Уравнение с корнем 3 – Иррациональные уравнения. Подробная теория с примерами.

Иррациональное уравнение с тремя корнями. Решение примера.

Решить иррациональное уравнение .

Подобные иррациональные уравнения с тремя квадратными корнями с переменной под каждым из них можно решать методом возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень. Напомним, какие действия составляют указанный метод решения:

• Во-первых, от исходного уравнения переходят к более простому уравнению. Это достигается циклическим выполнением трех следующих действий:
  • уединение радикала;
  • возведение обеих частей уравнения в степень;
  • упрощение вида уравнения.
• Дальше решается полученное уравнение.
• Наконец, если ранее проводилось возведение в четную степень, то выполняется проверка для отсеивания посторонних корней.

Проделаем описанные манипуляции.

В нашем примере участвуют три радикала. Избавиться от них в подобных случаях позволяет двукратное выполнение тройки действий – уединение радикала, возведение обеих частей в степень, упрощение вида уравнения.

Выполним первый проход.

Уединение радикала не требуется, так как в правой части уравнения мы уже имеем уединенный радикал.

Мы имеем дело с квадратными корнями, поэтому возведем обе части уравнения в квадрат: .

Упростим вид полученного уравнения, последовательно осуществляя ряд преобразований уравнения. Формула сокращенного умножения «квадрат суммы» и определение корня позволяют нам провести несколько замен выражений тождественно равными им выражениями:

Дальше видна возможность подготовиться ко второму проходу цикла из трех действий, а именно, уединить произведение радикалов:

Очевидно, после первого прохода мы избавились от трех изначально присутствующих радикалов, но обрели произведение радикалов. Поэтому, для избавления от него выполним тройку указанных выше действий еще раз.

Вновь в уединении радикала нет надобности, так как мы прозорливо уже уединили произведение радикалов на предыдущем шаге.

Переходим к возведению обеих частей уравнения в квадрат: .

И упрощаем вид полученного уравнения. Одно из свойств степеней, а именно, свойство степени произведения, позволяет заменить квадрат произведения в левой части уравнения произведением квадратов, имеем . На базе определения корня и формулы «квадрат разности» переходим к следующему уравнению . Дальнейшее упрощение вида уравнения не нуждается в комментариях:

Так после второго прохода цикла мы полностью освободились от радикалов и получили квадратное уравнение. Квадратные уравнения мы решать умеем, поэтому первый этап можно считать завершенным, и можно переходить ко второму этапу – к решению полученного уравнения.

Решим полученное квадратное уравнение x²−3·x−10=0 через дискриминант:

Остался третий этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень – отсеивание посторонних корней. В нашем случае этот этап пропустить нельзя, так как выше мы осуществляли возведение в четную степень, причем дважды, а это могло привести к возникновению посторонних корней. Более того, при некоторых преобразованиях уравнений расширялась область допустимых значений переменной x, что также могло породить посторонние корни. Так что отсеем посторонние корни. Сделаем это через подстановку найденных корней x₁=−2 и x₂=5 в исходное иррациональное уравнение:

www.cleverstudents.ru

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+

zaochnik.com

Как найти корни кубического уравнения 🚩 методы решения кубических уравнений 🚩 Математика

22 ноября 2011

Автор КакПросто!

Для решения кубических уравнений (полиномиальных уравнений третьей степени) разработано несколько методов. Самые известные из них основаны на применении формул Виета и Кардана. Но кроме этих способов существует более простой алгоритм нахождения корней кубического уравнения.

Статьи по теме:

Инструкция

Рассмотрите кубическое уравнение вида Ax³+Bx²+Cx+D=0, где A≠0. Найдите корень уравнения методом подбора. Примите во внимание, что один из корней уравнения третьей степени всегда является делителем свободного члена. Найдите все делители коэффициента D, то есть все целые числа (положительные и отрицательные), на которые свободный член D делится без остатка. Подставьте их поочередно в исходное уравнение на место переменной x. Найдите то число x1, при котором уравнение обращается в верное равенство. Оно и будет являться одним из корней кубического уравнения. Всего у кубического уравнения три корня (как вещественные, так и комплексные).

Разделите многочлен на Ax³+Bx²+Cx+D на двучлен (x-x1). В результате деления получится квадратный многочлен ax²+bx+c, остаток будет равен нулю.

Приравняйте полученный многочлен к нулю: ax²+bx+c=0. Найдите корни этого квадратного уравнения по формулам x2=(-b+√(b²−4ac))/(2a), x3=(-b−√(b²−4ac))/(2a). Они также будут являться корнями исходного кубического уравнения.

Рассмотрите пример. Пусть дано уравнение третьей степени 2x³−11x²+12x+9=0. A=2≠0, а свободный член D=9. Найдите все делители коэффициента D: 1, -1, 3, -3, 9, -9. Подставьте эти делители в уравнение вместо неизвестного x. Получается, 2×1³−11×1²+12×1+9=12≠0; 2×(-1)³−11×(-1)²+12×(-1)+9=-16≠0; 2×3³−11×3²+12×3+9=0. Таким образом, один из корней данного кубического уравнения x1=3. Теперь разделите обе части исходного уравнения на двучлен (x−3). В результате получается квадратное уравнение: 2x²−5x−3=0, то есть a=2, b=-5, c=-3. Найдите его корни: x2=(5+√((-5)²−4×2×(-3)))/(2×2)=3, x3=(5−√((-5)²−4×2×(-3)))/(2×2)=-0,5. Таким образом, кубическое уравнение 2x³−11x²+12x+9=0 имеет действительные корни x1=x2=3 и x3=-0,5.

На сегодняшний день миру известно несколько способов решения кубического уравнения. Самыми популярными считаются формула Кардана и тригонометрическая формула Виета. Однако, эти методы достаточно сложны и на практике почти не применяются. Ниже приведен наиболее простой способ решения кубического уравнения.

Инструкция

Итак, для того чтобы решить кубическое уравнение вида Ах³+Вх²+Сх+D=0, необходимо методом подбора найти один из корней уравнения. Корнем кубического уравнения всегда является один из делителей свободного члена уравнения. Таким образом, на первом этапе решения уравнения, нужно найти все целые числа, на которые свободный член D делится без остатка. Полученные целые числа поочередно подставляются в кубическое уравнение вместо неизвестной переменной x. То число, которое обращает равенство в верное, является корнем уравнения.

Один из корней уравнения найден. Для дальнейшего решения следует применить метод деления многочлена на двучлен. Многочлен Ах³+Вх²+Сх+D – является делимым, а двучлен х-х₁, где х₁, — первый корень уравнения — делителем. Результатом деления будет являться квадратный многочлен вида ах²+bx+с.

Если приравнять полученный многочлен к нулю ах²+bx+с =0, получится квадратное уравнение, корни которого и будут являться решением исходного кубического уравнения, т.е. x₂‚₃=(-b±√(b^2-4ac))/2a

Обратите внимание

При выполнении первого этапа решения уравнения, а именно, нахождению корня уравнения методом подбора, не следует забывать о целых отрицательных числах, которые также могут являться решением уравнения.

Источники:

• решение кубических уравнений

www.kakprosto.ru

Как решать уравнения с корнями: решение уравнений с корнем

#1

Каждое новое действие в математике мгновенно порождает обратное ему. Когда-то давно древние греки обнаружили, что квадратный кусок земли длиной и шириной в 2 метра будет иметь площадь 2*2 = 4 квадратных метра (в дальнейшем будет обозначаться m^2) . А теперь наоборот, если бы грек знал, что его участок земли квадратный и имеет площадь 4 m^2, как бы он узнал, какая длина и ширина его участка? Была введена операция, являющейся обратной к операции возведения в квадрат и стала называться извлечением квадратного корня. Люди стали понимать, что 2 в квадрате (2^2) равно 4. И наоборот, квадратный корень из 4 (далее будет обозначаться √(4) ) будет равен двойке. Модели усложнялись, записи, описывающие процессы с корнями, также усложнялись. Многократно возникал вопрос, как решить уравнение с корнем.

#2

Пусть некоторая величина x при умножении самой на себя один раз даёт 9. Это можно записать как x*x=9. Или же через степень: x^2=9. Чтобы найти х, следует извлечь корень из 9, что уже в какой-то степени является уравнением с радикалом: x=√(9) . Корень можно извлекать устно или использовать для этого калькулятор. Далее следует рассмотреть обратную задачу. Некая величина, при извлечении из неё квадратного корня, даёт значение 7. Если записать это в виде иррационального уравнения, получится: √(x) = 7. Для решения такой задачи необходимо обе части выражения возвести в квадрат. Учитывая, что √(x) *√(x) =x, получается x = 49. Корень сразу готов в чистом виде. Далее следует разобрать более сложные примеры уравнения с корнями.

#3

Пусть от некой величины отняли 5, затем выражение возвели в степень 1/2. В итоге было получено число 3. Теперь данное условие необходимо записать как уравнение: √(x-5) =3. Далее следует умножить каждую часть уравнения саму на себя: x-5 = 3. После возведения во вторую степень, выражение было избавлено от радикалов. Теперь стоит решить простейшее линейное уравнение, перенеся пятёрку в правую часть и поменяв её знак. x = 5+3. x = 8. К сожалению, не все жизненные процессы можно описать такими простыми уравнениями. Очень часто можно встретить выражения с несколькими радикалами, иногда степень корня может быть выше второй. Для таких тождеств не существует единого алгоритма решений. К каждому уравнению стоит искать особый подход. Приводится пример, в котором уравнение с корнем имеет третью степень.

#4

Корень кубический будет обозначаться 3√. Найти объём контейнера, имеющего форму куба со стороной 5 метров. Пусть объём равен x m^3. Тогда кубический корень из объёма будет равен стороне куба и равняться пяти метрам. Получено уравнение: 3√(x) =5. Для его решения необходимо возвести обе части в третью степень, x = 125. Ответ: 125 кубометров. Дальше пример уравнения с суммой корней. √(x) +√(x-1) =5. Сначала необходимо возвести обе части в квадрат. Для этого стоит вспомнить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Применив к уравнению, получается: x + 2*√(x) *√(x-1) +x-1 = 25. Далее корни оставляются в левой части, а всё остальное переносится в правую: 2*√(x) *√(x-1) = 26 — 2x. Удобно поделить обе части выражения на 2: √((x) (x-1) ) = 13 — x. Получено более простое иррациональное уравнение.

#5

Далее снова следует возвести обе части в квадрат: x*(x-1) = 169 — 26x + x^2. Надо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: x^2 — x = 169 — 26x + x^2. Вторая степень пропадает, отсюда 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Выполнив проверку, подставив полученный корень в изначальное уравнение: √(6,6) +√(6,6-1) = 2,6 + √(5,6) = 2,6 + 2,4 = 5, можно получить удовлетворительный ответ. Также очень важно понимать, что выражение с корнем чётной степени не может быть отрицательным. Действительно, умножая любое число само на себя чётное число раз, невозможно получить значение меньше нуля. Поэтому такие уравнения, как √(x^2+7x-11) = -3 можно смело не решать, а писать что уравнение корней не имеет. Как упоминалось выше, решение уравнений с радикалами может иметь самые разнообразные формы.

#6

Простой пример уравнения, где необходимо проводить замену переменных. √(y) — 5*4√(y) +6 = 0, где 4√(y) — корень четвёртой степени из y. Предлагаемая замена выглядит следующим образом: x = 4√(y) . Проведя таковую, получится: x^2 — 5x + 6 = 0. Получено приведённое квадратное уравнение. Его дискриминант: 25 — 4*6 = 25 — 24 = 1. Первый корень x1 будет равен (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Второй корень x2 = (5 — √1) /2 = 4/2 = 2. Также можно найти корни, воспользовавшись следствием из теоремы Виета. Корни найдены, следует провести обратную замену. 4√(y) = 3, отсюда y1 = 1,6. Также 4√(y) = 2, извлекая корень 4 степени получается что y2 = 1,9. Значения вычислены на калькуляторе. Но их можно и не делать, оставив ответ в виде радикалов.

uznay-kak.ru