Синус косинус тангенс теоремы – Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Будем измерять величины углов в радианах. Поворот координатной плоскости вокруг начала координат на угол $\alpha $ радиан будем обозначать символом $R^{\alpha }$.

Через $P_{\alpha }$ будем обозначать точку единичной окружности $x^2+y^2=1$ которая получается из точки $P_0$ с координатами $(1,0)$ путем поворота плоскости вокруг начала координат на угол $\alpha $.

Рассмотрим в Декартовой системе координат окружность с радиусом $R >0$ и центром $(0,0)$ (рис. 1).

Рисунок 1. Окружность радиуса $R >0$.

$\left[OB\right]$ получается из $\left[OA\right]=R$ путем поворота на угол $\alpha $ радиан. Пусть $x$ и $y$ абсцисса и ордината точки $B$, соответственно, тогда

Так как в определениях синуса и косинуса их значения не зависят от радиуса окружности, то можно принять $R=1$. Поэтому, другим способом, тригонометрические значения определяются следующим образом:

Определение 1

Синусом острого угла называется ордината единичной окружности, которая получается из точки $(1,\ 0)$ путем поворота на угол $\alpha $ радиан.

Определение 2

Косинусом острого угла называется абсцисса единичной окружности, которая получается из точки $(1,\ 0)$ путем поворота на угол $\alpha $ радиан.

Определение 3

Тангенсом угла называется отношение значения синуса этого угла к значению косинуса этого угла.

Определение 4

Котангенсом угла называется отношение значения косинуса этого угла к значению синуса этого угла.

Основное тригонометрическое тождество

Определение 5

Проверим следующее тождество:

\[{sin}^2A+{cos}^2A=1\]

Для этого будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ c прямым углом $C$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Из него получим

\[{\left(\frac{BC}{AB}\right)}^2+{\left(\frac{AC}{AB}\right)}^2=\frac{{BC}^2+{AC}^2}{{AB}^2}\]

Из теоремы Пифагора мы знаем, что ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно

\[{sin}^2A+{cos}^2A=\frac{{BC}^2+{AC}^2}{{AB}^2}=\frac{{AB}^2}{{AB}^2}=1\]

Это тождество называется основным тригонометрическим тождеством.

Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Вычислим значения для углов в ${30}^{{}^\circ },\ {45}^{{}^\circ }$ и ${60}^{{}^\circ }$. Для этого вспомним следующую теорему.

Пусть для начала у нас $\angle A={30}^{{}^\circ }$. Так как треугольник прямоугольный, то $\angle B={60}^{{}^\circ }$.

По теореме 1, имеем $AB=2BC$.

Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:

Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.

Пусть теперь $\angle A={45}^{{}^\circ }$. Тогда $\angle B={45}^{{}^\circ }$, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора ${BC}^2+{AC}^2={AB}^2$, следовательно, ${AB}^2={2BC}^2=2{AC}^2$, то есть

Тогда

Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).

Рисунок 3.

Пример задачи

Пример 1

Найти все тригонометрические значения угла $A$, если$AB=25,\ BC=20,\ AC=15.$

Решение.

Все решение задачи будем производить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 2).

\[sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{20}{25}=0,8\] \[cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{25}=0,6\] \[tgA=\frac{BC}{AC}=\frac{20}{15}=1\frac{1}{3}\] \[ctgA=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{20}=0,75\]

spravochnick.ru

кто знает что такое синус косинус и тангенс?? пожалуйсто обьясните на примере,а не теоремами!!!!

Щас.. . это легко Оси координат себе представляешь? Ну вот.. . Начерти окружность с центров в ноле и радиусом 1. Берешь и чертишь любой луч (отрезок) , который выходит их точки 0 и пересекает окружность. Окружность пересекает пускай в точке А. у тебя получился угол. Из точки А опускаешь перпендикуляры на ось ОХ и ОУ. Это ты получила координаты точки А. так вот координата х - это косинус, координата у - это синус. Отсюда кстати понятно почему sin А в квадрате + cosА в квадрате =1. так как это катеты прямоугольного треугольника и сумма их квадратов равна гипотенузе, которая является радиусом и равняется единице для любого угла. Че непонятно пиши в комментах - расскажу В итоге sin - отношение противолежащего катета к гипотенузе cos - отношение прилежащего катета к гипотенузе tg - отношение sin к cos или противолежащего катета к прилежащему

Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему

В теореме куда понятнее.... отношение углов. Прилежащего к противолежащему, и. т. д Это же элементарно. Имеется в виду отношение угловых величин.

Синус - проекция точки единичной окружности на ординату числовой оси, а косинус - на абсциссу. Тангенс это отношение синуса к косинусу. <img src="//content.foto.my.mail.ru/mail/qxz_550/_answers/i-2.jpg" >

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции угла: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec). Их можно определить как отношения длины r и проекций а и b на оси координат радиуса-вектора, образующего с положительным направлением оси Ох угол (или отсекающего дугу) a. Именно: sin a=b/r, cos a=a/r, tg a=b/a, сtg a=a/b, sec a=r/а, cosec a=r/b. Играют важнейшую роль в математике.

Вас в классе заперли и не пообещали не выпускать пока не сдадите экзамен?

SIN и COS-это тригонометрические гармонические функции, при этом синус-функция несимметричная, а косинус-симметричная. Катринки есть в любом учебнике. Ну а тангенс-есть отношение синуса к косинусу. Незнание элементарных функций опасно для жизни.

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе. Отношение синуса к косинусу есть тангенс.

touch.otvet.mail.ru

При решении прямоугольных треугольников мы использовали только определения основных тригонометрических функций.

3ГОНОМЕТРИЯ     В НАЧАЛО
 

РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1. Теорема синусов
2. Теорема косинусов

3. Формулы для вычисления площади треугольника
4.Теорема тангенсов

5.Решение треугольника по двум его углам и стороне
6.Решение  треугольника по двум сторонам и углу между ними.
7.Решение   треугольника по двум  сторонам и углу, противолежащему одной из них.

8.Решение треугольника по трём сторонам

При решении прямоугольных треугольников мы использовали только определения основных тригонометрических функций. Для решения же косоугольных треугольников нам потребуется знание зависимостей между сторонами и тригонометрическими функциями углов косоугольных треугольников, известные как теоремы синусов, косинусов и тангенсов. К выводу этих теорем мы и переходим.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: a, b и с — стороны треугольника; А, В и С — противолежащие им углы; S — площадь; 2р — периметр; R — радиус описанного круга;

r — радиус вписанного круга; hа, lа и mа — высота, биссектриса и медиана, соответствующие стороне а.

 

1. Теорема синусов

Теорема. Во  всяком  треугольнике  стороны  пропорциональны синусам противолежащих углов:

Доказательство. Опишем круг около данного треугольника ABC . Пусть R — радиус этого круга. Возьмём одну из вершин треугольника, например А; через одну из других вершин, например через В, проведём диаметр ВА' описанного круга. Вспомогательный треугольник А'ВС прямоугольный, так как вписанный угол А'СВ опирается на диаметр. Из вспомогательного треугольника найдём:

а = 2Rsin A'.

Если   угол   А  острый, то А = А', так как вписанные углы A и A' опираются на одну и ту же дугу.
Если угол А тупой, то угол А' острый, измеряющийся половиной дуги ВАС:

Итак, или A = А', или A' =   — A, в обоих случаях    sin A' = sin A,    а потому

а  = 2R sin A. (1)

Если угол A  прямой, то а = 2R, sin A = 1 и равенство (1) также справедливо.

Аналогичные равенства найдём и для прочих углов В и С. Итак,

а = 2R sin A;  b = 2R sin В;  с = 2R sin С,   откуда

= 2R

Следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около треугольника.

Упражнения.

2. Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

а2 =b2 + с2 - 2bc cos А

b2 =c2 + a2 - 2ca cos B

c2 =a2 + b2 - 2ab cos C

 

Доказательство.   Докажем первое равенство.

Случай 1. Угол A острый.

Пусть ВН — высота, опущенная из вершины В ; из геометрии известно (см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 208), что
а2 = b2 + с2 -2b · АН.       (1)
Из прямоугольного треугольника АВН найдём
АН = с cos А; подставив в формулу (1), получим доказываемое равенство.

 

Случай 2. Угол A тупой.
В этом случае а2 = b2 + с2 +2b · АН.     (2)
(см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 209)

Из треугольника АВН найдём:
АН = с cos
 BAH=

с cos ( -A) = — с cos A.

Подставив в формулу (2), получим доказываемое равенство.

Случай 3.   Угол А прямой.

В этом случае (по теореме Пифагора): а2 = b2 + с2 = b2 + с2 - 2bc cos А (так как cos А = 0).

Итак, во всех случаях

а2 =b2 + с2 - 2bc cos А

 

Упражнения

 3. Формулы для вычисления площади треугольника

1. Из геометрии известна формула Г е р о н а: S = \/р (р - а)(р - b) (р - с) (где р = (а+ b+c)/2 -полупериметр ), позволяющая вычислять   площадь треугольника по его сторонам.

2. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = 1/2 bc sin A.

Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины.

S = 1/2 b · hb          (1)

Если угол А острый, то из треугольника АВН  найдём                      ВН = hb = с sin A.

Если угол A тупой, то ВН = hb = с sin (-A) = с sin A. Если угол A прямой, то sin A = 1 и
hb = АВ = с = с sin A.

Следовательно, во всех случаях hb = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу.

Точно так же получим формулы:    S = 1/2 ab sin C = 1/2 ac sin B

3. На основании теоремы синусов:

Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:

Упражнения

4.Теорема тангенсов

Теорема. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

(и две аналогичные формулы для прочих пар сторон а, с и b, с).

Доказательство.  В силу теоремы синусов имеем:

Разделив почленно эти равенства, получим доказываемую формулу.

 

 5.Решение треугольника по двум его углам и стороне

Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.Даны В, С и а; требуется найти b, с и А.

Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным: А + В < 180°— будем считать выполненным.
Можно считать известными все три угла, так как А = 180° — (В + С).

Для вычисления сторон b и с достаточно применить теорему синусов:

,   откуда  

Площадь вычисляется по формуле:              

 

6.Решение  треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача. Даны две стороны треугольника и угол между ними; вычислить третью сторону и два других угла.

Пусть, например, даны а, b и С, требуется вычислить А, В и с.

Решение. Формула косинусов даёт выражение стороны с непосредственно через известные элементы:

с = \/ а2 + b2 — 2ab cos С

Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов:

а2 =b2 + с2 - 2bc cos А

Так как 0 < А < 180°, то

 ;   (ясно, что достаточно найти лишь один из углов, третий же угол легко определить исходя из суммы углов треугольника)

 

7.Решение   треугольника по двум  сторонам и углу, противолежащему одной из них.

Задача. Даны две стороны треугольника и угол А, лежащей против одной из них; вычислить третью сторону и два остальных угла.

Пусть даны a, b и А; требуется вычислить B, С и с

Решение.

С л у ч а й 1. а > b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны.

Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А.
Построение всегда возможно, задача имеет единственное решение.

Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:

откуда                   

и затем С = 180° — (A + В).  Сторона с находится по теореме синусов:

С л у ч а й 2. а < b, т. e. угол A лежит против меньшей стороны; поэтому он не может быть тупым или прямым.
Следовательно, при А > 90° задача не имеет решения.
Пусть угол А острый. Из построения на чертеже a) , видно, что окружность радиуса а с центром в точке С пересечёт другую сторону угла А в двух точках при условии а > CD, где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки С на другую сторону угла A. Так как CD = b sin A (из треугольника ACD), то условие запишется так: a >bsinA. Для угла В возможны два значения: В = В1 (острый) и В = В2 (тупой). Задача имеет два решения.

a)

Значения угла В вычисляются по теореме синусов:           

откуда              и   B2 = 180° - B1    Значения угла С и стороны с вычисляются так же, как в предыдущем случае.

Из чертежа b) видно, что при CD = b sin А > а окружность не пересечёт другой стороны угла А; задача не имеет решений.

В этом   случае    и угол В вычислить нельзя.

При CD = b sin А задача имеет единственное решение: треугольник ABC прямоугольный.

 

b)

Случай 3. а = b. В этом случае треугольник ABC равнобедренный. Такой треугольник можно решить, разбразбив его высотой CD на два прямоугольных треугольника:

В = А; С = 180° — 2А;   с = 2AD = 2а cos A.

 

8.Решение треугольника по трём сторонам

Задача.   Даны три стороны треугольника; вычислить его углы.

Пусть даны длины трёх сторон треугольника. Обозначим через а меньшую сторону, через b — среднюю, а через с — большую: а < b < с.

По трём данным сторонам можно построить единственный треугольник, если большая сторона меньше суммы двух других сторон: с < а + b. Если же с > а + b, то треугольник с данными сторонами не существует.  Будем считать,  что с < а + b.

Решение1.

Углы треугольника можно вычислить по теореме косинусов: а2 =b2 + с2 - 2bc cos А    
b2 =c2 + a2 - 2ca cos B, откуда

 и   (тал как 0°< А <180°).

Аналогично найдём:  и,   наконец,  С =180°- (А + В).

 

Решение 2. Вычислим сначала площадь треугольника (формула Герона):S = \/р (р - а)(р - b) (р - с) , где р = (а+ b+c)/2

Имеем далее: S = 1/2 bc sin A. откуда

Угол А острый, так как он лежит против меньшей стороны; следовательно,

 и,  наконец,  С = 180° — (А + В)

Упражнения
3ГОНОМЕТРИЯ     В НАЧАЛО

oldskola1.narod.ru

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Войти
  • Регистрация
  • Схемы
    • Биология
    • География
    • История
    • Математика и алгебра
    • Медицина
    • Обществознание
    • Педагогика
    • Политология
    • Право
    • Психология
    • Русский язык
    • Социология
    • Физика
    • Философия
    • Химия
    • Экономика
    • Прочее
  • Книги
    • Биология
    • География
    • История
    • Математика и алгебра
    • Медицина
    • Обществознание
    • Педагогика
    • Политология
    • Право
    • Психология
    • Русский язык
    • Социология
    • Физика
    • Философия
    • Химия
    • Экономика
    • Прочее

xn--e1aogju.xn--p1ai

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *