Индийско-арабская система счисления и римские цифры
Результаты обучения
- Познакомиться с эволюцией системы счета, которую мы используем каждый день
- Запись чисел римскими цифрами
- Преобразование между индийско-арабскими и римскими цифрами
Эволюция системы
Целые числа и разрядность
Напомним, что целых чисел начинаются с [латекс]0[/латекс] и продолжаются.
[латекс]0,1,2,3,4,5\точки[/латекс] 9{2}=10\ast 10=100[/latex], [latex]1[/latex], за которым следуют 2 нуля, и так далее. Это хороший способ быстро увидеть значение заданной степени числа десять. Теперь мы можем расширить эту идею, чтобы помещать значения в целые числа, которые действуют как счетчики количества степеней десятки.
Вызов разрядов целых чисел.
… тысяч сотен десятков единиц.
Каждое из этих значений может быть представлено в виде возрастающей степени десяти.
… 10 3 + 10 2 + 10 9{0} = 2000 + 400 + 50 + 3 = 2453[/латекс].
Наша собственная система счисления, состоящая из десяти символов {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, называется индусской -арабской системой . Это десятичная (десятичная) система с основанием, поскольку разрядные значения увеличиваются в десятичной степени. Кроме того, эта система является позиционной, что означает, что положение символа влияет на значение этого символа в числе. Например, положение символа 3 в числе 435 681 дает ему значение, намного большее, чем значение символа 8 в том же числе. Позже мы более подробно изучим базовые системы. Развитие этих десяти символов и их использование в позиционной системе пришло к нам прежде всего из Индии. [1]
Рисунок 10. Аль-Бируни
Только в пятнадцатом веке символы, с которыми мы знакомы сегодня, впервые сформировались в Европе. Однако история этих чисел и их развития насчитывает сотни лет. Одним из важных источников информации по этой теме является писатель аль-Бируни, фотография которого показана на рис.
10. [2] Аль-Бируни, родившийся в современном Узбекистане, несколько раз посещал Индию и делал индийская система счисления. Когда мы смотрим на происхождение чисел, с которыми столкнулся аль-Бируни, мы должны вернуться в третий век до нашей эры, чтобы исследовать их происхождение. Именно тогда использовались цифры Брахми.
Числа Брахми были более сложными, чем те, которые используются в нашей собственной современной системе. У них были отдельные символы для чисел от 1 до 9, а также отдельные символы для 10, 100, 1000,…, а также для 20, 30, 40,… и другие для 200, 300, 400, …, 900. Брахми символы 1, 2 и 3 показаны ниже. [3]
Эти цифры использовались вплоть до четвертого века н.э. с изменениями в зависимости от времени и географического положения. Например, в первом веке нашей эры один конкретный набор цифр Брахми принял следующую форму: [4]
Начиная с четвертого века, вы можете проследить несколько разных путей, по которым числа Брахми шли, чтобы добраться до разных точек и воплощений.
Один из этих путей привел к нашей нынешней системе счисления и прошел через то, что называется цифрами Гупта. Цифры Гупта были популярны во времена правления династии Гупта и распространялись по всей империи, когда они завоевывали земли в период с четвертого по шестой век. Они имеют следующий вид: [5]
Вопрос о том, как числа попали в форму Гупта, вызывает серьезные споры. Было предложено множество возможных гипотез, большинство из которых сводится к двум основным типам. [6] Гипотеза первого типа утверждает, что числительные произошли от начальных букв названий чисел. Это не редкость. . . греческие цифры развивались таким образом. Второй тип гипотезы утверждает, что они произошли от какой-то более ранней системы счисления. Однако предлагаются и другие гипотезы, одна из которых принадлежит исследователю Ифре. Его теория состоит в том, что изначально было девять цифр, каждая из которых была представлена соответствующим количеством вертикальных линий. Один из возможных вариантов: [7]
Поскольку для написания этих символов требовалось много времени, они в конечном итоге превратились в курсивные символы, которые можно было писать быстрее.
Если мы сравним их с числами Гупта, приведенными выше, мы можем попытаться увидеть, как мог происходить этот эволюционный процесс, но наше воображение было бы почти всем, на что нам пришлось бы полагаться, поскольку мы не знаем точно, как разворачивался этот процесс.
Числа Гупта со временем превратились в другую форму чисел, называемую цифрами Нагари, и они продолжали развиваться до одиннадцатого века, когда они выглядели следующим образом: [8]
Обратите внимание, что к этому времени появился символ 0! Однако у майя в Америке задолго до этого был символ нуля, как мы увидим позже в этой главе.
Эти цифры были приняты арабами, скорее всего, в восьмом веке во время исламских вторжений в северную часть Индии. [9] Считается, что арабы сыграли важную роль в их распространении в другие части мира, включая Испанию (см. ниже).
Другие примеры вариаций до одиннадцатого века включают: [10]
Рисунок 11.
Девангари, восьмой век
Рисунок 12. Западноарабский Гобар, десятый век числительные по мере их развития и, в конечном итоге, дошли до пятнадцатого века в Европе.
Рисунок 14.
Подробнее о разрядном значении
Наша современная система счисления – позиционная . То есть любая цифра может появиться в любой позиции, и позиция, в которой она появляется, говорит нам, каково ее действительное значение в степенях десяти. По этой причине мы должны использовать нули в качестве заполнителей. 9{0}[/латекс].
Числовая система, представленная римскими цифрами , возникла в Древнем Риме ( 753 г. .1301–1500)). Числа в этой системе представлены комбинациями букв латинского алфавита. Римские цифры, используемые сегодня, основаны на семи символах:
| Символ | я | В | х | л | С | Д | М |
| Значение | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
Использование римских цифр продолжалось еще долгое время после заката Римской империи.
Начиная с 14 века римские цифры в большинстве контекстов стали заменяться более удобными индийско-арабскими цифрами; однако этот процесс был постепенным, и использование римских цифр в некоторых второстепенных приложениях сохраняется и по сей день.
Числа от 1 до 10 обычно обозначаются римскими цифрами следующим образом:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X .
Числа образуются путем объединения символов и сложения значений, поэтому II равно двум (две единицы), а XIII равно тринадцати (десять и три единицы). Поскольку каждое число имеет фиксированное значение, а не кратно десяти, сотне и т. д., в соответствии с позицией
, нет необходимости «замещать» нули, как в таких числах, как 207 или 1066; эти числа записываются как CCVII (две сотни, пять и две единицы) и MLXVI (тысяча, пятьдесят, десять, пять и один).Символы располагаются слева направо в порядке их значения, начиная с самого большого. Однако в некоторых конкретных случаях, чтобы избежать последовательного повторения четырех символов (например, IIII или XXXX), используется вычитающая запись: как в этой таблице:
| Число | 4 | 9 | 40 | 90 | 400 | 900 |
| Римская цифра | IV | IX | XL | ХС | CD | см |
Итого:
- Если поставить перед буквой V или X, то на единицу меньше, так что четыре — это IV (на единицу меньше пяти), а девять — IX (на единицу меньше десяти)
- X, помещенный перед L или C, означает, что на десять меньше, поэтому сорок — это XL (десять меньше пятидесяти), а девяносто — XC (десять меньше ста)
- C, помещенная перед D или M, означает, что на сотню меньше, поэтому четыреста — это CD (сто меньше пятисот), а девятьсот — CM (сто меньше тысячи)
Пример
Напишите индийско-арабское число для [латекс]MCMIV[/латекс].
Показать решение
Попробуйте
Современное использование
К XI веку индийско-арабские цифры были завезены в Европу из Аль-Андалуса через арабских торговцев и трактаты по арифметике. Однако римские цифры оказались очень устойчивыми, оставаясь широко используемыми на Западе вплоть до 14 и 15 веков, даже в бухгалтерском учете и других деловых записях (где фактические расчеты производились с использованием счетов). Замена их более удобными «арабскими» эквивалентами происходила довольно постепенно, и римские цифры до сих пор используются в определенных контекстах. Несколько примеров их текущего использования:
Испанский реал с использованием «IIII» вместо IV
- Имена монархов и пап, напр. Елизавета II Соединенного Королевства, Папа Бенедикт XVI. Их называют царственными номерами; например II произносится как «второй». Эта традиция спорадически зародилась в Европе в Средние века, получив широкое распространение в Англии только во время правления Генриха VIII.
Раньше монарх был известен не по цифре, а по эпитету, например, Эдуард Исповедник. Некоторые монархи (например, Карл IV Испании и Людовик XIV Франции), кажется, предпочитали использовать IIII вместо IV на своих монетах (см. изображение выше). - Суффиксы поколений, особенно в США, для людей, носящих одно и то же имя в разных поколениях, например Уильям Ховард Тафт IV.
- Во французском республиканском календаре, инициированном во время Французской революции, годы нумеровались римскими цифрами – от года I (1792 г.), когда этот календарь был введен, до года XIV (1805 г.), когда от него отказались.
- Год производства фильмов, телепередач и других произведений искусства в рамках самого произведения. Было высказано предположение (возможно, в шутку) BBC News, что изначально это было сделано «в попытке скрыть возраст фильмов или телевизионных программ». [23] Внешняя ссылка на работу будет использовать обычные индийско-арабские цифры.
- Часовые метки на часах. В этом контексте 4 обычно пишут IIII.
- Год постройки фасадов и краеугольных камней.
- Нумерация страниц предисловий и введения книг, а иногда и приложений.
- Номера томов и глав книги, а также несколько актов пьесы (например, Акт III, Сцена 2).
- Продолжения некоторых фильмов, видеоигр и других произведений (как в Рокки II ).
- Контуры, использующие числа для отображения иерархических отношений.
- Случаи повторяющегося грандиозного события, например:
- Летние и зимние Олимпийские игры (например, XXI Зимние Олимпийские игры; Игры XXX Олимпиады)
- Суперкубок, ежегодный чемпионат Национальной футбольной лиги (например, Суперкубок XXXVII; Суперкубок 50 является разовым исключением [24] )
- WrestleMania, ежегодное мероприятие WWE по профессиональному реслингу (например, WrestleMania XXX). Это использование также было непоследовательным.
Раньше монарх был известен не по цифре, а по эпитету, например, Эдуард Исповедник. Некоторые монархи (например, Карл IV Испании и Людовик XIV Франции), кажется, предпочитали использовать IIII вместо IV на своих монетах (см. изображение выше).
В этом контексте 4 обычно пишут IIII.- http://www-groups. dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html ↵
- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk /~history/Mathematicians/Al-Biruni.html ↵
- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html ↵
- http://www-groups .dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html ↵
- Там же. ↵
- Там же. ↵
- Там же. ↵
- Там же. ↵
- Кац, стр. 230 ↵
- Бертон, Дэвид М., История математики, Введение , с. 254–255 ↵
- Кац, стр. 231. ↵
dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html ↵История римских цифр
Римские цифры — это символы древней Римской империи, которые обычно использовались для обозначения небольших чисел. Система может также включать большие числа. И на протяжении веков они были типичным способом записи чисел в империи. Эта система счисления также была широко распространена в Европе вплоть до средневековья. Вопрос, который волнует большинство историков по этой теме, заключается в том, как далеко зашла римская система счисления? Подробный ответ будет дан на поставленный выше вопрос, а также на современное использование римских цифр.
Краткий обзор системы
Вообще говоря, римские цифры используют 7 основных букв латинского алфавита для представления чисел. Используются следующие символы:
Символы римских цифр вместе с соответствующими им значениями
Для формирования чисел с помощью римских цифр используется вычитательная или аддитивная запись. Всякий раз, когда символ помещается после другого символа, результирующее значение является суммой двух символов.
Например, II означает I+I (1+1) = II (2). Точно так же ММ= М+М=1000+1000=2000. А VIII= V+I+I+I= 8
Однако, если символ стоит перед другим символом большего значения, результат получается путем вычитания двух значений. IV означает V-I= 4. Аналогично, XL= L-X= 40 и XC= C-X= 90.
Исходные формы римских цифр
Рим. В отличие от его текущей формы из 7 символов, в исходных формах использовались только три символа: I, V и X (1, 5 и 10 соответственно). Затем древние римляне добавляли 1 (I) по мере увеличения числа.
Так, например, целое число 4 будет представлено как IIII. Тогда 7 будет иметь VII. 9будет VIII. Эти три символа (I, V и X) были своего рода счетными метками. Таким образом, числа от 1 до 10 были:
I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII и X
Усовершенствованная версия римских цифр
Приведенные выше римские цифры (без обозначений или аддитивный принцип) может немного запутать глаза. Например, IIII можно легко с первого взгляда принять за III. Поэтому на протяжении веков римская система счисления претерпела небольшие изменения. В исправленной версии использовалось так называемое вычитающая и аддитивная запись. Таким образом, вместо IIII 4 теперь будет IV. А «I» перед V означает на единицу меньше, чем V (5). И вместо того, чтобы иметь VIIII вместо 9, нотация вычитания означает, что 9 будет IX. Таким образом, первые 10 целых чисел под вычитающей и аддитивной записью будут выглядеть так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X
Для чисел больше 10, X, L и C используются очень часто.
В связи с этим вычитающее 9Здесь также применяются 0025 и аддитивные обозначения. То есть, когда символ появляется слева от другого символа, это означает, что они должны быть вычтены. И наоборот, когда символ появляется справа от символа, это означает, что они должны быть добавлены (аддитивная запись). Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 будут записаны римскими цифрами следующим образом:
X, XX, XXX, XL, L, LX, LXX, LXXX, XC , C
Таким же образом, как и выше, числа от сотен до одной тысячи (от 100 до 1000) будут следующими:
C, CC, CCC, CD, D, DC, DCC, DCCC, CM, M
D и M, как указано выше, представляют собой 500 и 1000 соответственно. Символы CD (400) и CM (900) используют ту же самую вычитающую и аддитивную нотацию, упомянутую выше.
Как большие числа представляются римскими цифрами?
Вы, должно быть, уже задавались вопросом, что после 3999 римская система счисления станет неприятно длинной.
Да, ты прав! Проблема чрезмерного повторения выходит на первый план при работе с большими числами, исчисляемыми тысячами. В Древней Римской империи эту проблему решали несколькими способами. У них были специальные номера для таких случаев. Зеркальная C (Ↄ) в то время была самым распространенным символом для больших чисел.
По мере развития империи измененная версия трех символов (I, V и X) стала набирать популярность для обозначения тысячных чисел. Римляне помещали линию над символами. Кроме того, римские цифры в сотнях тысяч имели дополнительные линии по бокам.
Римские цифры с большими числами
В наше время числа больше 3999 редко представляются римскими цифрами. А учитывая век, в котором мы живем, пройдет очень много времени, прежде чем мы начнем бороться с представлением лет римскими цифрами. На данный момент типичный 21 -й год -го века можно очень точно представить с помощью римской системы счисления. Например, 2018 год можно записать как MMXIII.
Год 2299 может иметь более длинную цифру: MMCCXCIX. Но годы или числа такого рода по-прежнему очень удобны для управления по сравнению с числами больше 3999.
Давайте посмотрим, как будут выглядеть римские цифры в следующих известных знаковых годах нашей современной эры:
- Например, дату Декларации независимости можно аккуратно записать так: IV, июль, MDCCLXXVI
- Еще одна интересная дата, которая отлично получается при использовании римских цифр, — это дата коронации королевы Елизаветы II (6 февраля 1952 г.): VI февраля, MCMLII (Тот самый день, когда королева Елизавета II взошла на престол).
- Олимпийские игры в Рио-де-Жанейро 2016 года будут записываться как MMXI .
- Первый альбом The Beatles под названием «My Bonnie/The Saints» был выпущен в MCMLXII (1962)
- Для гораздо более печальной даты, скажем, атаки близнецов Всемирного торгового центра произошли в MMI (2001) 900:05 Межпланетный космический зонд НАСА «Новые горизонты» пролетел крупным планом Плутон в MMXV (2015).
Классическое использование и современные варианты
Римские цифры широко используются на циферблатах современных часов. В Вестминстерском дворце есть огромные часы (Биг-Бен) с римской системой счисления. И это придерживается правила вычитания или аддитивного обозначения.
Огромные часы Вестминстерского дворца (Биг-Бен) с римской системой счисления.
Римские цифры, занимающие видное место на часах собора Уэллса. Арка Адмиралтейства в Лондоне датирована как MDCCCX, а не как MCMX. Латинская надпись сверху гласит:
ANNO: DECIMO: EDWARDI: SEPTIMI: REGIS: VITORIӔ: REGINӔ: CIVES: GRATISSIMI: MDCCCCX
Адмиралтейская арка в Лондоне с римскими цифрами и латиницей, которая читается на английском языке. : «На десятом году правления короля Эдуарда VII королеве Виктории от самых благодарных граждан 1910”
Часы на Центральном вокзале используют IIII вместо IV. Это довольно часто встречается на циферблатах и циферблатах часов, карманных и наручных часов.
Часы на Гранд Сентрал, Нью-Йорк, где IIII представляет 4
У ворот Колизея было несколько случаев, когда вычитающее обозначение не применялось. Вместо IV предпочтительным вариантом был IIII. Оглядываясь назад, можно сказать, что древние римляне нечасто придерживались этого правила. Историки объясняют это рядом причин. Во-первых, из-за символа IV, напоминающего имя верховного божества римлян, Юпитера. На латыни Юпитер пишется как IVPPITER. Римляне не хотели совершать ересь, помещая символ, который был подобен их богу неба и царю богов Юпитеру.
Вторая причина связана с небольшим математическим расчетом, который идет с «IV». Поскольку IIII не подчинялся системе счисления с вычитанием , простые люди и менее образованные римляне могли легко прочитать его. Даже в Средние века часы, установленные на церквях или в городских центрах, учитывали средний необразованный народ. Таким образом, IIII было намного проще читать или даже писать, чем IV.
Типичные современные дневные часы с римскими цифрами
Сегодня большинство производителей часов предпочитают использовать IIII (вместо IV) из соображений сохранения традиции, а не по вышеуказанным причинам.
Как римляне придумали эту систему?
Ответ прост. Подсчет! Как считали римляне, каждый 5-й -й -й счет чеканился специальным символом. И каждый десятый счет чеканился другим специальным символом. Эти специальные символы резко различаются от места к месту. Однако интересно то, что для чисел от 1 до 4 использовались палочки или похожие на палочки формы. Числа от 1 до 10 в то время могли выглядеть так:
Римские цифры без вычитающей записи
Обратите внимание, что эти символы ʌ и x выглядят как современные версии V и X. В то время многие римляне использовали перевернутую V вместо 5. Другие символы, такие как ⃝ и ↑ тогда были очень распространены.
Какая система счисления использовалась до появления римлян?
До римлян аналогичная система использовалась во времена этрусской цивилизации. Этруски были очень яркой культурой с 8 по 3 век до нашей эры до того, как их завоевали римляне. Историки считают, что римская система счисления, а также множество других этрусских культурных и исторических артефактов и систем верований были ассимилированы расцветающей Римской империей.
Что касается происхождения этих этрусских систем счета и нумерации, мы можем с уверенностью предположить, что они, должно быть, произошли от простого действия, такого как подсчет.
С другой стороны, некоторые историки придерживаются мнения, что римская система счисления является продуктом жестов рук. Цифры от 1 до 4 соответствуют четырем пальцам. Большой палец в форме буквы V представляет цифру 5.
Для чисел от 6 до 10 использовались обе руки. Когда счет дошел до 10, два больших пальца были скрещены, чтобы получился знак X.
Использование в Новое время
Исторические документы показывают, что римские цифры постепенно заменялись более удобными арабскими цифрами (то есть 1,2,3,…). Арабские цифры впервые появились в Европе примерно в 119 г.0040-й век. Он был популярен среди арабских купцов и торговцев. Со временем их числительные получили широкое распространение по всей Европе. Несмотря на это, римская система счисления по-прежнему предпочтительна для следующих (до даты):- Имена монархов и пап
Королевские номера монархов, правителей и пап до сих пор по-прежнему используют римские цифры.
Традиция впервые зародилась в средние века. Во время правления Генриха VIII (произносится как «Генрих восьмой») его использование начало набирать обороты. До этого монархи использовали эпитет, чтобы отличить одного от другого. Примером такого эпитета будут: Эдуард Исповедник, Карл Простодушный из Франции и Жанна Безумная из Испании. С помощью римских цифр эпитеты в их названиях были не так уж и нужны. Это видно по титулам некоторых европейских монархов и пап. Примерами таких титулов с римскими цифрами являются Людовик XIV (Людовик четырнадцатый), король Георг II, король Испании Карл IV, король Эдуард VII, 9.0020
В наше время мы можем упоминать эти титулы Папы Иоанна Павла II (Папы Иоанна Павла II), Королевы Елизаветы II, Папы Бенедикта XVI и Филиппа VI.
После Французской революции французы стали использовать римские цифры для записи лет. Например, завоевание Египта Наполеоном, имевшее место в 1798 и 1799 годах, может быть записано как MDCCXCVIII и MDCCXCIX 9.
0020
- Названия поколений
В США начали использовать римскую систему счисления, чтобы различать двух членов семьи, носивших одинаковые имена из поколения в поколение. Примером может быть Джон Доу III (то есть третий Джон Доу в генеалогическом древе).
- Годы производства фильмов
В нашу современную эпоху нередко можно увидеть шоу, фильмы и произведения искусства, датированные римскими цифрами. Год выхода фильма «Побег из Шоушенка» можно записать как MCMXCIV.
Некоторые люди считают, что артисты и продюсерские компании используют его как уловку. Это чтобы замаскировать или скрыть дату производства. Жюри все еще отсутствует на этом наверняка.
- Строительные конструкции и краеугольный камень
Здания и краеугольные камни до сих пор предпочитают использовать римские цифры.
- Предисловия и введение в книгу
Нередко можно встретить нумерацию страниц предисловий и предисловий к книгам, а также приложений и приложений с использованием римских цифр.
Тома и главы книг также не освобождаются от использования этого числительного.
- Продолжения фильмов, книг, программного обеспечения и видеоигр
Примеры: Final Fantasy XV (игра), Adobe Reader XI (читатель PDF) и Age of Empire III (игра)
- Естественные спутники и луны
Ученые часто называют естественные спутники и спутники планет римскими цифрами. Яркими примерами являются Сатурн VI (Титан), Юпитер II (Европа), Уран I (Ариэль), Нептун XIV (Гиппокамп) и Плутон I (Харон).
- Школьные предметы
Известные примеры можно найти в названиях продвинутой математики, таких как тригонометрия, статистика и исчисление.
Насколько известны римские цифры в современной Греции?
До завоевания римлянами и их проникновения в Древнюю Грецию у самих греков была собственная система счисления. Поэтому будет справедливо сказать, что сегодня в Греции греческие цифры используются в тех местах и ситуациях, где римские цифры используются в других частях мира.