Как находить среднюю линию треугольника? Основные свойства, определения и способы :: SYL.ru
Порой темы, которые объясняют в школе, могут быть не всегда понятны с первого раза. Особенно это касается такого предмета, как математика. Но все становится намного сложнее, когда эта наука начинает подразделяться на две части: алгебру и геометрию.
Каждый ученик может обладать способностью к одному из двух направлений, но особенно в начальных классах важно понять базу и алгебры, и геометрии. В геометрии одной из главных тем принято считать раздел о треугольниках.
Как находить среднюю линию треугольника? Давайте разбираться.
Основные понятия
Для начала чтобы разобраться, как находить среднюю линию треугольника, важно понимать, что же это.
Для проведения средней линии нет ограничений: треугольник может быть любым (равнобедренным, равносторонним, прямоугольным). И все свойства, которые относятся к средней линии, будут действовать.
Средняя линия треугольника является отрезком, соединяющим середины 2-х его сторон. Следовательно, любой треугольник может иметь 3 таких линии.
Свойства
Чтобы знать, как находить среднюю линию треугольника, обозначим ее свойства, которые необходимо запомнить, иначе без них будет невозможным решение задач с необходимостью обозначить длину средней линии, поскольку все полученные данные необходимо обосновать и аргументировать теоремами, аксиомами или свойствами.
- Средняя линия параллельна стороне данной геометрической фигуры и равна ее 1/2. Это говорит о том, что если, к примеру, сторона равна 8, то средняя линия будет равна 4.
- Проводя в данной геометрической фигуре всевозможные средние линии, мы получим 4 треугольника, равных и подобных друг другу. Также их коэффициент подобия будет равен 1/2.
- И последнее свойство о том, что одна проведенная средняя линия делит основной треугольник на трапецию и треугольник.
Таким образом, чтобы ответить на вопрос: «Как найти среднюю линию треугольника АВС?», достаточно знать одну из сторон треугольника.
Приведем пример
Взгляните на рисунок. На нем представлен треугольник ABC со средней линией DE. Обратим внимание, что она параллельна основанию AC в треугольнике. Следовательно, каким бы ни было значение AC, средняя линия DE будет в два раза меньше. К примеру, AC=20, значит DE=10 и т. д.
Вот такими несложными способами можно понять, как находить среднюю линию треугольника. Запомните ее основные свойства и определение, и тогда у вас никогда не возникнет проблем с нахождением ее значения.
www.syl.ru
Средняя линия треугольника
Понятие средней линии треугольника
Введем понятие средней линии треугольника.
Определение 1
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (Рис. 1).
Рисунок 1. Средняя линия треугольника
Теорема о средней линии треугольника
Теорема 1
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник $ABC$. $MN$ — средняя линия (как на рисунке 2).
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Так как $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$, то треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит
Также, отсюда следует, что $\angle A=\angle BMN$, значит $MN||AC$.
Теорема доказана.
Следствия из теоремы о средней линии треугольника
Следствие 1: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 3).
Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1
По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда
Аналогично доказывается, что
Теорема доказана.
Следствие 2: Три средние линии треугольника делят его на 4 треугольника, подобных исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$ со средними линиями $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2
Рассмотрим треугольник $A_1B_1C$. Так как $A_1B_1$ — средняя линия, то
Угол $C$ — общий угол этих треугольников. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.
Аналогично доказывается, что треугольники $A_1C_1B$ и $ABC$, и треугольники $C_1B_1A$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.
Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Так как $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ — средние линии треугольника, то
Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.
Теорема доказана.
Примеры задачи на понятие средней линии треугольника
Пример 1
Дан треугольник со сторонами $16$ см, $10$ см и $14$ см. Найти периметр треугольника, вершины которого лежат в серединах сторон данного треугольника.
Решение.
Так как вершины искомого треугольника лежат в серединах сторон данного треугольника, то его стороны — средние линии исходного треугольника. По следствию 2, получим, что стороны искомого треугольника равны $8$ см, $5$ см и $7$ см.
\[P=8см+5см+7см=20\ см\]Ответ: $20$ см.
Пример 2
Дан треугольник $ABC$. Точки $N\ и\ M$ — середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно (Рис. 5).
Рисунок 5.
Периметр треугольника $BMN=14$ см. Найти периметр треугольника $ABC$.
Решение.
Так как $N\ и\ M$ — середины сторон $BC$ и $AB$, то $MN$ — средняя линия. Значит
\[AB=2MB,\ BC=2BN\]По теореме 1, $AC=2MN$. Получаем:
\[P_{ABC}=AB+BC+AC=2MB+2BN+2MN=2P_{BMN}=28\ см\]Ответ:
$28$ см.spravochnick.ru
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника. Здравствуйте, друзья! Сегодня теоретический материал, связан он с треугольником. В составе экзамена имеется группа заданий, в которых используется свойство его средней линии. Причём не только в задачах с треугольниками, но и с трапециями. Была на блоге статья, в которой сии факты я предлагал просто запомнить, теперь подробнее…
Что такое средняя линия треугольника и каковы её свойства?
Средняя линия треугольника. Определение
Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника.
Понятно, что средних линий в треугольнике три. Покажем их:
Без всяких доказательств вы уже, наверное, заметили, что все четыре образованные треугольника равны. Это так, но подробнее об этом поговорим далее.
Средняя линия треугольника. Теорема
Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство:
1. Давайте рассмотрим треугольники BMN и BAC. По условию у нас BM=MA, BN=NC. Можем записать:
Следовательно треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия). Что из этого следует? А то что:
По признаку параллельности прямых MN||AC.
2. Также из подобия треугольников следует, что
То есть MN в два раза меньше. Доказано!
Средняя линия треугольника. Задача
Решим типичную задачу.
Задача. В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN=12, MK=10, KN=8.
Решение. Конечно, прежде всего следует проверить существование треугольника MNK (а значит и существование треугольника АВС). Сумма двух меньших сторон должна быть более третьей стороны, записываем 10+8>12. Выполнятся, следовательно треугольник существует.
Построим эскиз:
Таким образом периметр треугольника АВС равен 24+20+16=60.
Ответ: 60
*Теперь подробнее о треугольниках полученных при построении всех трёх средних линий. Их равенство легко доказывается. Посмотрите:
Равны они по трём сторонам. Конечно, и другие признаки здесь применимы. Получаем, что
Как это свойство используется в заданиях включённых в состав экзамена? Особо хочется заострить внимание на задачах по стереометрии. Есть такие типы, в которых речь идет о треугольной призме.
Например, сказано что плоскость проходит через середины сторон основания и она параллельна третьему ребру основания. Ставятся вопросы о изменении площади поверхности призмы, её объёма и другие.
Так вот. Зная и понимая информацию изложенную выше вы сразу же определите, что эта плоскость отсекает от основания указанной призмы одну четвёртую часть и задачу решите устно. Вот статья на блоге с такими задачами.
На этом всё! Всего доброго!
Скачать материал статьи
С уважением, Александр Крутицких.
Делитесь информацией сайта в социальных сетях!
matematikalegko.ru
Средняя линия треугольника — это… Что такое Средняя линия треугольника?
- Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.[1]
Свойства средней линии треугольника:
- средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;
- при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции.
Свойство средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям трапециии равна их полусумме.
Примечания
- Реддлы
- Бег на длинные дистанции
Смотреть что такое «Средняя линия треугольника» в других словарях:
Средняя линия — фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция. Содержание 1 Средняя линия треугольника 1.1 Свойства … Википедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… … Большая политехническая энциклопедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Большой Энциклопедический словарь
средняя линия — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Энциклопедический словарь
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… … Математическая энциклопедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Естествознание. Энциклопедический словарь
Средняя линия — 1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… … Большая советская энциклопедия
Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника … Википедия
Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
Коллинеарные точки — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
dic.academic.ru
Как найти среднюю линию треугольника
Автор КакПросто!
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Соответственно, всего у треугольника три средних линии. Зная свойство средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, можно найти длину средней линии.
Статьи по теме:
Вам понадобится
- Стороны треугольника, углы треугольника
Инструкция
Пусть в треугольнике ABC MN — средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.
Следовательно, для определения длины средней линии треугольника достаточно знать длину стороны именно этой третьей стороны.
Пусть теперь известны стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Так как MN — средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.Тогда по теореме косинусов справедливо: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсюда, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
Если известны стороны AB и AC, то среднюю линию MN можно найти, зная угол ABC или ACB. Пусть, например, известен угол ABC. Так как по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN — соответствующие, и, следовательно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следовательно, сторону MN можно найти из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
Как найти среднюю линию треугольника
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины 2-х его сторон. Соответственно, каждого у треугольника три средних линии. Зная качество средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, дозволено обнаружить длину средней линии.
Вам понадобится
- Стороны треугольника, углы треугольника
Инструкция
1. Пускай в треугольнике ABC MN – средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины 2-х сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.Следственно, для определения длины средней линии треугольника довольно знать длину стороны именно этой третьей стороны.
2. Пускай сейчас вестимы стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Потому что MN – средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.Тогда по теореме косинусов объективно: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсель, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Если знамениты стороны AB и AC, то среднюю линию MN дозволено обнаружить, зная угол ABC либо ACB. Пускай, скажем, знаменит угол ABC. Потому что по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN – соответствующие, и, следственно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следственно, сторону MN дозволено обнаружить из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Квадратный треугольник больше верно именуется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры детально рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.
Вам понадобится
- – лист бумаги;
- – ручка;
- – таблицы Брадиса;
- – калькулятор.
Инструкция
1. Обнаружьте сторону прямоугольного треугольника с поддержкой теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты. Дабы применить это уравнение, надобно знать длину всяких 2-х сторон прямоугольного треугольника .
2. Если по условиям заданы размеры катетов, разыщите длину гипотенузы. Для этого с поддержкой калькулятора извлеките квадратный корень из суммы катетов, всякий из которых заранее возведите в квадрат.
3. Вычислите длину одного из катетов, если вестимы размеры гипотенузы и иного катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и вестимого катета, также возведенного в квадрат.
4. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса. В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов. Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .
5. Обнаружьте катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin ?, b = c*cos ?, где а – катет, противолежащий к углу ?, b – катет, прилежащий к углу ?. Сходственным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и иной острый угол: b = c*sin ?, a = c*cos ?, где b – катет, противолежащий к углу ?, а – катет, прилежащий к углу ?.
6. В случае, когда вестим катет a и прилежащий к нему острый угол ?, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов неизменно равна 90°: ? + ? = 90°. Разыщите значение угла, противолежащего к катету а: ? = 90° – ?. Либо воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg ? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg ?.
7. Если вестим катет а и противолежащий к нему острый угол ?, при помощи таблиц Брадиса, калькулятора и тригонометрических функций вычислите гипотенузу по формуле: c=a*sin ?, катет: b=a*tg ?.
Видео по теме
jprosto.ru
чему равна средняя линия треугольника
половине стороны лежащей против того же угла, что и средняя линия — той стороны, через середину которой она НЕ проходит Вообще читай учебник — а не спрашивай почём зря то, что можно прочитать в ЛЮБОМ школьном учебнике по геометрии
средняя линия-линия,являющаяся медианой,биссектрисой и высотой одновременно.Т.е такое возможно в равностороннем треугольнике.Достраивай свой до равностороннего и думай дальше
она равна половине стороне которой параллельна
touch.otvet.mail.ru