Как решить однородное дифференциальное уравнение – .

Однородные дифференциальные уравнения [wiki.eduVdom.com]

Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n, если справедливо тождество $$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$

При n=0 имеем функцию нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение вида ${y}’=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ называется однородным относительно x и y, если f(x,y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения.

Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$

Вводим новую переменную $u=\frac{y}{x}$ , тогда $y=u\cdot x \;;\; \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$

В результате, получаем уравнение с разделяющимися переменными $$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$

---

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения: ${xy}’=x+2y$

Решение дифференциального уравнения:

---

Пример 2. Решить уравнение (найти общее решение дифференциального уравнения) $$ {xy}’ = \sqrt{x^{2} — y^{2}} + y $$

Решение. Запишем уравнение в виде $$ {y}’ = \sqrt{ 1 — \left ( \frac{y}{x} \right )^{2} } + \frac{y}{x} $$

так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y.

Положим $u=\frac{y}{x}$ или $y=u\cdot x$ , тогда ${y}’ = {xu}’ +u$ . Подставляя в уравнение выражение для $y$ и ${y}’$ , получаем $$ x\frac{du}{dx} = \sqrt{1-u^{2}} $$

Разделяем переменные: $$ \frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} } = \frac{dx}{x} ;\;\; \int \frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} } = \int \frac{dx}{x} \\ \arcsin{u} = \ln{|x|} + \ln{C_1} ;\;\; \arcsin{u} = \ln{C_{1}|x|} $$

, т.к. $C_{1}|x| = \pm C_{1}x$ , то, обозначая $\pm C_{1} = C$ , получаем $\arcsin{u} = \ln{Cx}$ Заменяя $u$ на $\frac{y}{x}$ , будем иметь общий интеграл $\arcsin{\frac{y}{x}} = \ln{Cx} ,\;\; y = x\sin{\ln{Cx}}$

---

Пример 3 $$(x^{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$

Решение:

---

www.wiki.eduvdom.com

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Метод решения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
(1)   .
Его решение можно получить следуя общему методу понижения порядка.

Однако проще сразу получить фундаментальную систему n линейно независимых решений и на ее основе составить общее решение. При этом вся процедура решения сводится к следующим шагам.

Ищем решение уравнения (1) в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(2)   .
Оно имеет n корней. Решаем уравнение (2) и находим его корни . Тогда характеристическое уравнение (2) можно представить в следующем виде:
(3)   .
Каждому корню соответствует одно из линейно независимых решений фундаментальной системы решений уравнения (1). Тогда общее решение исходного уравнения (1) имеет вид:
(4)   .

Действительные корни

Рассмотрим действительные корни. Пусть корень однократный. То есть множитель входит в характеристическое уравнение (3) только один раз. Тогда этому корню соответствует решение
.

Пусть – кратный корень кратности p. То есть
. В этом случае множитель входит в характеристическое уравнение (3) ⇑ p раз:
.
Этим кратным (равным) корням соответствуют p линейно независимых решений исходного уравнения (1):
;   ;   ;   …;   .

Комплексные корни

Рассмотрим комплексные корни характеристического уравнения (3) ⇑. Выразим комплексный корень через действительную и мнимую части:
.
Поскольку коэффициенты исходного уравнения (1) ⇑ действительные, то кроме корня имеется комплексно сопряженный корень
.

Пусть комплексный корень однократный. Тогда паре корней соответствуют два линейно-независимых решения уравнения (1) ⇑:
;   .

Пусть – кратный комплексный корень кратности p. Тогда комплексно сопряженное значение также является корнем характеристического уравнения кратности p и множитель входит в разложение на множители (3) ⇑ p раз:
.
Этим 2p корням соответствуют 2p линейно независимых решений:
;   ;   ;   …   ;
;   ;   ;   …   .

После того как фундаментальная система линейно независимых решений найдена, по формуле (4) ⇑ получаем общее решение уравнения (1) ⇑.

Примеры решений задач

Пример 1

Решить уравнение:
.

Решение

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Преобразуем его:
;
;
.

Рассмотрим корни этого уравнения. Мы получили четыре комплексных корня кратности 2:
;   .
Им соответствуют четыре линейно-независимых решения исходного уравнения:
;   ;   ;   .

Также мы имеем три действительных корня кратности 3:
.
Им соответствуют три линейно-независимых решения:
;   ;   .

Общее решение исходного уравнения имеет вид:
.

Ответ

.

Пример 2

Решить уравнение

Решение

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Решаем квадратное уравнение.
.

Мы получили два комплексных корня:
.
Им соответствуют два линейно-независимых решения:
.
Общее решение уравнения:
.

Ответ

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 29-07-2013

1cov-edu.ru

Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка это уравнение вида:
, где α ≠ 0, α ≠ 1, f – функция.

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t ^α· y, x → t·x.
Если удастся выбрать такое значение α, при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Решение

Делаем замену y → t ^α· y, x → t·x, y′ → t ^α–1 y′:
;
.
Разделим на t ^α+5:
;
.
Уравнение не будет содержать t, если
4α – 6 = 0,   α = 3/2.
Поскольку при α = 3/2, t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.

Решение обобщенного однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)   .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x ^α.
Действительно,
.
Отсюда
;   .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
.

Это – однородное уравнение. Оно решается подстановкой:
y = z · t,
где z – функция от t.
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x ^α,
где z – функция от x.

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение

(П.1)   .

Решение

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t ^α· y, x → t·x, y′ → t ^α–1 y′.
.
Разделим на t ^α:
.
t сократится, если положить α = –1. Значит – это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x ^α = z x ^–1,
где z – функция от x.
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1):
(П.1)   ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножим на dx и разделим на x z ². При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e ^C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С:
.

Возвращаемся к переменной y. Подставляем z = xy:
.
Делим на x:
(П.2)   .

Когда мы делили на z², мы предполагали, что z ≠ 0. Теперь рассмотрим решение z = xy = 0, или y = 0.
Поскольку при y = 0, левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0.

Ответ

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 03-08-2012   Изменено: 24-06-2015

1cov-edu.ru

Приводящиеся к однородным дифференциальные уравнения первого порядка

К однородным уравнениям первого порядка приводится уравнение вида:
(1)   ,
где f – функция.

Как определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному

Для того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы:
a₁x + b₁y + c₁,   a₂x + b₂y + c₂,
и выполнить замену:
a₁x + b₁y + c₁ → t (a₁x + b₁y + c₁);
a₂x + b₂y + c₂ → t (a₂x + b₂y + c₂).
Если, после преобразований, t сократится, то это уравнение приводится к однородному.

Пример

Определить, приводится ли данное дифференциальное уравнение к однородному:
.

Решение

Выделяем две линейные формы:
x + 2y + 1 и x + 4y + 3.
Первую заменим на t (x + 2y + 1), вторую – на t (x + 4y + 3):
.
По свойству логарифма:

.
t сокращается:
.
Следовательно, это уравнение приводится к однородному.

Решение дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению

Решаем систему уравнений:
(2)  

Здесь возможны три случая.

1)   Система (2) имеет бесконечное множество решений (прямые a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0 совпадают). В этом случае
;
.
Тогда
.
Это простейший вид уравнения с разделяющимися переменными:
.
Его решение:
y = Ax + C .

2)   Система (2) не имеет решений (прямые a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0 параллельны). В этом случае a₁b₂ = a₂b₁.
Применим это соотношение.

.

Это означает, что a₂x + b₂y + c₂ является функцией от a₁x + b₁y + c₁. Поэтому     является функцией от a₁x + b₁y + c₁. То есть f является функцией от a₁x + b₁y + c₁. Обозначим такую функциею как g. Тогда исходное уравнение (1) имеет вид:
.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
z = a₁x + b₁y + c₁.

3)   Система (2) имеет одно решение (прямые a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0 пересекаются в одной точке). Обозначим это решение как x₀, y₀. Тогда
(3)  
Делаем подстановку x = t + x₀, y = u + y₀, где u – это функция от t. Тогда
dx = dt,   dy = du;

.
Или
.
Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается подстановкой u = z t, где z – это функция от t.

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению первого порядка

Решить уравнение

(П.1)   .

Решение

1)   Проверим, приводится ли это дифференциальное уравнение к однородному. Для этого выделяем две линейные формы:
2x – y + 4 и x – 2y + 5.
Первую заменим на t (2x – y + 4), вторую – на t (x – 2y + 5):
.
Делим на t:
.
t сократилось, поэтому это уравнение приводится к однородному.

2)   Решаем систему

Из первого уравнения y = 2x + 4. Подставляем во второе:
x – 2(2x + 4) + 5 = 0;
x – 4x – 8 + 5 = 0;
– 3x = 3;
x = –1;
y = 2x + 4 = 2·(–1) + 4 = 2.
Итак, мы нашли решение системы:
x₀ = –1,   y₀ = 2.

3)   Делаем подстановку:
x = t + x₀ = t – 1;
y = u + y₀ = u + 2,
где u – функция от t. dx = dt,   dy = du,   ;
;
.
Подставляем в (П.1):
(П.2)   .
Это – однородное уравнение.

4)   Решаем однородное уравнение (П.2). Делаем подстановку:
u = z · t, где z – функция от t.
u′ = (z · t)′ = z′t + z t′ = z′t + z.
Подставляем в (П.2):
.
Сокращаем на t и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделяем переменные – умножаем на dt и делим на t (z² – 1). При z² ≠ 1 получаем:
.
Интегрируем:
(П.3)   .
Вычисляем интегралы:
;

.
Подставляем в (П.3):
.
Умножим на 2 и потенцируем:
;
.
Заменим постоянную e^2C → C. Раскроем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C. Умножим на (z + 1)² и применим формулу: z² – 1 = (z – 1)(z + 1).
.
Сократим на (z – 1):
.
Возвращаемся к переменным u и t, используя формулу: u = z t. Для этого умножим на t:
;
;
.
Возвращаемся к переменным x и y, используя формулы: t = x + 1, u = y – 2.
;
(П.4)   .

Теперь рассмотрим случай z² = 1 или z = ±1.
;
.
Для верхнего знака «+» имеем:
;
.
Это решение входит в общий интеграл (П.4) при значении постоянной C = 0.
Для нижнего знака «–»:
;
.
Эта зависимость также является решением исходного дифференциального уравнения, но не входит в общий интеграл (П.4). Поэтому к общему интегралу добавим решение
.

Ответ

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-07-2012   Изменено: 22-06-2015

1cov-edu.ru

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

,
где p и q – функции переменной x.

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)   .
Существует три способа решения этого уравнения:

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)  
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования произведения:


Подставляем в (2):

Интегрируем:

Умножаем на   . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Решить уравнение

Решение

Разделим обе части исходного уравнения на x:
(i)   .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:

Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1).
Умножим (i) на x ³:
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x ³:
.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 22-07-2012   Изменено: 25-02-2015

1cov-edu.ru

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y’ (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x₀)=y₀, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр «t» в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае «t» сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную «y» через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x², как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем решение дифференциального уравнения в форме

Константа «C» принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С — постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.

yukhym.com

Решение однородных дифференциальных уравнений — Мегаобучалка

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

1.Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Нетрудно заметить, что многочлены P(x,y) и Q(x,y

), соответственно, при dx и dy, являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.

Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем

Следовательно,

Разделим обе части уравнения на x:

Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0действительно является одним из решений нашего уравнения.

Интегрируем последнее выражение:

где C − постоянная интегрирования.

Возвращаясь к старой переменной y, можно записать:

Таким образом, уравнение имеет два решения:

2.Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Заметим, что корень x = 0 не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме:

Как видно, уравнение является однородным.

Сделаем замену y = ux. Следовательно,

Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение:

Разделим обе части на x ≠ 0:

В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными:

На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения:

Следовательно,

Постоянную C здесь можно записать как ln C₁ (C₁ > 0). Тогда

Если C₁ = 0, то ответом является функция y = xe. Легко убедиться, что эта функция будет также и решением дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя

в дифференциальное уравнение, находим:

Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой:

где C − произвольное действительное число.

3.Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде:

Сделаем подстановку y = ux. Тогда y’ = u’x + u. Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получаем:

Разделим обе части уравнения на ux². Заметим, что корень x =0 не является решением, но можно убедиться, что корень u = 0 (или y = 0) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.

В результате получаем:

Интегрируя, находим общее решение:

Учитывая, что , последнее выражение можно записать в форме

Обратная функция x(y) имеет явный вид:

Поскольку C − произвольное число, знак «минус» перед этой константой можно заменить на знак «плюс». Тогда получаем:

Таким образом, дифференциальное уравнение имеет решения:

4.Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Из вида правой части уравнения следует, что x ≠ 0 и y ≠ 0. Можно сделать подстановку: y = ux, y’ = u’x + u, которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными:

Интегрируя данное уравнение, получаем:

Переобозначим 2C просто как постоянную C. Следовательно,

Итак, общее решение записывается в виде:

5.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Как видно, данное уравнение является однородным. Поэтому, воспользуемся подстановкой y = ux,y’ = u’x + u. В результате уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим обе части на x³. (Заметим, что корень x = 0 не является решением).

Теперь можно проинтегрировать последнее уравнение:

Так как u = y/x, то решение записывается в виде:

Отсюда следует, что

Переобозначим для краткости: e^C = C₁, (C₁ > 0). Тогда решение в неявной форме определяется уравнением:

где постоянная C₁ > 0.

megaobuchalka.ru