Пропорции | Формулы с примерами
Что такое пропорция?
Определение
Пропорция — это верное равенство двух отношений.
Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.
a и d — называют крайними членами пропорции;
b и c — называют средними членами пропорции.
| 3 | = | 18 | или 3 : 5 = 18 : 30; |
| 5 | 30 |
| 7 | = | 21 | или 7 : 3 = 21 : 9; |
| 3 | 9 |
| 12 | = | 48 | или 12 : 15 = 48 : 60. |
| 15 | 60 |
Основное свойство пропорции
СвойствоПроизведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
| 12 | = | 24 | , значит 12 • 8 = 4 • 24; |
| 4 | 8 |
| 11 | = | 33 | , значит 11 • 21 = 7 • 33; |
| 7 | 21 |
| 23 | = | 69 | , значит 23 • 42 = 14 • 69. |
| 14 | 42 |
Обратное свойство
Свойство Пример| 11 • 4 = 2 • 22 значит, | 11 | = | 22 | ; |
| 2 | 4 |
| 21 • 6 = 42 • 3 значит, | 21 | = | 42 | ; |
| 3 | 6 |
| 33 • 21 = 7 • 99 значит, | 33 | = | 99 | . |
| 7 | 21 |
Производные пропорции
Правило
Пример | 4 | = | 8 | или | 7 | = | 14 | или | 8 | = | 17 | или | 4 | = | 7 | ; |
| 7 | 14 | 4 | 8 | 4 | 7 | 8 | 14 |
| 5 | = | 10 | или | 6 | = | 12 | или | 10 | = | 12 | или | 5 | = | 6 | ; |
| 6 | 12 | 5 | 10 | 5 | 6 | 10 | 12 |
| 9 | = | 18 | или | 3 | = | 6 | или | 6 | = | 18 | или | 9 | = | 3 | . |
| 3 | 6 | 9 | 18 | 3 | 9 | 18 | 6 |
Правило
! По трем известным членам пропорции всегда можно найти
ее неизвестный член.
| 15 | = | x | , значит x = | 15 • 14 | = 15 • 2 = 30; |
| 7 | 14 | 7 |
| 21 | = | x | , значит x = | 21 • 9 | = 21 • 3 = 63; |
| 3 | 9 | 3 |
| 33 | = | 99 | , значит x = | 4 • 99 | = 4 • 3 = 12. |
| 4 | x | 33 |
Отношения
Определение
Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b.
Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1
Примеры отношений
Пример 1
Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем,
чем 4.
Пример 2
Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е. 4 составляет треть
от числа 12.
Масса стакана с жидкостью равна 440г. Стакан весит 40г. Какую часть
всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с
жидкостью больше массы жидкости?
Решение:
Масса стакана составляет 40 : 440 = 1 11 часть полной массы.Масса жидкости равна 440 — 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.
formula-xyz.ru
Составить пропорцию
Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:
что тоже самое (это разная форма записи).
Пример:
Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).
Основное правило пропорции:
a:b=c:d
произведение крайних членов равно произведению средних
то есть
a∙d=b∙c
*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.
Если рассматривать форму записи вида:
то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
Как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:
Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:
1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях «Задачи на проценты. Часть 1!» и «Задачи на проценты. Часть 2!».
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
> теорема синусов
> отношение элементов в треугольнике
> теорема тангенсов
> теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:
— часы в минуты (и наоборот).
— единицы объёма, площади.
— длины, например мили в километры (и наоборот).
— градусы в радианы (и наоборот).
здесь без составления пропорции не обойтись.
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:
Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:
Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов. Значит,
700 – 100%
х – 35 %
Решаем
Ответ: 245
Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие — x часов это 50 минут. Значит
1 – 60
х – 50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых часа.
Ответ: 5/6
Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?
Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:
Одной миле соответствует 1,6 километра.
Икс миль это три километра.
1 – 1,6
х – 3
Ответ: 1,875 миль
Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.
Переведём 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.
Если записать отношение в общем виде, то получится
То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы и вычисляете градусы.
Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!
Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!
Всего доброго!
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Как составить и рассчитать пропорцию: онлайн калькулятор
Онлайн калькулятор пропорций
Формула пропорций
Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d
| средние | ||||||
| ╭ | члены | ╮ | ||||
| 1 | : | 10 | = | 7 | : | 70 |
| ╰ | крайние члены | ╯ | ||||
| 0,1 | = | 0,1 | ||||
Основные свойства пропорции
a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c
1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7
Обращение пропорции: если a:b=c:d, то b:a=d:c
1 10 7 70 10 1 = 70 7
Перестановка средних членов: если a:b=c:d, то a:c=b:d
1 10 7 70 1 7 = 10 70
Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то d:b=c:a
1 10 7 70 70 10 = 7 1
Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение
1 : 10 = x : 70 1 10 = x 70
Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение
x = 1 ⋅ 70 10 = 7
Как посчитать пропорцию
Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?
Составим пропорцию: 1 таблетка — 10 кг x таблеток — 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблеток
Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?
Составим пропорцию: 2 статьи — 5 часов x статей — 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статей
Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и при расчёте процентов, и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.
shpargalkablog.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Арифметика
Пропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции
Частное от деления числа a на число b называют отношением числа a к числу b.
Число a называют предыдущим членом отношения, число b – последующим членом отношения.
Пропорцией называют равенство двух отношений:
.
Иногда пропорцию записывают так:
a : b = c : d .
И в одной, и во второй формах записи пропорции числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
Для любой пропорции справедливо следующее равенство, которое называют основным свойством пропорции:
Словесно это равенство можно сформулировать так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.
Для того, чтобы доказать основное свойство пропорции, умножим пропорцию на выражение .
В результате получим:
что и требовалось доказать.
Основное свойство пропорции позволяет по трем любым известным членам пропорции найти четвертый неизвестный член пропорции. Покажем это на двух примерах.
Пример 1. Найти неизвестный член пропорции x , если
Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:
Ответ: 3,15 .
Пример 2. Найти неизвестный член пропорции x , если
Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:
Ответ: .
Из основного свойства пропорции легко вытекают также свойства пропорции, которые называют перестановкой членов пропорции. Эти свойства формулируются так: если
.
то
Производные пропорции
Справедливы также свойства пропорции, которые называют производными пропорциями. Эти свойства формулируются так: если
,
то
В качестве примера докажем первое из указанных свойств (остальные свойства доказываются аналогично). Для этого к обеим частям пропорции
.
достаточно прибавить 1. В результате получаем,
что и требовалось.
Замечание. Последнее из свойств пропорций является наиболее общим и может быть доказано, например, с помощью основного свойства пропорции.
Свойства равных отношений
Если выполнено соотношение
то выполнено и соотношение
где
k1 , k2 , … kn
– произвольные числа, которые не могут все одновременно равняться нулю.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Что такое пропорция | Математика
Здесь мы рассмотрим, что такое пропорция, как называются члены пропорции и основное свойство пропорции.
Определение пропорции:
Пропорция — это равенство двух отношений.
С помощью букв пропорцию записывают так:
или
Читают: «a относится к b как c относится к d» или «отношение a к b равно отношению c к d».
Числа a и d называют крайними членами пропорции, числа b и c — средними членами пропорции:
Примеры пропорций:
1) 4,8:1,6=3,6:1,2
Здесь 4,8 и 1,2 — крайние члены пропорции, 1,6 и 3,6 — средние члены пропорции.
Здесь 2,1 и 6 — крайние члены пропорция, 8,4 и 1,5 — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Отсюда следует, что
Таким образом, если в пропорции поменять местами крайние члены или средние члены, то получим новые верные пропорции.
Пропорция- это равенство. Если это равенство содержит переменную, значение которой надо найти, то оно является уравнением. Как решать пропорции, мы рассмотрим в следующий раз.
Кроме того, пропорции используются для решения некоторых задач. В частности, пропорции существенно облегчают решение задач на проценты. Позже мы рассмотрим также решение задач с помощью пропорций.
www.for6cl.uznateshe.ru
Пропорция
Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией
Что такое пропорция?
Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение равно отношению
Данная пропорция читается следующим образом:
Десять так относится к пяти, как два относится к одному
Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков
Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:
10 : 5
Преобразуем данное отношение в дробь
Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки
Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик
Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:
2 : 1
Преобразуем данное отношение в дробь:
Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки:
Можно сделать вывод, что отношение пропорционально отношению . Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».
В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.
Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам
а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам
Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что , поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.
Поэтому отношение не пропорционально отношению .
Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что 2 равно 2.
Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями и знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.
Рассмотрим пропорцию . Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения и равны между собой:
Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2
2 = 2
Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.
В нашей пропорции крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8
Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:
4 : 2 = 8 : 4
Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:
С помощью переменных пропорцию можно записать так:
Данное выражение можно прочесть следующим образом:
a так относится к b, как c относится к d
Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции
Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.
Например, проверим правильно ли составлена пропорция . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:
4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.
2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.
4 × 4 = 2 × 8
16 = 16
4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция составлена правильно.
Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция
Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:
2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12
3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3
2 × 6 ≠ 3 × 1
12 ≠ 3
2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция составлена неправильно.
Поэтому в пропорции разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Навигация по записям
spacemath.xyz
Пропорция
Если у двух отношений одинаковое частное, то их можно соединить знаком равенства, тогда это равенство будет уже пропорцией.
Определение, Равенство двух отношений называется пропорцией.
Пропорции можно записывать в виде частного двух натуральных чисел, обыкновенными дробями, численно и буквенно. Например:
2 : 3 = 8 : 12;
Буквенная запись пропорции a : b = c : d — это общий
вид пропорции, где:
a и d — это крайние члены пропорции;
b и c — это средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции: a * d = b * c
Правило . Произведение средних членов истинной пропорции равно произведению ее крайних членов.
Правило. Средние и крайние члены пропорции можно менять местами, от этого пропорция не изменится.
Например, для истинной пропорции a : b = c : d верно: a * d = b * c
Истинными будут и пропорции a : b = b : d, d : b = c : a, d : c = b : a.
В пропорции один из ее членов можно заменить буквой (обозначить буквой неизвестный член пропорции).
Например: 2 : 3 = x : 12 или x : 3 = 8 : 12.
В первом примере неизвестен средний член пропорции, а во втором — ее крайний член.
Пропорция с одним неизвестным часто встречается в решении задач (значение неизвестного — это ответ на вопрос задачи). Вычислить любой член пропорции можно по следующем правилу.
Правило . Неизвестный крайний член пропорции равен частному произведения средних членов пропорции и известного крайнего члена.
Неизвестный средний член пропорции равен частному произведения крайних членов пропорции и известного среднего члена.
Определение неизвестного члена пропорции :
x : b = c : d, x = (b * c) : d
a : b = c : x, x = (b * c) : a
a : x = c : d, x = (a * d) : c
a : b = x : d, x = (a * d) : b
shkolo.ru