналитический оператор 381, 426 Аналитичность резольвенты 260 Априорная оценка 156, 235 Арцела теорема 207 Асколи — Арцела теорема 209 Аффинное многообразие 14
Базис линейного пространства 13,67
— счетный 55, 67
Банаха теорема об обратном операторе 134
——— о замкнутом графике 165
——— Штейнгауза теорема 129
Банахово пространство 49 Бесконечномерное линейное пространство 13
Бикомпактное множество 200 Билинейный оператор 131 Биортогональная система 175 Бифуркации точка 440 Броуэра принцип неподвижной точки 408
Бэра — Хаусдорфа теорема о категориях 56
Вариационная форма метода Галёркина 343
Взаимно однозначный оператор 115 Вейерштрасса свойство 278
— теорема 53
Ветвление решений нелинейных
уравнений 439 Ветвления точка 439 Вещественное линейное пространство 9
Вложение нормированных пространств 78, 103, 107 Вполне непрерывный оператор 212,
Выпуклая линейная комбинация 185, 408
Выпуклое множество 16, 40
— тело 409
Выпуклый функционал 16, 475, 485 Вычитание элементов 10
Галёркина метод 331, 339, 342, 453, 465
— аппроксимация 333, 445
— устойчивость 335, 446 Гильберта — Шмидта оператор 216,
——— теорема о разложении по собственным векторам 253 Гильбертово пространство 57 Граница множества 31 График оператора 152
Двуслойная разностная схема 355 Декомплексификация 17 Деминепрерывный оператор 464 Дефект линейного оператора 230 Диаграмма Ньютона 432 Дискретный метод Фурье 311, 315 Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве 349, 359, 397 Дифференциальный оператор 122, 136
Дифференцирование абстрактной функции 143
— оператора в смысле Гато 387
——————— Фреше 371
Дополнение множества 31
Евклидово пространство 41
Жордана теорема о нормальной форме 249
Задачавыпуклого программирования 485
— Дирихле 180, 308
— Коши 360, 367, 397
Замкнутое множество 30 Замкнутый оператор 162 Замыкание множества 31, 40
Изометрия нормированных пространств 39, 77 Изоморфизм 15, 77 Инвариантное линейное многообразие 276
Индекс линейного оператора 230 Интеграл Лебега 73, 79
— Римана 99, 262
— Стилтьеса 267 Интегральный оператор 121 Интерполяционный сплайн 318 Итерационный процесс Ньютона 401
Компактная е-сеть 205 Компактное множество 203 Комплекснфикация 17 Комплексное линейное пространство 9
Конечная Е-сеть 203 Конечномерное линейное пространство 13, 21 Конус 477
— выпуклый 477
— телесный 478 Координаты вектора 13
Корень квадратный из неотрицательного оператора 277 ‘Коши — Адамара формула 381 Коэрцитивный оператор 460 Коэффициенты Фурье 63 Крейна теорема 481 Критерий компактности Хаусдорфа 203
Кубический сплайн 325 Куна — Таккера теорема 487
Лагранжа множители 486
— формула конечных приращений 375
— функционал 486
Левый обратный оператор 137 Лемма об элементарном продолжении 170, 479
— Рисса 35
— Шмидта 231
Лере — Шаудера теорема о неподвижной точке 417 Линейная зависимость и независимость элементов 12, 46
— комбинация 12
— оболочка 65
Линейное многообразие 14, 36, 61
— подпространство 33
— пространство 9
— уравнение 1-го рода 225, 243 2-го рода 219
Линейный оператор 116
— функционал 170 Липшица условие 376
Ляпунова — Шмидта уравнение разветвления 441
Малого параметра метод 149, 355 Малое решение 439 Матрица Якоби 373 Мера обусловленности линейного
Оператора 237 Метод верхней релаксации 396
— Галёркина 331, 339, 342, 352, 453, 465
— замораживания коэффициентов160
— конечных элементов 347
— ломаных Эйлера 457
— малого параметра 149, 355
— наименьших квадратов 338
— продолжения по параметру 153, 417
— простой итерации 393
— прямых 303
— сеток 308
Метрическое пространство 20 Множество 1-й и 11-й категории 56
— меры нуль 79
— нулей (ядро) линейного оператора 133, 227
— слабо ограниченное 185 Модифицированный итерационный
Процесс Ньютона 404 Монотонный оператор 458, 468, 475
Наилучший элемент приближения 33 Невырожденность норм в приближенной схеме 290 Неограниченный линейный оператор 163
Неотрицательный линейный оператор 190
——— функционал 479
Неподвижная точка нелинейного оператора 389 Непрерывно обратимый линейный
оператор 134 Непрерывность абстрактной функщшИЗ
— линейного оператора 117, 129
— оператора 116
— улучшающая 464
— ухудшающая 464 Неравенство Бесселя 63 Неравенство Гёльдера 22, 27, 29
— Коши — Буняковского 41
— обобщенное 190
— Леви 78
— Минковского 22, 27, 29
— Птолемея 47 Нетера теоремы 230
Нетеров оператор 230 Неявный оператор 419 Нигде не плотное множество 56 Никольского теорема 233 Норма вектора 19
— графика 168
— fe-линейного оператора 377
— линейного оператора 123 ■—, подчинение 168
—, эквивалентность 31 Нормально разрешимый оператор 227, 235
Нормированное пространство 19, 49 Ньютона диаграмма 432
— итерационный процесс 401
— модифицированный итерационный процесс 404
Область значений оператора 114
— определения оператора 114 Обобщенная производная (в смысле
Соболева) 102 Обобщенное решение 180, 344 Обратный оператор 133, 140 Ограниченность множества 22
— линейного оператора 118
— оператора 116
Оператор абстрактный эллиптический 362
— взаимно однозначный 115
— в конечномерных пространствах 119
— вполне непрерывный 212, 249, 409
— в пространствах последовательностей 120
— деминепрерывный 464
— дифференциальный 122, 136
— дифференцируемый 371, 387
— замкнутый 162
— интегральный 121
— конечномерный 214
— коэрцитивный 460
— кусочно-линейной интерполяции 319
— линейный 116
— многозначный 115
— монотонный 458, 468, 475
— неограниченный 163
— неотрицательный 190
— непрерывно обратимый 134
— непрерывный 116
— неявный 419
— нормально разрешимый 228
— обратный 133, 140
— ограниченный 116
— продолжения (интерполяции) 318
— проектирования (проектор, орто- проектор) 194
— самосопряженный. 188, 193
— симметрический 193
Оператор сопряженный 186, 191
— сужения 290
— -функция 143
Операторное неравенство 191, 355 Ортогональная система элементов 43, 47
— сумма 68
Ортогональное дополнение 60, 227
— разложение 67 Ортогональный базис 67 Ортогональная система элементов 43 Ортопроектор 194
Оснащенное банахово пространство66
Отделимость множеств 482 Открытое множество 29 Относительная погрешность 236 Отношения между подпространствами
Рекомендуемые страницы:
lektsia.com
| В. Ф. Формалев, Д. Л. Ревизников | Численные методы | В учебнике представлены основные численные методы решения задач алгебры и анализа, теории приближений и оптимизации, задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической… — ФИЗМАТЛИТ, (формат: 60×90/16, 400 стр.) Подробнее… | 2006 | 652 | бумажная книга |
| Панюкова Т.А. | Численные методы | Настоящее пособие написано на основе курса лекций, читаемого студентам специальностей Математические методы в экономике и Статистика по дисциплине Численные методы. В нем изложен классический… — URSS, (формат: 60×90/16, 400 стр.) — Подробнее… | 2018 | 378 | бумажная книга |
| Панюкова Т.А. | Численные методы | Настоящее пособие написано на основе курса лекций, читаемого студентам специальностей`Математические методы в экономике`и`Статистика`по дисциплине`Численные методы`. В нем изложен классический… — URSS, (формат: 60×90/16, 224 стр.) Школьная программа Подробнее… | 2018 | 489 | бумажная книга |
| Численные методы | В книге излагаются основы вычислительной математики и численные методы математического анализа в объеме, необходимом технику-программисту для работы на электронных вычислительных машинах. Учебник… — Высшая школа, (формат: 60×90/16, 368 стр.) Подробнее… | 1976 | 160 | бумажная книга | |
| Н. Н. Калиткин | Численные методы | Излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Книга начинается с простейших задач интерполирования… — БХВ-Петербург, (формат: 60×90/16, 592 стр.) Учебная литература для вузов Подробнее… | 2011 | 496 | бумажная книга |
| Бахвалов Н.С. | Численные методы | Классический учебник по численным методам, переработанный с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих изданиях… — Бином. Лаборатория знаний, (формат: 60×90/16, 400 стр.) Классический университетский учебник Подробнее… | 2019 | 451 | бумажная книга |
| Калиткин Николай Николаевич | Численные методы | Излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Книга начинается с простейших задач интерполирования… — BHV, (формат: 60×90/16, 400 стр.) Учебник для ВУЗов Подробнее… | 2014 | 742 | бумажная книга |
| Н. Н. Рено | Численные методы | Учебное пособие содержит основные сведения о численных методах. Большое внимание уделяется погрешностям вычислений и методам их уменьшения, а также таким понятиям как устойчивость и сходимость… — КДУ, (формат: 60×84/16, 100 стр.) Подробнее… | 2007 | 319 | бумажная книга |
| М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер | Численные методы | В учебном пособии в сжатом виде и на доступном уровне излагаются основные теоретические сведения о численных методах решения прикладных задач, рассматриваются вопросы применения инструментальных… — Academia, (формат: 60×90/16, 384 стр.) Высшее профессиональное образование Подробнее… | 2009 | 947 | бумажная книга |
| Н. С. Бахвалов | Численные методы | Классический учебник по численным методам, переработанный с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих изданиях… — Лаборатория знаний, (формат: 60×90/16, 384 стр.) Классический университетский учебник (Бином) электронная книга Подробнее… | 2015 | 396 | электронная книга |
| Бахвалов Николай Сергеевич, Кобельков Г. М., Жидков Николай Петрович | Численные методы | Классический учебник по численным методам, переработанный с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих изданиях… — Бином. Лаборатория знаний, (формат: 60×90/16, 400 стр.) Классический университетский учебник Подробнее… | 2019 | 744 | бумажная книга |
| Р. В. Хемминг | Численные методы | Книга посвящена численным методам математического анализа, используемым на современных электронных вычислительных машинах. Она состоит из четырех частей. Часть 1, Дискретное исчисление конечных… — Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», (формат: 60×90/16, 400 стр.) Физико-математическая библиотека инженера Подробнее… | 1968 | 340 | бумажная книга |
| Р. В. Хемминг | Численные методы | Книга посвящена численным методам математического анализа, используемым на современных электронных вычислительных машинах — Наука, (формат: 60×90/16, 400 стр.) Физико-математическая библиотека инженера Подробнее… | 1972 | 500 | бумажная книга |
| Е. В. Карманова | Численные методы | — ФЛИНТА, (формат: 60×90/16, 400 стр.) электронная книга Подробнее… | 2015 | 145 | электронная книга |
dic.academic.ru