Решение неравенств методом интервалов
Разделы: Математика, Внеклассная работа
Цели:
- Обобщить использование метода интервалов для решения неравенств,
- Показать широкие возможности этого метода для решения неравенств, содержащих переменные под знаком log, , и тригонометрические функции.
Мы будем рассматривать неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций.
Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей.
Рис.1
Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при переходе через нуль функции, причём справа от нуля знак функции совпадает со знаком углового коэффициента.
Квадратный трёхчлен с D>0 при переходе через каждый нуль функции меняет свой знак, причём правее большего корня знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента. [1]
Эти соображения приводят к следующей схеме решения неравенства:
Пример 1:[1]
- Найдём нули числителя: , , .
- Найдём нули знаменателя: .
- Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:
Рис. 3
На самом правом из них знак каждого сомножителя совпадает со знаком его старшего коэффициента:
Следовательно, дробь на этом промежутке тоже отрицательна.
- При переходе через каждый из отмеченных нулей, один и только один из сомножителей меняет знак, и поэтому каждый раз меняется знак дроби. Учитывая это, расставляем в интервалах знаки (как показано на Рис.3).
- Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна.
- Записываем ответ: .
В рассмотренном примере 1, знаки в промежутках знакопостоянства функции чередуются. Однако делать обобщение, что так будет происходить всегда, разумеется, не следует.
Пример 2:
- нули числителя:
-2 – нуль второй кратности
- нули знаменателя:
- наносим найденные нули на числовую ось, т.к. неравенство не строгое, то нули числителя изображаем заштрихованными точками, а нуль знаменателя мы выкалываем, т.к. это число не входит в область определения неравенства:
Рис.4
Обозначим нуль второй кратности галочкой, чтобы не забыть. Т.к. числитель всегда принимает положительные значения, то на правом крайнем промежутке знак будет зависеть от знака старшего коэффициента знаменателя, т.е. «+». Левее «1» знаменатель будет отрицательным, а числитель положительным, поэтому при переходе через число -2 знак не меняется:
Рис.5
Это поможет понять следующая геометрическая картинка (Рис.6):
Рис.6
- Для записи ответа выбираем промежуток, где стоит знак «+» и заштрихованную точку , при которой дробь обращается в нуль.
Ответ:
Вывод: при переходе через нуль чётной кратности, знак не меняется.
Решить по вариантам, с последующим обсуждением у доски.
I вариант
Пример 3:
- нули числителя:
;
- нули знаменателя:
;
— нуль второй кратности
Рис.7
Ответ:
II вариант
Пример 4:
- нули числителя:
— нуль второй кратности - нули знаменателя:
;
— нуль третьей кратности
Рис.8
Ответ:
Применение метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.
Универсальность метода основана на достаточно наглядном свойстве непрерывных функций: «Если на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».
Пример 5: [1] ,
Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всей оси, а на области определения логарифмической функции, т.е. на промежутке (*):
- нули числителя:
; — не входит в (*) - нули знаменателя:
;
Рис. 9
- на самом правом промежутке
, ,
Следовательно на этом промежутке левая часть неравенства отрицательна
- при переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках.
Ответ: .
Пример 6:
- нули числителя:
корней нет - нули знаменателя:
- решение изображаем на рис. 10:
Рис.10
Квадратный трёхчлен в числителе не имеет корней и не меняет свой знак. Его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, т.е. «+».
Ответ:.
Пример 7: ОДЗ:
Приведём неравенство к такому виду, чтобы в правой части был «0»:
- нули числителя:
;;;
- нули знаменателя:
- решение изображаем на рис. 11:
Рис.11
Ответ:.
Пример 8:
ОДЗ:
Рис.12
- нули числителя:
- нули знаменателя:
, но ОДЗ удовлетворяет только
- решение изображаем на рис. 13:
Рис.13
Ответ:.
Задание на дом: (Решение предоставлено в Приложении1)
- Ответ:.
- Ответ:.
- Ответ:.
- Ответ: .
- Ответ:.
Задания для факультативный занятий предоставлены в Приложении2.
Вывод: Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, а так же их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в своей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять при решении практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения.
Список литературы:
[1] «Метод интервалов» //Журнал «Квант» No12, 1985 г.
11.08.2009
Поделиться страницей:xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Онлайн-урок №9 «Метод интервалов при решении неравенств. Уравнения и неравенства с модулем.»
Линейные неравенства
Символическая запись, в которой два числа или выражения, содержащие переменные, связаны знаком «больше» (>) или «меньше» (<), называется неравенством. Наряду со строгими неравенствами (а>b) рассматривают и нестрогие неравенства: а≥b.
Свойства неравенств:
1. Если a>b и b>с, то a>с.
2. Если a>b, то a+с>b+с, с – любое число.
3. Если a>b и с>d, то a+с>b+d. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
5. Если a>b ,с<d, то a-с>b-d. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак первого неравенства.
Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения, то есть значения переменной, при которых неравенство истинно, или доказать, что их нет.
Правила решения неравенств:
1) Любое слагаемое неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Системы и совокупности линейных неравенств
Если неравенства объединены в систему, то решением системы будут те значения переменных, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам. Решение системы соответствует пересечению решений всех неравенств.
Если неравенства объединены в совокупность, то решением ее будут те значения переменных, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств совокупности. Решение совокупности соответствует объединению решений всех неравенств.
Квадратичные неравенства
Неравенства вида >(<;≥;≤)0 называются квадратичными. Здесь a,b,c – любые действительные числа, a≠0. Есть несколько случаев решения квадратичных неравенств:
1) ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена отрицательны, вне интервала корней – положительны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;
2) ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;
3) ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента;
4) ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена положительны, вне интервала корней – отрицательны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;
5) ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;
6) ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента.
Решение рациональных неравенств методом интервалов
Пример: ≥0
Решение: При решении примера будет сформулирован общий алгоритм решения неравенств методом интервалов. Он относится и к неравенствам с многочленами и к рациональным неравенствам. Чтобы пользоваться указанным алгоритмом, неравенство изначально следует привести к виду, когда по одну сторону некое выражение, а по другую ноль.
1. Найти нули функции:
2. Определить ОДЗ:
3. Разбить область значений аргумента на интервалы нулями функции и точками разрыва ОДЗ. Точки, которые будут входить в решение неравенства обозначаются закрашенными, а которые не будут входить – выколотыми.
Точки расставляют по следующему принципу:
– закрашенные точки ставятся для нулей функции, если неравенство нестрогое;
– выколотые точки ставятся для нулей функции, если неравенство было строгое, и для точек разрыва ОДЗ функции.
В нашем случае мы поставим на оси координат выколотые точки для x=-0,4 и x=1, а закрашенные для x=1,5 и x=-3.
4. Определить знак функции на каждом интервале.
Для определения знаков есть два способа:
– брать на каждом интервале пробную точку, подставлять ее в функцию и определять знак – такой знак функция будет сохранять на всем интервале;
– с помощью пробной точки определить знак на крайнем правом интервале, а далее чередовать знаки при переходе через точки нулей функции и разрывов ОДЗ. Такой подход верен только при отсутствии множителей в четных степенях и модулей в неравенстве. Следует знать, что если какой-то множитель имеет четную степень, например, функция содержит множитель , то при переходе через точку x=2 знак функции сохраняется.
Для обозначения знаков промежутков удобно изображать характерную «змейку», которая рисуется над осью координат для положительных значений и под осью для отрицательных значений функции.
В нашем случае проверим, к примеру, знак функции в точке 10 для простоты расчетов: – функция на крайнем правом интервале отрицательна.
Далее на каждом из интервалов просто чередуем знаки функции, т.к. нет множителей в четных степенях и модулей.
5. Выписать в ответ объединение промежутков, которые соответствуют знаку неравенства, т.е. если в неравенстве интересуют значения больше нуля, то выписать промежутки с положительными значениями, и аналогично для других вариантов. Здесь важно помнить о том, что выколотые точки не входят в решение неравенства, а закрашенные точки входят.
Ответ: x∈[-3; -0,4)∪(1;1,5].
Неравенства с модулем
При решении модульных неравенств необходимо учитывать условия раскрывания модулей, а в остальном они решаются как обычные неравенства.
Пример: решить неравенство:.
Решение:
Ответ: x∈(-∞;1/3).
vneshkoly.com.ua
Решение неравенств методом интервалов
Рассмотрим решение неравенств методов интервалов для случаев, когда один и тот же корень в примере встречается несколько раз.
Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:
Отсюда
Корень х=2 встречается 2 раза, то есть четное число раз. Значит, в точке х=2 — «петля». Точки х=2 и х=0 — выколотые, поскольку в них знаменатель обращается в нуль. Так как неравенство нестрогое, точка х=6 — закрашенная.
Для проверки знака берем 1. Подставляя ее в последнее неравенство, получаем отрицательное число. Значит на интервале (0;2), которому принадлежит 1, ставим «-«. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку левая часть меньше либо равна нулю, в ответ записываем промежутки с «-«.
Ответ: х∈(0;2)U(2;6].
Приравниваем к нулю левую часть:
Полученные точки отмечаем на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое, точки закрашенные (кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль). Так как корень х=9 встречается четное число раз (2 раза), в нем — «петля».
Для проверки знака берем 1. Подставив ее в последнее неравенство, получаем положительное число. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Нам нужны промежутки с «+». Не забываем включить в ответ отдельно стоящую закрашенную точку.
Ответ:
Приравниваем к нулю левую часть:
Если квадратное уравнение х²-8х+16=0 решать через дискриминант, получаем D=0, а значит, корень х=4 — кратный корень второй степени. Но есть еще одно уравнение с корнем х=4. Таким образом, корень х=4 встречается три раза, то есть нечетное количество. Значит, «петли» в нем нет. (Если решать уравнение по теореме Виета, получаем х1=х2=4 и еще один корень х=4. Итого, 3 раза).
Ответ:
www.uznateshe.ru