Задача 89 — точка максимума
Условие
Найдите точку максимума функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+49}{x}$.
Решение
Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти область определения функции
- Найти производную рассматриваемой функции
- Найти подозрительные на экстремумы точки (те точки, в которых производная заданной функции равна нулю или не существует)
- Отметить найденные точки на числовой прямой, определить знаки производной на получившихся промежутках
- Сделать вывод о характере точек экстремума, найти необходимые точки
Областью определения функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+49}{x}$являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.
То есть, $x\ne 0$
Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой частное. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной частного:
\[{{\left( \frac{f}{q} \right)}^{‘}}=\frac{{{f}^{‘}}\cdot g-f\cdot {{g}^{‘}}}{{{g}^{2}}}\]
А также правилом вычисления производной от элементарной, степенной функции и константы:
\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{‘}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{‘}}=C \\& {{\left( C \right)}^{^{‘}}}=0 \\ \end{align}\]
Вычислим ${{y}^{‘}}$:
\[\begin{align}& {{y}^{‘}}=-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+49 \right)}^{‘}}x-{{x}^{‘}}\left( {{x}^{2}}+49 \right)}{{{x}^{2}}} \\ & {{y}^{‘}}=-\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-49}{{{x}^{2}}} \\ & {{y}^{‘}}=\frac{49-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}} \\ \end{align}\]
Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+49}{x}$, а, следовательно, и экстремума в этой точке быть не может, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.
Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{‘}}=0$, не забывая о том, что $x\ne 0$:
\[\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}\frac{49-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}\left( 7-x \right)\left( 7+x \right)=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}=7,{{x}_{2}}=-7\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]
Отметив на рисунке, все точки, в которых производная может менять знак, определим поведение функции:
Получаем:
при $x < -7$ производная ${{y}^{‘}} < 0$, а значит, функция $y=-\frac{{{x}^{2}}+49}{x}$ убывает на этом промежутке,
при $-7 < x < 7$, $x\ne 0$ производная ${{y}^{‘}} > 0$, а значит, функция $y=-\frac{{{x}^{2}}+49}{x}$возрастает на этом промежутке,
при $x > 7$ производная ${{y}^{‘}} < 0$, а значит, функция $y=-\frac{{{x}^{2}}+49}{x}$ убывает на этом промежутке.
Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с + на –, а значит, точкой максимума функции $y=-\frac{{{x}^{2}}+49}{x}$является точка $x=7$.
Правильный ответ
$x=7$
Смотрите также:
- Как считать логарифмы еще быстрее
- Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
- Умножение и деление дробей
- Комбинаторика в задаче B6: средний тест
- Как решать задачу 18: графический подход
- Как формулы приведения работают в задаче B11
www.berdov.com
Найдите точку максимума функции y = –x^2 + 49 / x
Задание.
Найдите точку максимума функции y = -x^2 + 49 / x.
Решение.
Начнем с того, что найдем промежутки, для которых функция будет существовать. Рассмотрим ее уравнение:
Из него видно, что это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз. К тому же есть одно ограничение — функция не может существовать при х = 0.
Теперь нужно найти производную функцию от заданной:
Для того, чтобы получить критические точки, нужно производную функцию приравнять к нулю и решить уравнение:
Домножим уравнение на квадрат х, чтобы избавиться от дроби:
Упростим уравнение, сократив его на —2:
Получили кубическое уравнение:
Его можно решить приближенно так:
Получили только одну точку с подозрением на экстремум. Найдем значение функции в этой точке:
Проверим, является ли найденная точка точкой максимума. Для этого вычислим знак производной на промежутках до х = —2,9 и после этого значения:
— функция убывает
Ответ. Точка (—2,9; —25,31) — точка максимума.
Эту же задачу можно было решить более быстрым способом. Как оговаривалось в начале решения, что графиком функции будет парабола с ветвями, направленными вниз. А как известно, у такой параболы максимальной точкой является точка вершины. Поэтому можно было вычислить просто координаты точки вершины. Но представленный здесь алгоритм является более универсальным и подойдет для решения многих подобных задач.
ru.solverbook.com
Найдите точку максимума функции y = — (x^2 + 49) / x….
Ответ оставил Гость
Область определения функции:
Вычислим производную функции:
Приравниваем производную функции к нулю.
Дробь равен нулю, если числитель равен нулю:
___-___(-7)__+__(0)___+__(7)____-___
В окрестности производная функции меняет знак с на . Следовательно, точка — точка максимума.
Оцени ответ
shkolniku.com
| 1 | Вычислить | 6^3-4^3-7^2 | |
| 2 | Найти медиану | 11 , 13 , 5 , 15 , 14 | , , , , |
| 3 | Найти объем | сфера (5) | |
| 4 | Вычислить | квадратный корень 12 | |
| 5 | Преобразовать в десятичную форму | 3/8 | |
| 6 | Преобразовать в десятичную форму | 5/8 | |
| 7 | Найти длину окружности | окружность (5) | |
| 8 | Вычислить | 10^2 | |
| 9 | Вычислить | квадратный корень 75 | |
| 10 | График | y=2x | |
| 11 | Вычислить | квадратный корень 48 | |
| 12 | Найти площадь | окружность (5) | |
| 13 | Найти площадь | окружность (6) | |
| 14 | Вычислить | 3^4 | |
| 15 | Вычислить | 5^3 | |
| 16 | Вычислить | 2^4 | |
| 17 | Вычислить | квадратный корень 32 | |
| 18 | Вычислить | квадратный корень 18 | |
| 19 | Вычислить | квадратный корень 2 | |
| 20 | Вычислить | квадратный корень 25 | |
| 21 | Вычислить | квадратный корень 8 | |
| 22 | Найти площадь | окружность (4) | |
| 23 | Разложить на простые множители | 360 | |
| 24 | Вычислить | 3^-2 | |
| 25 | Вычислить | 2+2 | |
| 26 | Преобразовать в десятичную форму | 1/3 | |
| 27 | Вычислить | квадратный корень 9 | |
| 28 | Вычислить | квадратный корень 64 | |
| 29 | Преобразовать в десятичную форму | 3/5 | |
| 30 | Вычислить | квадратный корень 20 | |
| 31 | Вычислить | pi | |
| 32 | Вычислить | -3^2 | |
| 33 | Вычислить | 2^3 | |
| 34 | Вычислить | (-3)^3 | |
| 35 | Вычислить | квадратный корень 27 | |
| 36 | Вычислить | квадратный корень 5 | |
| 37 | Вычислить | квадратный корень 50 | |
| 38 | Вычислить | квадратный корень 16 | |
| 39 | Преобразовать в десятичную форму | 3/4 | |
| 40 | Преобразовать в десятичную форму | 2/3 | |
| 41 | Найти площадь | окружность (3) | |
| 42 | Вычислить | 3^2 | |
| 43 | Вычислить | -9^2 | |
| 44 | Вычислить | квадратный корень 72 | |
| 45 | Преобразовать в десятичную форму | 2/5 | |
| 46 | Вычислить | квадратный корень 100 | |
| 47 | Найти объем | сфера (3) | |
| 48 | Вычислить | 2^5 | |
| 49 | Множитель | x^2-4 | |
| 50 | Вычислить | -8^2 | |
| 51 | Вычислить | -6^2 | |
| 52 | Вычислить | -7^2 | |
| 53 | Вычислить | -3^4 | |
| 54 | Вычислить | (-2)^3 | |
| 55 | Множитель | x^2-9 | |
| 56 | Найти объем | сфера (6) | |
| 57 | Найти площадь | окружность (8) | |
| 58 | Вычислить | квадратный корень 81 | |
| 59 | Вычислить | кубический корень 64 | |
| 60 | Вычислить | кубический корень 125 | |
| 61 | Вычислить | квадратный корень 169 | |
| 62 | Вычислить | квадратный корень 225 | |
| 63 | Вычислить | квадратный корень 3 | |
| 64 | Преобразовать в десятичную форму | 1/4 | |
| 65 | Преобразовать в смешанную дробь | 5/2 | |
| 66 | Преобразовать в десятичную форму | 1/2 | |
| 67 | Множитель | x^2-16 | |
| 68 | Вычислить | 5^2 | |
| 69 | Вычислить | 4^-2 | |
| 70 | Вычислить | 8^2 | |
| 71 | Преобразовать в смешанную дробь | 13/4 | |
| 72 | Вычислить | квадратный корень 24 | |
| 73 | Вычислить | квадратный корень 28 | |
| 74 | Вычислить | кубический корень 27 | |
| 75 | Найти длину окружности | окружность (4) | |
| 76 | Найти площадь | окружность (7) | |
| 77 | Найти объем | сфера (2) | |
| 78 | График | y=3x | |
| 79 | Найти объем | сфера (4) | |
| 80 | Найти длину окружности | окружность (6) | |
| 81 | Вычислить | квадратный корень 150 | |
| 82 | Вычислить | квадратный корень 45 | |
| 83 | Вычислить | 4^3 | |
| 84 | Вычислить | 2^-3 | |
| 85 | Вычислить | 2^2 | |
| 86 | Вычислить | -(-3)^3 | |
| 87 | Вычислить | 3^3 | |
| 88 | Вычислить | квадратный корень 54 | |
| 89 | Вычислить | квадратный корень 10 | |
| 90 | Найти длину окружности | окружность (3) | |
| 91 | Преобразовать в смешанную дробь | 10/3 | |
| 92 | Преобразовать в десятичную форму | 2/5 | |
| 93 | Разложить на простые множители | 36 | |
| 94 | Вычислить | квадратный корень 144 | |
| 95 | Вычислить | (-7)^2 | |
| 96 | Множитель | x^2+5x+6 | |
| 97 | Вычислить | (-4)^3 | |
| 98 | Вычислить | (-5)^3 | |
| 99 | Вычислить | 10^2 | |
| 100 | Вычислить | 6^2 |
www.mathway.com