Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, чтоa = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Значит:
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | az | . | |
| bx | by | bz |
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 14 = 28 = 312
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 15 = 210 ≠ 312
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 54 = 108 ≠ 1212
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
ru.onlinemschool.com
Коллинеарные векторы и условия коллинеарности
ОПРЕДЕЛЕНИЕУсловия коллинеарности векторов
Два вектора и будут коллинеарны при выполнении любого из следующих условий.
Условие коллинеарности 1. Два вектора и коллинеарны, если существует такое число , что
Условие коллинеарности 2. Два вектора и коллинеарны, если отношения их координат равны:
ЗАМЕЧАНИЕ
Это условие неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.
Условие коллинеарности 3. Два вектора коллинеарны и , если их векторное произведение равно нулевому вектору:
ЗАМЕЧАНИЕ
Это условие применимо только для векторов, заданных в пространстве.
Примеры решения задач с коллинеарными векторами
ПРИМЕР| Задание | Исследовать векторы и на коллинеарность. |
| Решение |
Воспользуемся вторым условием коллинеарности. Для заданных векторов оно запишется в виде:
Поскольку получили неверное равенство, то делаем вывод, что векторы и неколлинеарные. |
| Ответ |
| Задание | При каком значении параметра вектора и коллинеарны? |
| Решение |
Согласно второму условию коллинеарности, рассматриваемые вектора будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными, то есть
Откуда
|
| Ответ |
ru.solverbook.com
Коллинеарность и ортогональность векторов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Чтобы определить коллинеарность и ортогональность векторов, воспользуемся стандартными действиями с векторами, основанными на использовании тригонометрических функций синуса и косинуса.
Коллинеарные векторы – это векторы, которые расположены параллельно друг к другу, то есть при наложении дают угол в 0 градусов. Поэтому чтобы проверить коллинеарность векторов, нужно доказать что угол между векторами равен 0, а это проще всего сделать через функцию синуса, так как sin0°=0. В аналитической геометрии синус используется для нахождения векторного произведения двух векторов, которое равно произведению длин векторов на синус угла между ними. Поэтому когда между ними нулевой угол, то синус равен нулю, и все векторное произведение становится равно нулю. Из этого можно сделать и обратный вывод: если векторное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы коллинеарны.
=[×]=|||| sinα
=0,=> sinα=0,=> α=0.
Ортогональные векторы расположены по отношению друг к другу под углом 90 градусов. Для их определения используем функцию косинуса, которая дает 0 именно при угле в 90 градусов. Косинус в аналитической геометрии встречается в вычислении скалярного произведения векторов, поэтому, когда он равен нулю, то и скалярное произведение векторов становится равным нулю. Это равноценно заявлению о том, что если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы – ортогональны.
=0,=>cosα=0,=>α=0
geleot.ru
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий: Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, чтоa = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
| a × b = | i | j | k | = i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) = |
| ax | ay | az | ||
| bx | by | bz |
= i (aynaz — aznay) — j (axnaz — aznax) + k (axnay — aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | 9 | . | |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Значит:
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | = | 3 | . |
| 4 | 8 | 12 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | ≠ | 3 | . |
| 5 | 10 | 12 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | = | 10 | ≠ | 12 | . |
| 4 | 8 | 12 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
0oq.ru
коллинеарность векторов | C++ для приматов
Условие
Четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] задан координатами своих вершин на плоскости: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex] и [latex]C(x_c,y_c)[/latex], [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. Определить тип четырёхугольника: прямоугольник, параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник. Учесть погрешность вычислений.
Замечание: Для устранения дополнительных источников погрешности рекомендуется использовать аппарат векторной алгебры: коллинеарность, равенство и ортогональность векторов — сторон четырёхугольника.
Входные данные
В одной строке заданы 8 чисел [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] — координаты вершин четырёхугольника [latex]ABCD[/latex], значения которых не превышают по модулю [latex]50[/latex].
Выходные данные
- В первой строке вывести: «Тип четырёхугольника: «(без кавычек).
- Во второй строке вывести: «Произвольный четырёхугольник» или «Прямоугольник» или «Параллелограмм» или «Трапеция»(без кавычек). Одно исключает другое.
Также условие задачи можно посмотреть, скачав ознакомительную версию задачника А.Юркина здесь.
Тестирование
| № | Координаты [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] | Вердикт (тип четырёхугольника) |
| 1. | -5 -4 -1 -2 -4 3 -1 -8 | Параллелограмм |
| 2. | -2 -3 7 3 -2 1 7 1 | Трапеция |
| 3. | 0 0 1 1 0 1 1 0 | Прямоугольник |
| 4. | 50 -20 3 -50 7 6 2 3 | Произвольный четырёхугольник |
| 5. | 2 -3 -6 -1 4 7 6 3 | Параллелограмм |
| 6. | 1 -5 6 20 2 0 13 -9 | Произвольный четырёхугольник |
| 7. | 0 1 2 1 0 1 1 0 | Параллелограмм |
| 8. | -6 0 6 0 1 5 -4 -8 | Прямоугольник |
Реализация
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 |
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main () { setlocale(LC_ALL,»Russian»); int xa, xb, xc, xd, ya, yb, yc, yd; cout << «Тип четырёхугольника: » << endl; cin >> xa >> xb >> xc >> xd >> ya >> yb >> yc >> yd; //диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD обозначим, как l и m, они являются векторами long double l= abs(sqrt((xc — xa) * (xc — xa) + (yc — ya) * (yc -ya))); long double m= abs(sqrt((xd — xb) * (xd — xb) + (yd — yb) * (yd -yb))); if (((xc — xb) * (yd — ya) == (xd — xa) * (yc — yb)) || ((xb — xa) * (yc — yd) == (xc — xd) * (yb — ya))) { if (((xb — xa) * (yc — yd) == (xc — xd) * (yb — ya)) && ((xc — xb) * (yd — ya) == (xd — xa) * (yc — yb))) if (l==m) cout << «Прямоугольник» << endl; else { cout << «Параллелограмм» << endl; } else { cout << «Трапеция» << endl; } } else { cout << «Произвольный четырехугольник» << endl; } return 0; } |
Алгоритм решения
- Задан четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] с такими координатами вершин: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex], [latex]C(x_c,y_c)[/latex] и [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. В данной задаче будет уместным использование аппарата векторной алгебры. Пусть стороны четырёхугольника — векторы.
- Очевидно, что для того, чтобы определить тип данного четырёхугольника, необходимо воспользоваться известными свойствами, а именно: свойствами прямоугольника, параллелограмма и трапеции. Так как в задаче используется аппарат векторной алгебры, обращаемся к таким свойствам векторов, как коллинеарность и равенство.
- Сразу же установим: является ли четырёхугольник трапецией. Проверим одну из двух пар сторон на параллельность. Для этого воспользуемся условием коллинеарности векторов на плоскости: [latex]\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}[/latex], если [latex]a_i, b_i\ne0[/latex]. Координаты векторов [latex]\vec{b}[/latex] и [latex]\vec{d}[/latex] должны быть пропорциональны, что означает, что соответствующие стороны параллельны. Следовательно, [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Или же координаты векторов [latex]\vec{a}[/latex] и [latex]\vec{c}[/latex] должны быть пропорциональны. Проверяем: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex]. Если условие не выполняется, четырёхугольник произвольный. Если, напротив, координаты хотя бы одной пары векторов пропорциональны, четырёхугольник является трапецией.
- Если четырёхугольник — параллелограмм, то обе пары его противоположных сторон параллельны. Проверим, выполняется ли: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex] и [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Если условие выполняется, то заданный четырёхугольник — параллелограмм.
- Частным случаем параллелограмма является прямоугольник. Диагонали [latex] AC, BD[/latex] обозначим как [latex] l, m[/latex] соответственно. Пусть [latex] l, m[/latex] — векторы. Вычислим длины векторов [latex]\vec{l}[/latex], [latex]\vec{m}[/latex], пользуясь формулой. Получаем: [latex]\vec{|l|}= \sqrt{(x_c — x_a)\cdot (x_c -x_a) + (y_c — y_a)\cdot (y_c -y_a)}[/latex], [latex]\vec{|m|}= \sqrt{(x_d — x_b)\cdot (x_d -x_b) + (y_d — y_b)\cdot (y_d -y_b)}[/latex]. При условии, что [latex]\vec{l}=\vec{m}[/latex], имеем прямоугольник.
Более детально со свойствами и видами четырёхугольников можно ознакомиться здесь, а с основными сведениями из векторной алгебры — здесь.
Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке.
cpp.mazurok.com
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1.
Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2.
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3.
Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два колинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
a × b = | i | j | k | = i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) = |
ax | ay | az | ||
bx | by | bz |
= i (aynaz — aznay) — j (axnaz — aznax) + k (axnay — aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
Набор векторов называется системой векторов.
Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
Система из векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства тривиальная.
1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.
2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.
4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов — линейно зависима, то существуют числа , не все равные 0, что . В этом равенстве . В самом деле, если , то . Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. вектор есть линейная комбинация векторов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ).
Тогда из равенства получаем .
Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.
Базис системы векторов.
Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.
Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.
studfiles.net
а) а{3; 6; 8} и b{6; 12; 16); б) с{1; — 1; 3} и d {2; 3; 15}; в) i{1; 0; 0} и j{0; 1; 0}; г) m {0; 0; 0} и n {5; 7; -3}; д) p {⅓ -1; 5} и q {-1; -3; -15}?
Решение, а) Координаты вектора а {3; 6; 8} пропорциональны координатам вектора b{6; 12; 16}: где k=½ Поэтому a=kb, и, следовательно, векторы а и b коллинеарны. б) Координаты вектора с{ 1; —1; 3} не пропорциональны координатам вектора d {2; 3; 15}, например ½≠-⅓ Поэтому векторы с и d не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векторы с и d коллинеарны, то существует такое число k, что c = kd. Но тогда координаты вектора с пропорциональны координатам вектора d, что противоречит условию задачи. а) Координаты вектораи вектора
пропорциональны:
где
Поэтому
, и, следовательно, векторы a и b коллинеарны.
б) Координаты вектора
и вектора
не
пропорциональны, например
Следовательно векторы c и d не коллинеарны.
в) Координаты вектора
и вектора
не
пропорциональны, следовательно, векторы i и j не коллинеарны.
г) Координаты вектора
и вектора
пропорциональны при k=0, следовательно, векторы m и n коллинеарны. m =0 коллинеарен любому вектору.
д) Координаты вектора
и вектора
не
пропорциональны, например
Поэтому векторы p и q не коллинеарны.
5terka.com