Y ч 2 y 2 – Гиперболические функции — sh, ch, th, cth, sech, csch

Гиперболические функции — sh, ch, th, cth, sech, csch

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Гиперболический синус
sh x = (e^x — e^-x)/2

Гиперболический косинус
ch x = (e^x + e^-x)/2

Гиперболический тангенс
th x = (e^x — e^-x)/(e^x + e^-x)

Гиперболический котангенс
cth x = (e^x + e^-x)/(e^x — e^-x)

Гиперболический секанс
sech x = 2/(e^x + e^-x)

Гиперболический косеканс
csch x = 2/(e^x — e^-x)

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

th x = sh x/ch x

cth x = 1/th x = ch x/sh x

sech x = 1/ch x

csch x = 1/sh x

ch²x — sh²x = 1

sech²x + th²x = 1

cth²x — csch²x = 1

ФУНКЦИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

sh(-x) = -sh x

ch(-x) = ch x

th(-x) = -th x

csch(-x) = -csch x

sech(-x) = sech x

cth(-x) = -cth x

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y

ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y

th(x ± y) = (th x ± th y)/(1 ± th x.th y)

cth(x ± y) = (cth x cth y ± l)/(cth y ± cth x)

ФОРМУЛЫ ДВОЙНЫХ УГЛОВ

sh 2x = 2 sh x ch x

ch 2x = ch²x + sh²x = 2 ch²x — 1 = 1 + 2 sh²x

th 2x = (2th x)/(1 + th²x)

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ

$\text{sh} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\text{ch} x — 1}{2}}$ [+ если x > 0, — если x

$\text{ch} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\text{ch} x + 1}{2}}$

$\text{th} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\text{ch} x — 1}{\text{ch} x + 1}}$ [+ если x > 0, — если x

$= \frac{\text{sh} x}{\text{ch} x — 1} = \frac{\text{ch} x + 1}{\text{sh} x}$

ФОРМУЛЫ КРАТНОСТИ УГЛОВ

sh 3x = 3 sh x + 4 sh³ x

ch 3x = 4 ch³

x — 3 ch x

th 3x = (3 th x + th³ x)/(1 + 3 th²x)

sh 4x = 8 sh³ x ch x + 4 sh x ch x

ch 4x = 8 ch⁴ x — 8 ch² x + 1

th 4x = (4 th x + 4 th³ x)/(1 + 6 th² x + th⁴ x)

СТЕПЕНИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh²x = ½ch 2x — ½

ch² x = ½ch 2x + ½

sh³x = ¼sh 3x — ¾sh x

ch³ x = ¼ch 3x + ¾ch x

sh⁴x = 3/8 — ½ch 2x + 1/8ch 4x

ch⁴ x = 3/8 + ½ch 2x + 1/8ch 4x

СУММА, РАЗНИЦА И УМНОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh x + sh y = 2 sh ½(x + y) ch ½(x — y)

sh x — sh y = 2 ch ½(x + y) sh ½(x — y)

ch x + ch y = 2 ch ½(x + y) ch ½(x — y)

ch x — ch y = 2 sh ½(x + y) sh ½(x — y)

sh x sh y =    ½(ch (x + y) — ch (x — y))

ch x ch y = ½(ch (x + y) + ch (x — y))

sh x ch y = ½(sh (x + y) + sh (x — y))

ВЫРАЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛТЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ

В следующем мы принимаем, что x > 0. Если x < 0 используем соответствующий знак, как указано формулами в разделе «Функции отрицательных аргументов»

~	$sh x = u$	$ch x = u$	$th x = u$	$cth x = u$	$sech x = u$	$esch x = u$
$sh x$	$u$	$\sqrt{u^2 — 1}$	$\frac{u}{\sqrt{1 — u^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2 — 1}}$	$\frac{\sqrt{1 — u^2}}{u}$	$\frac{1}{u}$
$ch x$	$\sqrt{1 + u^2}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2 — 1}}$	$\frac{1}{u}$	$\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$
$th x$	$\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$	$\frac{\sqrt{u^2 — 1}}{u}$	$u$	$\frac{1}{u}$	$\sqrt{1 — u^2}$	$\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$
$cth x$	$\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2 — 1}}$	$\frac{1}{u}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}$	$\sqrt{1 + u^2}$
$sech x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$	$\frac{1}{u}$	$\sqrt{1 — u^2}$	$\frac{\sqrt{u^2 — 1}}{u}$	$u$	$\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$
$esch x$	$\frac{1}{u}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2 — 1}}$	$\frac{\sqrt{1 — u^2}}{u}$	$\sqrt{u^2 — 1}$	$\frac{u}{\sqrt{1 — u^2}}$	$u$

ГРАФИКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

y = sh x
y = ch x

 

y = th x
y = cth x

 

y = sech x
y = csch x

ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Если x = sh y, тогда y = sh^-1 a называется обратным гиперболическим синусом of x. Аналогично определяются и другие обратные гиперболические функции. Обратные гиперболические функции являются многозначными, но в случае обратных тригонометрических функций мы ограничимся основными значениями, при которых их можно рассматривать как однозначные.

Ниже приведен список основных значений [если не указано иное] обратных гиперболических функций, выраженных через логарифмические функции, которые принимаются в качестве вещественных.

$\text{sh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$   $-\infty

$\text{ch}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 — 1})$ $x \geq l$ [$\text{ch}^{-1} x > 0$]

$\text{th}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(1 + x)}{(1 — x)}$   $- 1

$\text{cth}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(x + 1)}{(x — 1)}$   $x > 1$ или $x

$sech^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} — 1})$   $0 0$]

$csch^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1

www.math10.com

2y 2 y 2

Вы искали 2y 2 y 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и ч y ч 2 y 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2y 2 y 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2y 2 y 2,ч y ч 2 y 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2y 2 y 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, 2y 2 y 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2y 2 y 2 Онлайн?

Решить задачу 2y 2 y 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

9 Задание

1. Нормальная система двух диф. уравнений первого порядка имеет вид:

2. Решение системы на [a,b] называется совокупность функций y₁₌y₁(x), y₂₌y₂(x), y₃₌y₃(x), которая при подстановки в систему уравнений превращает её в тождество.

3. Общим решение системыназывается, где с₁ и_­ с₂ – const

4. Нормальная система трёх диф. уравнений имеет вид:

5. Задачей Коши для системы называется определение функций, удовлетворяющим системе уравнений и начальным условиям

6. Если y₁– частное решение уравнения y’’+py’+qy=0, то Ay₁ (A-const) есть решение уравнения.

7. Решением системы на [a,b] называется совокупность функций y₁=y₁(x), y₂=y₂(x), которые при подстановке в систему уравнений превращают её в тождество.

8. Задачей Коши для системы называется определение функций, удовлетворяющим системе уравнений и начальным условиям

9. Общим решением системы называется

10. По определению фундаментальной системой решений уравнения y«`+py«+qy`+ry=0 называется система функций , если равенство С₁(x)y₁+С₂(x)y₂+С₃(x)y₃=0 выполняется лишь при С₁=С₂=С₃=0

доказательства

Если функции y₁ и y₂ – линейно зависимы на отрезке [a,b], то

определитель Вронского на этом отрезке равен 0.

Док-во: Пусть y₁,y₂ — линейно зависимы => столбцы W(y₁,y₂) пропорциональны

y₂=Cy₁(x)

y₂`=Cy<sub>1</sub>`(x) Ч.Т.Д.

Если y₁ и y₂– линейно независимые решения уравнения y«+py`+qy=0, то его общее решение имеет вид: y=С₁y₁ + С₂y₂ (*)_.

Док-во: Согласно теореме (Если y₁ и y₂ – частные решения уравнения y«+py`+qy=0, то его C<sub>1</sub>y<sub>1</sub>+ C<sub>2</sub>y<sub>2</sub> есть частное решение) <sub>.</sub> y=C<sub>1</sub>y<sub>1</sub>+ C<sub>2</sub>y<sub>2</sub> есть решение уравнения y«+py`+qy=0

Осталось доказать что из него можно выразить единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: — начальные условия подставим их в (*)

=> W(x₀)= .Так как решения образуют фундаментальную систему => W(x₀)0= > система имеет единственное решение:

C₁=C₁⁰=C₂=C₂⁰=

y= C₁⁰y₁(x)+ C₂⁰y₂(x) – частное решение Ч.Т.Д.

Если y₁ и y₂ – частные решения уравнения y«+py`+qy=0, то его y₁+ y₂есть частное решение_.

Док-во: + (y₁+y₂)«+p(x) (y₁+y₂)`+ q(x)(y₁+y₂)=0 Ч.Т.Д.

Метод вариации произвольной постоянной

Согласно методу вариации произвольной постоянной, общее решение y«+py`+qy=f(x) имеет вид: y(x)=(x)+y₀(x)

(x) – частное решение y«+py`+qy=f(x)

y₀(x) – общее решение y«+py`+qy=0

Док-во: Пусть (x) – частное решение y«+py`+qy=f(x). Если y(x) – другое решение y«+py`+qy=f(x), то ((x) – y(x)) – решение y«+py`+qy=0. Можно подобрать константу в общем решении y«+py`+qy=0 так чтобы получить эту функцию y–=y₀=> y=+y₀ Ч.Т.Д.

Если уравнение y«+py`+qy=P_n(x)e^x, P_n(x) – многочлен n-ой степени, то частное решение имеет вид:=x^rQ_n(x)e^x(к – сколько раз  встречается в характеристическом уравнении).

Вывод: Случай 1) k₁, k₂

Тогда r=0 =Q_n(x)e^x, (*)

`=Q`_n(x)e^x+ Q_n(x)e^x

«=Q«_n(x)e^x+ 2Q`

n(x)e^x + Q_n(x)e^x²

Подставим в y«+py`+qy=P_n(x)e^x

Q«_n(x)+ (2+p)Q`_n(x)+ (²+p+q)Q_n(x)=P_n(x) (**)

Слева – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а с права — многочлен n степени с известными коэффициентами. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и решаем систему.

Случай 2) =k₁k₂( — простой корень)

т.к. при подстановка (*)в (**) ²+p+q=0 => В левой части – многочлен степени (n-1), а с права – многочлен степени n, чтобы получить тождество многочленов решении , нужно иметь многочлен степени (n +1).=>=xQ_n(x)e^x_, r=1

Случай 3) =k₁

=k₂( — двухкратный корень)

т.к. при подстановка (*)в (**) 2+p=0 => В левой части – многочлен степени (n-2), а с права – многочлен степени n, чтобы получить тождество многочленов решении , нужно иметь многочлен степени (n +2).=>=x²Q_n(x)e^x_, r=2 Ч.Т.Д.

Если p²–4q>0, то линейно независимые частные решения уравнения y«+py`+qy=0 (*) имеют вид , где k₁и k₂ – корни характеристического уравнения: k₁k₂

Док-во:

1. Докажем, что y₁=e^x удовлетворяет (*)

(e^x)«+p(e^x)`+qe^x=0

k₁²e^x+ pk₁e^x+ qe^

x=0

e^x(k₁²+pk₁+q)=0

k₁²+pk₁+q=0

p²–4q>0 т.к. k₁– корень характеристического уравнения.

2) Докажем, что y₂=e^x удовлетворяет (*)

Доказательство аналогично Ч.Т.Д.

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx +Q(x,y)dy=0 имеет вид: U(x,y)=C, C – const.

Док-во: Пусть выполняется P`<sub>y</sub>=Q`_x=> U(x,y)=dx+Qdy

Интеграл не зависит от пути интегрирования соединяющего точки.

Если мы возьмём другой путь то 2 пути будут ограничивать область G.

dx+Qdy=’_y+Q’_x

Убедимся что

Действительно: U(x+∆x,y)=+

U(x,y)

U(x+∆x,y)-U(x,y)==(t,y)dt

=(t,y)dtP(x,y)Ч.Т.Д.

Общее решение уравнения

y`+P(x)y=Q(x) (P(x), Q(x) – непрерывные на [a,b] функции) имеет вид: y=+y<sub>0</sub>, где y<sub>0</sub> – решение y`+P(x)y=0, – частное решениеy`+P(x)y=Q(x).

Вывод: y₀` + P(x)y₀=0

y₀` = –P(x)y₀

=-P(x)dx = -(x)dx

ln|y₀|= — (x)dx+lnC₁

=

y₀=C₁ C₁ – const

Будем искать в виде=C(x)

`+P(x)=Q(x)

C’(x)- C(x)P(x)+ P(x)C(x)=Q(x)

C’(x)=Q(x)

C’(x)=Q(x)

C(x)=(x)+C₂ ,С₂–const

y=C₁+((x)+C₂)

y=(C₁+(x)+C₂) Ч.Т.Д.

studfiles.net

Найти уравнения линий уровня функции z = x^2 + y^2 и построить их

Пришлите лучше мне свое задание на: [email protected] У меня есть решение!

z=x2+y2 Чтобы понять, что это за поверхность, поступим следующим образом. Зафиксируем z. Это будет означать, что мы рассматриваем плоскость, параллельную плоскости Oxy и находящуюся на высоте z. z=0. Это сама плоскость Oxy. x2+y2=0 — этому выражению удовлетворяет лишь одна точка (0;0). То есть в плоскость Oxy мы имеем лишь одну точку. z=1. x2+y2=1 — это, как легко увидеть, уравнение окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 1. Только надо помнить, что эта окружность у нас лежит в плоскости, которая находится на высоте 1 над плоскостью Oxy. z=4. x2+y2=4 — окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 2. Получается, что чем выше плоскость мы берём, тем окружность с бОльшим радиусом там располагается. Центры этих окружностей нанизаны на ось OZ. Если плавно обернуть эти окружности каким-то материалом, то мы получим вот такую фигуру. Называется параболоид. Её ещё можно получить вращением параболы вокруг своей оси симметрии. <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/61079565_9eae3150c4e1c727155174fd0e46547c_800.jpg» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/61079565_9eae3150c4e1c727155174fd0e46547c_120x120.jpg» data-big=»1″>

touch.otvet.mail.ru