Простые задачи по математике в два действия
вернуться к оглавлению задач по темам»
Ничего сложного в математических задачах на два действия нет. При условии, конечно, что ваш ребенок щелкает, как орешки, задачки в одно действие.
Задачи в два и более действий называют составными. То есть они состоят из более простых, эдакие задачи внутри задач. Посмотреть приемы решения составных задач можно ТУТ»
А сами задачи для тренировки смотрим ниже:
1. В трёх тетрадях 60 листов. В первой и второй тетрадях — по 24 листа. Сколько листов в третьей тетради?
2. Гусь весит 9 кг, а курица — на 7 кг меньше. Сколько весят гусь и курица вместе?
3. На школьной выставке 80 рисунков. 23 из них выполнены фломастерами, 40 карандашами, а остальные — красками. Сколько рисунков, выполненные красками, на школьной выставке?
4. В школьный буфет привезли два лотка с булочками. На одном лотке было 40 булочек, на другом — 35. За первую перемену продали 57 булочек. Сколько булочек осталось?
5. Вера собирала букет из осенних листьев. Дубовых листочков у нее было 12, осиновых — на 4 меньше, а кленовых столько, сколько дубовых и осиновых вместе. Сколько кленовых листочков в Верином букете?
6. К началу учебного года мама купила Наташе 19 новых книжек. Из них 7 было без картинок, а из тех, которые с картинками, половина — учебники. Сколько учебников мама купила Наташе?
7. В субботу в музее побывало 26 учеников из 2 «А» класса, а в воскресенье — на 8 человек больше из 2 «Б» класса. Сколько всего учеников вторых классов побывало в музее за субботу и воскресенье?
8. В ларьке было 60 пирожков. До обеда продали 26 пирожков, а после обеда — 32 пирожка. Сколько пирожков не продали?
9. Оля решила нарисовать 72 букета. В понедельник она нарисовала 18 букетов, во вторник — 22 букета. Сколько букетов Оля не стала рисовать?
10. Около школы посадили 15 кустов сирени, боярышника — на 5 кустов больше, чем сирени, а черемухи — столько, сколько сирени и боярышника вместе. Сколько кустов черёмухи посадили около школы?
11. В парке росло 75 дубов. После урагана оказалось, что 7 дубов погибли. Тогда посадили еще 12 дубов. Сколько дубов стало в парке?
12. В танцевальную студию ходят 23 ученика из второго класса, а из третьего — на 5 детей больше. Сколько всего учеников из второго и третьего класса ходят в танцевальную студию?
13. Из бидона зачерпнули утром 6 кружек кваса, в обед — еще 5 кружек. После этого в бидоне осталось 14 кружек кваса. Сколько кружек кваса было в бидоне с утра?
14. В первой четверти в начальной школе было 65 хорошистов, во второй — на 27 больше, чем в первой. А в третьей четверти — на 22 хорошиста меньше, чем во второй. Сколько учеников закончили школу без троек в третьей четверти?
15. В цехе работает 90 человек. Из них 65 мужчин, а остальные — женщины. На сколько больше в цехе работает мужчин, чем женщин?
Моих читателей интересует:
с вами Школа XXI векirina-se.com
Как научить детей решать задачи по математике: советы именитых педагогов и простых мам
Научить детей решать задачи по математике — дело учителя, но и родители не должны оставаться в стороне, если их чадо «тормозит» в этом вопросе. Одним учебником математики сыт не будешь. Ведь если научить ребенка самостоятельно решать задачи в 1-3 классах, дальше он будет щелкать как семечки не только задачи по математике, но и по физике, химии, геометрии и др. И самое главное — этот навык пригодится ребенку в жизни!
vogazeta.ru
В статье Как научить ребенка математике мы подробно писали, из каких 4 частей состоит любая задача и что нужно сделать в первую очередь, чтобы ребенок понял, чего от него хотят и как ответить на вопрос задачи. Уяснив алгоритм решения задач, ребенок сможет самостоятельно решить практически любую задачу, даже несмотря на то, что они все кажутся такими разными.
Основные типы задач по математике: краткий конспект
Небольшой ликбез, т.к. далеко не все родители учились в педагогических ВУЗах и владеют методикой преподавания. Пробежимся по теории, чтобы понимать, кто, кому и чего «должен». Зная ключевые моменты, вам будет проще помочь ребенку в решении задач, которые вызывают у него сложности, вы сможете определить, где пробелы в знаниях и что нужно «подтянуть» в каждом конкретном случае.
iqsha.ru
Рассмотрим самые распространенные виды задач в начальных классах.
1. Простые задачи на сложение и вычитание
К этой группе относятся несколько задач, но для всех есть общие рекомендации:
- Решаются в одно действие.
- На их примере ребенок должен научится выполнять краткую запись.
- Если краткого условия недостаточно, нарисовать рисунок. Если не помог рисунок, показываем на конкретных предметах и производим действия с ними.
- Четко усвоить, что «+» — это прибавить, увеличить, а «-» — уменьшить, отнять, вычесть.
- Хорошо запомнить компоненты арифметических действий:
слагаемое + слагаемое = сумма
уменьшаемое — вычитаемое = разность
- Понять разницу между словами «стало» и «осталось». Четко понимать, что значит «на … меньше», «на … больше».
- Важно понять и запомнить: чтобы узнать, НА СКОЛЬКО одно число больше или меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.
- Важно понять и запомнить: чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
- Важно понять и запомнить: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
- Важно понять и запомнить: чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Задачи с косвенным вопросом
Это самые коварные задачи из этой группы. Внимательно прочитайте условие — и поймете почему.
На стоянке у первого подъезда 7 машин. Это на 2 машины больше, чем на стоянке у второго подъезда. сколько машин на стоянке у второго подъезда.
2. Составные задачи на сложение и вычитание
Эти задачи решаются двумя и более действиями.
Есть несколько способов решения:
- по действиям с пояснениями;
- по действиям с вопросами;
- выражением.
В решении таких задач главное:
- найти главное и сделать краткую запись;
- разложить эту задачу на несколько простых и составить план решения;
- помнить главное: по двум данным находим третье.
3. Задачи на понимание смысла действий умножения и деления
- Важно запомнить названия компонентов действий и понять их смысл:
1-й множитель х 2-й множитель = произведение
делимое : делитель =частное
- Ребенок должен понимать, что 1-й множитель показывает, КАКОЕ число повторяется а 2-й множитель показывает — СКОЛЬКО РАЗ оно повторяется.
Это очень важно для правильной записи в задачах, иначе получится бессмыслица.
Советы о том, как научить ребенка осознанно относиться к умножению и делению, вы найдете в нашей статье Как научить детей быстро считать: математика до школы. Если возникли проблемы с решением задач на умножение — сдайте чуть-чуть назад, закрепите осознание этого арифметического действия.
4. Простые задачи на умножение и деление
- Очень важно понять и запомнить разницу «в «, «на».
«Во сколько раз» или «на сколько»? Предлог «на» — это сложение или вычитание, а «в» — умножение или деление.
- Важно понять и запомнить: чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, нужно большее число разделить на меньшее.
5. Составные задачи на все 4 арифметические действия
6. Задачи на цену, количество, стоимость
7. Задачи на движение
Это отдельная обширная тема, вернемся к ней позже.
Типичные ошибки в решении задач
Ошибка №1. Ребенок невнимательно прочитал условие задачи.
Часто бывает так, что ошибки возникают от невнимательности. Так часто бывает в задачах с косвенным вопросом. Ребенок смотрит на цифры, вроде все логично, но… не верно.
Например: «У Маши 8 конфет, это на 2 меньше, чем у Кати. Сколько конфет у Кати».
Ребенок видит «на 2 меньше» и делает «логичный» вывод, что надо отнять. Отнять можно от бОльшего числа, т.е. сразу напрашивается решение 8-2=6. И ответ: 6 конфет у Кати. А ответ-то не тот! Если внимательно почитать условие, то станет понятно, что у Кати конфет больше чем у Маши. И вовсе тут не отнимать надо.
Как исправить ошибку. Сразу разберитесь с условием, поможет краткая запись.
Ошибка №2. Ребенок допустил ошибку в решении.
Когда в задаче несколько неизвестных, решение затрудняется, требуется выполнить не одно действие, а придумать целую цепочку рассуждений.
Как исправить ошибку. Для начала определим, каких данных нам не хватает. Решаем по действиям. Находим нужные числа (помним правило: по двум неизвестным находим третье), подставляем их и отвечаем на вопрос задачи.
Ошибка №3. Неправильная запись ответа.
Часто ребенок пишет не то пояснение.
Как исправить ошибку. Нужно внимательно прочитать вопрос задачи. Уяснить раз и навсегда, что ответ начинается с числа, а дальше пишем, что требовалось найти (переписываем формулировку вопроса задачи).
Творческий подход в решении задач
www.craftykidsathome.com
- Учите ребенка рассуждать.
- Придумывайте задачи с лишними или недостающими данными.
Пусть ребенок сам вычеркнет лишнее, те данные, которые не влияют на решение.
- Дайте условие, а ребенок пусть сам придумает ответ.
- Пусть ребенок сам составит обратную задачу.
- Придумать несколько задач на одно решение.
- Придумать, как решить задачу другим способом и объяснить его.
На школу надейся, а сам не плошай
Заглянем в педагогику и «расшифруем» мысли умных и заслуженных, исходя из сегодняшних реалий.
В далеком 1867 году К. Ушинский сказал: «У хороших преподавателей дело выходит так, что арифметическая задача есть вместе занимательный рассказ, урок сельского хозяйства или домашней экономии, или историческая или статистическая тема и упражнение в языке».
«Расшифровка» следующая.
- Ученика нужно поставить в такие условия, чтобы он оказался в эпицентре событий, т.е., решая задачу, видел ее применение в жизни.
Не всегда задачи в школьном учебнике «вдохновляют» современных школьников. Многим не ясно условие по одной простой причине: ребенок не имеет представления о том, что говорится. Например, задача про надои и бидоны с молоком, а городской «деть» и корову-то в глаза не видел, не то, что тонны молока в бидонах. Или в задаче использованы такие значения, которые в жизни нереальны — это затрудняет восприятие, т.к. ребенок все воспринимает буквально.
Задача родителей — помочь ребенку ПОНЯТЬ условие. Любым способом: хоть рисуй, хоть танцуй.
- К решению задач нужно подходить творчески.
Интерес заставляет ребенка быть активным, а активность в свою очередь усиливает внимание.
В каждодневной жизни нам то и дело приходится решать задачи. Привлекайте ребенка, задавайте вопросы, просите совета. Например, тема ремонта. Вычислить метраж комнаты; просчитать нужное количество краски, зная расход на метр квадратный; купить линолеум, зная длину и ширину комнаты; просчитать, какой метраж выгоднее, если есть напольное покрытие шириной 2, 5 метра и 3 метра, чтобы меньше остатков было и по цене вышло выгоднее. Купить ткань на пошив постельного белья, зная размеры матраса. Примеров масса! И это работает гораздо эффективнее, чем «бездушная» задача в учебнике, которая совершенно не привязана к жизни и не вызывает эмоциональный отклик.
- При решении жизненных задач у ребенка помимо всего прочего развивается наблюдательность, речь, появляется рабочее настроение, развиваются творческие способности и самостоятельность.
Через некоторое время вы заметите, что ребенок различными способами комбинирует информацию, с легкостью составляет задачи сам, находя идеи в окружающем мире, а не высасывая из пальца.
- Когда ребенка просят составить собственную задачу, нужно следить и за содержанием, и за решением. Задача должна быть осмысленной и целесообразной.
Например, нельзя допускать таких «ляпов», как «Я съел 13 желтых груш и 20 зеленых яблок. Сколько фруктов я съел?» Задача теряет смысл, если она оторвана от жизни.
- От задачи надо идти к примеру, а не наоборот.
Дети мыслят не абстрактно, а конкретными образами. Пример 12-6 ни о чем не говорит, а вот ситуация, когда из 12 человек 6 уже купили билеты на футбольный матч — это совсем другое дело. Тут ребенок не задумываясь ответит, что оставшиеся шестеро очень рискуют, нужно поторопиться, иначе билетов может не хватить и придется сидеть у телевизора, вместо того, чтобы активно скандировать на трибунах в поддержку любимой команды.
Лебединцев в своей книге «Введение в современную методику математики» писал: «То влияние, которое может оказывать обучение счислению и вообще математике на умственное развитие детей, находится в прямой зависимости от материала, которым мы пользуемся при обучении; если в учебном материале будут преобладать отвлеченные упражнения в действиях и хитроумные задачи с условиями, лишенными внутренней связи и, по существу, далекими от жизни, то, упражняя учащихся на таком материале, мы, может быть, и выработаем у них формальные навыки в вычислениях и, пожалуй, изощрим их ум для разгадывания разных ребусов и головоломок, но отнюдь не сделаем их более способными к правильному мышлению в жизни или какой-либо области знания…».
Французский педагог Жан Мосе тоже был уверен, что «заставлять ребенка начинать с отвлеченного правила и затем предлагать ему задачи — это значит идти наперекор ходу развития человеческого ума…».
Практические советы по решению задач от реальных мам
fb.ru
Что нам Ушинский, Лебединцев и Мосе, спросим у тех, кто «из нашей песочницы». Как они помогают своим детям решать задачи по математике, что «работает», какие приемы на практике доказали свою эффективность и помогли повысить успеваемость.
Татьяна, мама учеников 4 кл. и 6 кл.
«Я знаю, что особую сложность у детей вызывают задачи на скорость, поэтому начала готовить своих мальчишек к этому уже с 1 класса. Когда ехали к бабушке в Пинск, говорили о скорости, засекали время, считали сколько мы проехали км, смотрели на знаки и вычисляли сколько нам останется времени, если мы будем ехать с такой же скоростью и сколько, если папа будет ехать с другой. В общем, я очень удивлялась, когда мои пацаны на скорость задачи решали как орехи. Я поняла, что в моем детстве не хватало практического представления того, о чем говорилось в задачах».
Ольга, мама ученика 1 кл. и ученицы 4 кл.
«С задачами старшая плохо дружит)) Почти всегда приходит за помощью. Стараюсь выработать алгоритм решения, но частенько упираюсь в «лень подумать». Если совсем «затык», рисуем схемы. На дополнительные задачи совсем нет времени, а сама по своей воле заниматься ими дочь точно не будет)) Иногда встречаются задачи с некорректно поставленным вопросом, тут приходится помогать с формулировкой ответа.
Младшего усадить за математику очень сложно. В те редкие моменты, когда дело доходит до задач, он их решает в уме и выдает ответ устно).»
Вероника, мама учеников 2 кл. и 4 кл.
«Младший задачи решает без проблем, но ненавидит чертить схемы к ним и писать пояснения. Старший ходит на факультатив по математике, дома домашку сам делает».
Катерина, мама ученика 2 кл. и ученицы 5 кл.
«Сын отлично справляется сам. Он такие схемы рисует, что я иногда в шоке)). Если за помощью обращается дочь, стараюсь упростить условие задачи до понятных образов, а потом она сама догадывается, как сложную модель решить».
Татьяна, мама ученицы 5 кл.
«Чаще всего прибегаем к рисованию. Прямо вот как по условию… садимся и рисуем, как есть. Так сказать, наглядность помогает. Велосипедист выехал… значит рисуем человечка на велосипеде, город из которого он выехал и тд)))) Если катер плывет по течению, рисуем море, волны)))))) С пояснениями никогда исправлений со стороны учителя не было, да и у нас, собственно, тоже вопросов не возникало. Смотри по условию, что спрашивают — и пиши ответы возле каждого действия».
Наталья, мама ученика 5 кл.
«Приходилось объяснять дроби на примере сломанных карандашей, порванных в клочья бумажек. В гостях в тот момент был друг-проектировщик, он именно так решил наглядно пояснить сыну задачу. Я обычно прибегаю к помощи рисования. В задачах на скорость/время/расстояние рисовали целые истории: кто куда и на чем поехал, кого встретил по дороге и в какой момент. Порой решение задач превращалось в мультфильм, одного черновика обычно мало. Несколько раз решали задачи всей семьей: мама отдельно от папы, потом сравнивали результаты и каждый объяснял ребенку свой «самый рациональный и простой» способ. Как правило, у мужчин своя логика)), мое решение обычно отличается от папиного».
Уважаемые читатели! Делитесь в комментариях своими находками и сложностями в решении задач по математике с детьми. будем разы разобраться вместе и помочь советами и полезными статьями на интересующие вас темы.
rastishka.by
Задачи на нахождение суммы
{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ
1 — 2 КЛАССЫ
Решение задач на нахождение суммы для 1 — 2 классов состоит из одного действия. Для получения верного ответа необходимо выполнить сложение двух данных в условии чисел. Получившаяся сумма будет являться ответом. Данные задачи являются простейшими в решении.
Внимание! Зелёным цветом выделены задачи повышенной трудности.
1) На берёзе сидело 6 воробьёв. Прилетело ещё 4. Сколько воробьёв стало?
2) Белка устроила гнездо в дупле дуба. Днём она принесла туда 8 грибов, а вечером — 4 гриба. Сколько грибов оказалось в дупле?
3) На цветке сидит пчела, собирает пыльцу. К ней прилетела ещё 1 пчела. Сколько всего пчёл на цветке?
4) Ребята заготовили для птиц 5 кг рябины и 5 кг семян арбуза. Сколько всего килограммов семян заготовили ребята?
5) Вокруг Марса вращаются 2 естественных спутника, а вокруг планеты Уран — 5 спутников. Сколько всего спутников у Марса и Урана вместе? Если знаешь, как они называются, — напиши.
6) Геологи нашли 7 камней, масса которых 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг. Эти камни разложили в 4 рюкзака так, что в каждом рюкзаке масса камней была одинакова. Как это сделали?
7) В хоре пели 4 мальчика и 6 девочек. Сколько детей всего пело в хоре?
8) Дети учатся в школе 4 месяца до Нового года и 5 месяцев после Нового года. Сколько всего месяцев дети учатся в школе?
9) На стройку привезли 5 машин песку и 3 машины цемента. Сколько всего машин привезли на стройку?
10) В первом конверте 5 марок, а во втором 3 марки. Сколько всего марок в двух конвертах?
11) Мальчик за первую четверть исписал 6 тетрадей, за вторую четверть 3 тетради. Сколько всего тетрадей он исписал за две четверти?
12) В коридоре стояло 5 стульев. Принесли ещё 3. Сколько стульев стало?
13) В первый день машина проехала 30 км, во второй — 10 км. Сколько километров машина проехала за два дня?
14) Во дворе играли 5 котят. К ним подошли ещё 3 котёнка. Сколько котят стало?
15) В первую четверть Аня болела 4 дня, во вторую — 6 дней. Сколько всего дней Аня болела в эти две четверти?
16) В автобусе ехало 7 пассажиров. На остановке вошли ещё 3 пассажира. Сколько пассажиров стало в автобусе?
17) В первый день около школы посадили 20 деревьев, во второй — ещё 10 деревьев. Сколько всего деревьев посадили?
18) В первой группе 7 мальчиков, во второй группе 3 мальчика, а в третьей столько, сколько в первой и второй вместе. Сколько мальчиков в третьей группе?
19) Осенью Таня засушила 4 кленовых листа и 5 дубовых листьев. Сколько всего листьев засушила Таня?
20) В первый день в магазин привезли 5 пачек книг, во второй 4 пачки книг, а в третий столько, сколько в первый и второй вместе. Сколько книг привезли в магазин в третий день?
21) Зина купила 5 тетрадей в клетку и 2 тетради в линейку. Сколько всего тетрадей купила Зина?
22) За последние три столетия исчезли 36 видов млекопитающих и 94 вида птиц. Скольких всего видов птиц и млекопитающих лишилась наша родная планета? Если знаешь их, назови хотя бы некоторых.
23) Возле школы росло 9 елей. Посадили ещё 4 дуба и 6 елей. Сколько всего елей стало возле школы?
24) Дикие гуси живут 80 лет, а собаки — 20 лет. Орёл живет столько, сколько собака и гусь вместе. Сколько лет живёт орёл?
25) Сейчас охота в нашей стране запрещена полностью на 18 видов зверей и 29 видов птиц. На сколько видов зверей и птиц запрещена охота?
26) Таня вымыла 6 тарелок, а Коля вымыл 7 тарелок. Сколько всего тарелок вымыли дети?
27) В одной квартире живёт 3 человека, во второй — 4 человека, а в третьей — столько, сколько в первой и второй вместе. Сколько человек живёт в третьей квартире?
28) Глаз насекомого имеет мозаичное (фасеточное) строение. Он состоит из множества глазков. У мухи их 4 тысячи, а у муравья 6 тысяч глазков. Сколькими глазами на тебя смотрят вместе муха и муравей?
{module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}
samopodgotovka.com
Простые задачи на движение
Задачи по математике для 4 класса.
Задача 1
С какой скоростью летел вертолет, если за 2 часа он пролетел расстояние в 600 километров?
Решение:
- 1) 600 : 2 = 300
- Ответ: 300 километров.
Задача 2
Скорость орла 30 метров в секунду. Какое расстояние пролетит орел за 5 секунд?
Решение:
- 1) 30 * 5 = 150
- Ответ: 150 метров.
Задача 3
Авианосец проплыл 90 км со скоростью 30 км/чес. Сколько времени он затратил?
Решение:
- 1) 90 : 30 = 3
- Ответ: 30 часа.
Задача 4
Мотоциклист двигался со скоростью 35 км/час В пути он был 2 часа Какое расстояние он преодолел за это время?
Решение:
- 1) 2 * 35 = 70
- Ответ: 70 километров.
Задача 5
Улитка проползла 36 метров за 2 часа. Сколько всего метров проползла улитка?
Решение:
- 1) 36 : 2 = 18
- Ответ: 18 километров в час.
Задача 6
Велосипедист проехал 28 км со скоростью 14 км/час. Сколько времени у него заняла дорога?
Решение:
- 28 : 14 = 2
- Ответ: 2 часа.
Задача 7
Деревня от города находится на расстоянии 30 км. Сколько времени будет идти пешеход из деревни в город, если его скорость 6 км/час?
Решение:
- 1) 30 : 6 = 5
- Ответ: 5 часов.
Задача 8
Какое расстояние пролетит комар за 19 секунд, если его скорость 4 метра в секунду?
Решение:
- 1) 4 * 19 = 76
- Ответ: 76 метров.
Задача 9
Ворона пролетела 150 м со скоростью 10 метров в секунду. Сколько времени она потратила на полет
Решение:
- 1) 150 : 10 = 10
- Ответ: 15 секунд.
Задача 10
Скорый поезд проезжает за 5 часов расстояние в 450 километров. С какой скоростью движется поезд?
Решение:
- 1) 450 : 5 = 90
- Ответ: 90 километров в час.
Задача 11
Велосипедист проехал с одинаковой скоростью 70 км за 5 часов. Какова скорость велосипедиста?
Решение:
- 70 : 5 = 14
- Ответ: 14 километров в час.
Задача 12
Рыбаки прошли на лодке 12 километров со скоростью 12 км/час. Какое расстояние они преодолели?
Решение:
- 1) 12 * 5 = 60
- Ответ: 60 километров.
mat-zadachi.ru
Задачи по математике: смешные и страшные, безумные и непонятные….
Поводом для написания этого поста было желание поделиться с вами мнением об учебной программе по математике «г-жи» Петерсон. Начиная с 1-го класса, и вот уже в 4-м, читая учебник ребенка, я не могу понять, как это вообще могло попасть в школы. Но почитав отзывы других людей, мнения специалистов и других родителей, я понял, что не все так просто…. Так что необходимо время, чтобы адекватно и всесторонне «озвучить» данную тему. Попутно, собирая информацию, я наткнулся на множество примеров того, чего не должно быть в учебниках (задачниках и т.д.), но, увы, есть. Встречаются просто опечатки, курьезы, а можно найти и то, от чего «волосы встают дыбом». Не буду заниматься сортировкой, а просто дам вам возможность оценить всё самим… Начали:
1. Что это за велосипедисты со скоростью несущегося автомобиля?
2. «Веселая» задача 21, да? Интересно, у составителя свои дети есть?
3. Читаю и одуреваю
4. Задача для дальтоников или?
5. Приучают детей к порошку?
6. А почему не задан вопрос: «Сколько сотрудников МЧС искали потерявшихся девочек»?
7. Спасибо конечно за «великий и могучий русский» — это патриотично, но ЗАЧЕМ считать ругательства? Больше нечего?
8. Съесть 2 пачки соли на обед, рыбы на ветках — всё еще ничего, но отмеченные кружком…. 🙂 В чем вопрос или как это решить?
9. Писал если и красивый(-ая), то явно не умный(-ая)
10. Комментарии излишни
11. Так Сережа или Миша?
12. А действительно, что (кто) получилось? Приучаем детей к мутантам?
13. Пропаганда иностранной рабочей силы?
14. Чем проще, тем лучше?
15. Ну не идиоты — составители? Решить можно, но зачем такие задачи????
16. У кого-то дальтонизм или проблемы другого характера?
17. Ну кто-то же должен проверять то, что печатают…
18. «Реализм» задач поражает
19. Задача из лихих 90-х?
20. А точно они не смогли ее напугать? Мне и то жутковато
21. «Доигрались» все. Особенно те, кто придумал задачу
22. Так одинаковое или разное?
23. А кто укусил автора задачи и сколько раз?
24. Что-то не то фермер собирал…, явно 🙂
25. Каковы исходные данные для определение возраста Ослика?
26. А за тетрадь явно забыли заплатить вообще
27. Под номерами 1 и 4 — просто шедевры 🙂 Да и в №3 так и не определились, собирают помидоры или огурцы
Продолжать можно долго, но думаю, что и так хватит для того, чтобы понять «высочайший» уровень учебного материала по математике
fortels.livejournal.com
Рекомендации репетитора по поиску решений математических задач
Если вы хотите научиться решать сложные или даже не очень сложные задачи по математике, то кроме знаний различных теорем, определений, алгоритмов и свойств необходимо выработать четкую стратегию работы над задачами. Репетитор по математике — не сервис по ремонту автомобилей, в работе которого вы никакого участия не принимаете. Ваши знания — это результат в первую очередь вашего труда, который надо уметь организовывать. В этом процессе репетитор может выступить только как советчик, проводник и опытный наставник. Прислушайтесь к его советам, и вы получите «на выходе» результат, о котором, возможно, даже и не мечтали.
Как научиться решать задачи? Советы репетитора по математике
1) Прочитайте задачу несколько раз. Сделайте столько подходов к тексту, сколько требуется для полного запоминания его содержания. Ваша мыслительная деятельность будет значительно более продуктивной, если из нее исключить учебник, на который приходится постоянно переключать внимание.
2) Старайтесь представлять данные условия (особенно с длинным текстом) схемами, табличками, рисунками или любыми понятными вам формами краткой записи (предварительной модели). Рисунок должен быть максимально аккуратным, компактным и информативным.
3) Постарайтесь сравнить задачу с какой-нибудь из стандартных. Для этого просмотрите ваши прошлые записи, сделанные с репетитором. В планы урока репетитор по математике обычно включает разбор нескольких важных базовых номеров, на которых строятся остальные задания. Если в одном из них вы узнали свою задачу — примените к ней известное общее правило. Если полного сходства нет, то попробуйте позаимствовать принцип составления алгоритма и применить его в новой ситуации. Любые соответствия между условиями задач могут подсказать вам план действий.
4) Если вам кажется, что задача ни капли не похожа на стандартную, попытайтесь разбить ее на более мелкие части и оценить каждую из них. Эти подзадачи, решенные в определенном порядке, часто составляют тело комбинированной составной задачи. Это может быть ваш случай.
5) Не бросайте решение даже после нескольких неудачных попыток справиться с заданием. Возможно, следующий подход окажется более результативным. Ваше упорство — ключ к двери знаний. К отложенной проблеме нужно обязательно вернуться еще раз. Попробуйте это сделать через пару часов, на следующий день или даже через несколько дней. Помните о том, что при многократных попытках найти решение сложной задачи (или ошибку в существующем), вы не только пробуете новые алгоритмы и теоремы, но и просматриваете использованные. Это положительно влияет на прочность заучивания материала и на формирование уверенности в знаниях.
6) Заучите или повторите теорию. Большинство проблем неумения школьника решать не только сложные математические вопросы, но и простые кроются в недостатке теоретической подготовки. Репетитор по математике часто не имеет достаточного времени на проведение с вами необходимой работы по заучиванию. Старайтесь компенсировать этот недостаток самостоятельным просмотром теоретических опорных правил.
7) Не забывайте про возможность изменить сюжет задачи. В геометрии полезно выполнить какое-нибудь дополнительное построение, а в алгебре, например, при решении олимпиадных текстовых задач на движение в 5 классе, можно «продлить» задачу, представляя себе ситуацию, когда один из участников движения не останавливается (как сказано в условии), а двигается дальше до момента остановки второго. Дополнительное построение не должно сильно усложнять рисунок. Обычно проводят одну — две линии для построения какого-нибудь вспомогательного треугольника.
8) Чаще проверяйте алгебраические выкладки и вычисления. Возможно, вам не удается решить задачу только по причине наличия арифметической ошибки.
9) При решении задач по геометрии в случае крайней необходимости не бойтесь вводить вторую переменную. Это можно сделать даже тогда, когда у вас нет условий для составления второго уравнения. Если ответ задачи не зависит от какого-нибудь параметра и этот параметр введен в решение задачи в качестве дополнительной переменной, то при составлении с ней уравнения, скорее всего, вы увидите, как этот параметр сократится.
10) Если вам не удается справиться с геометрической задачей, попробуйте изменить ее рисунок. Это следует сделать так, чтобы не затронуть параметры математических объектов из условия, их форму и свойства, числовые или логические взаимосвязи. Если при этом какой-то параметр (длина отрезка или величина угла) изменился, то, скорее всего, при имеющемся наборе данных его вообще нельзя найти. С такой задачей не справится ни школьный преподаватель, ни репетитор по математике, ни преподаватель ВУЗа. Даже самый умный математик в мире откажется вам помочь. Тогда нет смысла тратить на его поиск драгоценное время.
11) Старайтесь находить объяснения всем выводам и фактам, которые вы используете в процессе решения. Не придумывайте своих свойств, проверку истинности которых вы не производите.
12) Иногда справиться с задачей помогает ее ответ. Его особенности могут нести информацию о том, с чьей помощью этот ответ получен. Например, наличие иррационального числа в комплекте с целыми значениями условия геометрической задачи, укажет на поиск нелинейного уравнения или на вычисление , Если вы знаете чему равен, например, , то наличие его в ответе и угла в условии помогут догадаться использовать биссектрису угла. Наличие в записи ответа тригонометрического уравнения (с синусами и косинусами) обратной тригонометрической функции , подскажет замену и прием деления обеих частей на .
13) Решение нестандартных задач есть великое искусство, которым можно овладеть только при полной самоотдаче, любви к предмету, мотивации и глубоком погружении в предмет. Если оценивать влияние занятий с репетитором по математике на формирование умения нестандартно мыслить, то гораздо большее значение здесь будут играть ваши собственные стремления к познанию и к тренировке мышления. Гениями не рождаются, ими становятся. Безусловно, способности закладывается с рождения, но если их не развивать, то потенциальный гений так и умрет, не проявив своей гениальности.
14) Проявляйте творческую активность и изобретательность. Репетитор по математике может только направлять вас в тут или иную сторону, вооружая знаниями и подсказками общего порядка. Каждая конкретная задача может быть в своем роде уникальной и неповторимой. Такие задачи, как правило, рассчитаны на ученика, сочетающего в себе мощную теоретической подготовку с практикой решения задач, умноженной на математическую интуицию, видение и смекалку.
Постоянно совершенствуйте мастерство решать задачи, думайте, ищите, ошибайтесь, исправляйте промахи, пробуйте и упорствуйте. При такой целеустремленности и заряженности вам и репетитор по математике не понадобиться.
Успехов в побед в вашем нелегком труде!
Александр Николаевич Колпаков, репетитор по математике в Москве.
Профессиональный репетитор и методист в Строгино.
Метки: Ученикам
ankolpakov.ru
Математические задачи в стихах | Социальная сеть работников образования
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №7»
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СТИХАХ
Автор Голубева Елена, 8 «А»
Руководитель Михалина Е.А.,
учитель математики
Реутов – 2009
Содержание
Введение 3
1. Математическая задача как предмет исследования 4
2. Классификация занимательных задач 5
3. История развития занимательной математики и увеличения знаний о ней 7
3.1. Вавилон и Древняя Греция. Диофант и его вычисления 7
3.2. Древняя Индия. Ал-Хорезми 9
3.3. Франсуа Виет 11
Заключение 13
Список используемой литературы 14
Приложение 15
Предмет «математика» настолько серьезен,
что полезно не упускать возможности
сделать его более занимательным.
Блез Паскаль [1].
Математические задачи интересного содержания и нестандартного решения встречаются на каждой математической олимпиаде, будь то школьная, городская или даже международная. Я участвовала во многих математических олимпиадах, и на каждой из них были различные задачи, но все очень и интересные и сложные. Такие задачи в школьных учебниках математики встречаются редко, и они всегда очень интересны, несмотря на то, что решать их трудно. Они совершенно разные по содержанию и по форме, но при решении необходимы определенные знания. Такие задачи не только интересней по содержанию, но они и лучше запоминаются, тренируют память и логическое мышление, провоцируют лучшее усвоение проходимого учебного материала.
Интерес к подобным задачам перерос в стремление узнать о них чуть больше, понять, когда начало зарождаться целое искусство создания занимательных задач в стихах. Это стремление побудило меня к написанию этой работы.
Объектом исследования стали занимательные математические задачи на составление математических уравнений и систем уравнений.
Цели работы — углубление знаний о занимательных задачах в стихах на составление математических уравнений и систем уравнений, развитие логического мышления и тренировка памяти посредством решения задач.
Задачи исследования:
- изучение научных и литературных источников;
- поиск и решение занимательных задач в стихах;
- составление своей задачи в стихах на составление системы уравнений второй степени;
- анализ и обобщение полученной информации.
Актуальность:
Задачи, которые были исследованы в ходе написания работы, могут быть использованы на занятиях школьного кружка по занимательной математике, в качестве дополнительного материала к урокам и для проведения олимпиад различных уровней сложности. Все они могут заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.
Составлять задачи в стихах достаточно сложно, именно поэтому занимательных задач, представленных в стихотворном виде, не очень много. В древние времена это делали в те периоды, когда математика считалась «высоким искусством» и изучалась знатными людьми. В наше время стихи на математические темы сочиняются в основном для развития интереса к этой науке у школьников и для различных олимпиад.
Математическая задача — это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.
Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).
В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.
Требования задачи — это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найти площадь треугольника» или «Чему равна площадь прямоугольника?»).
Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или всё условие включено в одно предложение с требованием задачи.
В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.
Рассматривая задачу, в ней можно выделить следующие составные элементы:
1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.
2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.
3. Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.
К занимательной математике (математическим развлечениям) относят разнообразные головоломки, игры, фокусы и прочие увлекательные задачи, связанные с математикой и требующие для решения находчивости, смекалки и оригинальности мышления.
Занимательность традиционных математических развлечений сразу бросается в глаза. Однако занимательность в широком смысле означает способность занять внимание и воображение. Обычно «занимательное» понимается как увлекательное, интересное, притягивающее к себе. Это происходит прежде всего благодаря необычности, нетрадиционности сюжета, когда в качестве исходных данных и ситуаций используются вымышленные или реальные персонажи, определенными средствами достигающие заданной цели.
В переводе с латинского языка слово «интерес» (interest) означает «имеет значение, важно».
В толковом словаре русского языка Ушакова [2] слово «интерес» определяется:
ИНТЕРЕ’С, а, м. [от латин. interest — имеет значение].
1. только ед. Внимание, возбуждаемое по отношению к кому-чему-н. значительному, важному, полезному или кажущемуся таким. 2. Предмет, тема, приковывающая, возбуждающая внимание (книжн.)
В словаре русского языка С.И. Ожегова мы можем встретить следующее определение слова «занимательный»: способный занять внимание, воображение, интересный. В другом словаре русского языка под редакцией А.П. Евгеньева под «занимательным» понимают возбуждающий, вызывающий интерес, внимание; увлекательный [3].
Познавательный интерес – является самым значительным свойством человека: познавать окружающий мир в стремлении проникать в его многообразие, закономерности. Занимательные задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Не зря люди передавали эти задачи устно и письменно из поколения в поколение.
Занимательные задачи – нестандартные математические задачи, обычно с сюжетом, отличающиеся от обычных задач оригинальным построением условия и методом решения и вызывающие у человека, решающего их, интерес. Немногочисленность занимательных математических задач относительна. Их во много раз меньше стандартных задач школьной программы, однако, если целенаправленно искать их в книгах, то можно найти огромное их количество.
Изучая историю математики можно заметить, что есть задачи, которые с древних времен и до наших дней не потеряли популярности. И даже в наши дни они присутствуют во многих сборниках занимательных задач. И многие авторы используют древние методы их составления (например, представляют задачи в стихах).
Существуют различные классификации задач, например, по способу подачи информации (текстовые, графические, задачи-рисунки), по способу решения (арифметические, алгебраические, геометрические, графические), по содержанию (количественные и качественные) и т.д.
Ещё, некоторыми авторами выделяются: стандартные прикладные задачи, нестандартные прикладные задачи, нестандартные задачи, не являющиеся прикладными, и материалы, вообще не являющиеся задачами. При этом «нестандартные» дополнительно можно разделить в зависимости от нестандартной формы, способа решения и особенностей.
В литературе можно встретить огромное количество классификаций «занимательных задач». Деятели математики предлагали различные классификации, сильно отличающие друг от друга. В разное время свои классификации предлагали: Г. Ленгауэр, М. Гарднер, Б.Л. Кордемский и др.
Например, Б.Л. Кордемский, большой специалист в области занимательных задач, выделяет две категории задач данного типа:
- задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности — типа задач математических олимпиад;
- задачи типа математических развлечений. Эти задачи прямого отношения к школьной программе не имеют и, как правило, не предполагают хорошей математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени сложности и, прежде всего, упражнения развивающие математическую инициативу.
Вторую категорию заданий Б.Л. Кордемский классифицировал по двум принципам: предметному (по связям задач с тем или иным предметом школьного курса математики) и операционно-тематическому (по сюжетам в сочетании с группами однородных операций — действий, применяемых для решения задач, объединенных темой). Из задач, попадающих по его классификации под второй принцип, можно выделить следующие:
- «Затруднительные положения»
- «Геометрия на спичках»
- «Семь раз примерь, один раз отрежь»
- «Умение везде найдет применение»
- «С алгеброй и без нее»
- «Математика почти без вычислений»
Несмотря на то, что в литературе можно встретить огромное количество классификаций «занимательных задач», в своей работе мы будем придерживаться классификации, предложенной И.Ф. Шарыгиным и А.В. Шевкиным. Авторами предлагаются следующие виды:
1. задачи, связанные с числами:
1.1. числовые выражения;
1.2. числовые ребусы;
1.3. другие задания;
2. задачи на «четность»;
3. задачи на «переливания»;
4. задачи на «взвешивания»;
5. логические задачи;
6. задачи — «шутки»;
7. задачи на «худший случай»; принцип Дирихле;
8. геометрия на плоскости;
9. геометрия в пространстве;
10. математическая смесь [4].
Таким образом, проанализировав методико-математическую литературу по данной проблеме, можно сделать вывод, что не существует четкого определения понятия «занимательные задачи». Но, несмотря на это, существует большое количество классификаций занимательных задач.
Рассмотрев найденные классификации занимательных задач, я не могла не выделить среди задач в стихах несколько групп по способу их решения:
- Шутливые задачи – не требуют вычислений для их решения, достаточно лишь внимательно прочитать или прослушать условие, и ответ станет очевидным. Но все же мне интересны более сложные задачи. И я постаралась найти несколько примеров таких задач (см. приложение).
- Задачи на составление уравнения – для их решения требуется составить уравнение.
- Задачи на составление систем уравнений первой степени – задачи, для решения которых нужно составить систему простых уравнений.
- Задача на составление системы уравнений второй степени – на мой взгляд, самые сложные. Для их решения требуется составить систему уравнений второй степени, т.е. систему квадратных уравнений. Они, как мне кажется, более всего подходят для учеников восьмого класса по сложности. Но таких задач крайне мало, ведь составлять их очень сложно да и в восьмом классе их не решают. Вдохновившись более простыми задачами, я попробовала составить такую сама (см. приложение).
При решении задачи главное — осмысление содержания задачи, способность выразить его на языке алгебры. Проще говоря, записать условие задачи посредством символов — математических знаков.
3.1. Вавилон и Древняя Греция. Диофант и его вычисления
Изучая историю математики и решая занимательные математические задачи, я заинтересовалась историей квадратных уравнений. Оказывается, такие уравнения были известны ещё в древности, хотя, современных обозначений и терминов древние ученые, конечно не знали. Не знали они и отрицательных чисел. С необходимости вычисления квадратов, введения неизвестного переменного числа начиналась наука алгебра.
Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана практической жизнью. Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Так наряду с задачей вычисления площади квадрата сторона которого равна a известна, ставилась обратная задача: какую длину a должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась b. Эти задачи были связаны с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера и развитием астрономии и математики.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в клинописных текстах встречаются квадратные уравнения:
x2 + x = ¾, x2 – x =14 ½
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до нахождения правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенные в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Вавилонская табличка с вычислением = 1.41421296.
О Диофанте известно очень мало. Есть основание полагать, что он жил около III в. н.э. Одна группа уравнений, так называемые неопределенные уравнения, до сих пор называются диофантовыми уравнениями. Именно для них он нашел способ решения.
Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задача в стихах:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его
прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
При решении этой задачи путем составления можно получить значение, которое показывает, сколько прожил Диофант.
В первой книге своего сочинения Диофант рассматривает задачи, приводящиеся к определенным уравнениям вида ах=b или ах2=b, имеющим только одно положительное рациональное решение. Здесь же он впервые в истории науки пытается разработать систему символов, в том числе следующие:
Применялись Диофантом и другие символы для сокращения записи. В настоящее время считается общепризнанным, что Диофант был первым ученым, предпринявшим попытку создания буквенной символики.
Большинство из 189 задач шести книг «Арифметики» Диофанта посвящено решению неопределенных уравнений и их систем, например:
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.. Диофант сумел возродить и развить числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки.
У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной, квадрата, куба, четвертой, пятой и шестой степеней, а также первых шести отрицательных степеней. Однако Диофант, видимо, не нашел в этом деле последователей ни в его эпоху, ни много позднее. Лишь с конца XV века в Европе началась интенсивная разработка алгебраической символики, а завершение создания буквенного исчисления произошло только в конце XVI — начале XVII века в трудах Виета и Декарта».
3.2. Древняя Индия. Ал-Хорезми
Широко известны математики древней Индии Ариабхата (V в.), Брахмагупта (VII в.) и Бхаскара (XII в), который написал книгу под названием «Лилавати», то есть «Прекрасная» (наука арифметика).
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче уравнение:
Или ( х/8)2 +12 = х
Бхаскара пишет под видом х2 – 64х = -768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая: х2-64х+322 = -768+1024,
(х-32)2=256,
х-32=±16,
х1 = -16, х2 =48
Вот ещё одна из древнеиндийских задач (математика Сриддхары XI в.):
«Есть кадамба цветок,
на один лепесток
пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда
И на ней третья часть поместилась.
Разность ты их найди,
Её трижды сложи
И тех пчел на Кутай посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось»
Особую роль в истории развития алгебры в первой половине IX века сыграл трактат Ал-Хорезми на арабском языке под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). Позднее при переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени «аль-джебр» сократили до «алгебры».
В трактате решение уравнений рассматривается уже не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики. Арабский математик показывает, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Ал-Хорезми назвал неизвестное «корнем». При решении различных видов уравнений Ал-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую, называя это восстановлением. Вычитание равных членов из обеих частей уравнения при этом он называет противопоставление (валь мукабала).
В рукописях Ал-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т. е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом Ал-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.
Ал-Хорезми выделил алгебраический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд Ал-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным.
Алгебраический трактат Ал-Хорезми известен под заглавием: «Краткая книга восполнения и противопоставления» (по-арабски: «Китаб мухтасар ал-джабр ва-л-мукабала»). Трактат состоит из двух частей — теоретической и практической. В первой из них излагается теория линейных и квадратных уравнений, а также затрагиваются некоторые вопросы геометрии. Во второй части алгебраические методы применены к решению конкретных хозяйственно-бытовых, торговых и юридических задач.
Ал-Хорезми показывает, какие числа применяются в алгебре. Если арифметика оперирует с обычными числами, которые «составляются из единиц», то в алгебре фигурируют числа особого вида — неизвестная величина, ее квадрат (в современных обозначениях х и х2) и свободный член уравнения.
Неизвестную величину Ал-Хорезми называет термином «корень» (джизр) и дает следующее определение: «Корень — это всякая вещь, умножаемая на себя, будь то число, равное или большее единицы, или дробь, меньшая ее». Такое определение, не совсем понятное современному читателю, связано с тем, что при решении уравнений всегда искали не только х, но и х2. Поэтому неизвестная рассматривалась как корень из квадрата неизвестной. В определении подчеркивается также, что неизвестная может принимать как целые, так и дробные значения. Термин «корень», применяемый Ал-Хорезми, является, по всей вероятности, переводом санскритского слова «мула» («корень растения»), которым обозначали неизвестную в уравнении индийские математики. Позднее в арабской литературе для той же цели применяли термин «вещь» («шай»).
Квадрат неизвестной назван словом «имущество» («мал») и определяется как «то, что получается из корня при его умножении на себя». Свободный член уравнения -— «простое число» — Ал-Хорезми называет «дирхемом», т.е. денежной единицей.
Ал-Хорезми выделяет следующие шесть видов уравнений :
1) «квадраты равны корням», что в современной записи
означает ах2 = bх;
2) «квадраты равны числу», т.е. ах2 = с’,
3) «корни равны числу», т.е. ах = с;
4) «квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bх — с;
5) «квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх;
6) «корни и числа равны квадрату», т.е. bх + с = ах2.
Для каждого из этих видов даются примеры:
Для того чтобы данное уравнение привести к одному из указанных типов, ал-Хорезми вводит два особых действия, названия которых фигурируют в заглавии книги. Первое из них — это ал-джабр (восполнение). Оно состоит в перенесении отрицательного члена из одной части уравнения в другую. Именно от этого термина возникло современное слово «алгебра».
Второе действие — ал-мукабала (противопоставление) — состоит в сокращении равных членов в обеих частях уравнения [1].
3.3. Франсуа Виет
Диофант, как уже говорилось, дал понятие об алгебраическом уравнении, записанном символами, однако очень далекими от современных. Первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины Франсуа Виет. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона [5].
Ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».
Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене:
«Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой… скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства…»
Виет показал, что, оперируя символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.
Символика Виета позволила и решать конкретные задачи, и находить общие закономерности, полностью обосновывая их. Таким образом, алгебра выделались в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии.
Итак, занимательные математические задачи – это особая группа задач, развивающая логику, память, вызывающая интерес у школьников. В 8 классе общеобразовательных учреждений всегда проходят решение квадратных уравнений, а решение простых уравнений до этого идет с начальной школы.
Составлением задач на решение уравнений занимались многие математики прошлого, такие, как Диофант, Ал-Хорезми и др. Общепринятое использование алгебраических знаков и латинского алфавита в математике началось с работ Франсуа Виета, посвятившего этому огромное количество времени.
Выводы:
- в ходе исследования я изучила историю развития алгебры и решения уравнений;
- нашла большое количество задач в стихах различной сложности и тематики;
- составила свою задачу в стихах;
- проанализировала найденный материал и выделила самые главные аспекты.
Задачи, которые были исследованы в ходе написания работы, могут быть использованы на занятиях школьного кружка по занимательной математике, в качестве дополнительного материала к урокам и для проведения олимпиад различных уровней сложности. Все они могут заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.
- Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004.
- Толковый словарь русского языка. Под ред. Д.Н.Ушакова – М., 1935-1940.
- Ожегов С.И. Словарь русского языка. Под ред. Н.Ю. Шведовой. – М., Издательство «Советская энциклопедия», 1973.
- Нагибин С.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; под ред. Телявского С.А. Алгебра: Учебник для 8 кл. средней школы. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1994.
- Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. Задачи по математике. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.
- Клиниченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1992.
- Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Сборник задач по математике: Учебное пособие. – М.: Издательство МЭИ, 2000.
Совы
22 совы скучали
На больших сухих суках.
22 совы мечтали
О семи больших мышах,
О мышах довольно юрких,
В аккуратных серых шкурках.
Ответ: 22 совы [1].
Данная задача была сочинена автором для того, чтобы легче было запомнить приблизительную запись числа π в обыкновенной дроби, равную 22/7. Это отношение прослеживается в условии задачи.
Однако решением к данной задаче является отнюдь не дробь. Стоит еще раз перечитать условие, как сразу становится понятным, что сов всего 22, а строки о мышах приведены для того, чтобы запутать решающего.
Задача про хвосты
По тропинке вдоль кустов
Шли 11 хвостов.
Сосчитать я так же смог,
Что шагало 30 ног.
Это вместе шли куда-то
Петухи и поросята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было петухов?
И узнать я был бы рад,
Сколько было поросят?
Ты сумел найти ответ?
До свиданья, вам привет.
Решение:
1) Пусть x поросят, (11 – x) петухов. Тогда:
4 x + 2 (11 – x) = 30
4 x + 22 – 2 x = 30
2 x = 30 – 22
2 x = 8
x = 8 : 2
x = 4 (пор.)
Пр. 4 * 4 + 2 (11 – 4) = 30
16 + 22 – 8 = 30
30 = 30
2) 11 – 4 = 7 (пет.)
Ответ: 4 поросенка, 7 петухов.
Фонтаны
Четыре фонтана струями играли –
Неспешно о силе своей рассуждали:
«Тот пруд, что работники роют вдали,
За сколько бы дней мы заполнить смогли?»
Фонтан первый вымолвил: «Что до меня,
Четыре мне всего достало бы дня».
«Мне – три», «Мне – лишь два», «ну а мне одного», —
Тотчас отвечали коллеги его.
«А если всем вместе нам пруд наполнять,
Как долго придется ночами не спать?»
Смеркалось, защелкал в саду соловей,
Вторгаясь в шум струй неумолчный друзей.
Решение:
Все фонтаны, работая вместе, заполнят пруд за x дней. Каждый из фонтанов заполнит за день соответственно 1/4, 1/3, 1/2 часть пруда либо весь пруд. Тогда:
1 1 1
(1 + + + ) x = 1
2 3 4
25
x = 1
12
12
x = .
25
12
Ответ: за дня [1].
25
Задача про груши
Если Грушам дать по груше,
То одна в избытке груша,
Если дать по паре груш,
То не хватит пары груш.
Сколько Груш и сколько груш?
Решение: Пусть x – все девочки, y – груши
. Тогда:
2x = y + 2
x = y – 1
2 * (y – 1) = y + 2
x = y – 1
2y – 2 = y + 2
x = y – 1
y = 4
x = 4 – 1
y = 4
x = 3
y = 4
x = 3
y = 4 Ответ: 3 девочки, 4 груши [6], [7].
Лошадь и мул
Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,
Их хозяин поклажей большой нагрузил,
Долго-долго тащились дорогой знакомой,
Из последних уже выбиваясь сил.
«Тяжело мне идти!» — лошадь громко стенала.
Мул с иронией молвил (нес он тоже немало):
«Неужели, скажи, я похож на осла?
Может, я и осел, но вполне понимаю:
Моя ноша значительно больше твоей.
Вот представь: я мешок у тебя забираю,
И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.
А вот если тебе мой мешок перебросить,
Одинаковый груз наши спины б согнул».
Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?
Сколько нес на спине умный маленький мул?
Решение: Пусть x – поклажа, которую несла лошадь; y – поклажа, которую нес мул. Тогда:
y + 1 = 2 (x – 1) y + 1 = 2 x – 2 x + 2 + 1 = 2 x – 2
y – 1 = x + 1 y = x + 2 x = 5, тогда y = 7.
Ответ: лошадь несла 5 мешков, мул – семь [1], [8].
Галки и палки
Прилетели галки, сели на палки,
Если на каждой палке
Сядет по одной галке,
То для одной галки
Не хватит палки.
Если же на каждой палке
Сядет по две галки,
То одна из палок
Будет без галок.
Сколько было галок?
Сколько было палок?
Решение: Пусть x – число палок, y – число галок. Тогда:
y = x+ 1
y = x + 1
y + 2 = 2 x
y = x + 1
x + 1 + 2 = 2 x
x = 3
y = 4.
Ответ: 3 палки и 4 галки.
В кино
Недавно были мы в кино
И фильм отличный посмотрели.
На этот фильм сходить давно
С друзьями очень мы хотели.
В начале было нас немного.
Мы обзвонили всех подряд.
В кино пошли всего в итоге:
В квадрате мы и чей-то брат.
Но чтобы нам в кино сходить
Билеты надо бы купить…
Нам говорят: билеты есть.
Но вместе сядут только шесть.
Есть пятый ряд – 6 мест подряд,
А остальных – на третий ряд.
Мы согласились: фильм классный,
Не возвращаться же назад!
Так сколько было нас всего?
Узнайте также (заодно)
То, сколько было нас вначале
И как же мы расселись в зале?
Ещё подсказка вам нужна
Чтоб вычислить число ребят,
Которые, купив попкорна,
Спешили сесть на третий ряд:
Вам надо вычесть единицу
Из первоначального числа
И это возвести в квадрат.
Решение:
1) Пусть x – кол-во ребят пошедших в кино
вначале, y – ребята, которые сели на 3-ий ряд. Тогда:
x2 + 1 = 6 + y x2 + 1 = 6 + (x – 1)2
y = (x – 1)2 y = (x – 1)2
x2 + 1 = 6 + x2 – 2x + 1 2x = 6
y = (x – 1)2 y = (x – 1)2
x = 3 x = 3
y = (3 – 1)2 y = 4
2) 4 + 6 = 10 (реб.) – всего детей.
Ответ: Всего в кино пошли 10 ребят.
Эту задачу придумала автор работы.
nsportal.ru