1 arctg x: Чему будет равно выражение arctg x+arctg 1/x?

Содержание

Уравнение касательной к графику функции f(X) в точке х0

Таблица производных

Функция f (х)	Производная f‘ (х)
С, где С — любое число	0
х^п, где п – любое число	пх^п-1
е^х	е^х
a^х	а^хlnа
lnх
lоg_a x
sin х	cosх
cos х	-sinх
tg х
ctgх

y = f(x₀) + f ‘(x₀)(x – x₀)

Обратные тригонометрические функции

Функция	Область определения	Область значений
y = arcsinx	[-1;1]	[-/2; /2]
y = arccosx	[-1;1]	[0; ]
y = arctgx	x – любое	(-/2; /2)
y = arcctgx	x – любое	(0; )

sin(arcsin x) = x

cos(arccos x) = x

tg(arctg x) = x

ctg(arcctg x) = x arcsin(-x) = — arcsinx

sin(arсcos x)= arccos(-x)=-arccos x

cos(arcsin x) = arctg(-x) = — arctg x

tg (arcctg x) = arcctg(-x) =-arcctgx

ctg (arctg x) =

Значения тригонометрических функций

a	0^o	30^o	45^o	60^o	90^o	120^o	135^o
a	0	/6	/4	/3	/2	2/3	3/4
sin	0				1
cos	1				0
tg	0		1		—		— 1
ctg	—		1		0		— 1

Формулы

	90^o-	90^o+	270^o-	270^o+
	/2 — 	/2 +	3/2-	3/2+
sin	cos 	cos 	-cos 	-cos 
cos	sin 	-sin 	-sin 	sin 
tg	ctg 	-ctg 	ctg 	-ctg 
ctg	tg 	-tg 	tg 	-tg 

sin(-x) = -sinx cos(-x) = cos x

sin(x-y) = — sin(y-x) cos(x-y) = cos(y-x)

для некоторых углов

150^o	180^o	210^o	225^o	270^o	300^o	330^o	360^o
5/6		7/6	5/4	3/2	5/3	11/6	2
	0			— 1			0
	-1			0			1
	0		1	—			0
	—		1	0			—

приведения

	180^o-	180^o+	360^o-	360^o+
	 — 	 + 	2 — 	2 + 
sin	sin 	-sin 	-sin 	sin 
cos	-cos 	-cos 	cos 	cos 
tg	-tg 	tg 	-tg 	tg 
ctg	-ctg 	ctg 	-ctg 	ctg 

tg(-x) = — tgx ctg(-x) = — ctg x

tg(x-y) = — tg(y-x) ctg(x-y) = — ctg(y-x)

Исчисление

— Доказательство $\operatorname{arccot}(x)= \arctan(\frac{1}{x})$

спросил 2 года 3 месяца назад

Изменено 1 год, 11 месяцев назад

Просмотрено 392 раза

$\begingroup$

$\newcommand{\ac}{\operatorname{arccot}}$ Вот мое доказательство:

$ \theta = \ac(x)$

$ \cot \theta = x $

$ \displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{1}{ x}$

$ \displaystyle \theta = \arctan \frac{1}{x}$

Но на основе графика $\ac(x) = \arctan(\frac{1}{x})$ выполняется только при $ x > 0$. Что не так с моим доказательством? Какая ошибка произошла внутри доказательства?

исчисление
функции
проверка решения
обратная функция
поддельные пруфы

$\endgroup$

$\begingroup$

ПОДСКАЗКА. Используя фигуру прямоугольного треугольника, очевидно, что для $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ выполняется предлагаемое равенство.

откуда равенство верно для всех $x\gt 0$.

Однако для $x\lt0$ равенство неверно, так как, например,

$$\operatorname{arccot}(-2)\приблизительно2.6779\\\arctan(-\dfrac 12)\приблизительно-1.1071$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Существует два соглашения по главному значению:

$\operatorname{arccot} x \in (-\pi/2, \pi/2]$ с разрывом в нуле.
$\operatorname{arccot} x \in (0, \pi)$

См. https://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html

Получается, что $\operatorname{arccot} x = \arctan(1/x)$ для всех $x\ne 0$ при одном соглашении главное значение. 9\circ$ и определите свой диапазон в любом случае до кратного $\pi.$

$\endgroup$

$\begingroup$

Длинный комментарий:

Первая проблема с $$\arctan\left(\frac1x\right)=\operatorname{arccot}(x)$$ заключается в том, что $\arctan$ — нечетная функция, а $\operatorname{ arccot}$ нет.

В самом деле, $\forall x\in\Bbb R$ выполняется следующее:

$$\arctan(x)+\operatorname{arccot}(x)=\frac\pi2\implies\operatorname{arccot}( х)=\frac\pi2-\arctan(x)$$ Следовательно, если $x>0$, то $$\arctan\left(\frac1{-x}\right)=-\arctan\left(\frac1x\right)=-\operatorname{arccot}(x)=-\operatorname{arccot}(-(-x) ))$$ и мы не можем просто поставить знак под аргументом. Поэтому, $$\arctan\left(\frac1x\right)=\begin{cases}-\operatorname{arccot}(-x), &x<0\\\operatorname{arccot}(x),&x>0\end{cases }$$

$\endgroup$

арктангенс(х+1)+арктангенс(х – 1)=арктангенс(12)

Предыдущая статья Следующая статья

(Последнее обновление: 28 января 2023 г.)

Постановка задачи: EE Board, март 1998 г.

Найдите x в уравнении: arctan(x + 1) + arctan(x – 1) = arctan(12).

А. 1,5
Б. 1,34
С. 1.20
Д. 1,25

Ответ на задачу:

Эквивалентное значение x равно 1.33

Просмотр Решение:

Этот контент предназначен для премиум-пользователей. Устали от рекламы?

Подпишитесь, чтобы разблокировать контент! и Удалить рекламу.

Последнее решение задач плоской тригонометрии

Решение: Сколько квадратных единиц будет иметь площадь нового треугольника?
Решение: Даны три стороны. Какова площадь треугольника?
Решение: Найдите длину линии, разделяющей пополам самую длинную сторону треугольного участка 9.0026
Решение: Чему равна третья сторона треугольника?
Решение: Определить сторону равностороннего треугольника
Решение: найти высоту памятника на горизонтальной плоскости
Решение: Какова высота башни?
Решение: Определить скорость корабля
Решение: На каком расстоянии в метрах от здания находится точка А?
Решение: если высота башни B равна 120 м, найдите высоту башни A
Решение: Определить длину провода и угол, который он образует
Решение: Определить длину стержня
Решение: Какова высота башни?
Решение: Какова будет путевая скорость самолета, если он будет лететь по этому курсу?
Решение: сколько часов второй корабль будет точно к северу от корабля А?
Решение: Найдите высоты, если площади треугольников отличаются на 21
Решение: Определите кратчайшее расстояние от башни C до шоссе

Решение: Найдите высоту соседнего здания в метрах 92 θ)
Решение: Найдите значение (sin⁡θ + cos⁡θtan⁡θ)/cos⁡θ
Решение: Найдите значение y в данном: y=(1+cos2θ)tanθ
Решение: Если тангенс x=1/2, тангенс y=1/3, каково значение тангенса (x+y)?
Решение: если sec 2A=1/sin⁡13A , определите угол A в градусах
Решение: Вычислить котангенс угла
Решение: Найдите значение sin(arc cos 15/17)
Решение: если cos65° + cos55° = cosθ, найдите θ в радианах 92А – sinA=1
Решение: Найдите G, если csc (11G – 16 градусов) = sec (5G + 26 градусов)
Решение: Если sinxcosx + sin2x = 1, каковы значения x?
Решение: Найдите x, если tan3x=5tanx
Решение: если sin 3A = cos 6B, то
Решение: Найдите θ в следующем уравнении: sin 2θ = cosθ
Решение: CSC 520° равно
Решение: Каковы значения sinB и cosB в 4-м квадранте?
Решение. В каком квадранте находится A, если sec A положителен, а csc A отрицателен? 92А эквивалентно
Решение: чему равен Sin(B–A), если B=270 градусов и A — острый угол
Решение: Найдите расстояние «d» между центрами двух последовательных отверстий
Решение: Каков вертикальный подъем поезда на этом расстоянии?
Решение: Найдите кратчайшее расстояние от одной дороги до заправочной станции
Решение: Найдите расстояние от точки пересечения биссектрис угла
Решение: На каком расстоянии от основания дома
Решение: Найдите высоту здания
Решение: Найдите расстояние между двумя башнями
Решение: Какой высоты столб?
Решение: Как далеко друг от друга два города?
Решение: Найдите длину самой короткой лестницы

Решение: Если длина лестницы 50 футов, то какой ширины будет улица?
Решение: Найдите высоту холма, если высота башни 116 футов
Решение: Какова ширина реки?
Решение: На каком расстоянии друг от друга две башни?
Решение: Найдите радиус 60-й параллели
Решение: Насколько высока более высокая башня?
Решение: Найдите высоту маяка
Решение: Если дополнение к углу тета составляет 2/5 его дополнения
Решение: Найдите высоту фонарного столба, если угол возвышения меняется
Решение: Как долго спутник находится над горизонтом?
Решение: Найдите высоту башни
Решение: Какое расстояние должен пройти автомобиль по трассе?
Решение: Найдите длину хорды окружности радиусом 20 см
Решение: Какова площадь фронтона?
Решение: Найдите наибольший угол треугольника, образованного соединением центров
Решение: вычислить скорость лодки
Решение: Определите отношение b:a, если стороны прямоугольного треугольника равны a, a+b, a+2b
Решение: Найдите наименьший угол в милах 92 θ
Решение: Каково максимальное значение 3-2cos θ?
Решение: если 2log3 (по основанию x)+log2 (по основанию x)=2+log6 (по основанию x), то x равно