4 уравнения с 4 неизвестными: Решить систему из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными онлайн / Калькуляторы

alexxlab / / Разное

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра
  

С.Т. Завало. Элементарная алгебра. Изд-во «Просвещение», М., 1964 г.

В основу этой книги положен курс лекций по элементарной алгебре, читавшийся мною на протяжении ряда лет в Черкасском государственном педагогическом институте.

Первая глава книги — вступительная. В ней сжато изложены сведения о некоторых математических понятиях, с которыми читателю придется встретиться в последующих главах. В главах II—X изложен учебный материал по элементарной алгебре, предусмотренный программой специального курса элементарной математики для студентов-математиков педагогических институтов.

Книга рассчитана на студентов-математиков педагогических институтов. Она может быть также пособием для учителей математики средней школы.


Оглавление

Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
§ 2. Понятия кольца и поля
§ 3. Упорядоченные поля
§ 4. Понятие функции и аналитического выражения
§ 5. Элементарные функции и их классификация
§ 6. Метод математической индукции
Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
§ 1. Понятие уравнения. Решения уравнения
§ 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике
§ 3. Равносильность уравнений
§ 4. Преобразование уравнений при их решении
Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным
§ 2. Корни квадратного трехчлена
§ 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел
§ 4. Двучленные уравнения
§ 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным
§ 6. Симметрические уравнения
§ 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами
§ 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней
§ 9. Дробно-рациональные уравнения
Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ
§ 2. Перестановки
§ 3. Сочетания
§ 4. Размещения
§ 5. Перестановки с повторениями
§ 6. Сочетания с повторениями
§ 7. Размещения с повторениями
Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 1. Бином Ньютона
§ 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства
§ 3. Треугольник Паскаля
§ 4. Полиномиальная теорема
§ 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда
Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма
§ 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов
§ 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных
§ 4. Тождественность двух многочленов
§ 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа
§ 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами
Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
§ 1. Понятие системы уравнений
§ 2. Равносильность систем уравнений
§ 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений
§ 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений
§ 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами
1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой.
2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени.
3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде.
4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными.
5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное.
7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения.
8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.
§ 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными
Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Основные свойства неравенств
§ 2. Тождественные неравенства
§ 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений
§ 4. Решение неравенств
§ 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени
§ 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными
§ 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств
Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел
§ 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел
§ 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел
Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений
§ 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным
§ 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным
§ 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям
§ 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений
§ 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем
ЛИТЕРАТУРА

Математика «Уравнения с неизвестными в обеих частях» 4 класс | План-конспект урока по математике (4 класс) на тему:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №1 им. М.В.Ломоносова».

Урок математики

Тема: «Уравнения с неизвестным в обеих частях».

                                                                         Разработала:

                                                                                                учитель начальных классов

                                                                                 высшей  категории

                                                                                                      Ярошенко Наталья Викторовна

г. Елизово

2012 г.

Цели: 1). Продолжить работу по формированию понятия об уравнении;

        2). Развивать умение решать уравнения, требующие тождественных преобразований на основе взаимосвязи между компонентами действий и на основе использования основных свойств равенств;

        3). Развивать умение анализировать задачи и записывать решение алгебраическим способом;

        4). Формировать вычислительные навыки.

I). Настрой на урок.

— Как прошла перемена? Садитесь.

— Сегодня на уроке решаем задачу, уравнения, изучаем новый материал;

И, конечно же. я для вас подготовила занимательно-познавательное задание.

— С какого задания хотите начать урок?

II). Устное занимательно-познавательное задание

3600: 60  П                63000: 7000          Р                  72:12           Е

12х- х      Л                5а + 8а           К                3в + 18в      Е

— Что можете сказать об этих выражениях?

   ( можно разделить на 2 группы – числовые, буквенные;

     выражения с действиями 1, 2 ступеней;

     1 группа – можно найти значения, 2 группа – нельзя, можно упростить;

     Нужно использовать рациональные способы деления. )

— Устно найдите значения выражений 1 строки, а 2 строки упростите. Полученные результаты соотнесите с буквой.

13а

6

60

11х

21в

9

К

Е

П

Л

Е

Р

— Поработайте в паре. Сравните свои записи. Какое слово у вас получилось?

   (КЕПЛЕР).

Портрет И.КЕПЛЕРА

— ИОГАНН КЕПЛЕР – немецкий учёный-астроном, сделавший свои открытия в начале XVII века.

Путём точных математических расчётов установил законы движения планет (их 3).  О достижениях этого учёного вы подробно узнаете в старших классах на уроках астрономии.

А вас знания законов математики и точные математические расчёты приведут к открытиям на сегодняшнем уроке.

— Выполняя следующее задание, попробуйте определить тему урока.

III). Изучение нового.

5х + 15=80                        5х + 15 = 80 – 8х

— Сравните данные уравнения. Что о них можете сказать? ( для решения первого уравнения нужно выполнить 2 действия, для второго больше;

Первое уравнения можем решить. 2 – не умеем решать.

— Самостоятельно решите то уравнение, которое умеете решать.( два ученика работают на доске.)

— Чем второе уравнение отличается от тех, которые уже решали? (неизвестное число в обеих частях)

— Кто уже может определить тему сегодняшнего урока? (Уравнения с неизвестным в обеих частях).

— Вы правильно определили тему урока.

(Учитель открывает тему на доске).

Уравнения с неизвестным в обеих частях

— Сегодня мы будем учиться решать уравнения с неизвестным в обеих частях.

— Попробуйте предположить: корни данных уравнений будут одинаковые или разные?

— Запишите новое уравнение в тетрадь.

— Для упрощения нового уравнения вам потребуются старые знания.

— Обсудите в парах, какие знания вам потребуются. (1 свойство равенства).  

Учитель на доске под комментирование учеников:

5х + 15= 80-8х

5х+15+8х=80-8х+8х

х(5+8)+15=80

13х+15=80

13х+15-15=80-15

13х=65

х=65:13

х=5

—————-

— Выполним проверку. Что надо помнить? (найденное число подставляем в первое уравнение).

5*5+15=80-8*5

25+15=80-40

       40=40

— Подведём итог нашей работе.

— Продолжите фразу: «Теперь я знаю как…»

                               «Теперь я смогу попробовать самостоятельно …»

— А попробуете вы свои силы в решении новых уравнений после физминутки.

Физминутка «Дотянись до звезды»

— Встаньте поудобнее и закройте глаза. Сделайте 3 глубоких вдоха и выдоха.

— Представьте. что над вами ночное небо. усыпанное звёздами.

— Выберете звёздочку (это ваша мечта).

— Откройте глаза и протяните руки к небу, чтобы дотянуться до своей звезды.

— Снимите её с неба и бережно положите перед собой.

— Я уверена, что мечта у вас не единственная. Сорвите сами ещё несколько звёздочек. Дышите так:

                   Тянешься за звездой – глубокий вдох.

                Выдох- кладёте звезду к первой.

IV). Самостоятельная работа.

— Откройте с.30 № 294 (6 задание).

— Попробуйте самостоятельно решить. Когда закончите работу, проверьте её друг у друга.

— Постарайтесь рассказать, как вы решали уравнение.

10с-4=8с+18

10с-8с-4+4 =8с-8с+18+4

2с =11

——————-

— Молодцы, вы замечательно справились с работой, помогая друг другу.

V). Решение задачи.    (Задача – на карточке).

Скорость движения Земли на 6 км/ч больше скорости Марса. С какой скоростью движется каждая планета?

— Прочитайте задачу про себя.

— Вслух.

— Что заметили? (не хватает данных)

— Добавьте в условие недостающие данные, чтобы задачу можно было решить.

— Прочитайте получившуюся задачу.

— Запишем её кратко.

-Что такое 6?

— Что обозначает число 54?

— Перефразируйте вопрос задачи.

— Обсудите решение задачи в парах. (удобнее решить уравнением)

— Какое искомое удобно взять за х?

— Тогда…

— Так как общая скорость двух планет равна 54км/ч, получаю уравнение:

х+(х+6)=54                                

2х+6=54

2х+6-6=54-6

2х=48

х=48:2

х=24 (км/ч) – скорость Марса

24+6=30 (км/ч) – скорость Земли.

-Проверьте правильность решения задачи.

(24+30=54).

— Найдите другой способ  проверки правильности решения задачи. (другой способ решения).

— Попробуйте решить эту задачу по действиям.

— Посмотрите, поможет ли вам такая схема краткой записи:

(54-6):2=24 (км/ч) – скорость Марса

24+6=30 (км/ч) – скорость Земли

— Подведите итог.( задача решена верно)

VI) Новые знания.

— Вы сейчас решили задачу уравнением и по действиям.

  У этих способов решения задачи в математике есть свои названия.

— Если для решения задачи используют уравнение –  

алгебраический

Алгебра – часть науки математики.

— продолжите фразу:

арифметический

— это когда задачу решают…  (по действиям или сложным выражением).
— Арифметика – это тоже часть математики. Многое из того. Что мы изучали в предыдущих классах, тоже относится к арифметике.

— К самым древним задачам на составление уравнений относятся задачи из древнеегипетских папирусов. Сохранились 2 математических папируса. Одна из этих задач в № 347. По желанию попробуйте её решить дома.

VII). Самостоятельная работа (разноуровневая)

9у=900072

Х-5=3000

8у-1024=8192

47у-44у=900015

7а+70=7а+35

3в+300=2в+1800

VIII) Подведение итогов.

— Что можете сказать о сегодняшнем уроке? (Я узнал… Я научился…).

— Продолжите фразу: «Мне ещё сложно…»

— Не переживай, над этой темой мы ещё будем работать.

— Ребята, спасибо вам за работу! Я  с удовольствием ставлю «5»-….

— Без помощи и поддержки друг друга мы не смогли бы добиться цели.

   Молодцы!

Предварительное исчисление по алгебре

— Домашнее задание для детей: 4 уравнения 5 неизвестных? Схожу с ума!

спросил

Изменено 8 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 6к раз

$\begingroup$

Я здесь новенький и надеюсь, что кто-нибудь сможет помочь. Моему 10-летнему сыну задали математическую задачу, которую я не могу решить. У меня есть докторская степень в области неврологии, и я каждый день занимаюсь множеством вещей в Matlab (анализ данных, обработка изображений), но я не могу это решить.

Проблема выражена словами, но я перечитал ее с десяток раз и уверен, что она сводится к следующему:

a + b = 55

b + c = 43

c + d = 42

d + e = 37

Им предлагается найти значение e. Но это 4 уравнения с 5 неизвестными. Действительно ли существует единственное решение этой системы уравнений? Где я ошибаюсь?

Если вы присвоите одной из переменных значение 0, вы, конечно, сможете решить остальные, но я почти уверен, что это не то, для чего они предназначены. Подсказка говорит, что проще всего начать с вычисления значения c.

Я заблудился, буду признателен за любую помощь!

Точный вопрос:

В школьной поездке принимают участие: 55 мальчиков и девочек; 43 девушки и папы; 42 отца и матери и 37 матерей и учителей. Сколько учителей приняли участие в школьных поездках?

Предполагая, что классы взаимоисключающие (т. е. ни один учитель не является также и родителем), я почти уверен, что это тот набор уравнений, который я опубликовал. Другие задачи в том же домашнем задании аналогичны по форме, но все они содержат 1 дополнительную информацию: общее число (например, a + b + c + d + e = 100). Эти решаемы без проблем.

  • алгебра-предварительное исчисление
  • системы уравнений

$\endgroup$

13

$\begingroup$

Редакт. С помощью обратной подстановки можно легко выразить $a,b,c,d$ через $e$: \begin{случаи} д=37-е,\\ с=е+5,\\ б=38-е,\\ а=е+17. \end{случаи} Поэтому $a+b+c+d+e=97+e$. Очень вероятно, что они просто забыли ограничение, что есть 100$ участников.

$\endgroup$

$\begingroup$

Складываем эти равенства таким образом $$a+b+43+c+d+37=55+b+c+42+d+e$$ теперь мы отменяем мы находим $$\require{cancel}a+\cancel{b}+43+\cancel{c}+\cancel{d}+37=55+\cancel{b}+\cancel{c}+42+\cancel{d }+е$$ следовательно $$a+80=e+97\если и только если e=a-17$$ поэтому каждый раз, когда вы берете значение $a$, мы находим значение $e$. Теперь вы можете ответить своему сыну?

$\endgroup$

4

$\begingroup$

В школьной поездке принимают участие: 55 мальчиков и девочек; 43 девушки и папы; 42 отца и матери и 37 матерей и учителей. Сколько учителей приняли участие в школьных поездках? Предполагая, что классы взаимоисключающие (т. е. учителя не являются родителями)

Если предположить, что учителей не было, то получится 37 матерей, 5 отцов, 38 девочек и 17 мальчиков.

Если, с другой стороны, предположить, что учителей было 37, то получится 0 матерей, 42 отца, 1 девочка и 54 мальчика.

Все числа от 0 до 37 учителей также должны допускать решение, поэтому решение довольно не уникально, даже если все ограничено положительным целым числом.

$\endgroup$

$\begingroup$

Имеем:

$$b=55-a$$ $$c=43-b=43-(55-a)=a-12$$ $$d=42-c=42-(a-12)=54-a$$ $$e=37-d=37-(54-a)=a-17$$ Следовательно, чтобы все эти числа были неотрицательными, нам нужно $17\le a\le 54$$ со строгими неравенствами, если мы требуем, чтобы все числа были положительными.

Вполне возможно, что ограничения, согласно которым все числа являются неотрицательными (или положительными) целыми числами, зафиксировали бы значение для $a$, но это не так, и любое $a$, удовлетворяющее ограничениям, дает согласованный решение.

$\endgroup$

$\begingroup$

Не совсем ответ, но я не мог опубликовать изображение в качестве комментария. Похоже, у вас уже есть несколько хороших ответов, но мне всегда помогает наглядность 😀

Редактировать: Опять же, это не было предназначено для решения вопроса, просто предложило другую точку зрения для игры. Вот грубая Легенда для моего комично-гротескного визуала 🙂

  T  все остальные  M  другие  F  остальные
             b  oys  g  irls

Каждое число обозначает количество лиц в группе (группах), с которой оно перекрывается:

37 Учителя и матери
42 Матери и отцы
54 Матери и мальчики
97 Матери, отцы, мальчики и девочки (все члены, кроме учителей)
43 Отцы и девочки
55 мальчики и девочки

100? = OP предполагает, что это может быть «всего», случайно упущенного из проблемы.
3? = приблизительное предположение об ответе (на основе 100 всего)

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Это может быть немного много, но вы можете настроить следующую матрицу:

$$A = \begin{pmatrix}1{} & 1{} & 0{} & 0{} & 0{} & 55 \\0 &1 & 1 & 0 & 0 & 43 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 42 \\0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 37\end{pmatrix}$$

Решите матрицу, чтобы получить следующий набор решений:

{($a$, $b$ , $c$, $d$, $e$)= (($17$ + $e$), ($38$ — $e$), ($5$ + $e$), ($37$ — $e$) , $е$) | $e$ $\in$ $\mathbb{R}$}

Подставив от $0$ до $37$ вместо $e$, как указано пользователем fgp выше, вы получите различные комбинации $a$, $b$ , $c$, $d$ и $e$, удовлетворяющие ограничениям и не дающие вам отрицательных участников.

$\endgroup$

$\begingroup$

Думаю, это предполагает:

Отцы такие же, как матери:

Итак, — Матери = отцы = 21 — Девочки 22 года — Мальчикам 33 года. — Учителя 16

$\endgroup$

3

$\begingroup$

$\begin{eqnarray}{\bf Подсказка}\ &&a+b &-& (b+c) &+& (c+d) &-& (d+e) &\,=\,& a-e\ \ = && \ \ \ 55 &-&\ \ \ 43 &+&\ \ \ 42 &-&\ \ \ 37 &\,=\,&\ \ 17\end{eqnarray}$

$\endgroup$

2

Решить 4 уравнения с 4 неизвестными

MARK858
MrExcel MVP

A ​

B ​

C ​

D ​

E ​

F ​

G ​

H ​

I ​

J ​

1 ​

Points​

Y​

X​

2 ​

1​

10​

2​

3 ​

2​

5​

4​

4 ​

3​

4​

11​

5 ​

4​

4​

15​

6 ​

7 ​

Coefs of a​

Coefs of b​

Coefs of c​

Coefs of d​

Equations​

Экв. Результаты

Переменные

Результаты решателя

8

1

99

1 0009 99

1 0009 9

4​

8​

10,000001​

10​

a=​

18,7802226​

9 ​

1​

4​

16​

64​

5​

5​

b=

-5,488346138​

10 ​

1​

11​

121​

1331​

4​

4​

c=​

0,587412716​

11 ​

1​

15​

225​

3375​

4​

4​

d=​

-0,019147523​

12 ​