Решение логарифмических уравнений
Заключительные видео из длинной серии уроков про решение логарифмических уравнений. В этот раз мы будем работать в первую очередь с ОДЗ логарифма — именно из-за неправильного учета (или вообще игнорирования) области определения возникает большинство ошибок при решении подобных задач.
В этом коротком видеоуроке мы разберем применение формул сложения и вычитания логарифмов, а также разберемся с дробно-рациональными уравнениями, с которыми у многих учеников также возникают проблемы.
О чем пойдет речь? Главная формула, с которой я хотел бы разобраться, выглядит так:
loga (fg) = logaf + logag
Это стандартный переход от произведения к сумме логарифмов и обратно. Вы наверняка знаете эту формулу с самого начала изучения логарифмов. Однако тут есть одна заминка.
До тех пор, пока в виде переменных a, f и g выступают обычные числа, никаких проблем не возникает. Данная формула работает прекрасно.
Однако, как только вместоf и g появляются функции, возникает проблема расширения или сужения области определения в зависимости от того, в какую сторону преобразовывать. Судите сами: в логарифме, записанном слева, область определения следующая:
fg > 0
А вот в сумме, записанной справа, область определения уже несколько иная:
f > 0
g > 0
Данный набор требований является более жестким, чем исходный. В первом случае нас устроит вариант f < 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg > 0 выполняется).
Итак, при переходе от левой конструкции к правой возникает сужение области определения. Если же сначала у нас была сумма, а мы переписываем ее в виде произведения, то происходит расширение области определения.
Другими словами, в первом случае мы могли потерять корни, а во втором — получить лишние. Это необходимо учитывать при решении реальных логарифмических уравнений.
Итак, первая задача:
[Подпись к рисунку]Слева мы видим сумму логарифмов по одному и тому же основанию. Следовательно, эти логарифмы можно сложить:
[Подпись к рисунку]Как видите, справа мы заменил ноль по формуле:
a = logbba
Давайте еще немного преобразуем наше уравнение:
log4 (x− 5)2 = log4 1
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, мы можем зачеркнуть знак log и приравнять аргументы:
(x− 5)2 = 1
|x − 5| = 1
Обратите внимание: откуда взялся модуль? Напомню, что корень из точного квадрата равен именно модулю:
[Подпись к рисунку]Затем решаем классическое уравнение с модулем:
|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x1 = 5 − 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6
Вот два кандидат на ответ. Являются ли они решением исходного логарифмического уравнения? Нет, ни в коем случае!
Оставить все просто так и записать ответ мы не имеем права. Взгляните на тот шаг, когда мы заменяем сумму логарифмов одним логарифмом от произведения аргументов. Проблема в том, что в исходных выражениях у нас стоят функции. Следовательно, следует потребовать:
х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.
Когда же мы преобразовали произведение, получив точный квадрат, требования изменились:
(x− 5)2 > 0
Когда это требование выполняется? Да практически всегда! За исключением того случая, когда х − 5 = 0. Т.е. неравенство сведется к одной выколотой точке:
х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5
Как видим, произошло расширение области определения, о чем мы и говорили в самом начале урока. Следовательно, могут возникнуть и лишние корни.
Как же не допустить возникновения этих лишних корней? Очень просто: смотрим на наши полученные корни и сравниваем их с областью определения исходного уравнения. Давайте посчитаем:
х (х − 5) > 0
Решать будем с помощью метода интервалов:
х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5
Отмечаем полученные числа на прямой. Все точки выколотые, потому что неравенство строгое. Берем любое число, больше 5 и подставляем:
[Подпись к рисунку]На интересуют промежутки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Если мы отметим наши корни на отрезке, то увидим, что х = 4 нас не устраивает, потому что этот корень лежит за пределами области определения исходного логарифмического уравнения.
Возвращаемся к совокупности, вычеркиваем корень х = 4 и записываем ответ: х = 6. Это уже окончательный ответ к исходному логарифмическому уравнению. Все, задача решена.
Переходим ко второму логарифмическому уравнению:
[Подпись к рисунку]Решаем его. Заметим, что первое слагаемое представляет собой дробь, а второе — ту же самую дробь, но перевернутую. Не пугайтесь выражения lgx— это просто десятичный логарифм, мы можем записать:
Поскольку перед нами две перевернутые дроби, предлагаю ввести новую переменную:
[Подпись к рисунку]Следовательно, наше уравнение может быть переписано следующим образом:
t + 1/t = 2;
t + 1/t− 2 = 0;
(t2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1)2/t = 0.
Как видим, в числителе дроби стоит точный квадрат. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
(t− 1)2 = 0; t ≠ 0
Решаем первое уравнение:
t− 1 = 0;
t = 1.
Это значение удовлетворяет второму требованию. Следовательно, можно утверждать, что мы полностью решили наше уравнение, но только относительно переменной t. А теперь вспоминаем, что такое t:
[Подпись к рисунку]Получили пропорцию:
lgx = 2 lgx + 1
2 lgx− lgx = −1
lgx = −1
Приводим это уравнение к канонической форме:
lgx = lg 10−1
x = 10−1 = 0,1
В итоге мы получили единственный корень, который, по идее, является решением исходного уравнения. Однако давайте все-таки подстрахуемся и выпишем область определения исходного уравнения:
[Подпись к рисунку]Следовательно, наш корень удовлетворяет всем требованиям. Мы нашли решение исходного логарифмического уравнения. Ответ: x = 0,1. Задача решена.
Ключевой момент в сегодняшнем уроке один: при использовании формулы перехода от произведения к сумме и обратно обязательно учитывайте, что область определения может сужаться либо расширяться в зависимости от того, в какую сторону выполняется переход.
Как понять, что происходит: сужение или расширение? Очень просто. Если раньше функции были вместе, а теперь стали по отдельности, то произошло сужение области определения (потому что требований стало больше). Если же сначала функции стояли отдельно, а теперь — вместе, то происходит расширение области определения (на произведение накладывается меньше требований, чем на отдельные множители).
С учетом данного замечания хотел бы отметить, что второе логарифмическое уравнение вообще не требует данных преобразований, т. е. мы нигде не складываем и не перемножаем аргументы. Однако здесь я хотел бы обратить ваше внимание на другой замечательный прием, который позволяет существенно упростить решение. Речь идет о замене переменной.
Однако помните, что никакие замены не освобождает нас от области определения. Именно поэтому после того были найдены все корни, мы не поленились и вернулись к исходному уравнению, чтобы найти его ОДЗ.
Часто при замене переменной возникает обидная ошибка, когда ученики находят значение t и думают, что на этом решение закончено. Нет, ни в коем случае!
Когда вы нашли значение t, необходимо вернуться к исходному уравнению и посмотреть, что именно мы обозначали этой буквой. В результате нам предстоит решить еще одно уравнение, которое, впрочем, будет значительно проще исходного.
Именно в этом состоит смысл введения новой переменной. Мы разбиваем исходное уравнение на два промежуточных, каждое из которых решается существенно проще.
Как решать «вложенные» логарифмические уравнения
Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.
Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Напомню, если у нас есть простейшее логарифмическое уравнение вида logaf(x) = b, то для решения такого уравнения мы выполняем следующие шаги. В первую очередь, нам нужно заменить число b:
b = logaab
Заметьте: ab— это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f(x). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:
logaf(x) = logaab
Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:
f(x) = ab
В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f(x) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.
Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:
log2 (1 + 3 log2x) = 2
Как видим, перед нами простейшее логарифмическое уравнение. В роли f(x) выступает конструкция 1 + 3 log2x, а в роли числа b выступает число 2 (в роли aтакже выступает двойка). Давайте перепишем эту двойку следующим образом:
2 = log2 22
Важно понимать, что первые две двойки пришли к нам из основания логарифма, т. е. если бы в исходном уравнении стояла 5, то мы бы получили, что 2 = log 5 52. В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2.
Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:
log2 (1 + 3 log2x) = log2 4
Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:
1 + 3 log2x = 4
Отсюда легко находится 3 log2x:
3 log2x = 3
log2x = 1
Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:
1 = log2 21 = log2 2
Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:
log2x = log2 2
Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:
х = 2
Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.
Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.
Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.
Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.
Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:
log2 (log1/2 (2x− 1) + log2 4) = 1
Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f(x), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log2 21 = log2 2.
Переписываем наше большое уравнение:
log2 (log1/2 (2x − 1) + log2 4) = log2 2
Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log2 4 = 2:
log1/2 (2x− 1) + 2 = 2
log1/2 (2x− 1) = 0
Перед нами снова простейшее логарифмическое уравнение вида logaf(x) = b. Переходим к канонической форме, т. е. представляем ноль в виде log1/2 (1/2)0 = log1/2 1.
Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:
log1/2 (2x− 1) = log1/2 1
2x − 1 = 1
2х = 2
х = 1
Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.
Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.
А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.
Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: везде функция х стоит под знаком логарифма. Следовательно, поскольку мы записали log2x, то автоматически выставляем требование х > 0. Иначе данная запись просто не имеет смысла.
Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.
Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.
Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.
Случаи разного основания
Этот урок посвящен уже более сложным конструкциям. Логарифмы в сегодняшних уравнениях уже не будут решаться «напролом» — сначала потребуется выполнить некоторые преобразования.
Начинаем решение логарифмических уравнений с совершенно разными основаниями, которые не являются точными степенями друг друга. Пусть вас не пугают подобные задачи — решаются они ничуть не сложнее, чем самые простые конструкции, которые мы разбирали выше.
Но прежде, чем переходить непосредственно к задачам, напомню о формуле решения простейших логарифмических уравнений с помощью канонической формы. Рассмотрим задачу вот такого вида:
logaf(x) = b
Важно, что функция f(x) является именно функцией, а в роли чисел а и b должны выступать именно числа (без всяких переменных x). Разумеется, буквально через минуту мы рассмотрим и такие случаи, когда вместо переменных а и b стоят функции, но сейчас не об этом.
Как мы помним, число bнужно заменить логарифмом по тому же самому основанию а, которое стоит слева. Это делается очень просто:
b = logaab
Разумеется, под словом «любое число b» и «любое число а» подразумеваются такие значения, которые удовлетворяют области определения. В частности, в данном уравнении речь идет лишь основание a > 0 и a≠ 1.
Однако данное требование выполняется автоматически, потому что в исходной задаче уже присутствует логарифм по основанию а — оно заведомо будет больше 0 и не равно 1. Поэтому продолжаем решение логарифмического уравнения:
logaf(x) = logaab
Подобная запись называется канонической формой. Ее удобство состоит в том, что мы сразу можем избавиться от знака log, приравняв аргументы:
f(x) = ab
Именно этот прием мы сейчас будем использовать для решения логарифмических уравнений с переменным основанием. Итак, поехали!
log2 (x2 + 4x + 11) = log0,5 0,125
Что дальше? Кто-то сейчас скажет, что нужно вычислить правый логарифм, либо свести их к одному основанию, либо что-то еще. И действительно, сейчас нужно привести оба основания к одному виду — либо 2, либо 0,5. Но давайте раз и навсегда усвоим следующее правило:
Если в логарифмическом уравнении присутствуют десятичные дроби, обязательно переведите эти дроби из десятичной записи в обычную. Такое преобразование может существенно упростить решение.
Подобный переход нужно выполнять сразу, еще до выполнения каких-либо действий и преобразований. Давайте посмотрим:
log2 (x2 + 4x + 11) = log1/2 1/8
Что нам дает такая запись? Мы можем 1/2 и 1/8 представить как степень с отрицательным показателем:
[Подпись к рисунку]Перед нами каноническая форма. Приравниваем аргументы и получаем классическое квадратное уравнение:
x2 + 4x + 11 = 8
x2 + 4x + 3 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, которое легко решается с помощью формул Виета. Подобные выкладки в старших классах вы должны видеть буквально устно:
(х + 3)(х + 1) = 0
x1 = −3
x2 = −1
Вот и все! Исходное логарифмическое уравнение решено. Мы получили два корня.
Напомню, что определять область определения в данном случае не требуется, поскольку функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Поэтому область определения выполняется автоматически.
Итак, первое уравнение решено. Переходим ко второму:
log0,5 (5x2 + 9x + 2) = log3 1/9
Как и в прошлый раз, рекомендую избавиться от десятичных дробей:
log1/2 (5x2 + 9x + 2) = log3 9−1
А теперь заметим, что аргумент первого логарифма тоже можно записать в виде степени с отрицательным показателем: 1/2 = 2−1. Затем можно вынести степени с обеих сторон уравнения и разделить все на −1:
[Подпись к рисунку]И вот сейчас мы выполнили очень важный шаг в решении логарифмического уравнения. Возможно, кто-то что-то не заметил, поэтому давайте я поясню.
Взгляните на наше уравнение: и слева, и справа стоит знак log, но слева стоит логарифм по основанию 2, а справа стоит логарифм по основанию 3. Тройка не является целой степенью двойки и, наоборот: нельзя записать, что 2 — это 3 в целой степени.
Следовательно, это логарифмы с разными основаниями, которые не сводятся друг к другу простым вынесением степеней. Единственный путь решения таких задач — избавиться от одного из этих логарифмов. В данном случае, поскольку мы пока рассматриваем довольно простые задачи, логарифм справа просто сосчитался, и мы получили простейшее уравнение — именно такое, о котором мы говорили в самом начале сегодняшнего урока.
Давайте представим число 2, которое стоит справа в виде log2 22 = log2 4. А затем избавимся от знака логарифма, после чего у нас остается просто квадратное уравнение:
log2 (5x2 + 9x + 2) = log2 4
5x2 + 9x + 2 = 4
5x2 + 9x− 2 = 0
Перед нами обычное квадратное уравнение, однако оно не является приведенным, потому что коэффициент при x2 отличен от единицы. Следовательно, решать мы его будем с помощью дискриминанта:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x2 = (−9 − 11)/10 = −2
Вот и все! Мы нашли оба корня, а значит, получили решение исходного логарифмического уравнения. Ведь в исходной задачи функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Следовательно, никаких дополнительных проверок на область определения не требуется — оба корня, которые мы нашли, заведомо отвечают всем возможным ограничениям.
На этом можно было бы закончить сегодняшний видеоурок, но в заключении я хотел бы сказать еще раз: обязательно переводите все десятичные дроби в обычные при решении логарифмических уравнений. В большинстве случаев это существенно упрощает их решение.
Редко, очень редко попадаются задачи, в которых избавление от десятичных дробей лишь усложняет выкладки. Однако в таких уравнениях, как правило, изначально видно, что избавляться от десятичных дробей не надо.
В большинстве остальных случаев (особенно если вы только начинаете тренироваться в решении логарифмических уравнений) смело избавляйтесь от десятичных дробей и переводите их в обычные. Потому что практика показывает, что таким образом вы значительно упростите последующее решение и выкладки.
Тонкости и хитрости решения
Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция.
И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.
Сложные задачи
Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки. За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок:
- Возникновение лишних корней из-за расширения области определения логарифмов. Чтобы не допускать такие обидные ошибки, просто внимательно следите за каждым преобразованием;
- Потери корней из-за того, что ученик забыл рассмотреть некоторые «тонкие» случаи — именно на таких ситуациях мы сегодня и сосредоточимся.
Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем.
Первое уравнение выглядит вполне стандартно:
logx + 1 (x − 0,5) = logx − 0,5 (x + 1)
Сразу заметим, что оба логарифма являются перевернутыми копиями друг друга. Вспоминаем замечательную формулу:
logab = 1/logba
Однако у этой формулы есть ряд ограничений, которые возникают в том случае, если вместо чисел а и b стоят функции от переменной х:
b > 0
1 ≠ a > 0
Эти требования накладываются на основание логарифма. С другой стороны, в дроби от нас требуется 1 ≠ a > 0, поскольку не только переменная a стоит в аргументе логарифма ( следовательно, a > 0), но и сам логарифм находится в знаменателе дроби. Но logb 1 = 0, а знаменатель должен быть отличным от нуля, поэтому a ≠ 1.
Итак, ограничения на переменную a сохраняется. Но что происходит с переменной b? С одной стороны, из основания следует b> 0, с другой — переменная b≠ 1, потому что основание логарифма должно быть отлично от 1. Итого из правой части формулы следует, что 1 ≠ b > 0.
Но вот беда: второе требование (b ≠ 1) отсутствует в первом неравенстве, посвященном левому логарифму. Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить, что аргумент bотличен от единицы!
Вот давайте и проверим. Применим нашу формулу:
[Подпись к рисунку]А теперь, прежде чем идти дальше, выпишем все требования области определения, накладываемые на исходную задачу:
1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0
Вот мы и получили, что уже из исходного логарифмического уравнения следует, что и а, и b должны быть больше 0 и не равны 1. Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение:
Предлагаю ввести новую переменную:
logx + 1 (x − 0,5) = t
В этом случае наша конструкция перепишется следующим образом:
(t2− 1)/t = 0
Заметим, что в числителе у нас стоит разность квадратов. Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:
t1 = 1;
t2 = −1;
t ≠ 0.
Как видим, оба значения переменной tнас устраивают. Однако на этом решение не заканчивается, ведь нам требуется найти не t, а значение x. Возвращаемся к логарифму и получаем:
logx + 1 (x − 0,5) = 1;
logx + 1 (x − 0,5) = −1.
Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме:
logx + 1 (x − 0,5) = logx + 1 (x + 1)1
logx + 1 (x − 0,5) = logx + 1 (x + 1)−1
Избавляемся от знака логарифма в первом случае и приравниваем аргументы:
х − 0,5 = х + 1;
х − х = 1 + 0,5;
0 = 1,5.
Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней. А вот со вторым уравнением все намного интересней:
(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)
Решаем пропорцию — получим:
(х − 0,5)(х + 1) = 1
Напоминаю, что при решении логарифмических уравнений гораздо удобней приводить все десятичные дроби обычные, поэтому давайте перепишем наше уравнение следующим образом:
(х − 1/2)(х + 1) = 1;
x2 + x− 1/2x− 1/2 − 1 = 0;
x2 + 1/2x− 3/2 = 0.
Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:
(х + 3/2) (х − 1) = 0;
x1 = −1,5;
x2 = 1.
Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения. Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения:
1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.
Эти требования равносильны двойному неравенству:
1 ≠ х > 0,5
Отсюда сразу видим, что корень х = −1,5 нас не устраивает, а вот х = 1 вполне устраивает. Поэтому х = 1 — окончательное решение логарифмического уравнения.
Переходим ко второй задаче:
logx 25 + log125x 5 = log25x 625
На первый взгляд может показаться, что у всех логарифмов разные основания и разные аргументы. Что делать с такими конструкциями? В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и 625 — это степени 5:
25 = 52; 625 = 54
А теперь воспользуемся замечательным свойством логарифма. Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей:
logabn = n ∙ logab
На данное преобразование также накладываются ограничения в том случае, когда на месте bстоит функция. Но у нас b— это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает. Перепишем наше уравнение:
2 ∙ logx 5 + log125x 5 = 4 ∙ log25x 5
Получили уравнение с тремя слагаемыми, содержащими знак log. Причем аргументы всех трех логарифмов равны.
Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Просто переписываем:
[Подпись к рисунку]Как и предполагалось, в знаменателе «вылезли» одни и те же логарифмы. Предлагаю выполнить замену переменной:
log5x = t
В этом случае наше уравнение будет переписано следующим образом:
Выпишем числитель и раскроем скобки:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t2 + 5t + 6) + t2 + 2t − 4t2 − 12t = 2t2 + 10t + 12 + t2 + 2t − 4t2 − 12t = −t2 + 12
Возвращаемся к нашей дроби. Числитель должен быть равен нулю:
[Подпись к рисунку]А знаменатель — отличен от нуля:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Последние требования выполняются автоматически, поскольку все они «завязаны» на целые числа, а все ответы — иррациональные.
Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены. Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t:
[Подпись к рисунку]Приводим это уравнение к канонической форме, получим число с иррациональной степенью. Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять:
[Подпись к рисунку]У нас получилось два корня. Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Поскольку в основании логарифма стоит переменная х, потребуем следующее:
1 ≠ х > 0;
С тем же успехом утверждаем, что х ≠ 1/125, иначе основание второго логарифма обратится в единицу. Наконец, х ≠ 1/25 для третьего логарифма.
Итого мы получили четыре ограничения:
1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25
А теперь вопрос: удовлетворяют ли наши корни указанным требованиям? Конечно удовлетворяют! Потому что 5 в любой степени будет больше нуля, и требование х > 0 выполняется автоматически.
С другой стороны, 1 = 50, 1/25 = 5−2, 1/125 = 5−3, а это значит, что данные ограничения для наших корней (у которых, напомню, в показателе стоит иррациональное число) также выполнены, и оба ответа являются решениями задачи.
Итак, мы получили окончательный ответ. Ключевых моментов в данной задаче два:
- Будьте внимательны при перевороте логарифма, когда аргумент и основание меняются местами. Подобные преобразования накладывают лишние ограничения на область определения.
- Не бойтесь преобразовывать логарифмы: их можно не только переворачивать, но и раскрывать по формуле суммы и вообще менять по любым формулам, которые вы изучали при решении логарифмических выражений. Однако при этом всегда помните: некоторые преобразования расширяют область определения, а некоторые — сужают.
В общем, при решении сложных логарифмических уравнений обязательно выписывайте исходную область определения. А у меня на сегодня все.:)
Смотрите также:
- Квадратные уравнения относительно логарифма
- Преобразование логарифмических неравенств с одинаковым основанием
- Радианная и градусная мера угла
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №3
- Так сокращать дроби нельзя!
- Семинар по задачам B10: теория вероятностей
www.berdov.com
Решение логарифмических уравнений (продолжение). Видеоурок. Алгебра 11 Класс
На данном уроке мы продолжим решать разнообразные типовые логарифмические уравнения, рассмотрим уравнения повышенной сложности.
Ключом к решению логарифмических уравнений являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида (). Здесь t – независимая переменная, а= конкретное число, у – зависимая переменная, функция.
Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности). При монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности). Именно монотонность функции позволяет решать простейшие логарифмические уравнения (т. к. из равенства логарифмов по одному основанию вытекает равенство подлогарифмических выражений ), все остальные логарифмические уравнение сводятся к простейшим:
ОДЗ заданного уравнения определяется системой. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:
Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство, чтобы соблюсти ОДЗ.
Имеем смешанную систему. Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
Напомним методику решения простейших логарифмических уравнений:
Уравнять основания логарифмов;
Приравнять подлогарифмические функции;
Выполнить проверку.
Перейдем к решению примеров.
Пример 1 – решить уравнение:
Отметим ОДЗ: (т. к. х стоит под логарифмом и в основании логарифма)
Нам известно следующее свойство логарифма:
Получаем:
Приведем подобные:
Сократим численный множитель
Преобразуем согласно определению логарифма:
Пример 2 – решить показательное уравнение:
Способ 1 (по определению логарифма):
Способ 2 (прологарифмировать обе части):
Рекомендация – если неизвестное находится в показателе, то часто применяется такой способ решения. Но нужно обратить внимание на вопрос – можно ли в данном случае логарифмировать? В заданном примере и левая, и правая части строго положительны, поэтому имеем право записать:
Вынесем показатель степени как сомножитель согласно свойству логарифма:
Упростим:
Способ 3 (уравнять основания в показательном уравнении):
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
Пример 3 – решить показательно-степенное уравнение:
Укажем ОДЗ:
Теперь имеем право прологарифмировать обе части. Выбираем основание логарифма 2, т. к. такое основание уже представлено в уравнении:
Вынесем показатели степени как сомножители:
Упростим правую часть:
Введем замену переменых:
Получаем:
Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:
Получили квадратное уравнение, согласно теореме Виета, имеем корни:
Вернемся к исходным переменным:
Ответ: или
Пример 4 – решить уравнение:
ОДЗ:
Вынесем показатель степени как сомножитель, при этом используем модуль, чтобы не исказить область определения:
Раскроем модуль, учитывая ОДЗ:
Приведем подобные:
Ответ:
Итак, мы рассмотрели решение более сложных типовых логарифмических уравнений. Далее перейдем к изучению логарифмических неравенств.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Reshit.ru (Источник).
- Egesdam.ru (Источник).
- Math.md (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 518–520;
2. Решить уравнение:
3. Решить уравнение:
interneturok.ru
Простейшие логарифмические уравнения
Сегодня мы научимся решать самые простые логарифмические уравнения, где не требуются предварительные преобразования и отбор корней. Но если научиться решать такие уравнения, дальше будет намного проще.
Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида loga f (x) = b, где a, b — числа (a > 0, a ≠ 1), f (x) — некоторая функция.
Отличительная особенность всех логарифмических уравнений — наличие переменной x под знаком логарифма. Если изначально в задаче дано именно такое уравнение, оно называется простейшим. Любые другие логарифмические уравнения сводятся к простейшим путем специальных преобразований (см. «Основные свойства логарифмов»). Однако при этом надо учитывать многочисленные тонкости: могут возникнуть лишние корни, поэтому сложные логарифмические уравнения будут рассмотрены отдельно.
Как решать такие уравнения? Достаточно заменить число, стоящее справа от знака равенства, логарифмом по тому же основанию, что и слева. Затем можно избавиться от знака логарифма. Получим:
loga f (x) = b ⇒ loga f (x) = loga a b ⇒ f (x) = a b
Получили обычное уравнение. Его корни являются корнями исходного уравнения.
Вынесение степеней
Зачастую логарифмические уравнения, которые внешне выглядят сложно и угрожающе, решаются буквально в пару строчек без привлечения сложных формул. Сегодня мы рассмотрим именно такие задачи, где все, что от вас потребуется — аккуратно свести формулу к канонической форме и не растеряться при поиске области определения логарифмов.
Сегодня, как вы уже наверняка догадались из названия, мы будем решать логарифмические уравнения по формулам перехода к канонической форме. Основной «фишкой» данного видеоурока будет работа со степенями, а точнее, вынесение степени из основания и аргумента. Давайте рассмотрим правило:
Аналогичным образом можно вынести степень и из основания:
Как видим, если при вынесении степени из аргумента логарифма у нас просто появляется дополнительный множитель спереди, то при вынесении степени из основания — не просто множитель, а перевернутый множитель. Это нужно помнить.
Наконец, самое интересное. Данные формулы можно объединить, тогда мы получим:
Разумеется, при выполнении данных переходов существуют определенные подводные камни, связанные с возможным расширением области определения или, наоборот, сужением области определения. Судите сами:
log3x 2 = 2 ∙ log3x
Если в первом случае в качестве x могло стоять любое число, отличное от 0, т. е. требование x ≠ 0, то во втором случае нас устроят лишь x, которые не только не равны, а строго больше 0, потому что область определения логарифма состоит в том, чтобы аргумент был строго больше 0. Поэтому напомню вам замечательную формулу из курса алгебры 8—9 класса:
То есть, мы должны записать нашу формулу следующим образом:
log3x 2 = 2 ∙ log3 |x|
Тогда никакого сужения области определения не произойдет.
Однако в сегодняшнем видеоуроке никаких квадратов не будет. Если вы посмотрите на наши задачи, то увидите только корни. Следовательно, применять данное правило мы не будем, однако его все равно необходимо держать в голове, чтобы в нужный момент, когда вы увидите квадратичную функцию в аргументе или основании логарифма, вы вспомните это правило и все преобразования выполните верно.
Итак, первое уравнение:
Для решения такой задачи предлагаю внимательно посмотреть на каждое из слагаемых, присутствующих в формуле.
Давайте перепишем первое слагаемое в виде степени с рациональным показателем:
Смотрим на второе слагаемое: log3 (1 − x). Здесь делать ничего не нужно, здесь все уже преобразовании.
Наконец, 0, 5. Как я уже говорил в предыдущих уроках, при решении логарифмических уравнений и формул очень рекомендую переходить от десятичных дробей к обычным. Давайте так и сделаем:
0,5 = 5/10 = 1/2
Перепишем наше исходную формулу с учетом полученных слагаемых:
log3 (1 − x) = 1
Теперь переходим к канонической форме:
log3 (1 − x) = log3 3
Избавляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
Все, мы решили уравнение. Однако давайте все-таки подстрахуемся и найдем область определения. Для этого вернемся к исходной формуле и посмотрим:
1 − x > 0
−x > −1
x < 1
Наш корень x = −2 удовлетворяет это требование, следовательно, x = −2 является решением исходного уравнения. Вот теперь мы получили строгое четкое обоснование. Все, задача решена.
Переходим ко второй задаче:
Давайте разбираться с каждым слагаемым отдельно.
Выписываем первое:
Первое слагаемое мы преобразовали. Работаем со вторым слагаемым:
Наконец, последнее слагаемое, которое стоит справа от знака равенства:
Подставляем полученные выражения вместо слагаемых в полученной формуле:
log3x = 1
Переходим к канонической форме:
log3x = log3 3
Избавляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы, и получаем:
x = 3
Опять же, давайте на всякий случай подстрахуемся, вернемся к исходному уравнению и посмотрим. В исходной формуле переменная x присутствует только в аргументе, следовательно,
x > 0
Во втором логарифме x стоит под корнем, но опять же в аргументе, следовательно, корень должен быть больше 0, т. е. подкоренное выражение должно быть больше 0. Смотрим на наш корень x = 3. Очевидно, что он удовлетворяет это требование. Следовательно, x = 3 является решением исходного логарифмического уравнения. Все, задача решена.
Ключевых моментов в сегодняшнем видеоуроке два:
1) не бойтесь преобразовывать логарифмы и, в частности, не бойтесь выносить степени за знак логарифма, при этом помните нашу основную формулу: при вынесении степени из аргумента она выносится просто без изменений как множитель, а при вынесении степени из основания эта степень переворачивается.
2) второй момент связан с само канонической формой. Переход к канонической форме мы выполняли в самом конце преобразования формулы логарифмического уравнения. Напомню следующую формулу:
a = logb b a
Разумеется, под выражением «любое число b», я подразумеваю такие числа, которые удовлетворяют требования, накладываемые на основание логарифма, т. е.
1 ≠ b > 0
Вот при таких b, а поскольку основание у нас уже известно, то это требование будет выполняться автоматически. Но при таких b — любых, которые удовлетворяют данное требование — данный переход может быть выполнен, и у нас получится каноническая форма, в которой можно избавиться от знака логарифма.
Расширение области определения и лишние корни
В процессе преобразования логарифмических уравнений может произойти неявное расширение области определения. Зачастую ученики этого даже не замечают, что приводит к ошибкам и неправильным ответам.
Начнем с простейших конструкций. Простейшим логарифмическим уравнением называется следующее:
logaf(x) = b
Обратите внимание: x присутствует лишь в одном аргументе одного логарифма. Как мы решаем такие уравнения? Используем каноническую форму. Для этого представляем число b = logaab, и наше уравнение перепишется в следующем виде:
logaf(x) = logaab
Данная запись называется канонической формой. Именно к ней следует сводить любое логарифмическое уравнение, которое вы встретите не только в сегодняшнем уроке, но и в любой самостоятельной и контрольной работе.
Как прийти к канонической форме, какие приемы использовать — это уже вопрос практики. Главное понимать: как только вы получите такую запись, можно считать, что задача решена. Потому что следующим шагом будет запись:
f(x) = ab
Другими словами, мы избавляемся от знака логарифма и просто приравниваем аргументы.
К чему весь этот разговор? Дело в том, что каноническая форма применима не только к простейшим задачам, но и к любым другим. В частности и к тем, которые мы будем решать сегодня. Давайте посмотрим.
Первая задача:
В чем проблема данного уравнения? В том, что функция стоит сразу в двух логарифмах. Задачу можно свести к простейшей, просто вычтя один логарифм из другого. Но возникают проблемы с областью определения: могут появиться лишние корни. Поэтому давайте просто перенесем один из логарифмов вправо:
Вот такая запись уже гораздо больше похожа на каноническую форму. Но есть еще один нюанс: в канонической форме аргументы должны быть одинаковы. А у нас слева стоит логарифм по основанию 3, а справа — по основанию 1/3. Знаит, нужно привести эти основания к одному и тому же числу. Например, вспомним, что такое отрицательные степени:
1/3 = 3−1
А затем воспользуемся вынесем показатель «−1» за пределы log в качестве множителя:
Обратите внимание: степень, которая стояла в основании, переворачивается и превращается в дробь. Мы получили почти каноническую запись, избавившись от разных оснований, но взамен получили множитель «−1» справа. Давайте внесем этот множитель в аргумент, превратив его в степень:
Разумеется, получив каноническую форму, мы смело зачеркиваем знак логарифма и приравниваем аргументы. При этом напомню, что при возведении в степень «−1» дробь просто переворачивается — получается пропорция.
Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее крест-накрест:
(x− 4) (2x− 1) = (x− 5) (3x− 4)
2x2 − x− 8x + 4 = 3x2 − 4x− 15x + 20
2x2 − 9x + 4 = 3x2 − 19x + 20
x2 − 10x + 16 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, поэтому решаем его с помощью формул Виета:
(x − 8)(x − 2) = 0
x1 = 8; x2 = 2
Вот и все. Думаете, уравнение решено? Нет! За такое решение мы получим 0 баллов, потому что в исходном уравнении присутствуют сразу два логарифма с переменной x. Поэтому требуется учесть область определения.
И здесь начинается самое веселое. Большинство учеников путаются: в чем состоит область определения логарифма? Разумеется, все аргументы (у нас их два) должны быть больше нуля:
(x− 4)/(3x− 4) > 0
(x− 5)/(2x− 1) > 0
Каждое из этих неравенств нужно решить, отметить на прямой, пересечь — и только потом посмотреть, какие корни лежат на пересечении.
Скажу честно: такой прием имеет право на существование, он надежный, и вы получите правильный ответ, однако в нем слишком много лишних действий. Поэтому давайте еще раз пройдемся по нашему решению и посмотрим: где именно требуется применить область определения? Другими словами, нужно четно понимать, когда именно возникают лишние корни.
- Изначально у нас было два логарифма. Потом мы перенесли один из них вправо, но на область определения это не повлияло.
- Затем мы выносим степень из основания, но логарифмов все равно остается два, и в каждом из них присутствует переменная x.
- Наконец, мы зачеркиваем знаки log и получаем классическое дробно-рациональное уравнение.
Именно на последнем шаге происходит расширение области определения! Как только мы перешли к дробно-рациональному уравнению, избавившись от знаков log, требования к переменной xрезко поменялись!
Следовательно, область определения можно считать не в самом начале решения, а только на упомянутом шаге — перед непосредственным приравниваем аргументов.
Здесь-то и кроется возможность для оптимизации. С одной стороны, от нас требуется, чтобы оба аргумента были больше нуля. С другой — далее мы приравниваем эти аргументы. Следовательно, если хотя бы один и них будет положителен, то и второй тоже окажется положительным!
Вот и получается, что требовать выполнение сразу двух неравенств — это излишество. Достаточно рассмотреть лишь одну из этих дробей. Какую именно? Та, которая проще. Например, давайте разберемся с правой дробью:
(x− 5)/(2x− 1) > 0
Это типичное дробно-рациональное неравенство, решаем его методом интервалов:
Как расставить знаки? Возьмем число, заведомо большее всех наших корней. Например 1 млрд. И подставляем его дробь. Получим положительное число, т.е. справа от корня x = 5 будет стоять знак «плюс».
Затем знаки чередуются, потому что корней четной кратности нигде нет. Нас интересуют интервалы, где функция положительна. Следовательно, x∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Теперь вспоминаем про ответы: x = 8 и x = 2. Строго говоря, это еще не ответы, а лишь кандидаты на ответ. Какой из них принадлежит указанному множеству? Конечно, x = 8. А вот x = 2 нас не устраивает по области определения.
Итого ответом к первому логарифмическому уравнению будет x = 8. Вот теперь мы получили грамотное, обоснованное решение с учетом области определения.
Переходим ко второму уравнению:
log5 (x − 9) = log0,5 4 − log5 (x − 5) + 3
Напоминаю, что если в уравнении присутствует десятичная дробь, то от нее следует избавиться. Другими словами, перепишем 0,5 в виде обычной дроби. Сразу замечаем, что логарифм, содержащий это основание, легко считается:
Это очень важны момент! Когда у нас и в основании, и в аргументе стоят степени, мы можем вынести показатели этих степеней по формуле:
Возвращаемся к нашему исходному логарифмическому уравнению и переписываем его:
log5 (x− 9) = 1 − log5 (x− 5)
Получили конструкцию, довольно близкую к канонической форме. Однако нас смущают слагаемые и знак «минус» справа от знака равенства. Давайте представим единицу как логарифм по основанию 5:
log5 (x − 9) = log5 51 − log5 (x − 5)
Вычтем логарифмы справа (при этом их аргументы делятся):
log5(x − 9) = log5 5/(x− 5)
Прекрасно. Вот мы и получили каноническую форму! Зачеркиваем знаки logи приравниваем аргументы:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Это пропорция, которая легко решается умножением крест-накрест:
(x − 9)(x − 5) = 51
x2 − 9x − 5x + 45 = 5
x2 − 14x + 40 = 0
Очевидно, перед нами приведенное квадратное уравнение. Оно легко решается с помощью формул Виета:
(x − 10)(x − 4) = 0
x1 = 10
x2 = 4
Мы получили два корня. Но это не окончательные ответы, а лишь кандидаты, потому что логарифмическое уравнение требует еще и проверки области определения.
Напоминаю: не надо искать, когда каждый из аргументов будет больше нуля. Достаточно потребовать, чтобы один аргумент — либо x − 9, либо 5/(x − 5) — был больше нуля. Рассмотрим первый аргумент:
x − 9 > 0
x > 9
Очевидно, что этому требованию удовлетворяет лишь x = 10. Это и есть окончательный ответ. Все задача решена.
Еще раз ключевые мысли сегодняшнего урока:
- Как только переменная x появляется в нескольких логарифмах, уравнение перестает быть элементарным, и для него придется считать область определения. Иначе можно запросто записать в ответ лишние корни.
- Работу с самой областью определения можно существенно упростить, если выписывать неравенство не сразу, а ровно в тот момент, когда мы избавляемся от знаков log. Ведь когда аргументы приравниваются друг к другу, достаточно потребовать, чтобы больше нуля был лишь один из них.
Разумеется, мы сами выбираем, из какого аргумента составлять неравенство, поэтому логично выбирать самый простой. Например, во втором уравнении мы выбрали аргумент (x − 9) —линейную функцию, в противовес дробно-рациональному второму аргументу. Согласитесь, решать неравенство x − 9 > 0 значительно проще, чем 5/(x − 5) > 0. Хотя результат получается один и тот же.
Данное замечание существенно упрощает поиск ОДЗ, но будьте внимательны: использовать одно неравенство вместо двух можно только том случае, когда аргументы именно приравниваются друг к другу!
Конечно, кто-то сейчас спросит: а что, бывает по-другому? Да, бывает. Например, в самом шаге, когда мы перемножаем два аргумента, содержащие переменную, заложена опасность возникновения лишних корней.
Судите сами: сначала требуется, чтобы каждый из аргументов был больше нуля, но после перемножения достаточно, чтобы их произведение было больше нуля. В результате упускается случай, когда каждая из этих дробей отрицательна.
Поэтому если вы только начинаете разбираться со сложными логарифмическими уравнениями, ни в коем случае не перемножайте логарифмы, содержащие переменную x — уж слишком часто это приведет к возникновению лишних корней. Лучше сделайте один лишний шаг, перенесите одно слагаемое в другую сторону составьте каноническую форму.
Ну, а как поступать в том случае, если без перемножения таких логарифмов не обойтись, мы обсудим в следующем видеоуроке.:)
Еще раз о степенях в уравнении
Сегодня мы разберем довольно скользкую тему, касающуюся логарифмических уравнений, а точнее — вынесение степеней из аргументов и оснований логарифмов.
Я бы даже сказал, речь пойдет о вынесении четных степеней, потому что именно с четными степенями возникает большинство затруднений и при решении реальных логарифмических уравнений.
Начнем с канонической формы. Допустим, у нас есть уравнение вида logaf(x) = b. В этом случае мы переписываем число b по формуле b = logaab. Получается следующее:
logaf(x) = logaab
Затем мы приравниваем аргументы:
f(x) = ab
Канонической формой называется предпоследняя формула. Именно к ней стараются свести любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным и страшным оно не казалось на первый взгляд.
Вот давайте и попробуем. Начнем с первой задачи:
Предварительное замечание: как я уже говорил, все десятичные дроби в логарифмическом уравнении лучше перевести ее в обычные:
0,001 = 1/1000
0,5 = 5/10 = 1/2
Перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Заметим, что и 1/1000, и 100 являются степенью десятки, а затем вынесем степени отовсюду, где они есть: из аргументов и даже из основания логарифмов:
И вот здесь у многих учеников возникает вопрос: «Откуда справа взялся модуль?» Действительно, почему бы не написать просто (х − 1)? Безусловно, сейчас мы напишем (х − 1), но право на такую запись нам дает учет области определения. Ведь в другом логарифме уже стоит (х − 1), и это выражение должно быть больше нуля.
Но когда мы выносим квадрат из основания логарифма, мы обязаны оставить в основании именно модуль. Поясню почему.
Дело в том, что с точки зрения математики вынесение степени равносильно извлечению корня. В частности, когда из выражения (x− 1)2 выносится квадрат, мы по сути извлекаем корень второй степени. Но корень из квадрата — это не что иное как модуль. Именно модуль, потому что даже если выражение х − 1 будет отрицательным, при возведении в квадрат «минус» все равно сгорит. Дальнейшее извлечение корня даст нам положительное число — уже без всяких минусов.
В общем, чтобы не допускать обидных ошибок, запомните раз и навсегда:
Корень четной степени из любой функции, которая возведена в эту же степень, равен не самой функции, а ее модулю:
Возвращаемся к нашему логарифмическому уравнению. Говоря про модуль, я утверждал, что мы можем безболезненно снять его. Это правда. Сейчас объясню почему. Строго говоря, мы обязаны были рассмотреть два варианта:
- x− 1 > 0 ⇒ |х − 1| = х − 1
- x − 1 < 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Каждый из этих вариантов нужно было бы решить. Но есть одна загвоздка: в исходной формуле уже присутствует функция (х − 1) без всякого модуля. И следуя области определения логарифмов, мы вправе сразу записать, что х − 1 > 0.
Это требование должно выполняться независимо от всяких модулей и других преобразований, которые мы выполняем в процессе решения. Следовательно, второй вариант рассматривать бессмысленно — он никогда не возникнет. Даже если при решении этой ветки неравенства мы получим какие-то числа, они все равно не войдут в окончательный ответ.
В общем, можно считать, что |х − 1| = х − 1. Тогда наше уравнение перепишется в следующем виде:
Теперь мы буквально в одном шаге от канонической формы логарифмического уравнения. Давайте представим единицу в следующем виде:
1 = logx − 1 (x− 1)1
Кроме того, внесем множитель −4, стоящий справа, в аргумент:
logx − 1 10−4 = logx − 1 (x− 1)
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Избавляемся от знака логарифма:
10−4 = x− 1
Но поскольку в основании стояла функция (а не простое число), дополнительно потребуем, чтобы эта функция была больше нуля и не равна единице. Получится система:
Поскольку требование х − 1 > 0 выполняется автоматически (ведь х − 1 = 10−4), одно из неравенств можно вычеркнуть из нашей системы. Второе условие также можно вычеркнуть, потому что х − 1 = 0,0001 < 1. Итого получаем:
х = 1 + 0,0001 = 1,0001
Это единственный корень, который автоматически удовлетворяет всем требованиям области определения логарифма (впрочем, все требования были отсеяны как заведомо выполненные в условиях нашей задачи).
Итак, второе уравнение:
3 log3xx = 2 log9xx2
Чем это уравнение принципиально отличается от предыдущего? Уже хотя бы тем, что основания логарифмов — 3х и 9х — не являются натуральными степенями друг друга. Следовательно, переход, который мы использовали в предыдущем решении, невозможен.
Давайте хотя бы избавимся от степеней. В нашем случае единственная степень стоит во втором аргументе:
3 log3xx = 2 ∙ 2 log9x|x|
Впрочем, знак модуля можно убрать, ведь переменная х стоит еще и в основании, т.е. х > 0 ⇒ |х| = х. Перепишем наше логарифмическое уравнение:
3 log3xx = 4 log9xx
Получили логарифмы, в которых одинаковые аргументы, но разные основания. Как поступить дальше? Вариантов тут множество, но мы рассмотрим лишь два из них, которые наиболее логичны, а самое главное — это быстрые и понятные приемы для большинства учеников.
Первый вариант мы уже рассматривали: в любой непонятной ситуации переводите логарифмы с переменным основанием к какому-нибудь постоянному основанию. Например, к двойке. Формула перехода проста:
Разумеется, в роли переменной с должно выступать нормальное число: 1 ≠ c > 0. Пусть в нашем случае с = 2. Теперь перед нами обычное дробно-рациональное уравнение. Собираем все элементы слева:
Очевидно, что множитель log2x лучше вынести, поскольку он присутствует и в первой, и во второй дроби.
Дальше все просто. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
log2x = 0;
х = 1;
3 log2 9х = 4 log2 3x
Разбиваем каждый log на два слагаемых:
log2 9х = log2 9 + log2x = 2 log2 3 + log2 x;
log2 3x = log2 3 + log2x
Перепишем обе части равенства с учетом этих фактов:
3 (2 log2 3 + log2x) = 4 (log2 3 + log2x)
6 log2 3 + 3 log2x = 4 log2 3 + 4 log2x
2 log2 3 = log2x
Теперь осталось внести двойку под знак логарифма (она превратится в степень: 32 = 9):
log2 9 = log2x
Перед нами классическая каноническая форма, избавляемся от знака логарифма и получаем:
х = 9
Как и предполагалось, этот корень оказался больше нуля. Осталось проверить область определения. Посмотрим на основания:
3х ≠ 1
9х ≠ 1
Но корень x = 9 удовлетворяет этим требованиям. Следовательно, он является окончательным решением.
Вывод из данного решения просто: не пугайтесь длинных выкладок! Просто в самом начале мы выбрали новое основание наугад — и это существенно усложнило процесс.
Но тогда возникает вопрос: какое же основание является оптимальным? Об этом я расскажу во втором способе.
Давайте вернемся к нашему исходному уравнению:
3 log3xx = 2 log9xx2
3 log3xx = 2 ∙ 2 log9x |x|
х > 0 ⇒ |х| = х
3 log3xx = 4 log9xx
Теперь немного подумаем: какое число или функция будет оптимальным основанием? Очевидно, что лучшим вариантом будет с = х — то, что уже стоит в аргументах. В этом случае формула logab = logcb/logca примет вид:
Другими словами, выражение просто переворачивается. При этом аргумент и основание меняется местами.
Эта формула очень полезна и очень часто применяется при решении сложных логарифмических уравнений. Однако при использовании этой формулы возникает один очень серьезный подводный камень. Если вместо основания мы подставляем переменную х, то на нее накладываются ограничения, которых ранее не наблюдалось:
0 < х ≠ 1
Такого ограничения в исходном уравнении не было. Поэтому следует отдельно проверить случай, когда х = 1. Подставим это значение в наше уравнение:
3 log3 1 = 4 log9 1
0 = 0
Получаем верное числовое равенство. Следовательно, х = 1 является корнем. Точно такой же корень мы нашли в предыдущем методе в самом начале решения.
А вот теперь, когда мы отдельно рассмотрели этот частный случай, смело полагаем, что х ≠ 1. Тогда наше логарифмическое уравнение перепишется в следующем виде:
3 logx 9x = 4 logx 3x
Раскладываем оба логарифма по той же формуле, что и раньше. При этом заметим, что logxx = 1:
3 (logx 9 + logxx) = 4 (logx 3 + logxx)
3 logx 9 + 3 = 4 logx 3 + 4
3 logx 32 − 4 logx 3 = 4 − 3
2 logx 3 = 1
Вот мы и пришли к канонической форме:
logx 9 = logxx1
x = 9
Получили второй корень. Он удовлетворяет требованию х ≠ 1. Следовательно, х = 9 наравне с х = 1 является окончательным ответом.
Как видим, объем выкладок немножко сократился. Но при решении реального логарифмического уравнения количество действий будет намного меньше еще и потому, что от вас не требуется столь подробно расписывать каждый шаг.
Ключевое правило сегодняшнего урока состоит в следующем: если в задаче присутствует четная степень, из которой извлекают корень такой же степени, то на выходе мы получи модуль. Однако этот модуль можно убрать, если обратить внимание на область определения логарифмов.
Но будьте внимательны: большинство учеников после этого урока считают, что им все понятно. Но при решении реальных задач они не могут воспроизвести всю логическую цепочку. В результате уравнение обрастает лишними корнями, а ответ получается неправильным.
Поэтому обязательно практикуйтесь: скачивайте задачи для самостоятельной работы, решайте их и сравнивайте с ответами. А у меня на сегодня все.:)
Смотрите также:
- Логарифмические уравнения: несколько видеоуроков по теме
- Квадратные уравнения относительно логарифма
- Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №2
- Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
- Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
www.berdov.com
Логарифмические неравенства, примеры решений
Теория по логарифмическим неравенствам
Решение логарифмических неравенств основывается на свойстве монотонности логарифмической функции: функция монотонно возрастает, если , и монотонно убывает, если . При этом учитывается, что подлогарифмическое выражение может принимать только положительные значения. Таким образом, для неравенства вида
при потенцировании, для значений знак неравенства сохраняется; а для значений , меняется на противоположный.
В случае если переменная содержится и в основании, и в подлогарифмическом выражении, например , решение разбивается два случая, когда и, когда , то есть
Так же некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной.
Примеры
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Производные логарифмов и логарифмическое дифференцирование
Что можно сказать о производной логарифмической функции y = lnx на основании таблицы производных? Можно сказать, что она существует и выражается формулой
(1)
Однако в большинстве задач математического анализа, с которыми придётся столкнуться в дальнейшем, присутствует сложная логарифмическая функция. Она вычисляется несколько иначе.
В случае сложной логарифмической функции y = lnu, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (1) примет вид
(2)
Пользуясь формулой (2), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть
В результате применения свойств логарифмов:
Так как — постоянный множитель, то
или
(3)
Если функция дана в виде
,
то перед тем, как находить её производную, часто бывает выгодно прологарифмировать эту функцию.
Это прежде всего случаи, когда требуется найти производную произведения или частного функций, а также степенной функции, когда основание и степень — функции.
На основании свойств сложных функций доказано, что производная функции, вид которой приведён выше, может быть найдена по формуле
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируем обе части равенства и находим:
Решение. Окончательно находим производную данной функции:
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируем обе части равенства:
Дифференцируем:
Выражаем и находим производную данной функции:
Поделиться с друзьями
Весь блок «Производная»
function-x.ru
Логарифмические уравнения на примерах
Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнения
Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов — положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.
Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида
Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)
В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравнении
удобно сделать замену и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.
Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.
Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примера
На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.
Пример 1. Решить уравнение.
Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в виде
Делаем замену
и переписываем
Умножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант
Корни уравнения приобретут значения
Возвращаемся к замене и находим
Уравнение имеет два решения
Пример 2. Решить уравнение.
Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмов
Учитывая что уравнение примет вид
Переносим слагаемое за знаком равенства в правую сторону
Оба множители приравниваем к нулю и находим
Пример 3. Решить уравнение.
Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравнения
делаем замену
и сводим уравнение к квадратному
Дискриминант такого уравнения принимает нулевое значение — уравнение имеет два одинаковых решения
Возвращаемся к замене которую делали выше
Пример 4. Решить уравнение.
Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравнения
Логарифмическое уравнение упростится до следующего
Поскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеем
Расписываем и решаем с помощью дискриминанта
Второй корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.
Пример 5. Найти решение уравнения .
Решение. Выполняем упрощения уравнения
По свойству переходим ко второй основы во втором логарифме
По правилу логарифмирования имеем
Сводим уравнение к квадратному и решаем его
Дискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности два
Пример 6. Найти решение уравнения.
Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к виду
и подставим в уравнение
Поскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравнения
Выполняем замену и сводим к квадратному уравнению
Возвращаемся к замене и вычисляем
Пример 7. Найти решение уравнения.
Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.
Упростим сначала второй логарифм
Дальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифм
Приравниваем к правой части уравнения и упрощаем
Как видите — решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.
При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.
yukhym.com
Логарифмы и их свойства: определение и алгоритм решения
Рассмотрим уравнение ax = b, при a > 0 и a не равном единице. Это уравнение не имеет решений при b меньшем либо равным нулю. И имеет единственное решение при b > 0. Данное решение называют логарифмом b по основанию a b и обозначают следующим образом:
loga(b)
Логарифмом числа b по основанию f называется показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получилось число b.
a(loga(b)) = b.
Данная формула называется основным логарифмическим тождеством. Она верна для любого положительного не равного единице a, и любого положительного b.
Примеры логарифмов
Рассмотрим несколько примеров:
1. Найти значение log2(32). 32 можно представить как 25. То есть для того, чтобы нам получить число 32, необходимо двойку возвести в пятую степень. Следовательно, log2(32) = 5.
2. Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3. Так как (√3)4 = 1/9, получаем, что log√3(1/9) = -4.
3. Найти х такое, что будет верно неравенство: log8(x) = 1/3. Применим основное логарифмическое тождество:
x = 8(log8(x)) = 8(1/8) = 2.
Свойства логарифмов
У логарифмов есть несколько свойств, которые прямо следуют из свойств показательной функции. Основные свойства логарифмов:
1. loga(1) = 0;
2. loga(a) = 1;
3. loga(x*y) = loga(x) + loga(x) — логарифм произведения равен сумме логарифмов;
4. logx(x/y) = loga(x) — loga(y) — логарифм частного равен разности логарифмов;
5. loga(xp) = p* loga(x) — логарифм степени будет равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
Приведенные выше свойства будут справедливы для любого положительного числа а, не равного единице, любых положительны x и y, и любого действительного p.
Для логарифмов существует формула перехода к новому основанию:
loga(x) = (logb(x))/(logb(a)).
Данная формула будет иметь смысл лишь в том случае, когда обе её части будут иметь смысл. То есть должны выполняться следующие условия:
x > 0, a > 0,b > 0, a не равно единице, b не равно единице.
Логарифмы основанием которых является число 10, называются десятичными логарифмами. Логарифмы, основанием которых является число e, называются натуральными логарифмами.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Решение показательных уравнений и неравенств: алгоритм решения и примеры
Следующая тема:   Логарифмическая функция: основные свойства и графики
Все неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru