1 arctg x: Чему будет равно выражение arctg x+arctg 1/x?

2

Уравнение касательной к графику функции f(X) в точке х0

Таблица производных

Функция f (х)

Производная f ‘ (х)

С, где С — любое число

0

хп, где п – любое число

пхп-1

ех

ех

aх

ахlnа

lnх

lоg a x

sin х

cosх

cos х

-sinх

tg х

ctgх

y = f(x0) + f ‘(x0)(x – x0)

21

Обратные тригонометрические функции

Функция

Область

определения

Область

значений

y = arcsinx

[-1;1]

[-/2; /2]

y = arccosx

[-1;1]

[0; ]

y = arctgx

x – любое

(-/2; /2)

y = arcctgx

x – любое

(0; )

sin(arcsin x) = x

cos(arccos x) = x

tg(arctg x) = x

ctg(arcctg x) = x arcsin(-x) = — arcsinx

sin(arсcos x)= arccos(-x)=-arccos x

cos(arcsin x) = arctg(-x) = — arctg x

tg (arcctg x) = arcctg(-x) =-arcctgx

ctg (arctg x) =

14

Значения тригонометрических функций

a

0o

30o

45o

60o

90o

120o

135o

a

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

sin

0

1

cos

1

0

tg

0

1

— 1

ctg

1

0

— 1

Формулы

90o-

90o+

270o-

270o+

/2 — 

/2 +

3/2-

3/2+

sin

cos 

cos 

-cos 

-cos 

cos

sin 

-sin 

-sin 

sin 

tg

ctg 

-ctg 

ctg 

-ctg 

ctg

tg 

-tg 

tg 

-tg 

sin(-x) = -sinx cos(-x) = cos x

sin(x-y) = — sin(y-x) cos(x-y) = cos(y-x)

16

для некоторых углов

150o

180o

210o

225o

270o

300o

330o

360o

5/6

7/6

5/4

3/2

5/3

11/6

2

0

— 1

0

-1

0

1

0

1

0

1

0

приведения

180o-

180o+

360o-

360o+

 — 

 + 

2 — 

2 + 

sin

sin 

-sin 

-sin 

sin 

cos

-cos 

-cos 

cos 

cos 

tg

-tg 

tg 

-tg 

tg 

ctg

-ctg 

ctg 

-ctg 

ctg 

tg(-x) = — tgx ctg(-x) = — ctg x

tg(x-y) = — tg(y-x) ctg(x-y) = — ctg(y-x)

17

Исчисление

— Доказательство $\operatorname{arccot}(x)= \arctan(\frac{1}{x})$

спросил

Изменено 1 год, 11 месяцев назад

Просмотрено 392 раза

$\begingroup$

$\newcommand{\ac}{\operatorname{arccot}}$ Вот мое доказательство:

$ \theta = \ac(x)$

$ \cot \theta = x $

$ \displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{1}{ x}$

$ \displaystyle \theta = \arctan \frac{1}{x}$

Но на основе графика $\ac(x) = \arctan(\frac{1}{x})$ выполняется только при $ x > 0$. Что не так с моим доказательством? Какая ошибка произошла внутри доказательства?

  • исчисление
  • функции
  • проверка решения
  • обратная функция
  • поддельные пруфы

$\endgroup$

11

$\begingroup$

ПОДСКАЗКА. Используя фигуру прямоугольного треугольника, очевидно, что для $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ выполняется предлагаемое равенство.

откуда равенство верно для всех $x\gt 0$.

Однако для $x\lt0$ равенство неверно, так как, например,

$$\operatorname{arccot}(-2)\приблизительно2.6779\\\arctan(-\dfrac 12)\приблизительно-1.1071$$

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Существует два соглашения по главному значению:

  1. $\operatorname{arccot} x \in (-\pi/2, \pi/2]$ с разрывом в нуле.
  2. $\operatorname{arccot} x \in (0, \pi)$

См. https://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html

Получается, что $\operatorname{arccot} x = \arctan(1/x)$ для всех $x\ne 0$ при одном соглашении главное значение. 9\circ$ и определите свой диапазон в любом случае до кратного $\pi.$

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Длинный комментарий:

Первая проблема с $$\arctan\left(\frac1x\right)=\operatorname{arccot}(x)$$ заключается в том, что $\arctan$ — нечетная функция, а $\operatorname{ arccot}$ нет.

В самом деле, $\forall x\in\Bbb R$ выполняется следующее:

$$\arctan(x)+\operatorname{arccot}(x)=\frac\pi2\implies\operatorname{arccot}( х)=\frac\pi2-\arctan(x)$$ Следовательно, если $x>0$, то $$\arctan\left(\frac1{-x}\right)=-\arctan\left(\frac1x\right)=-\operatorname{arccot}(x)=-\operatorname{arccot}(-(-x) ))$$ и мы не можем просто поставить знак под аргументом. Поэтому, $$\arctan\left(\frac1x\right)=\begin{cases}-\operatorname{arccot}(-x), &x<0\\\operatorname{arccot}(x),&x>0\end{cases }$$

$\endgroup$

арктангенс(х+1)+арктангенс(х – 1)=арктангенс(12)

Предыдущая статья Следующая статья

(Последнее обновление: 28 января 2023 г.)

Постановка задачи: EE Board, март 1998 г.

Найдите x в уравнении: arctan(x + 1) + arctan(x – 1) = arctan(12).

  • А. 1,5
  • Б. 1,34
  • С. 1.20
  • Д. 1,25
Ответ на задачу:

Эквивалентное значение x равно 1.33

Просмотр Решение:

Этот контент предназначен для премиум-пользователей. Устали от рекламы?

Подпишитесь, чтобы разблокировать контент! и Удалить рекламу.

Последнее решение задач плоской тригонометрии

  • Решение: Сколько квадратных единиц будет иметь площадь нового треугольника?
  • Решение: Даны три стороны. Какова площадь треугольника?
  • Решение: Найдите длину линии, разделяющей пополам самую длинную сторону треугольного участка 9.0026
  • Решение: Чему равна третья сторона треугольника?
  • Решение: Определить сторону равностороннего треугольника
  • Решение: найти высоту памятника на горизонтальной плоскости
  • Решение: Какова высота башни?
  • Решение: Определить скорость корабля
  • Решение: На каком расстоянии в метрах от здания находится точка А?
  • Решение: если высота башни B равна 120 м, найдите высоту башни A
  • .
  • Решение: Определить длину провода и угол, который он образует
  • Решение: Определить длину стержня
  • Решение: Какова высота башни?
  • Решение: Какова будет путевая скорость самолета, если он будет лететь по этому курсу?
  • Решение: сколько часов второй корабль будет точно к северу от корабля А?
  • Решение: Найдите высоты, если площади треугольников отличаются на 21
  • Решение: Определите кратчайшее расстояние от башни C до шоссе
  • .
  • Решение: Найдите высоту соседнего здания в метрах 92 θ)
  • Решение: Найдите значение (sin⁡θ + cos⁡θtan⁡θ)/cos⁡θ
  • Решение: Найдите значение y в данном: y=(1+cos2θ)tanθ
  • Решение: Если тангенс x=1/2, тангенс y=1/3, каково значение тангенса (x+y)?
  • Решение: если sec 2A=1/sin⁡13A , определите угол A в градусах
  • Решение: Вычислить котангенс угла
  • Решение: Найдите значение sin(arc cos 15/17)
  • Решение: если cos65° + cos55° = cosθ, найдите θ в радианах 92А – sinA=1
  • Решение: Найдите G, если csc (11G – 16 градусов) = sec (5G + 26 градусов)
  • Решение: Если sinxcosx + sin2x = 1, каковы значения x?
  • Решение: Найдите x, если tan3x=5tanx
  • Решение: если sin 3A = cos 6B, то
  • Решение: Найдите θ в следующем уравнении: sin 2θ = cosθ
  • Решение: CSC 520° равно
  • Решение: Каковы значения sinB и cosB в 4-м квадранте?
  • Решение. В каком квадранте находится A, если sec A положителен, а csc A отрицателен? 92А эквивалентно
  • Решение: чему равен Sin(B–A), если B=270 градусов и A — острый угол
  • Решение: Найдите расстояние «d» между центрами двух последовательных отверстий
  • Решение: Каков вертикальный подъем поезда на этом расстоянии?
  • Решение: Найдите кратчайшее расстояние от одной дороги до заправочной станции
  • Решение: Найдите расстояние от точки пересечения биссектрис угла
  • Решение: На каком расстоянии от основания дома
  • Решение: Найдите высоту здания
  • Решение: Найдите расстояние между двумя башнями
  • Решение: Какой высоты столб?
  • Решение: Как далеко друг от друга два города?
  • Решение: Найдите длину самой короткой лестницы
  • .
  • Решение: Если длина лестницы 50 футов, то какой ширины будет улица?
  • Решение: Найдите высоту холма, если высота башни 116 футов
  • Решение: Какова ширина реки?
  • Решение: На каком расстоянии друг от друга две башни?
  • Решение: Найдите радиус 60-й параллели
  • широты.
  • Решение: Насколько высока более высокая башня?
  • Решение: Найдите высоту маяка
  • .
  • Решение: Если дополнение к углу тета составляет 2/5 его дополнения
  • Решение: Найдите высоту фонарного столба, если угол возвышения меняется
  • Решение: Как долго спутник находится над горизонтом?
  • Решение: Найдите высоту башни
  • Решение: Какое расстояние должен пройти автомобиль по трассе?
  • Решение: Найдите длину хорды окружности радиусом 20 см
  • Решение: Какова площадь фронтона?
  • Решение: Найдите наибольший угол треугольника, образованного соединением центров
  • Решение: вычислить скорость лодки
  • Решение: Определите отношение b:a, если стороны прямоугольного треугольника равны a, a+b, a+2b
  • Решение: Найдите наименьший угол в милах 92 θ
  • Решение: Каково максимальное значение 3-2cos θ?
  • Решение: если 2log3 (по основанию x)+log2 (по основанию x)=2+log6 (по основанию x), то x равно
  • .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *