Вычислить координаты вершин ромба если известны уравнения двух его сторон – задачи на прямую на плоскости

задачи на прямую на плоскости

BAC=180°-28°-12°30’=139°30′.

Ответ:ABC= 12°30′; BAC=28°; BCA=139°30′.

Задача №9

Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x+2y=4 и х+2у=10 и уравнение одной из его диагоналей у=х+2

Дано:

Найти: А,В,С и D.

Решение

а) Решим 2 системы из 2 линейных уравнений.

1) Первая x+2y=4 и y=x+2 даст одну вершину А ромба:

.

Вторая х+2у=10 и у=х+2 даст другую вершину С ромба:

.

б) Нашли середину диагонали: (1;3)

в) используя свойство ромба найдем его вторую диагональ (она будет перпендикулярна заданной) у=-x+b, подставим координаты середины отрезка АС — точки М пересечения координат М(1;3) найдем b=4 т.е вторая диагональ

у=-х+b,

b=x+y=1+3=4,

b=4.

y=-x+4.

г) Найдем точки пересечения ее со сторонами — это будут две другие вершины. Решим 2 системы из 2 линейных уравнений.

1) Первая x+2y=4 и y=-x+4 даст одну вершину В ромба:

2) Вторая х+2у=10 и у=-х+4 даст другую вершину Dромба:

Ответ А(0;2), В(4;0), С(2;4), D(-2;6)

studfiles.net

§ 5 Примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения

Основные методы составления уравнений прямых наглядно можно продемонстрировать на примере построения уравнений линейных элементов треугольника .

Пример15. Треугольник задан координатами своих вершин:,и(Рис. 9)

Найти:

  1. медиану;

  2. среднюю линию ;

  3. высоту

    ;

  4. биссектрису ;

  5. центр описанной окружности.

Решение.

  1. Найдем медиану . Вычислим координаты точки середины отрезка .

. Уравнениенайдем по двум точкам:

.

  1. Найдем среднюю линию .

Способ 1. Вычислим координаты середины стороны  точки .. Уравнениенайдем по двум точкам:

.

Способ 2. Найдем по точке

и направляющему вектору, в качестве которого можно взять вектор.

Вычислим: .

Тогда:

Очевидно, что для получилось то же уравнение, что и при первом способе.

  1. Уравнение высоты найдем по точке и перпендикулярному вектору, в качестве которого можно взять вектор.

.

  1. Биссектрису

    можно найти разными способами (Рис. 10). Но, если числовые данные в задаче специально не подобраны, то все эти способы приводят к громоздким вычислениям. Наиболее легким для запоминания является способ, основанный на следующем факте:

вектор суммы векторов одинаковой длины идет в точности по биссектрисе угла, образованного этими векторами (свойство ромба).

Поскольку требуется найти биссектрису угла , то возьмем два вектора, исходящих именно из этой вершины:и. Вычислим их длины:

;

.

Очевидно, что их длины не равны. А теперь от векторов иперейдем к их ортами, векторам с тем же направлением, но одинаковой единичной длины.

; .

Построим новый вектор

.

Этот вектор уже можно использовать в качестве направляющего для биссектрисы, но работать с ним нелегко. Вместо него можно взять другой вектор, попроще.

Корни, конечно, никуда не исчезли, но, по крайней мере, не стало дробей.

По формуле (9) имеем: 

Если Вам не нравится отрицательный коэффициент при , умножьте все уравнение на (1 ):

  1. Найдем центр окружности, описанной вокруг треугольника .

Он, как известно, находится в точке пересечения любых двух серединных перпендикуляров треугольника (Рис.11)..

Поскольку ранее были найдены координаты середин сторон

и, найдем уравнения серединных перпендикуляров именно к этим сторонам:и.

Для имеем:

точка

перпендикулярен

Для имеем:

точка

перпендикулярен

Найдем точку пересечения полученных серединных перпендикуляров:

и

Воспользуемся формулами Крамера:

; ; .

;

Задачи для самостоятельного решения

          1. Известны уравнения двух сторон ромба ,и уравнение одной из его диагоналей. Составить уравнение второй диагонали.Ответ: .

          2. Известны уравнения двух сторон ромба ,и уравнение одной из его диагоналей. Составить уравнение второй диагонали.Ответ: .

          3. Даны уравнения двух сторон параллелограмма ,и точка пересечения его диагоналей. Найти уравнения двух других сторон. Ответ: ,.

          4. Даны вершины треугольника ,и. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины

            на биссектрису внутреннего угла при вершине.Ответ: .

          5. Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой, проходящей через точкии.

Ответ:.

          1. Точки иявляются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

Ответ:и

          1. Найти прямые, принадлежащие пучку и перпендикулярные основным прямым пучка.

Ответ: ,.

          1. Даны стороны треугольника: ;и. Составить уравнения медианы , проходящей через вершину, и высоты, проходящей через вершину.Ответ: ,.

          2. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной являются отрезок прямой , концы которого лежат на осях координат.

Ответ: ,,или.

          1. Доказать, что четырехугольник с вершинами ,,и– трапеция. Найти точку пересечения средней линии трапеции и высоты, опущенной из вершины С на сторону .

Ответ:

          1. Вершины четырехугольника: ,,,. Доказать, что этот четырехугольник ромб. Найти точку пересечения перпендикуляра из вершины на сторонус прямой, проходящей через вершину и середину.

Ответ:

          1. Даны три из четырёх вершин трапеции :. Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершиныэтой трапеции.

Ответ:

ГЛАВА 2. Плоскость

§ 1 Вступление

В аналитической геометрии плоскость это геометрическое множество точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению

.

общее уравнение плоскости;

уравнение плоскости в отрезках,

где абсцисса точки пересечения плоскостис осью;ордината точки пересеченияс осью, ааппликата точки пересеченияс осью.

§ 2 Вывод уравнения плоскости при разных способах ее задания.

  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки ,и, не лежащие на одной прямой.

(15)

Чтобы получить общее уравнение плоскости , нужно символьно вычислить этот определитель, например, разложив его по первой строке.

Пример16. Даны вершины тетраэдра: ,,и. Найти уравнение грани.

Р

D(-1;0;5)

С(2;2;0)

А(3;-1;1)

В(-4;1;0)

ешение.
Замечу, что эту задачу можно решать «вслепую», без чертежа. Но для лучшего понимания методов решения, чертеж (хотя бы схематический) лучше все-таки нарисовать.

Обозначимпроизвольная точка плоскости, в которой лежит основание.

  • .

Окончательно .

(16)

Пример17.Даны вершины тетраэдра:,,и. Найти уравнение плоскости, проходящей через вершинуперпендикулярно ребру.

Решение.Искомая плоскостьизображена на Рис 13. Так как по условию плоскостьперпендикулярна боковому ребру, то векторперпендикулярен плоскости треугольника. Точка.

Тогда .

Пример 18. Известно, что точки: исимметричны относительно некоторой плоскости. Найти уравнение этой плоскости.

Р

B

ешение. Искомая плоскость изображена на Рис.14. Поскольку по условию точки исимметричны относительно плоскости, то они лежат на перпендикуляре к этой плоскости, проходящем черези. Так какиравноудалены от плоскости, то эта плоскость проходит через середину отрезка точку . Нарисуем вектори введем его аналитически. Вычислим координаты точки:. По формуле (16 ) построим уравнение искомой плоскости

/ поделим на ( 4) /   .

(17)

Замечание. Решение многих задач на составление уравнения плоскости на практике сводится к поиску трех компланарных векторов. Их смешанное произведение, как известно, равно нулю. В координатах смешанное произведение вычисляется с помощью определителя 3-го порядка, строки которого и есть координаты этих трех векторов. Именно в этом и заключается смысл формул (15) и (17 ).

Пример 19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторами.

Решение. Прежде всего заметим, что векторы ине параллельны, так как их координаты не пропорциональны(Рис.15). Далее, обозначим произвольная точка искомой плоскости. Нарисуем вектор и введем его аналитически. По условию искомая плоскость параллельна векторамиили, что то же самое, векторыипараллельны искомой плоскости . Это в свою очередь означает, что параллельным переносом векторыиможно переместить в плоскость вектора. Следовательно все три вектора,икомпланарны и их смешанное произведение, что в координатах дает уравнение



или .

  • Уравнение плоскости, проходящей через две заданных точки ,параллельно заданному вектору

(18)

Пример 20. Известно, что пространственная прямая , проходящая через точку, пересекает плоскостьв точке. Найти уравнение плоскости, проектирующей прямуюна данную плоскость(Рис. 16).

Решение. Две точки, через которые проходит искомая плоскость , уже имеются это точки и. По этим точкам можно ввести вектор, заведомо лежащий в искомой плоскости. Далее, как всегда, введем точку произвольную точку искомой плоскости. По ней и по точке, например, введем еще один вектор, также лежащий в искомой плоскости, а именно. Осталось найти вектор, которому плоскостьпараллельна или, что то же самое, который параллелен этой плоскости. Таковым является вектор нормальный вектор данной плоскости . Введенные три вектора компланарны, а значит их смешанное произведение, что в координатах дает уравнение:

.

studfiles.net

Контрольная работа «аналитическая геометрия» Контрольные варианты к задаче 1

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.

.

2.

.

3.

.

4.

.

5.

.

6.

.

7.

.

8.

.

9.

.

10.

.

11.

.

12.

.

13.

.

14.

.

15.

.

16.

.

17.

.

18.

.

19.

.

20.

.

21.

.

22.

.

23.

.

24.

.

25.

.

26.

.

27.

.

28.

.

29.

.

30.

.

Контрольные варианты к задаче 2

1. Вершина квадрата , сторона СD лежит на прямой, отсекающей на осях координат отрезки . Написать уравнение стороны АД (Квадрат АВСD).

2. В треугольнике АВС даны уравнения: высоты ,

высоты и стороны. Составить уравнение третьей высоты.

3. Найти точку, симметричную точке относительно прямой.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

и и образующей угол вс прямой.

5. Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой.

6. В треугольнике АВС даны уравнения: стороны АВ и высот. Составить уравнения двух других сторон треугольника.

7. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон () и уравнение одной из его диагоналей.

8. Из точки выходит луч света под угломк оси Ох и от нее отражается. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.

9. Под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки .

10. В квадрате АВСD даны вершина и точка— точка пересечения диагоналей. Найти уравнения сторон квадрата, не проходящих через верши-

ну А.

11. Даны точки . Отрезок АС разделен точкойD в отношении . Найти расстояние от точки А до прямой ВD.

12. Отрезок прямой , заключенный между осями координат, является диагональю квадрата. Найти уравнение одной (любой) стороны квадрата.

13. Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой.

14. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: и точка пересечения диагоналей. Составить уравнения двух других сторон

параллелограмма.

15. Составить уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих уголс прямой.

16. Даны уравнения двух сторон параллелограмма -и точка пересечения его диагоналей . Составить уравнения

двух других его сторон.

17. Даны середины противоположных сторон квадрата . Написать уравнения двух сторон квадрата, на которых лежат точки.

18. Провести прямую так, чтобы точка была серединой ее отрезка, заключенного между осями координат. Составить уравнение этой прямой.

19. Даны две точки: . Через середину отрезка АВ провести прямую, отсекающую от оси Ох отрезок, вдвое больший, чем отрезок на оси Оу.

20. В треугольнике АВС даны вершины: . Определить: а) угол между стороной АВ и медианой стороны ВС; б) длину высоты, опущенной из вершины С.

21. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольни-

ка, зная уравнение гипотенузы и вершину прямого угла.

22. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 8 дм2.

23. В треугольнике АВС даны вершины: . Найти точку, симметричную точке В относительно стороны АС.

24. В треугольнике АВС даны вершины: . Найти угол между медианой АМ и высотой ВН.

25. Даны точки . На отрезке ОА ( О – начало координат), построить параллелограмм ОАСД, диагонали которого пересекаются в точке В. Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

26. Под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки ?

27.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и образующую с осью Ох угол, вдвое больший угла, образованного с той же осью прямой.

28. Найти точку, симметричную точке относительно прямой.

29. Прямая отсекает на осях координат отрезки. Найти точку, симметричную точкеотносительно прямой.

30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: -и одна из его вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.

studfiles.net

Задачи для контрольных работ

Контрольная работа №1

Основы линейной алгебры

Задание 1. Найти матрицу С=.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами: 1) методом Крамера; 2) с помощью обратной матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание 3. Решить систему методом Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание 4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Контрольная работа №2

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа

Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти: 1) длину ребра; 2) угол между ребрамии; 3) угол между реброми гранью; 4) площадь грани; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой; 7) уравнение плоскости; 8) уравнения высоты, опущенной из вершинына грань. Сделать чертеж.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 2.

  1. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина и уравнения двух медианиСделать чертеж.

  2. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а также уравнения высотыи медианы, проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.

  3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон и, и основаниевысотыAD. Сделать чертеж.

  4. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями и. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. Сделать чертеж.

  5. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого углаи уравнение гипотенузыСделать чертеж.

  6. Даны две вершины треугольника ии точка пересечения высот. Найти третью вершинуС. Сделать чертеж.

  7. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями и, диагонали его пересекаются в точке. Найти длины его высот. Сделать чертеж.

  8. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: и, и уравнение одной из его диагоналей:. Сделать чертеж.

  9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , и уравнения высоти, гдеМ-точка пересечения высот. Сделать чертеж.

  10. В треугольнике АВС даны уравнение стороны, уравнение высоты, уравнение высоты, гдеМ-точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ. Сделать чертеж.

Задание 3.

  1. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки и от оси. Сделать чертеж.

  2. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек иравна 50. Сделать чертеж.

  3. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки вдвое меньше расстояния до точки. Сделать чертеж.

  4. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек иравен 4. Сделать чертеж.

  5. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки и от оси. Сделать чертеж.

  6. Написать уравнение кривой, каждая точка которой отстоит от точки вдвое дальше, чем от прямой. Сделать чертеж.

  7. Написать уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние от точки вдвое меньше расстояния от прямой. Сделать чертеж.

  8. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек иравна 2. Сделать чертеж.

  9. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек иравна 27. Сделать чертеж.

  10. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояния от начала координат и от точки относятся как 3:2. Сделать чертеж.

Задание 4. Дана функция на отрезке. Требуется:

1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток, начиная от; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это будет линия; 4) сделать чертеж.

1. 2.

3. 4.

5. 5.

7. 8.

9. 10.

Задание 5. Дано комплексное число . Требуется: 1) записать числов алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

studfiles.net

An.Geom-1

Томский политехнический университет

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Часть 1. Прямая на плоскости

Рожкова О.В. Внутрикафедральное издание,

Рег. №18 от 05.02.09

 

Вариант №1

1.)

Дана прямая 5x + 4y −3= 0 . Найти 1) направляющий вектор прямой, 2) угловой

 

коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат.

2.)

Две стороны квадрата лежат на прямых 3x + 4y + 22= 0, 3x + 4y −13= 0.

 

Вычислить площадь квадрата.

3.)

Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон

 

x − 2y +5= 0,x − 2y −5= 0 и одной из диагоналейx +8y −5= 0.

 

Вариант №2

1.)

Найти угол между прямыми 3x − 2y +5= 0,x −5y +8= 0.

2.)

Даны три вершины треугольника A(−1,3),B(3,−2),C(5,3). Составить уравнения :

1)медианы, проведенной из вершины В,

2)высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ,

3)прямой, проходящей через вершину А, параллельно стороне ВС.

3.) Провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными прямыми: 2x + y −1= 0,x +3y + 2= 0, делился в точкеМ(-1,0)пополам.

Вариант №3

1.)

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-8,0)под угломϕ =

π

к

 

прямой 3x −2y +5= 0 .

4

 

 

 

 

2.)

Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

 

 

 

x −3y + 2= 0, 5x + 6y − 4= 0 и параллельной прямой 4x + y −7= 0 .

 

 

3.)

Даны две вершины треугольника А(-1,3), B(3,2), уравнения стороны

 

 

 

BC : 2x −3y = 0 и медианыAM :3x + y = 0. Составить уравнение высоты,

 

 

опущенной из вершины С на сторону АВ.

Вариант №4

1.) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(-3,2)и параллельна прямой 2x + y = 7.

2.) Через точку М(2,5) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между осями координат, делился в этой точке пополам.

3.) Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(-1,3)и уравнения двух высот 3x − 4y +8= 0, 5x + 2y −8= 0.

Вариант №5

1.) Найти угол между прямыми 2x +3y −5= 0,x −3y −7= 0.

2.) Задан треугольник координатами вершин А(-1,-3),B(4,-5),C(2,1). Вычислить длину высоты, проведенной из вершины В.

3.) Найти координаты вершин параллелограмма, если известны уравнения двух его сторон 2x −3y +1= 0,x + y − 2= 0 и точка пересечения диагоналей М(3,32).

Вариант №6

1.) Дана прямая 3x −5y −7= 0.Составить уравнение прямой проходящей через точку

А(2,-1)параллельно данной прямой.

2.) Найти угол между прямой 2x −3y +6= 0 и прямой, проходящей через точки

М(4,-5),N(-3,2).

3.) Составить уравнения АС и ВС сторон треугольника АВС, если точка А(2,5), а уравнения высоты и биссектрисы, выходящих из вершин В и C соответственно: x − 2y + 7= 0, 4x + y −1= 0.

Вариант №7

1.) Дана прямая 3x − y + 4= 0. Указать: 1) нормальный вектор прямой;

2.) направляющий вектор прямой;

3) угловой коэффициент прямой. 2.) Даны вершины треугольника А(-10,-13),B(-2,3),C(2,1). Вычислить длину

перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

3.) Даны вершины А(-2,1),B(3,- 4) треугольника АВС и точка пересечения его высотК(5,-1).Составить уравнения сторон этого треугольника.

Вариант №8

1.) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(7,-2)параллельно биссектрисе координатных углов.

2.) Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с прямой y = 2x +3 угол 45o.

3.) Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину А(-6,3),уравнения высоты 7x +3y −5= 0 и медианы 9x + y −15= 0, проведенных из одной вершины.

Вариант №9

1.) Прямая проходит через точки М(-1,3)и N(2,5). Найти :

1) направляющий вектор прямой;

2.) нормальный вектор прямой;

3) угловой коэффициент прямой. 2.) Найти уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой

3x − 4y +10= 0 на расстояние, равное 2.

3.) Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон AB 😡 −3y +3= 0,AC 😡 +3y +3= 0, и основаниеД(-1,3)высоты АД.

Вариант №10

1.) Луч света направлен по прямой y = 3x −6. Дойдя до оси абсцисс, он от нее

отразился. Определить точку встречи луча с осью ОX и уравнение отраженного луча.

2.) Вычислить угол между прямыми 5y + 4= 0,3x −3y −3= 0.

3.) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3,1)и В(2,2) и точка пересечения его диагоналей М(3,0). Составить уравнения высот параллелограмма, проведенных из вершины А.

Вариант №11

1.) Найти угол между прямыми y = 2x −5,y = −12 x +1.

2.) Дан треугольник с вершинами A(0;5), B(3;1), C(-6,-3).Найти уравнение медианы СЕ и биссектрисы АД.

3.) Даны уравнения двух сторон прямоугольника x −3y + 6= 0, 3x + y −12= 0 и точка

пересечения его диагоналей М(7;2). Составить уравнения двух других сторон прямоугольника.

Вариант №12

1.) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(2;-1)перпендикулярно к прямойy = −3x +1. Найти отрезки, отсекаемые этой прямой а

осях координат.

2.) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых x + y − 2= 0 и 3x + 2y −5= 0 перпендикулярно к прямой 3x + 4y −12= 0.

3.) В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла А(-1;3)и уравнение противолежащего катета 2x −3y +1= 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

Вариант №13

1.) Записать общее уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 3y =1 и проходящей

через точку А(2;-1).

2.) Луч света, выйдя из точки А(2;3), отражается от оси OX, и попадает в точку В(5;8). Составить уравнение падающего и отраженного лучей.

3.) Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника со сторонами 3x + 4y − 29= 0, 3x − y − 4= 0,x − 2y −13= 0.

Вариант №14

1.) Дана прямая x + 2y −10= 0. Указать: 1) направляющий вектор прямой;

2)угловой коэффициент прямой.

3)отрезки, отсекаемые прямой на осях

координат.

2.) Найти уравнение серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему точки А(-5;-1)иВ(-3;4).

3.) Записать уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, если С(5;-1)-вершинапрямого угла, 2x −3y +5= 0 — уравнение гипотенузы.

Вариант №15

1.) Через точку пересечения прямых x + 2y −1= 0 и 2x + y −4= 0 провести прямую:

проходящую через точку М(-1;3),параллельно оси OY.

2.) Стороны квадрата лежат на прямых 5x −12y −65= 0, 5x −12y + 26= 0. Найти площадь квадрата.

3.) Пусть точка А(3;4)-вершинауглаϕ = 30o прямоугольного треугольника,

x − y +2= 0-уравнениепротиволежащего катета. Найти уравнения двух других сторон треугольника.

Вариант №16

1.) Дана прямая 5x + 4y −3= 0 . Найти 1) направляющий вектор прямой, 2) угловой

коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат.

2.) Даны три вершины треугольника A(−1,3),B(3,−2),C(5,3). Составить уравнения :

1)медианы, проведенной из вершины В,

2)высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ,

3)прямой, проходящей через вершину А, параллельно стороне ВС. 3.) Даны две вершины треугольника А(-1,3), B(3,2), уравнения стороны

BC : 2x −3y = 0 и медианыAM :3x + y = 0. Составить уравнение высоты,

опущенной из вершины С на сторону АВ.

 

Вариант №17

1.)

Найти угол между прямыми 3x − 2y +5= 0,x −5y +8= 0.

2.)

Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

 

x −3y + 2= 0, 5x + 6y − 4= 0 и параллельной прямой 4x + y −7= 0 .

3.)

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(-1,3)и

 

уравнения двух высот 3x − 4y +8= 0, 5x + 2y −8= 0.

Вариант №18

1.)

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-8,0)под угломϕ =

π

к

 

прямой 3x −2y +5= 0 .

4

 

 

 

 

2.)

Через точку М(2,5) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между

 

осями координат, делился в этой точке пополам.

 

 

3.)

Найти координаты вершин параллелограмма, если известны уравнения двух его

сторон 2x −3y +1= 0,x + y − 2= 0 и точка пересечения диагоналей М(3,32).

Вариант №19

1.) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(-3,2)и параллельна прямой 2x + y = 7.

2.) Задан треугольник координатами вершин А(-1,-3),B(4,-5),C(2,1). Вычислить длину высоты, проведенной из вершины В.

3.) Составить уравнения АС и ВС сторон треугольника АВС, если точка А(2,5), а уравнения высоты и биссектрисы, выходящих из вершин В и C соответственно: x − 2y + 7= 0, 4x + y −1= 0.

 

Вариант №20

1.)

Найти угол между прямыми 2x +3y −5= 0,x −3y −7= 0.

2.)

Найти угол между прямой 2x −3y +6= 0 и прямой, проходящей через точки

 

М(4,-5),N(-3,2).

3.)

Даны вершины А(-2,1),B(3,- 4) треугольника АВС и точка пересечения его высот

 

К(5,-1).Составить уравнения сторон этого треугольника.

Вариант №21

1.) Дана прямая 3x −5y −7= 0.Составить уравнение прямой проходящей через точку

А(2,-1)параллельно данной прямой.

2.) Даны вершины треугольника А(-10,-13),B(-2,3),C(2,1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

3.) Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину А(-6,3),уравнения высоты 7x +3y −5= 0 и медианы 9x + y −15= 0, проведенных из одной вершины.

Вариант №22

1.) Дана прямая 3x − y + 4= 0. Указать: 1) нормальный вектор прямой;

2.) направляющий вектор прямой;

3) угловой коэффициент прямой.

2.) Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с прямой y = 2x +3 угол 45o.

3.) Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон AB 😡 −3y +3= 0,AC 😡 +3y +3= 0, и основаниеД(-1,3)высоты АД.

Вариант №23

1.) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(7,-2)параллельно биссектрисе координатных углов.

2.) Найти уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой 3x − 4y +10= 0 на расстояние, равное 2.

3.) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3,1)и В(2,2) и точка пересечения его диагоналей М(3,0). Составить уравнения высот параллелограмма, проведенных из вершины А.

 

Вариант №24

1.)

Прямая проходит через точки М(-1,3)и N(2,5). Найти :

 

1) направляющий вектор прямой;

 

2.) нормальный вектор прямой;

 

3) угловой коэффициент прямой.

2.)

Вычислить угол между прямыми 5y + 4= 0, 3x −3y −3= 0.

3.)

Даны уравнения двух сторон прямоугольника x −3y + 6= 0, 3x + y −12= 0 и точка

 

пересечения его диагоналей М(7;2). Составить уравнения двух других сторон

 

прямоугольника.

Вариант №25

1.) Луч света направлен по прямой y = 3x −6. Дойдя до оси абсцисс, он от нее

отразился. Определить точку встречи луча с осью ОX и уравнение отраженного луча.

2.) Дан треугольник с вершинами A(0;5), B(3;1), C(-6,-3).Найти уравнение медианы СЕ и биссектрисы АД.

3.) В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла А(-1;3)и уравнение противолежащего катета 2x −3y +1= 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

Вариант №26

1.) Найти угол между прямыми y = 2x −5,y = −12 x +1.

2.) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых x + y − 2= 0 и 3x + 2y −5= 0 перпендикулярно к прямой 3x + 4y −12= 0.

3.) Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника со сторонами 3x + 4y − 29= 0, 3x − y − 4= 0,x − 2y −13= 0.

Вариант №27

1.) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(2;-1)перпендикулярно к прямойy = −3x +1. Найти отрезки, отсекаемые этой прямой а

осях координат.

2.) Луч света, выйдя из точки А(2;3), отражается от оси OX, и попадает в точку В(5;8). Составить уравнение падающего и отраженного лучей.

3.) Записать уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, если С(5;-1)-вершинапрямого угла, 2x −3y +5= 0 — уравнение гипотенузы.

Вариант №28

1.) Записать общее уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 3y =1 и проходящей

через точку А(2;-1).

2.) Найти уравнение серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему точки А(-5;-1)иВ(-3;4).

3.) Пусть точка А(3;4)-вершинауглаϕ = 30o прямоугольного треугольника,

x − y +2= 0-уравнениепротиволежащего катета. Найти уравнения двух других сторон треугольника.

Вариант №29

1.) Дана прямая x + 2y −10= 0. Указать: 1) направляющий вектор прямой;

2)угловой коэффициент прямой.

3)отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

2.) Стороны квадрата лежат на прямых 5x −12y −65= 0, 5x −12y + 26= 0. Найти

площадь квадрата.

3.) Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон x − 2y +5= 0,x − 2y −5= 0 и одной из диагоналейx +8y −5= 0.

 

Вариант №30

1.)

Через точку пересечения прямых x + 2y −1= 0 и 2x + y −4= 0 провести прямую:

 

проходящую через точку М(-1;3),параллельно оси OY.

2.)

Две стороны квадрата лежат на прямых 3x + 4y + 22= 0, 3x + 4y −13= 0.

 

Вычислить площадь квадрата.

3.)

Провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными

 

прямыми: 2x + y −1= 0,x +3y + 2= 0, делился в точкеМ(-1,0)пополам.

studfiles.net

Контрольная работа «аналитическая геометрия» Контрольные варианты к задаче 1

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.

.

2.

.

3.

.

4.

.

5.

.

6.

.

7.

.

8.

.

9.

.

10.

.

11.

.

12.

.

13.

.

14.

.

15.

.

16.

.

17.

.

18.

.

19.

.

20.

.

21.

.

22.

.

23.

.

24.

.

25.

.

26.

.

27.

.

28.

.

29.

.

30.

.

Контрольные варианты к задаче 2

1. Вершина квадрата , сторона СD лежит на прямой, отсекающей на осях координат отрезки . Написать уравнение стороны АД (Квадрат АВСD).

2. В треугольнике АВС даны уравнения: высоты ,

высоты и стороны. Составить уравнение третьей высоты.

3. Найти точку, симметричную точке относительно прямой.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

и и образующей угол вс прямой.

5. Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой.

6. В треугольнике АВС даны уравнения: стороны АВ и высот. Составить уравнения двух других сторон треугольника.

7. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон () и уравнение одной из его диагоналей.

8. Из точки выходит луч света под угломк оси Ох и от нее отражается. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.

9. Под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки .

10. В квадрате АВСD даны вершина и точка— точка пересечения диагоналей. Найти уравнения сторон квадрата, не проходящих через верши-

ну А.

11. Даны точки . Отрезок АС разделен точкойD в отношении . Найти расстояние от точки А до прямой ВD.

12. Отрезок прямой , заключенный между осями координат, является диагональю квадрата. Найти уравнение одной (любой) стороны квадрата.

13. Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой.

14. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: и точка пересечения диагоналей. Составить уравнения двух других сторон

параллелограмма.

15. Составить уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих уголс прямой.

16. Даны уравнения двух сторон параллелограмма -и точка пересечения его диагоналей . Составить уравнения

двух других его сторон.

17. Даны середины противоположных сторон квадрата . Написать уравнения двух сторон квадрата, на которых лежат точки.

18. Провести прямую так, чтобы точка была серединой ее отрезка, заключенного между осями координат. Составить уравнение этой прямой.

19. Даны две точки: . Через середину отрезка АВ провести прямую, отсекающую от оси Ох отрезок, вдвое больший, чем отрезок на оси Оу.

20. В треугольнике АВС даны вершины: . Определить: а) угол между стороной АВ и медианой стороны ВС; б) длину высоты, опущенной из вершины С.

21. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольни-

ка, зная уравнение гипотенузы и вершину прямого угла.

22. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 8 дм2.

23. В треугольнике АВС даны вершины: . Найти точку, симметричную точке В относительно стороны АС.

24. В треугольнике АВС даны вершины: . Найти угол между медианой АМ и высотой ВН.

25. Даны точки . На отрезке ОА ( О – начало координат), построить параллелограмм ОАСД, диагонали которого пересекаются в точке В. Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

26. Под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки ?

27.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и образующую с осью Ох угол, вдвое больший угла, образованного с той же осью прямой.

28. Найти точку, симметричную точке относительно прямой.

29. Прямая отсекает на осях координат отрезки. Найти точку, симметричную точкеотносительно прямой.

30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: -и одна из его вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.

studfiles.net

4.5. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1. Параллелограмм построен на векторах и.

Найти : 1) длины диагоналей параллелограмма; 2) косинус угла между диагоналями; 3) ; 4) площадь параллелограмма.

2. Даны координаты вершин пирамиды .

1) Найти модуль вектора

2) Найти площадь грани

3) Найти длину высоты, опущенной из вершины

4) Найти косинус угла между векторами и

5) Записать уравнение плоскости

6) Записать уравнение высоты, опущенной из вершины на грань

3. В соответствии с вариантом выполнить следующие задания.

  1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин:

  2. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма и точка пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.

  3. Даны вершины треугольника и точка пересечения его высот. Составить уравнения сторон треугольника.

  4. Даны вершины треугольника: Найти длины его высот.

  5. Составить уравнения сторон квадрата, если известны одна из вершин и точка пересечения диагоналей.

  6. Даны уравнения сторон прямоугольника и одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

  7. Даны уравнения сторон параллелограмма

и уравнение одной из его диагоналей Найти координаты вершин этого параллелограмма.

  1. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух других его сторон и уравнение одной из его диагоналей

  2. Составить уравнения сторон треугольника, если заданы две его вершины и точка пересечения медиан

  3. Даны вершины треугольника: Составить уравнения его высот.

  4. Даны две смежные вершины квадрата Составить уравнения его сторон.

  5. Составить уравнения сторон и высот треугольника с вершинами в точках:

  6. Даны две стороны прямоугольника и уравнение его диагонали. Составить уравнения двух других сторон.

  7. Составить уравнения сторон и высот треугольника с вершинами в точках:

  8. Три последовательные вершины параллелограмма имеют координаты: Составить уравнения диагоналей этого параллелограмма.

  9. Составить уравнения сторон и найти внутренние углы треугольника с вершинами в точках:

  10. Дан треугольник с вершинами в точках: Составить уравнения его высот и медиан.

  11. Даны вершины треугольника и точка пересечения его медианСоставить уравнения сторон этого треугольника.

  12. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения его двух сторон и одна из его диагоналей.

  13. Найти точку пересечения высот треугольника с вершинами в точках:

    1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

  1. В соответствии с вариантом решить задачу.

    1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей равные отрезки на осях координат.,

параллельно плоскости

    1. Проверить, лежит ли прямая

    2. в плоскости

    3. Составить уравнения плоскости, проходящей через прямую

    4. параллельно прямой

    5. При каком значении А плоскость , будет параллельна прямой

    6. Составить уравнения плоскости, которая проходит через точку М(3;-2;-7) параллельно плоскости

    1. Найти точку пересечения прямой и плоскости и

    2. Из точки М (2;0;-1) опустить перпендикуляр на плоскость 2x+3y –z+5=0.

    3. Привести к каноническому виду прямую

    4. Составить уравнения плоскости, проходящей через параллельно прямым и

    5. Найти уравнение прямой перпендикулярной к плоскости проходящей через точку М(1;-1;2).

    6. Найти угол между прямой и плоскостью.

    7. Составить уравнения плоскости, проходящей через

    8. и прямую .

    9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку

М(1;-2;3) параллельно прямым и

    1. Найти точку пересечения прямой и плоскости

    2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

    3. , параллельно прямой

    4. Найти точку Q, симметричную точке Р(1;3:-4) относительно плоскости

    5. Найти проекцию точки Р(5;2;1) на плоскость

    6. Составит уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

    7. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

    8. Написать параметрическое уравнения прямой проходящей через точку А(5;4;1) параллельно оси ОХ.

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *