Матрица тема по высшей математике: Виды матриц и операции над матрицами

Основы высшей математики — Матрицы — Высшая математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Матрицы

К оглавлению…

Матрицей называют прямоугольную таблицу, заполненную числами. Важнейшие характеристики матрицы – число строк и число столбцов. Если у матрицы одинаковое число строк и столбцов, ее называют квадратной. Обозначают матрицы большими латинскими буквами.

Сами числа называют элементами матрицы и характеризуют их положением в матрице, задавая номер строки и номер столбца и записывая их в виде двойного индекса, причем вначале записывают номер строки, а затем столбца. Например, a₁₄ есть элемент матрицы, стоящий в первой строке и четвертом столбце, a₃₂ стоит в третьей строке и втором столбце.

Главной диагональю квадратной матрицы называют элементы, имеющие одинаковые индексы, то есть те элементы, у которых номер строки совпадает с номером столбца. Побочная диагональ идет «перпендикулярно» главной диагонали.

Особую важность представляют собой так называемые единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а все остальные числа равны 0. Обозначают единичные матрицы E. Матрицы называют равными, если у них равны число строк, число столбцов, и все элементы, имеющие одинаковые индексы, равны. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Обозначается нулевая матрица О.

Простейшие действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.

3. Транспонирование матрицы. При транспонировании у матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается A

T. Для транспонирования матриц справедливы следующие свойства:

4. Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:

• Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
• В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
• Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.
• Пусть C = A∙B. Для определения элемента матрицы С, стоящего в i-той строке и k-том столбце необходимо взять i-тую строку первой умножаемой матрицы и k-тый столбец второй. Далее поочередно брать элементы этих строки и столбца и умножать их. Берем первый элемент из строки первой матрицы и умножаем на первый элемент столбца второй матрицы. Далее берем второй элемент строки первой матрицы и умножаем на второй элемент столбца второй матрицы и так далее. А потом все эти произведения надо сложить.

Свойства произведения матриц:

Определитель матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, которое обозначается detA, реже |A| или просто Δ, и вычисляется определённым образом. Для матрицы размера 1х1 определителем является сам единственный элемент матрицы. Для матрицы размера 2х2 определитель находят по следующей формуле:

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Составим квадратную матрицу из элементов, стоящих на пересечении полученных строк и столбцов. Минором матрицы А порядка s называют определитель полученной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А. Выберем в ней s строк и s столбцов. Дополнительным минором к минору порядка s называют определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания данных строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением к элементу a_ik квадратной матрицы А называют дополнительный минор к этому элементу, умноженный на (–1)^i+k, где i+k есть сумма номеров строки и столбца элемента a_ik. Обозначают алгебраическое дополнение A_ik.

Вычисление определителя матрицы через алгебраические дополнения

Рассмотрим квадратную матрицу А. Для вычисления ее определителя необходимо выбрать любую ее строку или столбец и найти произведения каждого элемента этой строки или столбца на алгебраическое дополнение к нему. А дальше надо просуммировать все эти произведения.

Когда будете считать алгебраические дополнения, не забывайте про множитель (–1)^i+k. Чтобы счет был более простым, выбирайте ту строку или столбец матрицы, который содержит наибольшее число нулей.

Расчет алгебраического дополнения может сводиться к расчету определителя размером более чем 2х2. В этом случае такой расчет также нужно проводить через алгебраические дополнения, и так далее до тех пор, пока алгебраические дополнения, которые нужно будет считать, не станут размером 2х2, после чего воспользоваться формулой выше.

 

Обратная матрица

К оглавлению…

Рассмотрим квадратную матрицу А. Матрица A^–1 называется обратной к матрице А, если их произведения равны единичной матрице. Обратная матрица существует только для квадратных матриц. Обратная матрица существует, только если матрица А

невырождена, то есть ее определитель не равен нулю. В противном случае обратную матрицу посчитать невозможно. Для построения обратной матрицы необходимо:

1. Найти определитель матрицы.
2. Найти алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы.
3. Построить матрицу из алгебраических дополнений и обязательно транспонировать ее. Часто про транспонирование забывают.
4. Разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы.

Таким образом, в случае, если матрица А имеет размер 3х3, обратная к ней матрица имеет вид:

 

Матрицы. Вся теория и задачи с решениями или ответами

К оглавлению…

От действий над матрицами к пониманию их сути… / Хабр

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше…

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Матрицы — Введение

Каталин Дэвид

Матрица — это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, содержащих числа.

Общий вид матрицы выглядит таким образом:

Элементы матрицы обозначаются $a_{n,m}$, где m — номер строки, а n — номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Пример 1
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 1 & 4\\ \end{pmatrix} $

A — матрица из 2 строк и 3 столбцов, в которой число 2 стоит в первой строке, третьем столбце.

Пример 2
$A= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 2\\ 8 & 7 & 3\\ \end{pmatrix} $

B — матрица из 3 строк и 2 столбцов, в которой число 8 стоит во второй строке, втором столбце.

Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной матрицей.

Пример 3 $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 1\\ \end{pmatrix} $

C — матрица из 3 строк и 3 столбцов

D — общий вид квадратной матрицы.

$D= \begin{pmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & \color{blue}{a_{1,n}}\\ a_{2,1} & \color{red}{a_{2,2}} & a_{2,3} & . & \color{blue}{a_{2,n-1}} & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & \color{red}{a_{3, \color{blue}{3}}} & . & . & a_{3,n}\\ . & \color{blue}{a_{n-1,2}} & . & . & .& .\\ \color{blue}{a_{n,1}} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & \color{red}{a_{n,n}}\\ \end{pmatrix}$

Элементы главной диагонали выделены красным цветом, а на побочной диагонали — синим.

Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей.

Пример 4
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 4\\ \end{pmatrix} $

Пример 5
$I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

Транспонированная матрица получается, если в исходной матрице заменить строки на столбцы. Если дана матрица A, то транспонированная матрица A обозначается $A^{T}$.

Пример 6

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 9 \end{pmatrix}$

тогда

$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 3 & 9 \end{pmatrix}$

Высшая математика 1 курс

Замечание 1

Курс высшей математики в вузах различается как продолжительностью изучения, так и наполнением тем для изучения. Но существует определенный неизменяемый перечень тем, обязательных для изучения студентами. Дадим краткую характеристику основным темам, которые изучаются на $1$ курсе вуза.

Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов.

Изучаются равные матрицы, квадратные, диагональные, единичные, треугольные и трапецевидные матрицы.

Над матрицами выполняются следующие виды действий:

• сложение матриц одинакового размера;
• умножение матрицы на вектор-столбец;
• умножение матрицы на число;
• умножение матриц, причем вводится понятие согласованности и транспортирования матриц;

Определитель квадратной матрицы

Рассматривается понятие определителя для матриц до 4-го порядка.

Основные свойства определителей:

1. Если А и В являются квадратными матрицами, то $|AB|=|BA|=|A| \times |B|$. Причем $AB \ne BA$.
2. $|A|=|A^T|$.
3. Определитель равен нулю, если он содержит нулевой ряд или $2$ одинаковых параллельных ряда.
4. Для диагональной и треугольной матриц определитель равен произведению чисел главной диагонали.
5. Общий множитель любого ряда определителя можно вынести за его знак.

Готовые работы на аналогичную тему

Рассматривается понятие минора и теорема Лапласа (о разложении определителя).

Обратная матрица

Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и ее определитель не равен нулю:

1. Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, получается союзная матрица.
2. Союзная матрица транспонируется.
3. Выполняется деление каждого элемента союзной матрицы на определитель матрицы.

Ранг матрицы

Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы.

Свойства:

1. Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.
2. При вычеркивании нулевого ряда ранг не изменяется.
3. Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований.
4. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых элементов, расположенных на главной диагонали.

Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ

Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так:

$a_k=\frac{|A_k |}{|A|}$ , где $A_k$ можно получить из $A$ заменой какого столбца на столбец свободного члена $B$.

Метод Гаусса

Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных систем уравнений, однородной системы линейных уравнений.

Правило решения системы уравнений:

Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar{A}$):

1. Если $rA \ne r \bar{A}$, то система несовместна;
2. Если $rA=r \bar{A}=r$, то система совместна и находят базисный минор порядка $r$:
   • берутся $r$ уравнений, из коэффициентов которых составляется базисный минор, остальные отбрасываются. Неизвестные, коэффициенты которых составляют минор, называются главными. Их записывают слева, а остальные $(n-r)$ – справа;
   • выражают главные неизвестные через свободные и получают общее решение системы;
   • свободным неизвестным дают произвольное значение и получают частные решения.

Элементы векторной алгебры

Векторы

Изучается понятие вектора, длина и направление вектора, противоположный вектор, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.

Операции над векторами

Рассматриваются операции над векторами:

• умножение вектора на число;
• сумма векторов;
• скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Несколько видов уравнений описывают прямую на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и направление, уравнение через 2 точки, уравнение в отрезках, уравнение через данную точку перпендикулярно вектору, нормальное уравнение прямой.

Традиционно рассматривается формула для нахождения угла между прямыми, условия перпендикулярности и параллельности прямых и расстояния от точки до прямой.

Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве задается с помощью различных видов уравнения: уравнение через точку перпендикулярно к вектору, уравнение через 3 точки, нормальное уравнение плоскости, уравнение в отрезках.

Рассматривается угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве

Канонические уравнения прямой или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, уравнения в параметрическом виде, общее и векторное уравнение прямой, уравнение прямой через 2 точки в пространстве. Формула угла между прямыми.

Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой и плоскости

Для каждого из вариантов расположения предлагается формула для нахождения угла между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью, а также условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Отдельно изучается пересечение прямой с плоскостью и условие принадлежности прямой плоскости.

Линии второго порядка

Эллипс

Кроме основного канонического уравнения эллипса изучаются понятия эксцентриситета и директрис.

Гипербола

Изучается каноническое уравнение гиперболы, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов.

Парабола

Рассматривается понятие полуфокального диаметра параболы и каноническое уравнение параболы.

Замечание 2

Изучение высшей математики на первом курсе, как правило, заканчивается изучением раздела «Линии второго порядка», но может варьироваться в зависимости от учебных планов, программ и специальностей.

Матрица

| математика | Britannica

Matrix , набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам, чтобы сформировать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы находят широкое применение в технике, физике, экономике и статистике, а также в различных областях математики. Исторически первым распознаванием была не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникла идея матрицы как алгебраической сущности.Термин матрица был введен английским математиком 19 века Джеймсом Сильвестром, но именно его друг, математик Артур Кэли, разработал алгебраический аспект матриц в двух статьях 1850-х годов. Кэли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они также важны, потому что, как признал Кэли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых действуют многие обычные законы арифметики (например, ассоциативные и распределительные законы), но в которых другие законы (например,g., коммутативный закон) не действуют. Матрицы также нашли важное применение в компьютерной графике, где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.

Если имеется m строк и n столбцов, матрица называется матрицей « m на n » с записью « m × n ». Например,

— это матрица 2 × 3. Матрица с n строками и n столбцами называется квадратной матрицей порядка n .Обычное число можно рассматривать как матрицу размером 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3].

Britannica Premium: удовлетворение растущих потребностей искателей знаний. Получите 30% подписки сегодня. Подпишись сейчас

В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая малая буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы. Таким образом, a _ij является элементом i -й строки и j -го столбца матрицы A .Если A — это матрица 2 × 3, показанная выше, то a ₁₁ = 1, a ₁₂ = 3, a ₁₃ = 8, a ₂₁ = 2, a ₂₂ = −4 и a ₂₃ = 5. При определенных условиях матрицы могут складываться и умножаться как отдельные объекты, что дает начало важным математическим системам, известным как матричные алгебры.

Матрицы естественным образом встречаются в системах одновременных уравнений.В следующей системе для неизвестных x и y ,

массив чисел

представляет собой матрицу, элементы которой являются коэффициентами неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения. Если бы 3 и 4 поменяли местами, решение было бы другим.

Две матрицы A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a _ij = b _ij для каждый i и каждый j .Если A и B — две матрицы размером m × n , их сумма S = A + B представляет собой матрицу m × n , элементы которой s _ij = a _ij + b _ij . То есть каждый элемент S равен сумме элементов в соответствующих позициях A и B .

Матрица может быть умножена на обычное число c , которое называется скаляром. Продукт обозначается cA или Ac и представляет собой матрицу, элементы которой равны ca _ij .

Умножение матрицы A на матрицу B для получения матрицы C определяется только тогда, когда количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй матрицы B .Чтобы определить элемент c _ij , который находится в строке i и столбце j продукта, первый элемент в строке i числа A умножается на первый элемент в j -м столбце B , второй элемент в строке — второй элемент в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не умножится на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент c _ij .В символах для случая, когда A имеет м столбцов, а B имеет м строк,

Матрица C имеет столько же строк, сколько A и столько же столбцов, сколько B .

В отличие от умножения обычных чисел a и b , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц A и B не является коммутативным. Однако оно ассоциативно и распределительно по сравнению с сложением.То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( BC ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC и ( B + C ) A = BA + CA . Если матрица 2 × 2 A со строками (2, 3) и (4, 5) умножается сама на себя, то произведение, обычно записываемое A ² , имеет строки (16, 21) и ( 28, 37).

Матрица O со всеми ее элементами 0 называется нулевой матрицей. Квадратная матрица с единицами на главной диагонали (вверху слева направо вниз) и нулями во всех остальных местах называется единичной матрицей. Он обозначается I или I _n , чтобы показать, что его порядок равен n . Если B — любая квадратная матрица, а I и O — единичная и нулевая матрицы одного порядка, всегда верно, что B + O = O + B = B и BI = IB = B .Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. Фактически, обычная арифметика является частным случаем матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.

Связано с каждой квадратной матрицей A — это число, известное как определитель A , обозначаемое det A . Например, для матрицы 2 × 2

det A = ad — bc . Квадратная матрица B называется невырожденной, если det B ≠ 0.Если B неособое, существует матрица, обратная B , обозначенная B ^-1 , так что BB ^-1 = B ^-1 B = Я . Уравнение AX = B , в котором A и B — известные матрицы, а X — неизвестная матрица, может быть решено однозначно, если A — невырожденная матрица, тогда A ⁻¹ существует, и обе части уравнения можно умножить слева на него: A ⁻¹ ( AX ) = A ⁻¹ B .Теперь A ⁻¹ ( AX ) = ( A ⁻¹ A ) X = IX = X ; следовательно, решение равно X = A ⁻¹ B . Систему м линейных уравнений в n неизвестных всегда можно выразить в виде матричного уравнения AX = B , в котором A — это матрица коэффициентов неизвестных м × n , X — это матрица неизвестных размером n × 1, а B — это матрица n × 1, содержащая числа в правой части уравнения.

Задача, имеющая большое значение во многих областях науки, заключается в следующем: по квадратной матрице A порядка n, найти матрицу n × 1 X, , называемую n -мерным вектором, таким образом, что AX = cX . Здесь c — число, называемое собственным значением, а X — собственным вектором. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что определенное преобразование пространства, связанное с матрицей A , растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .

.

Выбор правильного курса математики 11-го года

В этом посте мы отвечаем на некоторые часто задаваемые вопросы учащихся 10-го класса о выборе правильного курса математики для 11-го года:

• Когда наступают новые 11 и 12-й классы (этап 6) Математика Syllabus начать?
• В чем разница между расширенным курсом математики и расширением 1 по математике?
• Что мне выбрать: математика продвинутый или математический дополнительный 1?
• Насколько важны курсы математики 11 класса в HSC?
• Как оцениваются различные курсы математики?

Новогодние 11 и 12 классы (этап 6) Программа по математике начинается в 2019 году, а не в 2018.

NESA разработала новую программу Stage 6, которая должна была начаться в 2018 году. Однако ее введение отложено до 2019 . Итак, учащиеся 11 класса 2018 г. будут НЕ , которые начнут изучение нового учебного плана по математике 11 и 12 (этап 6).

Это означает, что в 2017 году учащиеся 10-го класса будут изучать текущую программу по математике 6-го уровня в 2018 г., в отличие от английского языка и естественных наук, которые начинаются в 2018 г.

Текущий учебный план по математике 11-го класса

Математика 11-го класса является первым годом 6-го этапа. Математика.

• Математика 9-го и 10-го классов называется математикой 5-го уровня
• Математика 11-го и 12-го классов называется математикой 6-го уровня

Для учащихся 11-го класса существует три различных курса обучения. Ниже приведены ссылки NESA на содержание курса:

Для учащихся 12-го класса существует четыре различных курса обучения:

Выбор правильного курса математики 11-го класса (стандарт 2 по математике, углубленный математический уровень, расширение 1 по математике)

Различные уровни математики предъявляют разные требования к компетентности и способностям учащихся.Чтобы помочь студентам определить, какой курс математики им подходит, мы создали блок-схему, которая иллюстрирует уровень успеваемости, который необходимо достичь студентам на разных уровнях курсов математики.

Успеваемость учащихся 10-го класса по математике должна определять уровень математики 11-го класса, который они выбирают для изучения.

• Курсы по математике 1-го и 12-го классов по стандарту 1 нацелены на то, чтобы студенты овладели практическими аспектами математики для поступления на работу.
• Математический стандарт 2-го класса 11 и 12-го класса направлен на дальнейшее развитие математических навыков учащихся, но не на уровень, необходимый для получения университетской степени, требующей продвинутой математики.Студенты, которые преуспевают в этом и желают изучать курс в университете, требующий предварительных требований по математике, должны будут пройти промежуточный курс, хотя этот предмет поможет подготовиться к такому промежуточному изучению.
• Продвинутый курс математики 11 и 12 классов предназначен для учащихся, продемонстрировавших общую компетентность во всех навыках продвинутого курса математики 10 класса. Если учащиеся испытывали трудности в 10-м классе по математике продвинутого уровня, им следует подумать о прохождении 11-го класса по математическому продвинутому курсу.
• Если учащиеся хорошо успели на 10-м классе по математике продвинутого уровня, им следует подумать о том, чтобы пройти курс 11-го класса по математике, дополнительный 1.
• Курс дополнительного 1-го курса математики для 11 и 12-х классов предназначен для учащихся, которые продемонстрировали мастерство в рамках углубленного курса математики 10-го класса. Если учащиеся хорошо успели в 10-м классе по математике продвинутого уровня, им следует подумать о прохождении курса 11-го класса по математике, дополнительный 1.

Для различных университетских курсов теперь требуется математика Advanced или более высокая

Университеты начинают вводить предварительные требования по математике или / или рекомендуемые предметы с минимальным результатом HSC для различных курсов.

Щелкните здесь, чтобы увидеть таблицу степеней Сиднейского университета, для которых требуется предварительное условие по математике.

NESA рекомендует:

• • Продвинутый курс математики (2 единицы) как наиболее подходящий для университетских курсов, таких как естественные науки, бизнес, финансы, технологии и образование.
  • Курс математического расширения 1 как наиболее подходящий для университетских курсов, таких как физика, химия, инженерия, статистика и информатика.

Почему математический модуль 1 называется трехблочным математическим курсом?

Содержание 1-го расширения математики включает в себя весь углубленный курс математики (2-й модуль). Таким образом, учащиеся сдают экзаменов HSC для:

• 12-й год углубленного изучения математики и
• 12-го года углубления по математике 1.

По этой причине на курс углубленного изучения математики 12-го класса присваиваются 2 единицы баллов HSC а курсу Year 12 Mathematics Extension 1 присваивается 1 единица баллов HSC .Следовательно, общее количество единиц для этого курса составляет 3 единицы .

Изображение: Разбивка по математике Расширение 1 (3 блока)

Хотите учиться у лучших по математике, стандарт 2?

Курс Matrix + Maths Std 2 Y12 поможет вам подготовить HSC дома! Выучить больше.

Сравнение курсов математики: стандартная математика 2 против продвинутого и дополнительного по математике 1

Темы 11-го класса по математике продвинутого уровня и дополнительного 1 перечислены ниже.Обратите внимание, что в расширении 1 по математике для 11-го класса учащиеся изучают тем: : математика 11-го класса продвинутого уровня и дополнительные 1-е темы.

90 -133 A1: и уравнения

Таблица: 11-й класс по математике Advanced и Extension 1 Syllabus
Стандартный 2-й класс по математике	11-й класс по математике Advanced	11-й год Расширение по математике 1
Базовая арифметика и алгебра (1.1 — 1.4)	Другие неравенства (1.4E)
MS-A2: линейные отношения	Действительные функции (4,1 — 4,4)	Геометрия круга (2,6 — 2,10)
MS-F1 (F1.1): проценты и амортизация	Тригонометрические отношения (5,1 — 5,5)	Дополнительная тригонометрия (5,6 — 5,9)
MS-M1 Приложения измерения (M1.1)	Линейные функции (6,1-6,5, 6,7)	Углы между двумя линиями (6,6)
MS-F1 Money Matters	Квадратичный многочлен и парабола (9.1 — 9,5)	Внутреннее и внешнее разделение линий на заданные соотношения (6,7E)
MS-M2 Работа со временем	Геометрия плоскости (2,1 — 2,4)	Параметрическое представление (9,6)
MS -S1 Анализ данных	Касательная к кривой и производная функции (8.1 — 8.9)	Перестановки и комбинации (18.1)
MS-S2 Относительная частота и вероятность		Полиномы (16.1 — 16.3)
		Более сложные приложения курса из 2 предварительных единиц

В зависимости от школы программа 1-го модуля математики 11 класса будет отличаться.

• Некоторые школы предпочитают сначала закончить темы 11-го класса «Математика продвинутого уровня» перед тем, как начать изучение тем 11-го класса «Математика Extension 1».
• Большинство школ предпочитают преподавать для 11-го класса «Математика продвинутого уровня» и «Расширение 1» одну за другой.

В Matrix мы последовательно изучаем темы по математике 11 класса и дополнительные предметы 1.Математические программы 11-го класса по математике Стандартный 2, Продвинутый и Расширенный 1 показаны ниже:

Линейные Абсолютные функции 901 Значения и неравенства
Квадратичный многочлен

Таблица: Математическая программа 11-го класса
Период	Математика 11-й год Стандартный 2	11-й год Maths Advanced	Год 11 Maths Extension 1
сентябрь — декабрь	Запуск в январе 2021 года	Базовая арифметика и алгебра Абсолютные значения Линейные функции
Январь — апрель	Запуск в январе 2021 года	Функции и взаимосвязи Тригонометрические отношения	Тригонометрические отношения 9025 Предел 9025 Локус 5 9025	Запуск 20 января 21	Плоская геометрия Квадратичный многочлен Локус и парабола	Многочлены Геометрические приложения дифференцирования Параметрическое представление
июль — сентябрь
июль — сентябрь	Январь 20253 Запуск 9022 9022 Запуск версии 9022 Предварительные темы	Последовательности и серии Геометрия круга Интеграция Тома

Темы 12-го года по математике для продвинутых, стандартных 2 и дополнительных 1 перечислены ниже.Обратите внимание, что учащиеся 12-го класса по математике на дополнительном уровне 1 изучают предметов по математике 12-го класса продвинутого уровня и дополнительные 1-е темы.

серии

Таблица: 12-й год Математика Стандартный 2, Продвинутый и Расширение 1 Учебный план
12-й год Стандартный 2-й курс по математике	12-й год Математика Продвинутый	12-й год Математический Расширенный 1
MS -A4 Типы взаимосвязей	Координатные методы в геометрии (6.8)	Метод интегрирования (11.5)
MS-F4 Инвестиции и ссуды	Применение геометрических свойств (2,5)	Примитив sin (2x) и cos (2x) (13.6E)
MS-N2 Сетевые концепции	Геометрические приложения дифференцирования (10.1-10.8)	Уравнение экспоненциального роста и убывания (14.2E)
MS-F5 Аннуитеты	Интеграция (11.1 — 11.4)	Скорость и ускорение как функция от ‘x’ (14.3E )
MS-M6 Неправильная тригонометрия	Тригонометрические функции (включая приложения тригонометрических соотношений) (13.1 — 13,6, 13,7)	Движение снаряда (14,3E)
MS-M7 Скорости и отношения	Логарифмические и экспоненциальные функции (12,1 — 12,5)	Простое гармоническое движение (14,4)
MS-M7 Анализ критического пути	Приложения исчисления в физическом мире (14,1 — 14,3)	Обратные функции и обратные тригонометрические функции (15,1 — 15,5)
MS-S4 Двумерный анализ данных	Вероятность (3.1 — 3,3)	Индукция (7,4)
MS-S5 Нормальное распределение	(7,1 — 7,3) и приложения серии (7,5)	Биномиальная теорема (17,1 — 17,3)
		Дополнительная вероятность (18,2)
		Итерационные методы для оценки корней (16,4)
		Более сложные применения HSC 2 Темы модуля

В Matrix мы преподаем математику и дополнительный курс 1 12-й год темы одна за другой.Математические программы 11-го класса по математике Стандартный 2, Продвинутый и Расширенный 1 показаны ниже:

Линейные Абсолютные значения0 Линейные значения0 Линейные функции и неравенства
Квадратичный многочлен33 Пределы производной

Таблица: Математическая программа 12-го года Матрицы
Период	Математика 12-й год Стандартный 2	Математика 12-го года Продвинутый	Год 11 Maths Extension 1
сентябрь — декабрь	Запуск январь 2021	Базовая арифметика и алгебра Абсолютные значения Линейные функции
Январь — апр	Запуск в январе 2021 года	Функции и взаимосвязи Апрель13 Отношения	Тригонометрические отношения
Запуск в январе 2021 года 9025 4	Плоская геометрия Квадратичный многочлен Локус и парабола	Многочлены Геометрические приложения дифференцирования Параметрическое представление
июль — сентябрь	9022 Предварительная редакция 9022 Запуск предварительной версии Темы	Последовательности и серии Геометрия круга Интеграция Тома

Насколько важны курсы математики 11 класса?

Учащиеся должны помнить, что 11 класс — это первый год программы 6-го уровня.Это означает, что весь контент 11-го класса по математике продвинутого уровня и / или дополнительного 1-го класса можно сдать в HSC .

Ниже приводится экзаменационный вопрос HSC из экзаменационной работы углубленного уровня по математике HSC 2016.

2016 HSC Mathematics Advanced Question 3

Источник: веб-сайт NESA.

Этот вопрос экзамена HSC взят из темы углубленного изучения математики 11 класса: «Квадратичный многочлен и парабола (9.1–9.5)»!

Все темы 11-го класса по математике Advanced и / или Extension 1 можно сдать в HSC

Ниже представлен вопрос экзамена HSC из экзаменационной работы HSC Mathematics Extension 1 2016.

2016 HSC Mathematics Extension 1 Question 10

Источник: веб-сайт NESA

Этот вопрос экзамена HSC взят из темы 1 курса математики 11 класса: «Многочлены (16.1-16.3)»!

Масштабирование курсов математики

Масштабирование — это процесс преобразования оценок HSC в масштабированные оценки для сравнения по различным предметам. Это преобразование или «масштабирование» требуется, когда учащиеся изучают математику на разных уровнях.

К курсам математики применяется другой уровень масштабирования, как показано на графике ниже.

Масштабирование предметов по математике HSC 2019. Данные из отчета о масштабировании UAC за 2019 год

Как правило, чем «сложнее» единица исследования, тем «лучше» ее масштабирование.

Расширение 1 по математике оценивается лучше, чем углубленный по математике.

Обратите внимание, что ученикам не следует выбирать предметы на основе шкалы .Вместо этого следует использовать масштабные графики в качестве инструмента для определения вашей требуемой позиции / ранга в штате, чтобы вы могли получить желаемый ATAR.

Например,

• Учащийся 60-го процентиля (40 процентов лучших в штате) по математическому расширению 2 получит шкалу 45/50, что соответствует 90/100, тогда как ученик 60-го процентиля по математике Расширение 1 и Расширенный получат шкалу 43/50 и 34/50, что соответствует 86/100 и 68/100 соответственно.
• Учащийся, изучающий математику продвинутого уровня, должен быть в 97-м процентиле, чтобы получить такую ​​же оценку по шкале, как ученик математического расширения 2 в 60-м процентиле.

Таким образом,

• Программа 11-го и 12-го классов 6-го уровня начинается в 2019 году, а не в 2018 году.
• Студенты должны тщательно выбирать, какие курсы математики им следует пройти в 11-м классе.
• Содержание 11-го класса по математике Advanced и Расширение 1 можно проверить в HSC.
• Курсы математики масштабируются по-разному, это следует учитывать студентам при принятии решения о том, какой курс им подходит.

Хотите учиться у лучших для Maths Std 2?

Курс Matrix Maths Std 2 Y12 поможет вам подготовить HSC с помощью экспертов в данной области! Выучить больше.

.

No related posts.