Исследовать функцию y 2 x 2 – Исследовать функцию, построить график | Онлайн калькулятор

Исследовать функцию y=x^2/x+1 и построить график….

Решение:
y(x)=x²/(x-1)
1) Область определения: (- ∞;1) (1;∞)
2) Множество значений: (0;∞)
3) Проверим является ли функция четной или нечетной:
y(х) = x²/(x-1)
y(-x)=x²/(-x-1) , так как y(х) ≠y(-х) и y(-х) ≠-y(х) , то функция не является ни четной ни не четной.
4)Найдем координаты точек пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: у=0, получаем: x²/(x-1) =0,
x²=0
x=0 график пересекат ось обсцисс и ординат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции:
y=(2x(x-1)-x²)/(x-1)²=(x²-2x)/(x-1)²; y=0
(x²-2x)/(x-1)²=0,
x²-2x=0
x1=0
x2=2 Получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум:
Так как на промежутках (- ∞;0) (2;∞) y>0, то на этих промежутках функция возрастает.
Так как на промежутках (0;1) (1;2) уТочка х=0 является точкой максимума у (0)=0

Точка х=2 является точкой минимума у (2)=4
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
fу»=((2x-2)(x-1)²-2(x-1)(x²-2x))/(x-1)^4=2/(x-1)³; y»=0
2/(x-1)³=0, уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет.
Так как на промежутке (1;∞) , y»> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.
Так как на промежутке (- ∞;1) y»7) Проверим имеет ли график функции асимптоты:
а) вертикальные. Найдем односторонние пределы в точке разрыва х=1
lim (прих->1-0) (x²/(x-1))=-∞
lim (прих->1+0) (x²/(x-1))=∞ так как пределы бесконечны то прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
б) Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты вида у=kx+b
k=lim (при х->∞)(y(x)/x)=lim (при х->∞)( x²/(x(x-1))=1
b=lim (при х->∞)(y(x)-kx)=lim (при х->∞)(x²/(x-1)-x)=1
Итак прямая у=x+1 является наклонной асимптотой.
Все стройте график.

Оцени ответ

shkolniku.com

Исследовать функцию и построить график y=x^4-2x^2-3

Ответ оставил Гость

1. Обсласть опрежедения функции: множество всех действительных чисел.
2. четность функции

Итак, функция четная.
3. Точки пересечения с осью Ох и Оу.
3.1. С осью Ох (у=0)

Через дискриминант

точки с соью Ох

3.2. Точки пересения с осью Оу (х=0)

(0;-3) — точки пересечения с осью Оу

4. Критические точки(возрастание и убывание функции)

Приравняем к нулю

_-_(-1)__+__(0)__-_(1)__+__>

Итак, функция возрастает на промежутке , убывает . В точке х=-1 и х=1 функция имеет локальный минимум, а в точке х=0 — локальный максимум
5. Точки перегиба

Вертикальных, горизональных и наклонных асимптот нет.

Оцени ответ

shkolniku.com

Исследование функций 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Математический анализ

Вариант 7

Исполнитель: студент Сычёва А.Н.

Группа: ЭПБ 14 СР

Преподаватель: Коржавина Н.В.

Серов 2014

Задание 1. Пределы функций

Вычислить пределы:

а) =*=

=== = =1

b)= = = 0

c)= = = ^х ==

Задание 2. Исследование функций

Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график: у=

1 Найдем область определения функции.

х²-4=0 х²=4 х=

2 Исследуем функцию на четность.

f(-х)== =f(х)

Функция четная значит ее график симметричен относительно оси ординат.

3 Находим вертикальные асимптоты к графику функции.

При х→2 слева =-

При х→2 справа =+

х=2 Вертикальная асимптота, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат, то прямая х=-2 тоже будет вертикальной асимптотой.

4 Исследуем поведение функции на бесконечность.

Прямая у=0 является горизонтальной асимптотой.

5 Найдем экстремум и интервалы монотонности.

у^‘=’==

у^‘=0 х=0

Производная не существует в точках х=2 и х=-2, но эти токи не входят в область определения.

На (- у^‘>0 следовательно функция на промежутке не возрастает.

На (0;+∞) у следовательно функция на промежутке убывает.

у^‘

+ — х=0 точка максимума

у 0

6 Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

у^»== =-==

Точек в которых вторая производная обращается в 0, нет, следовательно нет точек перегиба.

3х²+4>0 следовательно знак у^» зависит от знака (х²-4)³ следовательно на (-2;2)

у

», на (-∞;-2) у^»>0

у^» -2 2

+ — +

7 Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Пусть х=0 у=

Точка пересечения графика функции с осью ординат (0;-0,5)

Пусть у=0 то таких значений х нет.

Рисунок 1 График функции у=

Задание 3 Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:

а) – непосредственное интегрирование;

б) – замены переменной;

в) – интегрирования по частям.

а) = =+2 = + 2* + +C

б)dx== = =+C=+С

в) = ln x* —

Задание 4 Определенный интеграл

4.1 Вычислить определенный интеграл:

==

ln x*=ln 2 *(6+4)-ln 1

4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

y=x²+3 x=0 y=x-1 x=2

Рисунок 2 чертех фигуры ограниченной кривыми

Задание 5 Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость:

а)

= = ln x

Интеграл сходящийся.

б)

Особая точка х=0

Этот интеграл расходящийся.

Задание 6 Ряды

6.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость

u_n= u_n+1=

6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда

С_n=3ⁿ(x-2)ⁿ С_n+1=3ⁿ⁺¹(x-2)ⁿ⁺¹

— ¹

Область сходимости:(

Задание 7 Функции нескольких переменных

Исследовать функцию двух переменных на экстремум.

z=

z’_x=-4x z’_y=y³

x=0 y=0 A=-4 B=0 C=0

функция ряд интеграл дифференциальный

x=0 y=0 не является точкой экстремума.

Задание 8 Решение дифференциальных уравнений

8.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:

y²y’=3-2x y(0)=1

y²

Общее решение

y(0)=1 1³/3 = 0 — 0 + С С = 1/3

y³/3 = 3x – x² + 1/3

y³ = 9x – 3x² + 1 Частное решение

8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y»- 6y’ + 9y = 0 y(0) = 1 y'(0) = -1

k² — 6k+9=0 Характеристическое уравнение

k₁ = k₂ = 3

y_общ = е ^3x ( C₁+C₂ x ) Общее решение

y^/_общ= 3e ^3x ( C₁ + C₂ x ) + C

2 e ^3x

y(0) = 1 e ^3*0 ( C₁+C₂*0 ) = 1 C₁ = 1

y^/ (0) = -1 3*e ^3*0 ( C₁+C₂*0 ) + C₂* e ^3*0 = -1 3*C₁+C₂ = -1 3+C₂ = -1

C₂ = -4 y_част = е^3x( 1-4x )

Список использованных источников

1. Аксёнов. Математический анализ.

2. Натанзон С.М. Краткий курс математического анализа. 2004 год.

3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.

4. Фомин В.И. Учебное пособие по математике. 2007 год.

studfiles.net