2N факториал: Как разложить факториал? (2n)!! — Спрашивалка

Содержание

Интерактивный учебник языка Python

Занятие 8. Функции и рекурсия

1. Функции

Напомним, что в математике факториал числа n определяется как n! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ n. Например, 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120. Ясно, что факториал можно легко посчитать, воспользовавшись циклом for. Представим, что нам нужно в нашей программе вычислять факториал разных чисел несколько раз (или в разных местах кода). Конечно, можно написать вычисление факториала один раз, а затем используя Copy-Paste вставить его везде, где это будет нужно.

# вычислим 3!
res = 1
for i in range(1, 4):
    res *= i
print(res)
# вычислим 5!
res = 1
for i in range(1, 6):
    res *= i
print(res)

Однако, если мы ошибёмся один раз в начальном коде, то потом эта ошибка попадёт в код во все места, куда мы скопировали вычисление факториала. Да и вообще, код занимает больше места, чем мог бы. Чтобы избежать повторного написания одной и той же логики, в языках программирования существуют функции.

Функции — это такие участки кода, которые изолированы от остальный программы и выполняются только тогда, когда вызываются.

Вы уже встречались с функциями sqrt(), len() и print(). Они все обладают общим свойством: они могут принимать параметры (ноль, один или несколько), и они могут возвращать значение (хотя могут и не возвращать). Например, функция sqrt() принимает один параметр и возвращает значение (корень числа). Функция print() принимает переменное число параметров и ничего не возвращает.

Покажем, как написать функцию factorial(), которая принимает один параметр — число, и возвращает значение — факториал этого числа.

def factorial(n):
    res = 1
    for i in range(1, n + 1):
        res *= i
    return res
print(factorial(3))
print(factorial(5))

Дадим несколько объяснений. Во-первых, код функции должен размещаться в начале программы, вернее, до того места, где мы захотим воспользоваться функцией factorial(). Первая строчка этого примера является описанием нашей функции. factorial — идентификатор, то есть имя нашей функции. После идентификатора в круглых скобках идет список параметров, которые получает наша функция.

Список состоит из перечисленных через запятую идентификаторов параметров. В нашем случае список состоит из одной величины n. В конце строки ставится двоеточие.

Далее идет тело функции, оформленное в виде блока, то есть с отступом. Внутри функции вычисляется значение факториала числа n и оно сохраняется в переменной res. Функция завершается инструкцией return res, которая завершает работу функции и возвращает значение переменной res.

Инструкция return может встречаться в произвольном месте функции, ее исполнение завершает работу функции и возвращает указанное значение в место вызова. Если функция не возвращает значения, то инструкция return используется без возвращаемого значения. В функциях, которым не нужно возвращать значения, инструкция return может отсутствовать.

Приведём ещё один пример. Напишем функцию max(), которая принимает два числа и возвращает максимальное из них (на самом деле, такая функция уже встроена в Питон).

def max(a, b):
    if a > b:
        return a
    else:
        return b
print(max(3, 5))
print(max(5, 3))
print(max(int(input()), int(input())))

Теперь можно написать функцию max3(), которая принимает три числа и возвращает максимальное их них.

def max(a, b):
    if a > b:
        return a
    else:
        return b
def max3(a, b, c):
    return max(max(a, b), c)
print(max3(3, 5, 4))

Встроенная функция max() в Питоне может принимать переменное число аргументов и возвращать максимум из них. Приведём пример того, как такая функция может быть написана.

def max(*a):
    res = a[0]
    for val in a[1:]:
        if val > res:
            res = val
    return res
print(max(3, 5, 4))

Все переданные в эту функцию параметры соберутся в один кортеж с именем a, на что указывает звёздочка в строке объявления функции.

2. Локальные и глобальные переменные

Внутри функции можно использовать переменные, объявленные вне этой функции

def f():
    print(a)
a = 1
f()

Здесь переменной a присваивается значение 1, и функция f() печатает это значение, несмотря на то, что до объявления функции f эта переменная не инициализируется. В момент вызова функции f() переменной a уже присвоено значение, поэтому функция f() может вывести его на экран.

Такие переменные (объявленные вне функции, но доступные внутри функции) называются глобальными.

Но если инициализировать какую-то переменную внутри функции, использовать эту переменную вне функции не удастся. Например:

def f():
    a = 1
f()
print(a)

Получим ошибку NameError: name 'a' is not defined. Такие переменные, объявленные внутри функции, называются локальными. Эти переменные становятся недоступными после выхода из функции.

Интересным получится результат, если попробовать изменить значение глобальной переменной внутри функции:

def f():
    a = 1
    print(a)
a = 0
f()
print(a)

Будут выведены числа 1 и 0. Несмотря на то, что значение переменной a изменилось внутри функции, вне функции оно осталось прежним! Это сделано в целях “защиты” глобальных переменных от случайного изменения из функции. Например, если функция будет вызвана из цикла по переменной i, а в этой функции будет использована переменная i также для организации цикла, то эти переменные должны быть различными. Если вы не поняли последнее предложение, то посмотрите на следующий код и подумайте, как бы он работал, если бы внутри функции изменялась переменная i.

def factorial(n):
    res = 1
    for i in range(1, n + 1):
        res *= i
    return res
for i in range(1, 6):
    print(i, '! = ', factorial(i), sep='')

Если бы глобальная переменная i изменялась внутри функции, то мы бы получили вот что:

5! = 1
5! = 2
5! = 6
5! = 24
5! = 120

Итак, если внутри функции модифицируется значение некоторой переменной, то переменная с таким именем становится локальной переменной, и ее модификация не приведет к изменению глобальной переменной с таким же именем.

Более формально: интерпретатор Питон считает переменную локальной для данной функции, если в её коде есть хотя бы одна инструкция, модифицирующая значение переменной, то эта переменная считается локальной и не может быть использована до инициализации.

Инструкция, модифицирующая значение переменной — это операторы =, +=, а также использование переменной в качестве параметра цикла for. При этом даже если инструкция, модицифицирующая переменную никогда не будет выполнена, интерпретатор это проверить не может, и переменная все равно считается локальной. Пример:

def f():
    print(a)
    if False:
        a = 0
a = 1
f()

Возникает ошибка: UnboundLocalError: local variable 'a' referenced before assignment. А именно, в функции f() идентификатор a становится локальной переменной, т.к. в функции есть команда, модифицирующая переменную a, пусть даже никогда и не выполняющийся (но интерпретатор не может это отследить). Поэтому вывод переменной

a приводит к обращению к неинициализированной локальной переменной.

Чтобы функция могла изменить значение глобальной переменной, необходимо объявить эту переменную внутри функции, как глобальную, при помощи ключевого слова global:

def f():
    global a
    a = 1
    print(a)
a = 0
f()
print(a)

В этом примере на экран будет выведено 1 1, так как переменная a объявлена, как глобальная, и ее изменение внутри функции приводит к тому, что и вне функции переменная будет доступна.

Тем не менее, лучше не изменять значения глобальных переменных внутри функции. Если ваша функция должна поменять какую-то переменную, пусть лучше она вернёт это значением, и вы сами при вызове функции явно присвоите в переменную это значение. Если следовать этим правилам, то функции получаются независимыми от кода, и их можно легко копировать из одной программы в другую.

Например, пусть ваша программа должна посчитать факториал вводимого числа, который вы потом захотите сохранить в переменной f. Вот как это не стоит делать:

def factorial(n):
    global f
    res = 1
    for i in range(2, n + 1):
        res *= i
    f = res
n = int(input())
factorial(n)
# дальше всякие действия с переменной f

Этот код написан плохо, потому что его трудно использовать ещё один раз. Если вам завтра понадобится в другой программе использовать функцию «факториал», то вы не сможете просто скопировать эту функцию отсюда и вставить в вашу новую программу. Вам придётся поменять то, как она возвращает посчитанное значение.

Гораздо лучше переписать этот пример так:

# начало куска кода, который можно копировать из программы в программу
def factorial(n):
    res = 1
    for i in range(2, n + 1):
        res *= i
    return res
# конец куска кода
n = int(input())
f = factorial(n)
# дальше всякие действия с переменной f

Если нужно, чтобы функция вернула не одно значение, а два или более, то для этого функция может вернуть список из двух или нескольких значений:

return [a, b]

Тогда результат вызова функции можно будет использовать во множественном присваивании:

n, m = f(a, b)

3. Рекурсия

def short_story():
    print("У попа была собака, он ее любил.")
    print("Она съела кусок мяса, он ее убил,")
    print("В землю закопал и надпись написал:")
    short_story()

Как мы видели выше, функция может вызывать другую функцию. Но функция также может вызывать и саму себя! Рассмотрим это на примере функции вычисления факториала. Хорошо известно, что 0!=1, 1!=1.

А как вычислить величину n! для большого n? Если бы мы могли вычислить величину (n-1)!, то тогда мы легко вычислим n!, поскольку n!=n⋅(n-1)!. Но как вычислить (n-1)!? Если бы мы вычислили (n-2)!, то мы сможем вычисли и (n-1)!=(n-1)⋅(n-2)!. А как вычислить (n-2)!? Если бы… В конце концов, мы дойдем до величины 0!, которая равна 1. Таким образом, для вычисления факториала мы можем использовать значение факториала для меньшего числа. Это можно сделать и в программе на Питоне:

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)
print(factorial(5))

Подобный прием (вызов функцией самой себя) называется рекурсией, а сама функция называется рекурсивной.

Рекурсивные функции являются мощным механизмом в программировании. К сожалению, они не всегда эффективны. Также часто использование рекурсии приводит к ошибкам. Наиболее распространенная из таких ошибок – бесконечная рекурсия, когда цепочка вызовов функций никогда не завершается и продолжается, пока не кончится свободная память в компьютере. Пример бесконечной рекурсии приведен в эпиграфе к этому разделу. Две наиболее распространенные причины для бесконечной рекурсии:

  1. Неправильное оформление выхода из рекурсии. Например, если мы в программе вычисления факториала забудем поставить проверку if n == 0, то factorial(0) вызовет factorial(-1), тот вызовет factorial(-2) и т. д.
  2. Рекурсивный вызов с неправильными параметрами. Например, если функция factorial(n) будет вызывать factorial(n), то также получится бесконечная цепочка.

Поэтому при разработке рекурсивной функции необходимо прежде всего оформлять условия завершения рекурсии и думать, почему рекурсия когда-либо завершит работу.


Ссылки на задачи доступны в меню слева. Эталонные решения теперь доступны на странице самой задачи.

Факториал на языке паскаль — Altarena.ru — технологии и ответы на вопросы

Содержание

  1. Написать функцию вычисления факториала
  2. Решение
  3. Решение
  4. Как обозначается факториал в паскале
  5. Вычисление факториала в pascal с помощью цикла
  6. Задача
  7. Решение
  8. Математические сведения
  9. Первый способ
  10. Второй способ
  11. Третий способ
  12. Замечание
  13. Длинная арифметика. Факториал
  14. Решение
  15. Двойной факториал
  16. Видео

Написать функцию вычисления факториала

Написать рекурсивную функцию вычисления факториала
Нужно написать рекурсивную функцию вычисления n!. Обычную функции могу написать, а куда рекурсию.

Написать программу, которая вычисляет значение p = (для вычисления факториала использовать функцию)
Написать программу, которая вычисляет значение p =m!*(m-n)!/n! (для вычисления факториала.

Вычисление суммы, используя функцию вычисления факториала
Составить программу вычисления суммы (рис), используя функцию вычисления факториала натурального.

Вычислить величины. Использовать функцию вычисления факториала
Составить программу. В задаче предполагается, используя шестизначный учебный шифр (его.

простите меня на недогадливость, а в чём состоит существенная экономия?

Решение

очень хитро!
я бы лично вряд ли использовал подобный код в реале (не люблю в продакшн такие хитрозакрученные и слегка неочевидные вещи), но код вызывает восхищение! Просто супер!
Спасибо!

bormant, а эта строчка всё таки НЕ НУЖНА!
Закомментируйте и убедитесь в этом сами!

цикл for изменяет переменную m

Решение

Тут понимаете какая штука.

Для языка Паскаль недвусмысленно заявлено, что значение счетчика цикла for по окончании цикла не определено, если только цикл не завершился по Break. Это означает, что значение счетчика цикла может быть разным в зависимости как от реализации языка, так и от варианта оптимизации внутри конкретной реализации (например, равным последнему значению, следующему за последним значением, или вовсе начальному значению). Если какая-то реализация будет брать начальное значение счетчика из памяти в регистр, все обращения к счетчику транслировать в обращения к этому регистру, а возвращать значение из регистра в память только по Break, то, строго говоря, это не будет нарушением с точки зрения языка.

Наоборот, код не использует ни одной нестандартной или недокументированной возможности. Он просто помнит одно последнее значение и использует его, если возможно. В конкретно этом примере экономия невелика, но представьте вместо Longint длинную арифметику, и оценки времени сразу заиграют новыми красками 🙂

Пример по сути является наводящим для организации «ленивых вычислений». Если последнее значение заменить таблицей, вычисляемой по мере необходимости, то достигается экономия на повторных вычислениях одних и тех же значений (без проверок допустимых диапазонов, только идея):

Или варианты с промежуточными значениями и довычисление от них необходимых.

Другое дело, что если бы в продакшн подобный участок был бы действительно критичным по времени, то вместо функции была бы таблица.

Источник

Как обозначается факториал в паскале

Факториал – произведение натуральных чисел от единицы до заданного числа. Имеет условное обозначение в виде восклицательного знака. n!=1*2*3*. *n (Например: 3!=1*2*3=6).

В Turbo Pascal факториал находится, как правило, двумя способами: с помощью цикла или с помощью рекурсии.

Вычисление факториала в pascal с помощью цикла

Данный способ нахождения факториала исключительно прост. В цикле от 1 до n умножается число само на себя. При этом необходимо учитывать условие, что 0!=1. Ниже представлена реализация программы с помощью цикла for. Аналогично используются repeat и while.

if (n=0) then writeln(‘0!=1’) else

Факториал числа – Вычисление с помощью цикла (1 способ)

Факториал – Нахождение факториала в паскале с помощью рекурсии (2 способ)

Задача

Факториал числа представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно. Например, факториал числа 7 выглядит так:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7

Факториал числа обозначается как само число после которого следует восклицательный знак. Например, 7!. Таким образом:
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040

С увеличением числа его факториал быстро возрастает. Так если 3! = 6, то уже 10! = 3628800. Поэтому для натуральных чисел больше 12-ти в языке программирования Паскаль просто так факториал вычислить нельзя.

Допустим, требуется определить факториал числа, которое ввел пользователь.

Решение

Переменной factorial сначала присваивается значение 1.
0! = 1 и 1! = 1.

Если пользователь ввел число больше единицы, то выполняется цикл, в теле которого на каждой итерации значение переменной factorial умножается на следующее натуральное число (переменную i ).

Обучение программированию идёт по пути от простого к сложному. Освоив типы данных и операторы языка, переходят к циклическим конструкциям. Задач на циклы существует бесчисленное количество: начиная от вывода цифр в столбик до подсчёта сумм по сложным формулам. Тем не менее у начинающих программистов остаётся вопрос: «Как вычислить факториал в «Паскале»?»

Реализовать задачу можно как минимум тремя способами. Отличаются они используемыми операторами.

Математические сведения

Перед тем как перейти к построению алгоритмов и написанию программ, следует изучить теорию. В математике факториалом называют произведение целого числа, для которого вычисляется выражение, на целые положительные числа меньше его.

Понять определение поможет пример. Пусть требуется выполнить нахождение факториала для числа 3. Решение: 3! = 3 * 2 * 1 = 6.

Обозначается действие восклицательным знаком, который ставится после числа. Важное замечание: факториал определён только для целых положительных чисел. Вместе с тем, введено понятия для нуля: 0! = 1.

Считать выражение для больших значений вручную – занятие долгое. Чтобы убыстрить процесс вычислений, используют компьютерные программы. Далее рассмотрены способы, как найти факториал в «Паскале».

Первый способ

Код ниже показывает вариант программы.

В примере используют составную конструкцию с условием, которое записывается перед телом цикла. Синтаксис записи:

Выполняется код следующим образом: программа проверяет истинность выражения , в случае положительной проверки переходит на .

Возвращаясь к программе, нужно обратить внимание на следующие строки:

Второй способ

Следующий предлагает вычислить факториал в «Паскале» с помощью оператора repeat.

Конструкция цикла: repeat until ;

Чтобы понять, как работает программа, рассмотрим её построчно:

Третий способ

Последняя программа также дает возможность вычислить факториал в «Паскале» и является самой компактной по размеру. Причина – используемый оператор for, для которого увеличение счётчика i задаётся в параметрах цикла.

Работает код следующим образом (цифрами указаны строки листинга):

Замечание

Даже для чисел из первой десятки факториал имеет значение больше, чем допускает тип данных integer. Поэтому программа в «Паскале» покажет сообщение об ошибке. Исправить её просто – нужно заменить тип данных для переменной-результата на longint или использовать типы для хранения вещественных значений.

Источник

Длинная арифметика. Факториал

Добрый вечер, господа программисты.

Сижу сейчас и разбираюсь с кодом для вычисления факториала из Окулова (задание 10, программа 5). Вот код без изменений из книги.

Всё вроде бы верно, но для факториала 27! возникает ошибка (большие числа не пробовал). Программа выдаёт 888869450418352160768000000, а двух цифр вначале не хватает: 10888869450418352160768000000.

Проблема, как мне кажется, в подчёркнутом условии. Ведь при выходе факториала за прежние границы массива первая цифра вне границ вполне может быть нулём, как в 27!, а исходник этого не учитывает.
При замене указанного условия на i > a[0] (цифра с номером, большим, чем изначально указанный) всё становится на свои места.

Пожалуйста, подскажите, прав ли я.

длинная арифметика!
Вычислить точное значение эн в степени эн факториал!

длинная арифметика
помогите мне из этого умножения сделать сложение препод сказал тут нужно поменять умножить на плюс.

Длинная арифметика
Так вот я неаписал программу на сложение. Все с ней норм, а вот с произведением не идет почемуто.

Решение

Молодец! Возьми с полочки конфетку.

(Вообще не понятно почему размерность выбрана именно до 300 цифр? Всего лишь 170! имеет в своём составе уже 307 цифр.)

Только вот длину числа нужно вывести в отдельную переменную.

Короче! Я бы переписал всё примерно вот так:

Joy, только арифметика немного усложнится!
Не в данном конкретном случае, а при разработке своего модуля „длинной арифметики“.

Появятся проблемы с переполнением при выполнении простых арифметических операций, а значит появятся затруднения при отладке!

9 · 9 = 81 — влезет в байт. Нужно будет только сделать перенос десятичных регистров.
99 · 99 = 9801 — уже не лезет в байт. Следовательно нужно тратиться на приведение типов… Это — дополнительное время!

А ещё при больших основаниях преобразование в строку должно учитывать, что очередная порция цифр может быть меньше чем требуется, тогда ему слева дописывать нолики…

Ячейки:Значения = [00:00][01:11][02:01][03:10][04:01]
Что должно быть представлено публике как 110011100.
Если же не учитывать вышеприведённое условие добавление нолей, то кто-то может вывести так: 1101110.

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные работы и диссертации здесь или здесь.

Длинная арифметика
Уважаемые, помогите решить задачку, горит ужасно помогите пожалуста, срочно надо: 1.Составить.

Длинная арифметика.Чтение и вывод.
Нашел процедуры чтения и выводы длинных чисел. Но есть несколько вопросов. procedure ReadLong(var.

Формирование матрицы, длинная арифметика.
1)натуральное число (длинное целое) можно представить в виде произведения нескольких натуральных.

Сортировка массивов и длинная арифметика
Ребят, помогите пожалуйста. Очень нужен ПОЛНЫЙ КОД. Вот задачи: 1. В городе имеется m банков.

Сортировка вставками.множества.длинная арифметика..
Завтра надо сдать практику иначе отчислят. помогите решить хоть что нибудь 1)Сортировка.

Источник

Двойной факториал

Задача: Дано натуральное число n. Получить n!! (!-факториал),равное произведению (1*3*. *n) для нечётного n и (2*4*. *n) для чётного n.

Требования:
Использовать оператор FOR.
Не использовать массивы и строки.
При вычислении факториалов обратить внимание на переполнение. Определить,при каких значениях параметров оно наступает. Постараться отодвинуть эту эту границу путём изменения типа параметров или сокращения дробей.

Двойной факториал
подскажите как написать функцию для вычисления х!!

Вычислить двойной факториал
привет всем. Суть задания такова найти для N значение (2N)!! нашел программу, но она работает для.

Вычислить двойной факториал
Написал программку под задание: Для числа n вывести произведение «n!!» с условием: если число.

Найти двойной факториал
Дано целое число N (> 0). Найти двойной факториал N: N!! = N•(N–2)•(N–4)•… (последний сомножитель.

у меня не нормально,на фор жалуется(

Добавлено через 3 минуты
вроде заработало,для чётных кажется правильно,но для неч ответ с минусом вылазит.

Задача: Дано натуральное число n. Получить n!! (!-факториал),равное произведению (1*3*. *n) для нечётного n и (2*4*. *n) для чётного n.

Требования:
Использовать оператор FOR.
Не использовать массивы и строки.
При вычислении факториалов обратить внимание на переполнение. Определить,при каких значениях параметров оно наступает. Постараться отодвинуть эту эту границу путём изменения типа параметров или сокращения дробей.

victor_g
прога работает,спасибо,но вроде нужно произведение факториалов,а вылазит просто факториал(

может нужно ввести в расчёты ещё n2 чётное? а потом перемножить чёт и нечет.

if (i mod 2)(n mod 2) then continue;

можно объяснение этой строки

if (i mod 2)(n mod 2) then continue;

можно объяснение этой строки

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные работы и диссертации здесь или здесь.

Вычислить двойной факториал
Составьте, пожалуйста, программу для вычисления двойного факториала (2n+1)!! (например.

Двойной факториал
N!! = N*(N–2)*(N–4)*… (N > 0 — параметр целого типа; последний сомножитель в произведении равен 2.

Источник

Видео

Факториал в паскале ABC

Практикум Pascal. Урок 8: Задача № 13. Нахождения N факториала, n!

Уроки Pascal. Циклические алгоритмы. Вычисление факториала.

Факториал в паскале ABC

Pascal Полный курс с нуля за 4 часа

Уроки на языке Pascal. Урок 21. Рекурсия.

Информатика. Язык Pascal: Структура программы на языке Pascal. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

Факториал

Урок 26. Рекурсия. Вычисление факториала

Пошаговое объяснение программы для вычисления факториала

Решение и ответы модуля 7.3 «Поколение python» stepik

Полное решение модуля (урока) 7.3 из курса «Пколение python: курс для начинающих» с сайта stepik.org на питоне.

Что покажет приведенный ниже фрагмент кода?
num1 = 4
num2 = 6
num1 += num2
num1 *= num1
print(num1)

100

Что покажет приведенный ниже фрагмент кода?
total = 0
for i in range(1, 6):
total += i
print(total)

15

Что покажет приведенный ниже фрагмент кода?
total = 0
for i in range(1, 6):
total += i
print(total, end=»)

1361015

Количество чисел

На вход программе подаются два целых числа a и b (ab). Напишите программу, которая подсчитывает количество чисел в диапазоне от a до b включительно, куб которых оканчивается на 4 или 9.

Формат входных данных
На вход программе подаются два целых числа a и b (ab).

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно целое число в соответствии с условием программы.

Примечание. Куб числа a – это его третья степень a3.

a = int(input())
b = int(input())
count = 0                        # Установка значения счетчика
for i in range(a, b + 1):        # Создания цикла с итерациями от a до b+1
    if i % 10 == 4 or i % 10 == 9:  # Проверка условия
        count += 1               # Подсчет значений если условие True
print(count)

Сумма чисел

На вход программе подается натуральное число n, а затем n целых чисел, каждое на отдельной строке. Напишите программу, которая подсчитывает сумму введенных чисел.  

Формат входных данных
На вход программе подаются натуральное число n, а затем n целых чисел, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести сумму данных чисел.

a = int(input())
s = 0                   # Установка переменной суммы 0
for i in range(a):      # указываем программе сколько раз должен повторяться цикл
    s += int(input())   # к сумме прибавляем введенное значение
print(s)

Асимптотическое приближение

На вход программе подается натуральное число n. Напишите программу, которая вычисляет значение выражения

Примечание. Для вычисления натурального логарифма воспользуйтесь функцией log(n), которая находится в модуле math.

from math import log        # Импортируем из math функцию log 
diff = 0                       # Задаем стартовое значение переменной для скобок
n = int(input())               # получаем число n
for i in range(1, n + 1):      # Интервал начинаем с единицы, чтобы не делить на 0
    diff += (1 / i)            # Набиваем скобки суммами частных
print(diff - log(n))           # и дописываем формулу 

Сумма чисел

На вход программе подается натуральное число n. Напишите программу, которая подсчитывает сумму тех чисел от 1 до n (включительно) квадрат которых оканчивается на 2, 5 или 8.

Формат входных данных
На вход программе подается натуральное число n.

Формат выходных данных
Программа должна вывести единственное число в соответствии с условием задачи.

Примечание. Если таких чисел нет в указанном диапазоне, то следует вывести 0.

n = int(input())
s = 0                      # переменная для суммирования
for i in range(1, n + 1):  # от 1 до n включительно
    t = i**2               # поместим в t квадрат i - нашего счетчика в цикле
    if t % 10 == 2 or t % 10 == 5 or t % 10 == 8:  # если квадрат числа оканчивается на 2, 5, 8
        s += i             # прибавляем к переменной суммы подходящие числа
print(s)

Факториал

На вход программе подается натуральное число n. Напишите программу, которая вычисляет n!.

Входные данные
На вход программе подается натуральное число n,(n≤12).

Выходные данные
Программа должна вывести единственное число в соответствии с условием задачи.

Примечание. Факториалом натурального числа nn, называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n, то есть n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n

n = int(input())
total = 1                 # так как умножение на 0 даст 0
for i in range(1, n + 1):
    total *= i            # total умножаем на i   
print(total)

Без нулей

Напишите программу, которая считывает 10 чисел и выводит произведение отличных от нуля чисел.

Формат входных данных
На вход программе подаются 10 целых чисел, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести произведение отличных от нуля чисел.

Примечание. Гарантируется, что хотя бы одно из 10 чисел является ненулевым.

total = 1                    # переменная в которой будем собирать произведение
for i in range(10):          # цикл на ввод 10 значений
    num = int(input())       # принимаем 10 входящих
    if num > 0:              # условие что бы число было больше 0
        total = num * total  # произведение всех чисел больше 0
print(total)

Сумма делителей

На вход программе подается натуральное число n. Напишите программу, которая вычисляет сумму всех его делителей.

Входные данные
На вход программе подается натуральное число n.

Выходные данные
Программа должна вывести единственное число в соответствии с условием задачи.

Примечание. Функция подсчета суммы всех делителей числа является очень важной в теории чисел.

n = int(input())               # получаем число
sum = 0                        # присваиваем переменной суммы делителей 0 
for i in range(1, n + 1):      # цикл от 1 до нашего числа
    if n % i == 0:             # находим делитель, если остаток от деления равен нулю
        sum += i               # прибавлем к переменной текущий делитель
print(sum)                   

Знакочередующаяся сумма

На вход программе подается натуральное число n. Напишите программу вычисления знакочередующей суммы 1-2+3-4+5-6…+(−1)n+1n.

Входные данные
На вход программе подается натуральное число nn.

Выходные данные
Программа должна вывести единственное число в соответствии с условием задачи.

n = int(input())
res = 0
for i in range(1, n + 1): # цикл от 1 до числа n
    if i % 2 == 0:
        res -= i  # если i делиться без остатка то вычитает из предыдущего результата
    if i % 2 != 0:
        res += i  # если i делиться с остатком то прибавляет к предыдущему результату
print(res)

Наибольшие числа ?️?️

На вход программе подается натуральное число n, а затем n различных натуральных чисел, каждое на отдельной строке. Напишите программу, которая выводит наибольшее и второе наибольшее число последовательности.

Формат входных данных
На вход программе подаются натуральное число n≥2, а затем n различных натуральных чисел, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести два наибольших числа, каждое на отдельной строке.

n = int(input())
max1 = max2 = 1         # пусть самое большое число это минимально возможное
for i in range(1, n+1): # цикл от 1 до n 
    a = int(input())    # получаем следующее число 
    if a > max1:        # если введенное число больше нашего максимума, то это новый максимум 
        max2 = max1     # запоминаем предыдущее наибольшее число в переменной max2
        max1 = a        # а само это число на входе становится наибольшим 
    elif a > max2:      # если число не больше max1, то проверяем больше ли оно второго max2
        max2 = a  
print(max1) 
print(max2)

Only even numbers ?️

Напишите программу, которая считывает последовательность из 10 целых чисел и определяет является ли каждое из них четным или нет.

Формат входных данных
На вход программе подаются 10 целых чисел, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести строку «YES», если все числа четные и «NO» в ином случае.

flag = 'YES'         # по умолчанию считаем что последовательность четная
for _ in range(10):  # цикл до 10
    a = int(input()) # получаем число
    if a % 2 != 0:   # проверяем делимость числа на остаток 
        flag = 'NO'  # если число имеет остаток то NO
print(flag)

Последовательность Фибоначчи ?️

Напишите программу, которая считывает натуральное число n и выводит первые n чисел последовательности Фибоначчи.

Формат входных данных
На вход программе подается одно число n (n≤100) – количество членов последовательности.

Формат выходных данных
Программа должна вывести члены последовательности Фибоначчи, отделенные символом пробела.

Примечание. Последовательность Фибоначчи – это последовательность натуральных чисел, где каждое последующее число является суммой двух предыдущих: 1, 2, 3, 5, 8, 13,  21, 34, 55, 89,…

n = int(input())                # получаем кол-во циклов
num1 = 0                        # число 1
num2 = 1                        # число 2
for i  in range(n):             # цикл до N
    num2 = num1 + num2          # присваиваем переменной num2 новое значение суммы этой переменной с предыдущей
    num1 = num2 - num1          # переменной num1 присваиваем значение которое было в num2
    print(num1,end=' ')

Упростить выражение с факториалом – dj-sensor.

ru

Содержание

  1. Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды
  2. Факториалы
  3. Что такое факториалы и как их решать
  4. Бесплатный онлайн калькулятор факториалов
  5. Здравствуйте

Пользоваться нашим калькулятором факториалов предельно просто. Нужно нажать на клавиатуре !

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Факториалы

Что такое факториалы и как их решать

Факториал числа n, который в математике обозначают буквой латиницы n, после которой следует восклицательный знак !. Произносится голосом это выражение как “н факториал”. Факториал – это результат последовательного умножения между собой последовательности натуральных чисел с 1 и до искомого числа n. Например, 5! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5=720Факториал числа n обозначается латинской буквой n! и произносится как эн факториал. Представляет собой последовательное перемножение (произведение) всех натуральных чисел начиная с 1 до числа n. Например: 6! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5=720

Факториал имеет математический смысл, только тогда, когда если это число целое и положительное (натуральное). Этот смысл следует из самого определения факториала, т.к. все натуральные числа неотрицательные и целые. Значения факториалов, а именно результат умножения последовательности от единицы до числа n можно посмотреть в таблице факториалов. Такая таблица возможна, по причине того, что значение факториала любого целого числа известно заранее и является, так сказать, табличным значением.

По определению 0! = 1. То есть если имеется ноль факториал, то мы ничего не перемножаем и результат будет первым натуральным существующим числом, то есть один.

Рост функции факториала можно отобразить на графике. Это будет дуга, похожая на функцию икса в квадрате, которая будет стремиться быстро вверх.

Читайте также:  Темы на самсунг wave 525

Факториал – является быстрорастущей функцией. Она растет по графику быстрее, чем функция многочлена любой степени и даже экспоненциальная функция. Факториал растет быстрее многочлена любой степени и экспоненциальной функции (но при этом медленнее двойной экспоненциальной функции). Именно поэтому, чтобы посчитать факториал вручную могут быть сложности, так как результатом может получиться очень большое число. Чтобы не считать факториал вручную, можно воспользоваться калькулятором подсчёта факториалов, с помощью которого вы можете быстро получить ответ. Факториал применяется в функциональном анализе, теории чисел и комбинаторике, в которой имеет большой математический смысл, связанный с числом всевозможных неупорядоченных комбинаций объектов (чисел).

Чтобы быстро рассчитать число комбинаций n чисел, нужно всего лишь посчитать n!. После подсчёта значения факториала калькулятором, искомое значение можно использовать в решении более сложных задач. Вы можете посмотреть необходимый факториал в таблице: «Таблица факториалов»

Бесплатный онлайн калькулятор факториалов

Наш бесплатный решатель позволяет расчитать факториалы онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) qquad (1) $$

Читайте также:  Хотите проникнуться зимним спокойствием и умиротворением

Например, $5! = 4! cdot 5 $, или $5! = 3! cdot 4 cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! cdot 3 cdot 4 cdot 5 $.

Основная суть идеи:

  1. Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
  2. Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
  3. Вычисляем предел подходящим способом
Пример 1
Вычислить предел с факториалами $lim_limits frac<(n+1)!>$
Решение

Подставляя $x=infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.

Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.

Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <(n+1)!>= 0 $$

Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).

$$(2n+2)! = (2n+1)! cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! cdot (2n+2)cdot(2n+3) $$

Выполняем замену в пределе на полученные выражения.

Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.

Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.

Пример 2
Решить предел с факториалом $ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>$
Решение
Ответ
$$ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>= 0 $$

Понятно, что предел имеет неопределенность $frac<infty><infty>$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.

Далее раскрываем скобки, попутно упрощая выражения, и затем выносим $n$.

Осталось выполнить сокращение на $n$ и получить ответ.

В вольфраме вышло так : $%frac<1><2 (n+1) (2 n+1)>$%
Можете указать на мою ошибку.

задан 16 Авг ’15 14:27

Alex23
53 ● 2 ● 9
85&#037 принятых

Спасибо. В самом деле.

А почему у меня так не вышло без раскрытия скобок? Я положил $%n=n-1$% и подставил его в $%(2(n+1))!$%, что бы получить $%n-1$%-ый член факториала, ну и затем по тому свойству.

Точнее говоря я правильно сделал свое преобразование?

@Alex23: преобразование Вы сделали неправильно, потому что оно должно применяться к факториалу числа 2(n+1). Он равен произведению этого числа на факториал числа, которое меньше данного на единицу. То есть второй сомножитель равен факториалу 2(n+1)-1=2n+1, а не факториалу 2n.

Здравствуйте

Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Пример 3
Найти предел $lim_limits frac<3(n+1)!> <2(n+1)!-n!>$
Решение
  • Автор: Мария Сухоруких