Натуральные целые – натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные

Арабские цифры. Натуральные и целые числа. История натуральных чисел.

Натуральные числа — это положительные числа, которые используются при счете предметов. Натуральные числа существуют не одно тысячелетие, как сказал однажды знаменитый математик Кронекер: «Бог создал натуральные числа, все остальное — работа человека.»

Основные потребности повседневной жизни людей привели к введению дробных чисел, как \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{5}{4}.\)

Позже, индусы изобрели число \(0\), он показывает, что какого-то объекта нет или он не существует. В начале нового времени итальянские алгебраисты ввели отрицательные числа. Так образовались целые числа –  это натуральные, отрицательные числа и 0.

Когда математики говорят о рациональных числах — это значит целые и дробные числа.

Арабские цифры

Арабские цифры возникли в Индии не позднее V века. Мы используем арабскую десятичную систему счисления цифр:

Цифры – система знаков  для записи конкретного значения чисел, причем такие, что каждый знак в отдельности описывает определенное число. Это одно из величайших человеческих изобретений в математики. Числа формируются путем объединения цифр системы счисления по определенному механизму, то есть при помощи цифр можно записать любое число, например, число  \(6 324 354\). Самая правая цифра в числе определяется как наименее значащая цифра, а самая левая как наиболее значимая цифра. Это связано с тем, что значение места самой правой цифры является наименьшим, а левая цифра — наибольшая.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Целые числа. Определение. | tutomath

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел.

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами. А слева от нуля идут

целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

Целые числа – это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.


Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

Вопросы по теме:
Как называются числа, находящиеся в ряду целых чисел: а) справа от нуля; б) слева от нуля?
Ответ: а) натуральные числа или целые положительные числа. Оба термина несут один и тот же смысл.
б) целые отрицательные числа.

Назовите наибольшее целое число?
Ответ: ряд положительных целых чисел бесконечен, поэтому наибольшего целого числа не существует.

Какое наименьшее целое число?
Ответ: ряд отрицательных чисел бесконечен, поэтому наименьшего целого числа не существует.

Пример №1:
Сколько целых чисел расположено между числами -33 и 102?
Решение:
У нас 32 отрицательных числа, есть нуль и 101 положительных чисел.
32+1+101=134
Ответ: 134

Пример №2:
Приведите пример целого числа.
Целое число: -16523, -100, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1009, 1984.

Пример №3:
Сколько четных целых чисел расположено между числами -4 и 5?
Ответ: -2, 2, 4.

tutomath.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Арифметика

Натуральные (целые положительные) числа

      Числа

1 ,  2 ,  3 ,  …

называются натуральными или целыми положительными числами.

      Множество натуральных чисел бесконечно и обозначается символом   N.

      Число нуль, отрицательные и дробные числа не являются натуральными числами.

Целые отрицательные числа

      Числа

– 1 ,  – 2 ,  – 3 ,  …

называются целыми отрицательными числами.

      Множество целых отрицательных чисел бесконечно и обозначается символом     N .

Целые числа

      Множество целых чисел состоит из множества натуральных чисел, числа «нуль» и множества целых отрицательных чисел.

      Множество целых чисел бесконечно и обозначается символом   Z . 

Десятичная система счисления

      Системой счисления называется способ записи натуральных чисел при помощи символов, которые называются цифрами.

      В обычной практической жизни используется десятичная система счисления. В этой системе числа записываются при помощи   10   цифр (арабских цифр):

0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 ,  7 ,  8 ,  9 .

      Например, число, десятичная запись которого   361 ,   равно сумме трёх сотен, шести десятков и одной единицы:

      В данном справочнике рассматривается только десятичная система счисления.

      Задача. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна   13 .   Если от этого числа отнять   9 ,   то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

      Решение. Обозначив буквами   x   и   y   цифру десятков и цифру единиц искомого числа, соответственно, запишем это число в виде     (черта сверху поставлена для того, чтобы отличить десятичную запись числа от произведения цифр   x   и   y ).   Тогда:

      Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, имеет вид     причем

      По условию задачи неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

для решения которой преобразуем второе уравнение:

      Далее получаем:

      Теперь решим первое уравнение:

      Поскольку число   – 2   не является цифрой, то второй корень должен быть отброшен. Следовательно,

      Ответ: Искомое число равно   32.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Определяющее понятие математики – число, которое используется для количественной характеристики объектов. Наука оперирует их несколькими видами. Осознание особенностей этого понятия поможет избежать ошибок, приблизит открытие новых горизонтов познания точной науки.

Считать человек научился тогда, когда научился говорить. Первоначально это было определение количества предметов, товара. При появлении письменности придумали специальные значки – цифры. В этой стать речь пойдёт о натуральных и целых числах, как самых простых.

Натуральные числа

На заре цивилизации первобытные люди обходились понятиями

«один» и «много». Древние охотники не утруждали себя подсчётами. При возникновении товарообменных отношений назрела потребность усложнить счёт.

Во время торговли приходилось считать количество товара. Тогда появились самые простые числа. Их называют натуральными, так как возникли естественным образом при счёте. Ими описывают количество предметов или порядковый номер ряда подобных объектов. Для письменного отображения этих величин используют специальные знаки, которые называют цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Пример записи: двести тридцать один – 231.

Самая маленькая величина – единица (1), самой большой нет. Если возьмём самое большое, на наш взгляд, значение, к нему всегда можно добавить ещё 1, получить большее, и так до бесконечности.

При их расположении последовательно в порядке возрастания получаем числовой ряд. Каждый следующий элемент ряда увеличивается на 1 по отношению к предыдущему. Этот массив элементов обозначают

N={1, 2, 3, …n, …}. Сюда не входит ноль, он применяется только для описания многозначных величин.

Если выражение содержит только один значок, то оно называется однозначным. Например: 1, 3, 7. Если запись имеет больше одной цифры, то она многозначная. К примеру, числа: 15, 23, 78 – двузначные, 125, 561, 938 – трёхзначные, 2589, 1596, 3564 – четырёхзначные. Математика использует десятичную систему исчисления. При записи каждому значку соответствует своё определённое значение в зависимости от расположения. Например, 286:

  • Последняя шесть означает 6 единиц.
  • Предпоследняя восемь – 8десятков.
  • Первая двойка – 2 сотни.

В этой записи две сотни, восемь десятков и шесть единиц.

С ними производят математические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в степень и извлечение корня. Но только при умножении и сложении получают натуральные числа. Если выполнять другие действия, то получим целую или дробную величину.

Целые числа

У этого понятия определение шире. Сюда входят элементы, описанные выше, а также противоположные по значению и 0. В итоге, имеем бесконечное количество натуральных (1, 2, 3, 4, …) и столько же противоположных значений.

Совокупность их с нолём называется целыми.Они бывают положительными и отрицательными. Первые подразумевают знак плюс (обычно не пишется). Примеры таких записей: 8, 15, 127, 3259.

Отрицательные целые имеют знак минус (всегда пишется): −9, −21, −832, −4785. Они появились при развитии товарообменных отношений. Так было удобно считать долги. Например, торговцу заплатили за мешок вяленой рыбы одну шкурку лисы, а надо было три, то долг составит ещё две шкурки: 1− 3 = −2.

Ноль стоит обособленно. Он не принадлежит ни к тем, ни к другим. Все что больше него – положительные, меньше – отрицательные. Множество этих элементов обозначают

Z={… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. С ними выполняют основные математические действия, нельзя только делить на ноль. Этими значениями принято описывать количественное изменение предметов или физических явлений во времени.

Общие черты понятий

  1. Оба выполняют количественную характеристику предметов или каких-то параметров.
  2. Натуральные значения входят во множество целых, то есть любое из них будет целым.
  3. Математические действия кроме деления и извлечения корня с обоими видами даёт целое.
  4. Самого большого числа для них нет – исчезает в бесконечности.

Отличия чисел

Наряду с общими признаками у этих понятий есть различия в написании, значениях и функциях.

Натуральные всегда больше ноля, целые – положительные, отрицательные и 0, поэтому не каждое целое будет натуральным.

У первых самое маленькое значение единица, у вторых его нет, оно бесконечно малое. Какую бы маленькую величину мы не придумали, от неё всегда можно отнять единицу и получить ещё меньшую и так бесконечно много раз.

Целыми легче описывать изменение количества, чем натуральными. При этом нет необходимости конкретно указывать увеличение или уменьшение численности. Само число характеризует эту перемену, а знак перед ним указывает направление. Вот примеры такого описания. Пусть в библиотеке есть некоторое количество книг. Если туда привезут еще восемьдесят, то их станет больше, а 80 выражает это изменение перечня в сторону повышения. Если же из библиотеки заберут тридцать книг, то их станет меньше, а 30 будет выражать перемену в сторону снижения. В библиотеку не будут привозить и увозить издания, то говорят о неизменности наличия литературы, то есть произошла нулевая перемена.

Этот пример показывает преобразование объёма книг с помощью целых чисел 80, −30 и 0 соответственно. Положительное 80 передаёт рост численности, отрицательное −30 выражает её понижение (отрицательная величина). Ноль показывает, что сумма предметов осталось без изменения.

Целыми хорошо описывается варьирование физических величин. При увеличении температуры на 3 градуса, это указывается значением 3. Уменьшение температуры на 10 градусов записывается как число с минусом: −10. А постоянство температуры определяется нолём.

Не каждый из нас математик, но понимание основ этой науки сыграет позитивную роль для каждого. Элементарные математические знания не раз выручат в трудной ситуации.

vchemraznica.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *