Двойные неравенства. 2 способа решения
Например:
\(5<11<17\)
\(-2\leq3x+5\leq2\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\)
Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому их всегда можно представить в виде системы.
Например:
\(-2\leq3x+5\leq2\Leftrightarrow\begin{cases}-2\leq3x+5\\3x+5\leq2\end{cases}\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\Leftrightarrow\begin{cases}2x-5\leq3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)
Но делать это нужно не всегда.
2 способа решения двойного неравенства
1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).
Пример: Решите двойное неравенство:
|
\(-2\leq3x+5\leq2\) \(|-5\) |
Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа. |
|
|
\(-7≤3x≤-3\) \(|:3\) |
Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\). |
|
|
\(-\)\(\frac{7}{3}\)\(\leq x \leq-1\) |
Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ. |
2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.
Пример: Решите двойное неравенство:
|
\(2x-5<3x+7≤8x\) |
В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе. |
|
\(\begin{cases}2x-5<3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\) |
Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую. |
|
\(\begin{cases}2x-3x<7+5\\3x-8x\leq-7\end{cases}\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(\begin{cases}-x<12 \\-5x\leq-7 \end{cases}\) |
«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число. |
|
\(\begin{cases}x>-12 \\x\geq \frac{7}{5}\end{cases}\) |
Отметим на числовой оси оба решения |
|
Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ. |
Ответ: \([\)\(\frac{7}{5}\)\(;\infty)\)
Скачать статьюcos-cos.ru
Материалы к уроку «Решение двойных неравенств»
Решение двойных неравенств
Знакомство с двойными неравенствами с одной переменной начинается в 8 классе, а в 9 классе мы уже рассматриваем более сложные неравенства с двумя переменными. Комплекс заданий, который я опишу ниже, подойдет для итоговых уроков алгебры, а также для подготовки к экзамену.
Простейшее двойное неравенство
Рассмотрим ряд примеров:
1
1. 6 < х < 8 .
Решение этого двойного неравенства сводится к решению системы двух неравенств:
Решение данной системы изображено на числовой оси ОХ рисунка 1. Ответом является интервал, так как неравенство строгое, (6;8).
2. – 4 ≤ х < 5.
На рисунке приведено графическое исполнение решения данного двойного или системы неравенств. Обращает на себя внимание различие в отображении на рисунке концов искомого ответа: левая точка «полная», а правая — «выколотая». Такое различие обусловлено условиями, налагаемыми на переменную х: левое нестрогое – меньше или равно, а правое строгое – строго больше. Отсюда и результат, по которому левая точка х = — 4 является решение неравенства и поэтому точка на графическом изображении «полная», а правая точка х = 5 не является решение и поэтому на графике она изображена «пустой» или, как еще принято называть, «выколотой». Ответом искомого неравенства будет полуинтервал [- 4;5).
Самостоятельно рассмотрим остальные варианты решений простейших двойных неравенств на рисунке 1.
Задание№1.
Решите двойное неравенство самостоятельно.
1. -1 < x ≤ 5;
2. 2 ≤ x ≤ 10.
Двойное неравенство. Алгебраические действия над ним
Стоит отметить, что для решения двойных неравенств действуют все те же правила, которые применимы и для обычных неравенств, только теперь действие должно применяться сразу к обеим частям неравенства.
1. Без смены знака можно прибавлять/отнимать любое действительное число к обеим сторонам неравенства.
2. Без смены знака можно умножать/делить на любое действительное (отличное от нуля) положительное число.
3. Сменив знаки на противоположные, можно обе стороны неравенства умножать/делить на любое отрицательное число (кроме нуля).
Более сложное двойное неравенство с двумя переменными.
Решим неравенство: 3x – 8 < y ≤ -x + 4.
Чтобы решить это двойное неравенство нужно решить систему двух неравенств с двумя неизвестными. А именно:
Приведем первое неравенство системы к более удобному для восприятия виду у > 3x – 8 , тогда система будет иметь вид
Графическая интерпретация неравенства показана на рисунке 2.
2
Чтобы найти искомую зону ответов, удовлетворяющих данным условиям, сначала строим две прямые у = 3х — 8 и у = — х + 4. Построение прямых проще всего выполнять по контрольным точкам. Контрольные точки первой прямой (0; -8) и (8/3; 0), через них проводим прямую. На рисунке она красного цвета. Для построения второй прямой достаточно прямую у = х сместить на четыре единичных отрезка вверх по оси ОУ и симметрично отобразить ее относительно оси ОУ. Можно построить вторую прямую по контрольным точкам: (0 ; 4) и (4;0). На рисунке эта прямая зеленого цвета.
Для нахождения области решения двойного неравенства на координатной плоскости изображают области, которые являются решениями каждого неравенства отдельно, зона пересечения этих областей и будет решением первоначального двойного неравенства. На рисунке розовым цветом обозначена область решений 3х – 8 < у, причем прямая у = 3х — 8 не является решением строгого неравенства. Голубая — область решений неравенства у ≤ -х + 4, причем, все точки принадлежащие прямой у = — х + 4 удовлетворяют неравенству и, следовательно, является его решением. Пересечение розовой и зеленой зон и будет решением искомого двойного неравенства с двумя неизвестными.
Задание №2. Решите двойное неравенство:
2х +4 < у ≤ — х;
– х ≤ 4у + 1 ≤ 2х — 1.
Определите, графическое решение какого двойного
a) 2х – 5 ≤ у < 5х;
b) Х + 1 < у ≤ — х + 5 неравенства изображено на рисунке 3?
3
xn--j1ahfl.xn--p1ai
Урок математики на тему «Двойное неравенство» (5 класс)
Дата _____________
Урок № 9
Двойное неравенство
Цель:
Выявить и осмыслить получение двойных неравенств, их запись и решение.
Задачи:
Научиться записывать и решать двойные неравенства
повысить познавательную активность.
Развивать внимание, мышление, речь учащихся, умение обобщать, делать выводы.
Воспитать ответственное отношение к учебе.
Ход урока
Организационный момент
Актуализация знаний
Чему мы научились на прошлом уроке?
Какие правила сравнения чисел мы повторили?
Как сравнить числа с разным количеством цифр?
Как сравнить числа с одинаковым количеством цифр?
Постановка проблемы и “открытие” детьми нового знания.
— Говорят, что математика – это искусство называть разные вещи одним именем. Попробуем и мы.
А) Слова – короче, легче, меньше в математике обозначают знаком …
Слова – длиннее, тяжелее, дольше. Обозначают знаком …
Ставлю знаки в высказывания.
1.726 км ‹ 2.273 км ‹ 4.400км
р.Индигирка р.Алдан р.Лена
— Что же у нас получилось?
— Чем эти записи отличаются от уже привычных нам неравенств?
— Как бы вы назвали эти неравенства?
— А в математике принято называть такие неравенства двойные.
— Кто может назвать тему нашего урока?
Запишем число и тему урока «Двойное наравенство».
Первичное закрепление знаний
1. Отметь на числовом луче множество чисел, которое одновременно больше 3 и меньше 7. Предложи свой вариант записи этого множества с помощью знаков неравенства.
2. При взвешивании арбуза оказалось, что он тяжелее одной 5-килограммовой гири, но легче двух таких гирь. Обозначив массу арбуза х кг, можно записать:
Значит, масса арбуза заключена в промежутке от 5 кг до 10 кг. Вместо двух неравенств 5 < х и х < 10 пишут одно двойное неравенство: 5 < х < 10. Его читают так: «х больше пяти и меньше десяти».
Решениями неравенства 5 < х < 10 являются числа 6, 7, 8 и 9, расположенные между числами 5 и 10:
3. Прочитай неравенства
4.Можно ли заменить данные неравенства двойным неравенством? Если да, то запиши подходящее двойное неравенство.
а) 2 < у и у < 6 ———————
б) у > 2 и у < 6 ———————-
в) 2 < у и z < 6 ———————
г) у < 2 и у < 6 ———————
5. Запиши двойные неравенства:
а) t больше 4 и меньше 9 ————————
б) k больше или равно 5 и меньше 18 ——————————
в) m больше 10 и меньше или равно 25 ——————————
г) n больше или равно 6 и меньше или равно 15 —————————-
6. Отметь на луче множество решений двойного неравенства и запиши его с помощью фигурных скобок.
7. Напиши двойные неравенства, множество решений которых совпадает с множеством чисел, отмеченных на луче:
8. Реши уравнения. Что ты замечаешь?
х + 389 = 2076 х — 1687 = 389 2076 -х = 1687
Подведение итогов. Рефлексия.
Д/з
Запиши двойным неравенством.А)2 < у и у < 6
б) у > 2 и у < 6
в) 2 < у и z < 6
г) у < 2 и у < 6
Отметь на луче множество решений двойного неравенства и запиши его с помощью фигурных скобок
Замени двойное неравенство двумя неравенствами
infourok.ru
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
funer.ru
Ответы@Mail.Ru: Как решать двойные неравенства?
двойное неравенство записываешь в виде ДВУХ неравенств. решаешь каждое по очереди. Имеешь два решения. Ищешь решение ОБЩЕЕ для этих двух (то есть такие значения, которые подходят и под первое решение и под второе) . Это и будет решением двойного неравенства.
Двойное неравенство равносильно системе двух неравенств. Если общий вид двойного неравенства будет g(x) < f(x) < q(x), то получим систему неравенств: g(x) < f(x) и f(x) < q(x) Решения этой системы и будут решениями исходного двойного неравенства
Способов решения много. Один из них — графический. Алгоритм решения: 1. строишь графики каждой части (Л-левая, П- правая, С- середина) . 2. выбираешь ту часть графика С, которая выше Л, но ниже П. 3. выписываешь найденный интервал для х, если неравенство нестрогое, концы включаешь.
решите двойное неравенство и запишите множество целых чисел, которые являются его решениями: 2<модуль x+1<5:
touch.otvet.mail.ru