Формулы возведение степень в степень – Возведение степени в степень | Формулы с примерами

Возведение в степень — это… Что такое Возведение в степень?



Возведение в степень

        алгебраическое действие, заключающееся в повторении числа (а) сомножителем несколько (n) раз:

                 Число а называется основанием степени, n — показателем степени, aⁿ — степенью. Например, 3·3·3·3 = 3⁴ = 81. Вторая степень числа называется квадратом, третья — кубом. См. также Степень.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

• Возбуждение уголовного дела
• Возврат

Смотреть что такое «Возведение в степень» в других словарях:

• ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ — алгебраическое действие, заключающееся в умножении числа (a) самого на себя несколько (n) раз: а.а…. .а = аn. Напр., 34 = 3.3.3.3 = 81 …   Большой Энциклопедический словарь

• возведение в степень — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN exponentiation …   Справочник технического переводчика

• Возведение в степень — Возведение в степень  бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называ …   Википедия

• возведение в степень — алгебраическое действие, заключающееся в умножении числа (а) самого на себя несколько (n) раз: . Например, 34 = 3·3·3·3 = 81. * * * ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ, алгебраическое действие, заключающееся в умножении числа (a) самого на… …   Энциклопедический словарь

• ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ — алгебр. деист вне, заключающееся в умножении числа (а) самого на себя неск. (n) раз: а х а х … х а = ап. Напр., 34 = 3х3х3х3 = 81 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• возведение в степень (мат.) — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN exponentation …   Справочник технического переводчика

• возведение в степень по модулю — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN modulo exponentiation …   Справочник технического переводчика

• модульное возведение в степень — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN modular exponentiation …   Справочник технического переводчика

• Быстрое возведение в степень — Алгоритм быстрого возведения в степень  алгоритм, предназначенный для возведения числа x в натуральную степень n за меньшее число умножений, чем это требуется в определении. Алгоритм не всегда оптимален. Например, при n=15 требуется 6 умножений,… …   Википедия

• ВОЗВЕДЕНИЕ — ВОЗВЕДЕНИЕ, возведения, мн. нет, ср. (книжн.). Действие по гл. возвести. Возведение в сан. Возведение в степень, в квадрат и т.п. (мат.). Возведение здания. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

Книги

• Теоретико-числовые методы в криптографии, О. Н. Герман, Ю. В. Нестеренко, Учебник создан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по направлениям подготовки «Информационная безопасность» и «Математика» (квалификация «бакалавр» ). В… Серия: Высшее профессиональное образование. Бакалавриат Издатель: Academia, Подробнее  Купить за 920 руб
• Общее числовое действие и некоторые его свойства, В. В. Шустов, В настоящей книге предложен новый взгляд на такие известные со школьной скамьи операции, как сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень, извлечение корня и… Издатель: ЛКИ, Подробнее  Купить за 240 руб
• В мире чисел. Тетрадь по математике. 6-7 лет, Хилтунен Елена Александровна, Любичева Ирина Александровна, Можно ли объяснить ребенку понятие квадрата числа или куба? На самом деле это просто. Уникальные материалы, созданные Марией Монтессори, позволяют ребенку освоитьабстрактные математические… Серия: Детский сад по системе Монтессори Издатель: Национальное образование, Подробнее  Купить за 172 руб

Другие книги по запросу «Возведение в степень» >>

dic.academic.ru

Правила возведения в степень

 

a — основание степени, действительное число ( aϵ R )

n — показатель степени, натуральное число ( n ϵ N )

 

 

 

 

Произведение степеней с одинаковым основанием:

 

Деление степеней с одинаковым основанием:

если  n > m

 

если  n = m

 

если  n < m

 

Возведение степени в степень:

 

Произведение в степени:

 

Деление в степени:

 

 

---

zdesformula.ru

Возведение в степень — Википедия

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения натурального числа на себя. Степень с основанием a и показателем b обозначается как

,

при этом  — это количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. ниже).
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

не определён

По определению,

Результат не определен при и .

Для отрицательных в случае нечётного и чётного в результате вычисления степени получаются комплексные числа. См. подробнее Корень (математика)

Пусть  — вещественные числа, причём  — иррациональное число. Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для рациональный интервал с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов состоит из одной точки, которая и принимается за .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование[править]

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция[править]

Поскольку в выражении принимают участие две переменные, то его можно рассматривать как:

Полезные формулы[править]

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции .

Употребление в устной речи[править]

Запись обычно читается как «a в -ой степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.)русск.. В частности, вместо умножения чисел, они говорили о площади прямоугольника, или об объёме параллелепипеда. Таким образом, вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали^[1]

.

В разговорной речи иногда говорят, например, что  — это «a умноженное само на себя три раза»^[2], имея в виду, что берется три множителя . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но два умножения). Часто когда говорят, «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть ^[3]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»^[4].

Значок степени[править]

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, изображалось как Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно^[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида .

Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки:

**, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: ↑ (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность, его часто используют и при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в текстовых файлах, а также при общении в Интернете. Примеры:

3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

• x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 1]}, Haskell^{[К 2]}, Lua, ASP и большинство систем компьютерной алгебры;
• x ^^ y: Haskell^{[К 3]}, D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 4]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 5]}, Turing, VHDL;
• ^/: Haskell^{[К 6][источник не указан 1337 дней]};
• x⋆y: APL.

Языки JavaScript, Си и Паскаль не имеют специального значка и используют для возведения в степень функции.

Комментарии

1. ↑ Для целой степени
2. ↑ Для неотрицательной целой степени
3. ↑ Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение
4. ↑ Начиная с версии 5.6 [1]
5. ↑ Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм
6. ↑ Для рациональных степеней

www.wikiznanie.ru

Возведение в степень — Википедия

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a и натуральным показателем b обозначается как

ab=a⋅a⋅…⋅a⏟b{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b}},

при этом b{\displaystyle b} — это количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.

Содержание

• 1 Натуральная степень
• 2 Целая степень
• 3 Рациональная степень
• 4 Вещественная степень
  • 4.1 Потенцирование
• 5 Комплексная степень
• 6 Ноль в степени ноль
• 7 Степень как функция
• 8 Полезные формулы
• 9 Употребление в устной речи
• 10 Обозначение
  • 10.1 История
  • 10.2 Значок степени
• 11 См. также
• 12 Примечания
• 13 Литература
• 14 Ссылки

Число c{\displaystyle c} называется n-й степенью числа a{\displaystyle a}, если

c=a⋅a⋅…⋅a⏟n{\displaystyle c=\underbrace {a\cdot a\cdot …\cdot a} _{n}}.

Свойства:

1. (ab)n=anbn{\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}
2. (ab)n=anbn{\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}
3. anam=an+m{\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}
4. anam=an−m{\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}

encyclopaedia.bid

Возведение в степень — Википедия

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения натурального числа на себя. Степень с основанием a и показателем b обозначается как

,

при этом  — это количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. ниже).
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

не определён

По определению,

Результат не определен при и .

Для отрицательных в случае нечётного и чётного в результате вычисления степени получаются комплексные числа. См. подробнее Корень (математика)

Пусть  — вещественные числа, причём  — иррациональное число. Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для рациональный интервал с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов состоит из одной точки, которая и принимается за .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование[править]

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция[править]

Поскольку в выражении принимают участие две переменные, то его можно рассматривать как:

Полезные формулы[править]

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции .

Употребление в устной речи[править]

Запись обычно читается как «a в -ой степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.)русск.. В частности, вместо умножения чисел, они говорили о площади прямоугольника, или об объёме параллелепипеда. Таким образом, вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали^[1].

В разговорной речи иногда говорят, например, что  — это «a умноженное само на себя три раза»^[2], имея в виду, что берется три множителя . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но два умножения). Часто когда говорят, «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть ^[3]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»^[4].

Значок степени[править]

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, изображалось как Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно^[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида .

Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: ↑ (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность, его часто используют и при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в текстовых файлах, а также при общении в Интернете. Примеры:

3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

• x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 1]}, Haskell^{[К 2]}, Lua, ASP и большинство систем компьютерной алгебры;
• x ^^ y: Haskell^{[К 3]}, D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 4]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 5]}, Turing, VHDL;
• ^/: Haskell^{[К 6][источник не указан 1337 дней]};
• x⋆y: APL.

Языки JavaScript, Си и Паскаль не имеют специального значка и используют для возведения в степень функции.

Комментарии

1. ↑ Для целой степени
2. ↑ Для неотрицательной целой степени
3. ↑ Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение
4. ↑ Начиная с версии 5.6 [1]
5. ↑ Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм
6. ↑ Для рациональных степеней

www.wiki-wiki.ru

Возведение в степень — это… Что такое Возведение в степень?

Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называется степенью с основанием и показателем .

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством.
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

не определён

По определению,

(результат не определен при и )

См. корень степени q

Пусть .

В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где , , где  — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между и принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

Значок степени

Исторически степень, начиная с Декарта, обозначали «двухэтажной» записью вида . Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень.

Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: (о такой стрелке см. Стрелки Кну́та). Язык BASIC предложил символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность. Его теперь часто используют и при написании формул и математических выражений в текстовых файлах.

Примеры:

3^2=9;     5^2=25;     2^3=8;     5^3=125

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

На компьютерной клавиатуре значок степени (циркумфлекс) находится на той же клавише, что и цифра 6. Для его ввода надо в режиме набора английского текста нажать Shift+6.

В случае нескольких степеней подряд, «многоэтажная» запись степени и запись её с помощью значка степени (значков потребуется несколько) имеют разную ассоциативность: В записи a^b^c^d^f (с помощью значка степени) ассоциативность левая, то есть возведения в степень выполняются в порядке очерёдности слева направо: ((((a^b)^c)^d)^f) — именно так вычисляет такое выражение (которое без скобок) программа Excel; в записи же (многоэтажный способ) ассоциативность правая, то есть возведения в степень выполняются в порядке справа налево: (a^(b^(c^(d^f)))).

См. также

Ссылки

• А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ

dic.academic.ru

Возведение в степень — Википедия

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения натурального числа на себя. Степень с основанием a и показателем b обозначается как

,

при этом  — это количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. ниже).
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

не определён

По определению,

Результат не определен при и .

Для отрицательных в случае нечётного и чётного в результате вычисления степени получаются комплексные числа. См. подробнее Корень (математика)

Пусть  — вещественные числа, причём  — иррациональное число. Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для рациональный интервал с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов состоит из одной точки, которая и принимается за .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование[править]

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция[править]

Поскольку в выражении принимают участие две переменные, то его можно рассматривать как:

Полезные формулы[править]

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции .

Употребление в устной речи[править]

Запись обычно читается как «a в -ой степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.)русск.. В частности, вместо умножения чисел, они говорили о площади прямоугольника, или об объёме параллелепипеда. Таким образом, вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали^[1].

В разговорной речи иногда говорят, например, что  — это «a умноженное само на себя три раза»^[2], имея в виду, что берется три множителя . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но два умножения). Часто когда говорят, «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть ^[3]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»^[4].

Значок степени[править]

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, изображалось как Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно^[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида .

Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: ↑ (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность, его часто используют и при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в текстовых файлах, а также при общении в Интернете. Примеры:

3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

• x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 1]}, Haskell^{[К 2]}, Lua, ASP и большинство систем компьютерной алгебры;
• x ^^ y: Haskell^{[К 3]}, D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 4]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 5]}, Turing, VHDL;
• ^/: Haskell^{[К 6][источник не указан 1337 дней]};
• x⋆y: APL.

Языки JavaScript, Си и Паскаль не имеют специального значка и используют для возведения в степень функции.

Комментарии

1. ↑ Для целой степени
2. ↑ Для неотрицательной целой степени
3. ↑ Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение
4. ↑ Начиная с версии 5.6 [1]
5. ↑ Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм
6. ↑ Для рациональных степеней

www.wikiznanie.ru