Решение неполных квадратных уравнений, как решать разные виды выражений
Научившись решать уравнения первой степени, хочется научиться работать с более сложными уравнениями, например, с квадратными. Многим известно, как решаются стандартные квадратные уравнения, но есть особый вид таких выражений, которые называют квадратные уравнения в краткой записи. Рассмотрим подробнее, как решать неполные квадратные уравнения.
Алгоритм нахождения решений
На сегодняшний день существует три вида таких выражений. В зависимости от этого каждое решение имеет свои особенности, от которых зависит решение конкретного примера, будь оно целым или в виде иррационального числа.
Уравнение вида ax2+bx=0 при отсутствии c
Это наиболее распространенное выражение в укороченном типе с квадратными корнями. Как решить нечто похожее в этом случае? Для этого надо разложить левую часть на множители. Алгоритм решения следующий, и обычно не меняется:
- Раскладываем выражение как x*(ax+b), равное нулю.
- Так как выражение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен ему, то запишем следующую систему уравнений в виде x и ax+b=0.
- Первое решение так и пишется x=0. Второе равенство линейное и решается как равное -b/a.
В качестве примера приведем следующее равенство: x2+18x=0. Раскладываем его в виде x*(x+18)=0. Получаем x=0 и -18. Оба решения являются правильными и подойдут под результат. Также решаются и остальные выражения, относящиеся к неполным квадратным уравнениям такого вида.
ax2+c=0 при b равном нулю
Не такой частый, но встречающийся тип квадратного выражения. Здесь имеются два корня, отличающиеся лишь знаками, в крайнем случае корней не имеется вообще.
План действий для решения такого выражения разберем на следующем примере:
- Имеем уравнение x2−49=0 или аналогичное ему.
- Раскладываем его как (x-7)*(x+7)=0.
- Получаем решение типа x=7 и -7.
- Записываем ответ в виде двух корней.
А вот при одинаковых знаках в записи решения не будет в принципе. Например, для выражения 25×2+1=0 не имеется ответа, потому что сумма положительных чисел никогда не может равняться нулю.
В школьном курсе алгебры эти равенства стараются решить так, чтобы прийти к формату x2=d. То есть 9×2−2 равно нулю. Тогда x2=2/9, а ответом послужат два одинаковых корня с разными знаками.
Особый вид уравнения
Имеется также один особый тип укороченного выражения. Он имеет следующий вид ax2, которое равно нулю. У таких уравнений имеется решение в виде единственного корня. В учебниках есть указание, что решение состоит в виде двух корней, каждый из которых равен нулю.
Другие способы решения неполных уравнений
Любое подобное выражение в квадрате можно решить, не применяя формулу квадратных корней. К таким видам решения называют формулу сокращенного умножения и правило деления на число.
Допустим, выражение 5×2=0. В этом выражении только умножение на ноль даст результат, а значит, единственный ответ здесь x=0.
Теперь возьмем выражение вида 5×2=125. Делим обе части уравнения на 5. Получим следующий промежуточный результат: x2=25. Переносим все в левую часть и получится x2−25=0. Затем используем формулу разности квадратов в виде (x-5)*(x+5)=0. Получаем итоговый результат в виде x=5 или x=-5.
Далее разберем, как решить вышеописанными способами равенство 16*x2-x=0. Выносится общий множитель за скобки x*(16x-1)=0. Получается два варианта ответа: x=0 и 16x=1. После этого делим каждую часть на 16, в итоге получаем x=1/16. Записываем итоговый ответ в виде x1=0 и x2=1/16.
Стоит отметить, что если вы не знаете, как применить формулы сокращенного умножения или деления на число, то лучше применить способ решения такого выражения согласно стандартным правилам решения квадратного уравнения. Каким именно методом решить данные квадратные выражения, выбирает сам человек. Иногда самые очевидные способы решения не подойдут для определенного примера, может и вовсе не оказаться конкретных ответов. Также не является обязательным такой вариант, как стандартные целые числа.
Здесь могут быть и иррациональные числа, а также дробные. Все будет зависеть от конкретного выражения.
Не являющиеся полными примеры по типу квадрата, несмотря на свое название, решаются достаточно просто. Можно применить как стандартные методы нахождения ответа, например, квадратные корни, так и формулы сокращенного умножения, а также деления на число.
При этом нельзя сказать, что какой-либо из вышеописанных способов является универсальным. Под каждое конкретное уравнение подбирается свой способ нахождения ответа. Не забывайте также о том, что не все такие квадратные равенства имеют ответ, иногда у них нет корней вовсе. Это верно, если оба числа являются положительными, а их сумма не может равняться нулю.
Видео
Из видео вы узнаете способы решения неполных квадратных уравнений.
liveposts.ru
Как решить квадратное уравнение: примеры 🚩 Математика
Квадратное уравнение — равенство, соответствующее формуле ax^2 + bx + c = 0. В этом уравнении x представляет собой корень, то есть значение переменной, при котором равенство обращается в верное; a, b и c — это числовые коэффициенты. При этом коэффициенты b и c могут иметь любое значение, включая положительные, отрицательные и нулевые; коэффициент a может быть только положительным или отрицательным, то есть не должен быть равен нулю.Решение уравнения такого типа включает в себя несколько типовых шагов. Рассмотрим его на примере уравнения 2x^2 — 8x + 6 = 0. Первоначально необходимо выяснить, сколько корней имеет уравнение.
Для этого необходимо найти значение так называемого дискриминанта, которое вычисляется по формуле D = b^2 − 4ac. Все необходимые коэффициенты необходимо взять из первоначального равенства: таким образом, для рассматриваемого случая дискриминант будет рассчитываться как D = (-8)^2 — 4*2*6 = 16.
Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или нулевым. При положительном значении дискриминанта квадратное уравнение будет иметь два корня, как в данном примере. При нулевом значении этого показателя уравнение будет иметь один корень, а при отрицательном значении можно сделать вывод, что уравнение не имеет корней, то есть таких значений x, при которых равенство обращается в верное.
Дискриминант используется не только для выяснения вопроса о количестве корней, но и в процессе решения квадратного уравнения. Так, общая формула корня такого уравнения имеет вид x = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a. В указанной формуле заметно, что выражение под корнем фактически и представляет собой дискриминант: таким образом, его можно упростить до x = (-b ± √D) / 2a. Отсюда становится понятно, почему уравнение такого вида имеет один корень при нулевом дискриминанте: строго говоря, в этом случае корней по-прежнему будет два, но они окажутся равны между собой.
Для нашего примера следует использовать ранее найденное значение дискриминанта. Таким образом, первое значение x = (8 + 4) / 2*2 = 3, второе значение x = (8 — 4) / 2*4 = 1. Для проверки следует подставить найденные значения в первоначальное уравнение, убедившись, что в обоих случаях оно представляет собой верное равенство.
www.kakprosto.ru
Квадратные уравнения, формулы и примеры
Определение и формула квадратного уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида называется квадратным уравнением.Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.
Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Число называется дискриминантом квадратного уравнения.В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.
Примеры решения квадратных уравнений
Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:
Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:
ПРИМЕР 2
| Задание | Найти корни квадратного уравнения . |
| Решение | Вычислим дискриминант:
Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень
|
| Ответ | . |
Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .
ПРИМЕР 3| Задание | Решить уравнение . |
| Решение | Дискриминант уравнения
Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:
|
| Ответ | . |
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com