Синус косинус тангенс теоремы – Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

При решении прямоугольных треугольников мы использовали только определения основных тригонометрических функций. Для решения же косоугольных треугольников нам потребуется знание зависимостей между сторонами и тригонометрическими функциями углов косоугольных треугольников, известные как теоремы синусов, косинусов и тангенсов. К выводу этих теорем мы и переходим.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями:

1. Теорема синусов

Теорема. Во  всяком  треугольнике  стороны  пропорциональны синусам противолежащих углов:

Доказательство. Опишем круг около данного треугольника ABC . Пусть R — радиус этого круга. Возьмём одну из вершин треугольника, например А; через одну из других вершин, например через В, проведём диаметр ВА’ описанного круга. Вспомогательный треугольник А’ВС прямоугольный, так как вписанный угол А’СВ опирается на диаметр. Из вспомогательного треугольника найдём:

а = 2Rsin A’.

Если   угол   А  острый, то А = А’, так как вписанные углы A и A’ опираются на одну и ту же дугу.
Если угол А тупой, то угол А’ острый, измеряющийся половиной дуги ВАС:

Итак, или A = А’, или A’ =   — A, в обоих случаях    sin A’ = sin A,    а потому

а  = 2R sin A. (1)

Аналогичные равенства найдём и для прочих углов В и С. Итак,

а = 2R sin A;  b = 2R sin В;  с = 2R sin С,   откуда

^{= 2R}

Следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около треугольника.

2. Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

а² =b² + с² — 2bc cos А

b² =c² + a² — 2ca cos B

c² =a² + b² — 2ab cos C

Доказательство.   Докажем первое равенство.

Случай 1. Угол A острый.

Пусть ВН — высота, опущенная из вершины В ; из геометрии известно (см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 208), что
а² = b² + с² -2b · АН.       (1)
Из прямоугольного треугольника АВН найдём
АН = с cos А; подставив в формулу (1), получим доказываемое равенство.

Случай 2. Угол A тупой.
В этом случае а² = b² + с² +2b · АН.     (2)
(см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 209)

Из треугольника АВН найдём:
АН = с cos /  BAH= с cos ( -A) = — с cos A.

Подставив в формулу (2), получим доказываемое равенство.

Случай 3.   Угол А прямой.

В этом случае (по теореме Пифагора): а² = b² + с² = b² + с² — 2bc cos А (так как cos А = 0).

Итак, во всех случаях

а² =b² + с² — 2bc cos А

 3. Формулы для вычисления площади треугольника

1. Из геометрии известна формула Г е р о н а: S = \/р (р — а)(р — b) (р — с) (где р = (а+ b+c)/2 -полупериметр ), позволяющая вычислять   площадь треугольника по его сторонам.

2. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = ¹/₂ bc sin A.

Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины.

S = ¹/₂ b · h_b          (1)

Если угол А острый, то из треугольника АВН  найдём                      ВН = h_b = с sin A.

Если угол A тупой, то ВН = h_b = с sin (-A) = с sin A. Если угол A прямой, то sin A = 1 и
h_b = АВ = с = с sin A.

Следовательно, во всех случаях h_b = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу.

Точно так же получим формулы:    S = ¹/₂ ab sin C = ¹/₂ ac sin B

3. На основании теоремы синусов:

Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:

4.Теорема тангенсов

Теорема. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

(и две аналогичные формулы для прочих пар сторон а, с и b, с).

Доказательство.  В силу теоремы синусов имеем:

Разделив почленно эти равенства, получим доказываемую формулу.

 5.Решение треугольника по двум его углам и стороне

Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.Даны В, С и а; требуется найти b, с и А.

Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным: А + В < 180°— будем считать выполненным.
Можно считать известными все три угла, так как А = 180° — (В + С).

Для вычисления сторон b и с достаточно применить теорему синусов:

,   откуда  

Площадь вычисляется по формуле:              

6.Решение  треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача. Даны две стороны треугольника и угол между ними; вычислить третью сторону и два других угла.

Пусть, например, даны а, b и С, требуется вычислить А, В и с.

Решение. Формула косинусов даёт выражение стороны с непосредственно через известные элементы:

с = \/ а² + b² — 2ab cos С

Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов:

а² =b² + с² — 2bc cos А

Так как 0 < А < 180°, то

 ;   (ясно, что достаточно найти лишь один из углов, третий же угол легко определить исходя из суммы углов треугольника)

7.Решение   треугольника по двум  сторонам и углу, противолежащему одной из них.

Задача. Даны две стороны треугольника и угол А, лежащей против одной из них; вычислить третью сторону и два остальных угла.

Пусть даны a, b и А; требуется вычислить B, С и с

Решение.

С л у ч а й 1. а > b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны.

Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А.
Построение всегда возможно, задача имеет единственное решение.

Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:

откуда                   

и затем С = 180° — (A + В).  Сторона с находится по теореме синусов:

С л у ч а й 2. а < b, т. e. угол A лежит против меньшей стороны; поэтому он не может быть тупым или прямым.
Следовательно, при А > 90° задача не имеет решения.
Пусть угол А острый. Из построения на чертеже a) , видно, что окружность радиуса а с центром в точке С пересечёт другую сторону угла А в двух точках при условии а > CD, где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки С на другую сторону угла A. Так как CD = b sin A (из треугольника ACD), то условие запишется так: a >bsinA. Для угла В возможны два значения: В = В₁ (острый) и В = В₂ (тупой). Задача имеет два решения.

a)

Значения угла В вычисляются по теореме синусов:           

откуда              и   B₂ = 180° — B₁    Значения угла С и стороны с вычисляются так же, как в предыдущем случае.

Из чертежа b) видно, что при CD = b sin А > а окружность не пересечёт другой стороны угла А; задача не имеет решений.

В этом   случае    и угол В вычислить нельзя.

При CD = b sin А задача имеет единственное решение: треугольник ABC прямоугольный.

b)

Случай 3. а = b. В этом случае треугольник ABC равнобедренный. Такой треугольник можно решить, разбразбив его высотой CD на два прямоугольных треугольника:

В = А; С = 180° — 2А;   с = 2AD = 2а cos A.

8.Решение треугольника по трём сторонам

Задача.   Даны три стороны треугольника; вычислить его углы.

Пусть даны длины трёх сторон треугольника. Обозначим через а меньшую сторону, через b — среднюю, а через с — большую: а < b < с.

По трём данным сторонам можно построить единственный треугольник, если большая сторона меньше суммы двух других сторон: с < а + b. Если же с > а + b, то треугольник с данными сторонами не существует.  Будем считать,  что с < а + b.

Решение1.

Углы треугольника можно вычислить по теореме косинусов: а² =b² + с² — 2bc cos А    
b² =c² + a² — 2ca cos B, откуда

 и   (тал как 0°< А <180°).

Аналогично найдём:  и,   наконец,  С =180°- (А + В).

Решение 2. Вычислим сначала площадь треугольника (формула Герона):S = \/р (р — а)(р — b) (р — с) , где р = (а+ b+c)/2

Имеем далее: S = ¹/₂ bc sin A. откуда

Угол А острый, так как он лежит против меньшей стороны; следовательно,

 и,  наконец,  С = 180° — (А + В)