Уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости
Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом между прямой и осью Ox называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости (рисунок снизу, прямая обозначена красным цветом).
Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол считается равным нулю.
Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка , лежащая на этой прямой, и угол наклона прямой к оси Ox.
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле
, (1)
где — координаты точки , — угловой коэффициент прямой.
После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида
. (2)
Пример 1. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угловой коэффициент и прямая проходит через точку .
Решение. Используя формулу (1), получаем:
Получили уравнение вида (2).
Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:
Пример 2. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угол наклона прямой и прямая проходит через точку .
Решение. Находим угловой коэффициент, то есть тангенс угла наклона прямой:
Теперь, используя формулу (1), получаем:
Получили уравнение вида (2).
Проверяем — подставляем координаты точки в полученное уравнение, в нашем случае получается верное равенство:
Решая задачи контрольных работ, надо стараться сделать проверку (для себя), даже если этого не требует условие задачи.
Как видно на примерах 1 и 2, из возможности проверки верного равенства следует возможность установить, принадлежит ли прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, любая точка плоскости с заданными координатами. Проиллюстрируем это следующим примером.
Применяя соотношение (1), легко решить следующую задачу: составить уравнение прямой, которая проходит через две данные точки и .
В аналитической геометрии доказано, что угловой коэффициент искомой прямой можно вычислить по формуле:
. (3)
Нам остаётся лишь применять эту формулу.
Пример 4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если она проходит через точки и .
Решение. По формуле (3) находим угловой коэффициент:
.
Теперь, используя формулу (1), получаем:
Итак, получили уравнение вида (2).
Проверяем — подставляем координаты точек в полученное уравнение, получаются верные равенства:
Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.
Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.
Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1. В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.
Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, проведённой через две данные точки и .
Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):
.
Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.
Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как в примере 1:
Итак, получили уравнение вида (2).
Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой. Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:
для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
Всё по теме «Прямая на плоскости
function-x.ru
Уравнение прямой по двум точкам ≪ Scisne?
Пусть известно, что прямая проходит через две точки: и . Требуется составить уравнение прямой.Общий вид уравнения прямой , где , — фиксированные числа.
Искомая прямая с пока неизвестными коэффициентами , проходит через точки и , а значит выполняются равенства и , что можно записать в виде системы:
или в более привычном виде
Решив систему относительно неизвестных и , мы найдем уравнение прямой.
Пример:
Пусть прямая проходит через точки A(0;2) и B(6;0). Найдите уравнение прямой.
Решение:
Составляем систему
Решив ее, найдем, что , . Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид .
scisne.net
Общее уравнение прямой на плоскости
Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.
Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии — составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.
Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: . Координаты точки — и .
Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:
(1).
Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали к ней .
Решение. Используя формулу (1), получаем:
Из примера 1 видно, что координаты вектора нормали пропорциональны числам A и B из общего уравнения прямой на плоскости. Это не совпадение, а закономерность! Поэтому в общем случае, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то вектор нормали к прямой можно записать так: .
Пример 2. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать вектор нормали к этой прямой.
Решение. В заданном уравнении , . Поэтому вектор нормали запишется:
.
Если вектор нормали перпендикулярен искомой прямой, то направляющий вектор параллелен ей. Направляющий вектор обычно записывается так: . Имеет место следующая зависимость координат направляющего вектора от чисел A и B общего уравнения прямой: .Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и её направляющий вектор .
Решение. Используя формулу (2), имеем:
.
Далее путём преобразований получаем:
На всякий случай сделаем проверку — подставим в полученное общее уравнение прямой координаты точки, которая должна ей принадлежать:
.
Получили верное равенство. А координаты вектора связаны с числами A и B уравнения закономерностью . Значит, задание выполнено корректно.
Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать направляющий вектор к этой прямой.
Решение. В заданном уравнении , . Поэтому направляющий вектор запишется:
.
Решая задачи контрольных работ, особенно, если задач много и к концу контрольной студент стремится наверстать упущенное за время обдумывания заданий, можно запутаться в знаках, записывая вектор нормали и направляющий вектор. Будьте внимательны!
Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно составить по формуле
. (3)
Полученное выражение следует преобразовать к виду общего уравнения прямой.
Пример 5. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точки и .
Решение. Используя формулу (3), имеем:
.
Далее путём преобразований получаем:
Получили общее уравнение плоскости.
Во многих задачах аналитической геометрии возникает необходимость преобразовать уравнения одного вида к уравнению другого вида. Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой делается достаточно просто: в уравнении вида всё переносим в левую часть, а в правой остаётся нуль. Получается уравнение вида .
Пример 7. Дано уравнение прямой с угловым коэффициентом . Записать уравнение этой прямой в общем виде и направляющий вектор этой прямой.
Решение. Всё переносим в левую часть, а в правой оставляем нуль:
.
Получили общее уравнение прямой. В нём . Поэтому направляющий вектор запишется так:
.
Рассмотрим особенности расположения прямой на плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты общего уравнения прямой равны нулю.
1. При уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат, так как кординаты точки удовлетворяют этому уравнению.
3. При уравнение определяет ось Ox, так как эта прямая одновременно параллельна оси Ox и проходит через начало координат. Аналогично, при уравнение определяет ось Oy.
Всё по теме «Прямая на плоскости
function-x.ru
Уравнение прямой, формулы и примеры
Прямая является одним из фундаментальных понятий геометрии.
Свойства прямой в евклидовой геометрии
1) через любую точку можно провести бесконечно много прямых;
2) через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую;
3) две несовпадающие прямые на плоскости либо пересекаются в единственной точке, либо являются параллельными;
4) в трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются; прямые параллельны; прямые скрещиваются.
Общее уравнение прямой
Здесь и — произвольные постоянные, причём коэффициенты и не равны нулю одновременно.
Например. .
Частные случаи расположения прямой- Если коэффициент , то прямая параллельна оси абсцисс.
Например. .
- В случае, когда постоянная , то прямая параллельна оси ординат.
Например. .
- Если , то прямая проходит через начало координат .
Например. .
Для прямой (1), заданной общим уравнением, нормальный вектор имеет координаты
Уравнение прямой по точке и нормальному вектору
Если известно, что прямая проходит через точку и имеет нормальный вектор (2), то ее уравнение имеет вид:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если известно, что прямая проходит через точку и ее угловой коэффициент равен , то ее уравнение имеет вид:
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает ось в точке , а ось ординат — в точке , то ее уравнение
Нормальное уравнение прямой
где — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, — угол между положительным направлением оси и направлением этого перпендикуляра.
Если , то прямая проходит через начало координат.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
Если прямая проходит через две точки и , то она задается уравнением
или
Уравнение (4) называется еще каноническим уравнением прямой.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Если прямая проходит через точку в направлении вектора , то ее уравнение
Параметрические уравнения прямой
Здесь — координаты направляющего вектора , — координаты точки (абсцисса и ордината соответственно), через которую проходит прямая, — параметр.
Уравнение прямой в полярных координатах
здесь — полярный радиус, — полярный угол.
ru.solverbook.com