Пример логарифма – Свойства логарифмов и примеры решений

45. Понятие логарифма и его свойства

Логарифмом числа B (> 0) По основанию а (А > 0, А ¹ 1) называют показатель степени, в которую нужно возвести число А, чтобы получить число B:

(6.1)

Формулу (6.1) называют Основным логарифмическим тождеством.

Логарифм числа B по основанию 10 называется Десятичным логарифмом И обозначается

Логарифм по основанию E (E = 2,71828…) называется Натуральным логарифмом и обозначается

Свойства логарифмов

Пусть Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) Тогда и только тогда, когда

12) тогда и только тогда, когда

13) тогда и только тогда, когда

Обобщенные свойства логарифмов

Пусть и – выражения с переменной. Тогда:

3*) где

4*) где

5*) где

6*) где

З а м е ч а н и е 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм

З а м е ч а н и е 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т. е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

Пример 1. Упростить выражение

Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше.

|используем свойство 9| |по свойству 5|= |по основному логарифмическому тождеству|

|по свойству 10|

Тогда

|по свойству 5| =

= |по свойству 2| =

|по свойству 8|

Таким образом:

З а м е ч а н и е 3. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так:

Пример 2. Вычислить

Решение. Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5.

= |по свойствам 5 и 2| =

Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3–5:

Тогда получаем:

З а м е ч а н и е 4. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно приведено исходя из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1.

Пример 3. Прологарифмировать по основанию 10 выражение

Решение. Замечаем, что сделать это можно, если Тогда

Пример 4. Выполнить потенцирование выражения

Решение. Используем свойства логарифмов 3–5 («справа–налево»):

Получаем ответ:

Пример 5. Выразить через и

Решение.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

ЛОГАРИФМЫ – свойства, формулы, как решать логарифмы

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b), а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b).

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов.

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

loga(x ⋅ y) = logax + logay

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

loga(x / y) = logax – logay

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

loga(x)1/n = 1/n ⋅ logax

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Частный случай:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a:

  • Если a > 0, то f(x) > g(x) > 0
  • Если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как решать задачи с логарифмами: примеры

Задания с логарифмами включены в состав ЕГЭ по математике для 11 класса в задании 5 и задании 7, вы можете найти задания с решениями на нашем сайте в соответствующих разделах. Также задания с логарифмами встречаются в банке заданий по математике. Все примеры вы можете найти через поиск по сайту.

worksbase.ru

Логарифмирование | Логарифмы

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

   

то

   

   

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

   

ОДЗ:

   

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

   

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

   

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

   

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

   

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

   

тогда

   

   

   

Обратная замена:

   

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

   

   

Ответ: 1; 27.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

   

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

   

   

Пусть

   

тогда

   

   

Возвращаемся к исходной переменной:

   

   

   

Ответ: 1/4; 8.

   

ОДЗ:

   

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Обратная замена

   

   

   

Ответ:

   

   

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

Показатель степени вынесем за знак логарифма

   

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

www.logarifmy.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *