Сходимость знакопеременных рядов — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Математический анализ
Раздел: Числовые и функциональные ряды
Тема: Сходимость знакопеременных рядов
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
2. §16. Сходимость знакопеременных рядов
1. Знакочередующиеся рядыОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд, у которого любые рядом стоящие члены
имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся.
Будем считать, что 1-й член знакочередующегося ряда
положителен.
знакочередующийся ряд имеет вид:
u1 – u2 + u3 – u4 + … (–1)n + 1un + … =∑(–1)n + 1 un , (1)
где un > 0 , n ℕ .
ТЕОРЕМА 1 (признак сходимости Лейбница).
Пусть знакочередующийся ряд ∑(–1)n + 1 un удовлетворяет
условиям:
1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине,
т.е.
u1 > u2 > … >un > … ,
2) lim un 0.
n
Тогда ряд ∑(–1)n + 1 un сходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена ряда.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Замечания.
1) Ряд ∑(–1)n + 1 un будет сходиться и в том случае, когда
условие 1 теоремы Лейбница выполняется, начиная с
некоторого номера N. Но утверждение о сумме ряда в этом
случае не будет иметь места.
2) Если ряд ∑(–1)n + 1 un удовлетворяет условиям теоремы
Лейбница, то погрешность, получаемая при замене суммы
ряда S его частичной суммой Sn, не превосходит модуля
первого отбрасываемого члена, т.
е.| Rn | = | S – Sn | < un + 1
3) Если ряд ∑(–1)n + 1 un не удовлетворяет 2-му условию
теоремы Лейбница, то он расходится (т.к. не выполнено
необходимое условие сходимости).
Если ряд ∑(–1)n + 1 un удовлетворяет 2-му условию теоремы Лейбница, но не удовлетворяет ее 1-му условию, то о
сходимости ряда ничего сказать нельзя.
5. 2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Пусть ∑un – знакопеременный ряд.Рассмотрим ряд ∑| un | .
ТЕОРЕМА 2 (признак абсолютной сходимости).
Если ряд ∑| un | сходится, то ряд ∑un тоже сходится.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Замечание. Признак абсолютной сходимости достаточный, но
ОПРЕДЕЛНИЕ. Ряд ∑un называют абсолютно сходящимся,
если его ряд модулей ∑| un | сходится.
Если ряд ∑un – сходится, а его ряд модулей ∑|un| –
расходится, то ряд ∑un называют условно сходящимся.
СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ
РЯДОВ
1) ТЕОРЕМА 3.
Если ряды ∑un и ∑vn сходятся абсолютно, то ряд
∑(αun βvn) тоже сходится абсолютно ( α,β ℝ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
СЛЕДСТВИЕ теоремы 3.
Если ряд ∑un – сходятся абсолютно,
∑vn – сходятся условно,
то ряд ∑(αun βvn) сходится условно ( α,β ℝ, 0 ) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
2) ТЕОРЕМА 4 (о перестановке членов ряда).
а) Если ряд ∑un сходится абсолютно, то ряд, полученный из
него в результате перестановки членов, также сходится
абсолютно и имеет ту же сумму.
б) Если ряд
∑un
сходится условно, то можно так
переставить члены ряда, что сумма получившегося ряда
будет равна любому, заранее заданному числу.
Более того, можно так переставить члены ряда, что
получившийся ряд будет расходиться (теорема Римана).
Пусть даны два ряда: ∑un и ∑vn .
Составим таблицу из всевозможных парных произведений
членов этих рядов:
u1v1
u1v2
u1v3
…
u1vn
…
u2v1
u2v2
u2v3
…
u2vn
…
( 2)
u3v1
u3v2
u3v3
…
u3vn
…
……………………………………………….
.ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением рядов ∑un и ∑vn называют
ряд, составленный из элементов таблицы (2) в следующем
порядке:
1
2
4
7
3
5
6
9
8
10
Итак: ∑un ∑vn = u1v1 + u1v2 + u2v1 + u1v3 + u2v2 + u3v1 + …
3) ТЕОРЕМА 5 (о сходимости произведения рядов).
равны U и V соответственно.
Тогда ряд ∑un ∑vn тоже сходится абсолютно и его сумма
равна U V .
ТЕОРЕМА 6 (признак Дирихле).
Пусть 1) последовательность {an} монотонна и lim an 0;
n
2) последовательность частичных сумм ряда ∑bn
ограничена.
Тогда ряд ∑ an bn – сходится .
ТЕОРЕМА 7 (признак Абеля).
Пусть 1) {an} монотонная и ограниченная;
2) ряд ∑bn – сходится.
Тогда ряд ∑ an bn – сходится
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
English Русский Правила
Учебные материалы по математике | Понятие ряда комплексных чисел
Пример.
Построить мнимую часть числа по действительной
;
.
Интегрируем по x.
. Находим производную по y и приравниваем
, и теперь интегрируем .
Таким образом,
, , , , следовательно, ;
.
19. Понятие ряда комплексных чисел
Символ вида W1+W2+…+Wn+…= (1), где Wn = un+i·vn (n = 1, 2, …) — комплексные числа (последовательности комплексный чисел) называются рядом комплексных чисел.
Числа Wn (n = 1, 2, …) называются членами ряда, член Wn называется общим членом ряда.
Числа вида Sn = W1+W2+…+Wn (2) (n = 1, 2, …), называются частичными суммами ряда (1).
Конечный или бесконечный предел S последовательности Sn называется суммой этого ряда.
Если предел S конечен, то ряд называется сходящимся, если же предел бесконечен, или вовсе не существует, то ряд расходящийся.
Если S сумма ряда (1), то пишут .
На сходящиеся комплексные ряды распространяются основные свойства сходящихся числовых рядов.
Например, для комплексных рядов справедлив критерий Коши: ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого , что при всех n > N и любом p = 1, 2, … выполняется неравенство.
Из этого критерия непосредственно следует необходимый признак сходимости ряда: для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы его общий член Wn → 0.
20. Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.
Ряд комплексных чисел (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).
Теорема.
Всякий абсолютно сходящийся ряд (1) комплексных чисел сходится.
Теорема.
Для того, чтобы ряд комплексных чисел (1) был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились вещественные ряды
(3) и (4) , где Wn = un+i·vn (n = 1, 2,…).
Итак, абсолютная сходимость комплексного ряда (1) эквивалентна абсолютной сходимости вещественных числовых рядов (3) и (4). Поэтому на абсолютно сходящиеся комплексные ряды распространяются все основные свойства вещественных абсолютно сходящихся числовых рядов. В частности для абсолютно сходящегося комплексного ряда справедлива теорема о перестановке его членов, т. е. перестановка членов в абсолютно сходящемся ряде не влияет на сумму ряда. Для установления абсолютной сходимости комплексного ряда может применяться любой признак сходимости положительного ряда.
Признак Коши.
Пусть для ряда (1) существует предел , тогда если q < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, то ряд (1) расходится
Признак Даламбера.
Если для ряда (1) комплексных чисел существует предел , то при q < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q > 1, то ряд расходится.
Пример.
Исследовать на абсолютную сходимость ряд , здесь .
Найдем . Очевидно = = . Следовательно, ряд абсолютно сходится.
21. Понятие степенного ряда в комплексной области
Ряд вида (1),
где Z0, c0, c1, … cn, ориентированные числа, а Z комплексная переменная называется степенным рядом.
Это простейший функциональный ряд, числами которого являются fn(Z)=cn(Z−Z0)n, числа c0, c1, … cn называются коэффициентами
степенного ряда.Этот ряд в отдельных точках может сходиться или расходиться.
Изучим структуру области сходимости и расходимости степенного ряда.
Для любого степенного ряда (1) существует число , такое что, во всех числах Z круга |Z — Z0| < R ряд (1) абсолютно сходится, а во всех точках внешности этого круга |Z — Z0| > R ряд расходится.
Такой круг |Z — Z0| < R называется кругом сходимости степенного ряда (1).
Число R при этом называется радиусом сходимости степенного ряда.
Радиус окружности можно вычислить по формулам , если эти пределы существуют.
Теорема Абеля
Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке
сходимость дивергенция — чередующийся ряд — определите, сходится ли он абсолютно, условно или расходится, используя тест чередующегося p-ряда
спросил
Изменено 1 год, 8 месяцев назад
Просмотрено 329 раз
$\begingroup$
9{2021}\right)}$ уменьшается для p=1/2 Мне было интересно, можем ли мы утверждать, что этот ряд условно расходится или нет?
- последовательности-и-ряды
- сходимость-расхождение
- расходящиеся ряды
- абсолютная сходимость
- условная сходимость
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Вы должны взять $\sum_{n=2}^\infty \cdots$.
{2021}=2021\sqrt{n}\ln(n)$ — возрастающая функция от $n$, которая с ростом $n$ переходит в $+\infty$ ( легко проверить), поэтому $\frac{1}{2021\sqrt{n}\ln(n)}$ убывает и приближается к $0$ по мере увеличения $n$. Следовательно, он условно сходится.
$ \sqrt{n}
$\frac{1}{2021\sqrt{n}\ln(n)}$ расходится, так как $\frac{1}{2021 ~n\ln(n)}$ расходится (что известно). Данный ряд не является абсолютно сходящимся.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
реальный анализ — Абсолютная сходимость бесконечного ряда и проверка p-серии
спросил
Изменено 3 года, 10 месяцев назад
Просмотрено 543 раза
$\begingroup$
9n$, где $z\in \mathbb{C}$ абсолютно сходятся при $|z|<1$.
Разве ряд не расходится, потому что, если мы применяем абсолютные значения, мы можем использовать тест p-серии, а поскольку $p<1$, ряд расходится?
Кроме того, я пытаюсь найти значение $z$ с $|z|=1$ таким образом, чтобы ряд сошелся, но я тоже застрял в этой части.
- реальный анализ
- последовательности и ряды
- комплексный анализ
- расходящиеся ряды
- абсолютная сходимость
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Подсказка
- Используйте тест отношений, чтобы доказать, что радиус сходимости равен $R=1$.
- Используйте критерий Дирихле, чтобы доказать сходимость для $|z|=1$ и $z\ne1$, а для $z=1$ используйте критерий Лейбница, чтобы доказать сходимость.
$\endgroup$
0
9\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.