Решите неравенство (x^2-16)*(x-5)
Дано неравенство:$$\left(x — 5\right) \left(x^{2} — 16\right) Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 5\right) \left(x^{2} — 16\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x — 5\right) \left(x^{2} — 16\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x — 5 = 0$$
$$x^{2} — 16 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x — 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 5$$
Получим ответ: x1 = 5
2.
$$x^{2} — 16 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -16$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-16) = 64
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
Данные корни
$$x_{3} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 5\right) \left(x^{2} — 16\right) $$\left(-16 + \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}\right) \left(-5 — \frac{41}{10}\right)
-7371 ------
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x_____ _____ \ / \ -------ο-------ο-------ο------- x3 x2 x1
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 4 \wedge x
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство x^2-16>o (х в квадрате минус 16 больше o)
Дано неравенство:$$x^{2} — 16 > o$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} — 16 = o$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$x^{2} — 16 = o$$
в
$$- o + x^{2} — 16 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = — o — 16$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-16 - o) = 64 + 4*o
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64} + — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} — 16 > o$$
$$\left(\frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64} + — \frac{1}{10}\right)^{2} — 16 > o$$
2
/ __________\
| 1 \/ 64 + 4*o | > o
-16 + |- -- + ------------|
\ 10 2 / Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2} \sqrt{4 o + 64} \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 3^(x^2)-16>0 (3 в степени (х в квадрате) минус 16 больше 0)
Дано неравенство:$$3^{x^{2}} — 16 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{x^{2}} — 16 = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = — \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{1} = — \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
_________
\/ log(16) 1
- ----------- - --
________ 10
\/ log(3) =
$$- \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
/ 2\ |/ _________ \ | || \/ log(16) 1 | | ||- ----------- - --| | || ________ 10| | \\ \/ log(3) / / 3 - 16 > 0
/ 2\
|/ _________\ |
|| 1 \/ log(16) | |
||- -- - -----------| | > 0
|| 10 ________| |
\\ \/ log(3) / /
-16 + 3 значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (3 \right )}}}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство x^4-15*x^2-16
Дано неравенство:$$x^{4} — 15 x^{2} — 16 Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} — 15 x^{2} — 16 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x^{4} — 15 x^{2} — 16 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} — 15 v — 16 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -15$$
$$c = -16$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-15)^2 - 4 * (1) * (-16) = 289
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 16$$
$$v_{2} = -1$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = — \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = — \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = 16$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 16$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 16$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{4} — 15 x^{2} — 16
4 2 /-11 \ /-11 \ |----| - 15*|----| - 16-326859 --------
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x_____ _____ \ / -------ο-------ο------- x2 x1
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 16$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x^2-16)*(3-x)
Дано неравенство:$$\left(- x + 3\right) \left(x^{2} — 16\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- x + 3\right) \left(x^{2} — 16\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(- x + 3\right) \left(x^{2} — 16\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$- x + 3 = 0$$
$$x^{2} — 16 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$- x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-x = -3
Разделим обе части ур-ния на -1
x = -3 / (-1)
Получим ответ: x1 = 3
2.
$$x^{2} — 16 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -16$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-16) = 64
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -4$$
Данные корни
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(- x + 3\right) \left(x^{2} — 16\right) \leq 0$$
/ 2 \ |/-41 \ | / -41 \ ||----| - 16|*|3 - ----|5751 ----
но5751 ---- >= 0 1000
Тогда
$$x \leq -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 3$$_____ _____ / \ / -------•-------•-------•------- x3 x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 3$$
$$x \geq 4$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x^2+3*x)^2
Дано неравенство:$$\left(x^{2} + 3 x\right)^{2} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x^{2} + 3 x\right)^{2} = 16$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x^{2} + 3 x\right)^{2} = 16$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x — 1\right) \left(x + 4\right) \left(x^{2} + 3 x + 4\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x — 1 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$x^{2} + 3 x + 4 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x — 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x1 = 1
2.
$$x + 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -4$$
Получим ответ: x2 = -4
3.
$$x^{2} + 3 x + 4 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = 4$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(3)^2 - 4 * (1) * (4) = -7
Т.к. D не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{3} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{4} = — \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{4} = — \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x^{2} + 3 x\right)^{2} $$\left(\frac{-123}{10} 1 + \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}\right)^{2}
203401 ------
но203401 ------ > 16 10000
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -4 \wedge x_____ / \ -------ο-------ο------- x2 x1
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство (x+4)^2>16 ((х плюс 4) в квадрате больше 16)
Дано неравенство:$$\left(x + 4\right)^{2} > 16$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 4\right)^{2} = 16$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$\left(x + 4\right)^{2} = 16$$
в
$$\left(x + 4\right)^{2} — 16 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x + 4\right)^{2} — 16 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + 8 x = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 8$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(8)^2 - 4 * (1) * (0) = 64
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -8$$
Данные корни
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 4\right)^{2} > 16$$
$$\left(- \frac{81}{10} + 4\right)^{2} > 16$$
1681 ---- > 16 100
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 0$$
www.kontrolnaya-rabota.ru