Что такое параметр? Простые задачи с параметрами
Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?
Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».
Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.
Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?
Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.
Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.
А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».
Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.
1. Теперь пример из школьной математики.
Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения:
Если , квадратное уравнение имеет два корня: и
Если , квадратное уравнение имеет единственный корень
Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.
Если при , уравнение имеет единственный корень.
Если , то есть с > 1, корней нет.
В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.
Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.
И еще две простые задачи с параметром.
2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.
Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .
Найдем дискриминант уравнения
В нем
Т.к. , получим:
Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).
Найдем корни квадратного уравнения . Это и
Разложим левую часть неравенства на множители:
Значит,
Рисуем параболу с ветвями вверх.
Она пересекает ось р в точках и
Записываем ответ:
3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?
Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:
Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.
Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .
Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую
Ответ: 10
Читаем дальше:
Графический метод решения задач с параметрами.
Задачи с параметрами. Часть 1 – МАТЕМАТИКА
Задачи с параметрами считаются одними из самых сложных задач. Во время обучения в школе они встречаются в каждом классе, но, естественно, разного уровня сложности. На ЕГЭ задачи с параметром вызывают у школьников наибольшую трудность.
Многие ребята за них даже не берутся. Но не надо бояться задач с параметрами. Как начинать решать такие задачи?
Прежде всего, при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенствам – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо внимательно еще и еще раз прочитать задание.
При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два больших класса.
Ко второму классу отнесем задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те их них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Класс этих задач неисчерпаем!
Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям (задача 2). Но это удается не всегда.
Иногда встречаются уравнения или неравенства, где дополнительное условие сформулировано так, что оно, легко «переведенное» на математический язык, сводит решение одного уравнения или неравенства второго класса к решению системы уравнений, неравенств или к решению смешанной системы, содержащей и уравнения, и неравенства, относящиеся уже к первому классу.
Встречается большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать специальные свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого специального множества решений (задача 3).
При решении задач с параметрами иногда удобно, а иногда просто необходимо строить графики. Иногда рассматриваются графики в обычной плоскости, а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х;а), где х – независимая переменная, а а – параметр. Это, прежде всего, возможно в задачах, где приходится строить знакомые графики: прямые, параболы, окружности, простейшие логарифмические (задача 3), показательные функции и т.д.
Бывает, что задача решается без всяких графиков, но более громоздко. Кроме того, эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения (задача 4).
В качестве общей рекомендации заметим, что при решении, например, рациональных уравнений f(x, a) = 0 и неравенств f(x, a) > 0 надо помнить, что для разных степеней многочлена f(x, a) методы решения разные. Поэтому, в первую очередь, рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х многочлена f(x, a), понижая тем самым степень многочлена.
Например, квадратное уравнение А(а)х2 + В(а)х + С(а) = 0 при А(а)=0 превращается в линейное, если при этом В(а) не равно 0, а методы решения линейных и квадратных уравнений различны.
Задача 1. Решите неравенство |x – a| + |x +a|< b при всех a и b.
Решение.
Задача 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых среди решений неравенства нет ни одной точки отрезка .
Решение.
В этом примере сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка . Пусть ⇔ . При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически.
Видно, что х можно выразить через t, если а≠0. Поэтому случай, когда а=0, придется рассмотреть отдельно.
- Пусть а=0, тогда ⇔ , и заданный отрезок является решением.
- Пусть a≠0, тогда и неравенство примет вид .
Теперь видно, что решение неравенства зависит от знака а, поэтому придется рассматривать два случая.
a) Если а>0, то ⇔ ⇔ t ∈ ∪ (4a;+∞), или, в старых переменных, ⇔ .
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка тогда и только тогда, когда выполнены условия (рис.1) ⇔ ∈ .
б) Если а < 0, то ⇔ ⇔ t ∈ ⇔ t ∈ ∅, так как t ≥ 0.
Ответ:
Решение других задач с параметром изучайте в наших следующих статьях.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетяхАлгебра I Варианты курса | Veritas Press
Подход Veritas к математике
В отличие от некоторых классических педагогов, мы считаем математику важным предметом. Это необходимо для всестороннего, строгого классического образования.
Мы в Veritas убеждены, что математика в Америке упростилась. ١ Большинство учащихся способнее, чем мы думаем. Наша миссия состоит в том, чтобы помочь вашим детям не стать мрачной математической статистикой. Уже более 25 лет мы доказываем, что наши математические стандарты не должны основываться на том, в чем мы выросли. В конце концов, если бы образование, которое мы сами получили, было таким, каким оно должно быть, зачем нам делать что-то другое для наших детей? Изучение исторических и международных математических стандартов помогает нам ясно это увидеть.
Возможно, лучший способ понять наш подход — отметить некоторые вехи.
Марка | Веха | Назначение |
К | Факты сложения и вычитания | Математические блоки, 9 шт.0005 развивать навыки запоминания |
1 ст | Факты умножения | Дополнительные строительные блоки |
2 й | Факты о дивизионе | Дополнительные строительные блоки |
7 -й | Алгебра I | Решение задач, рассуждение, логика |
11 й или 12 й | Исчисление I | Изменение карты, цифровое мышление, жизнь сегодняшним днем |
Veritas рекомендует Saxon Math для K–6th.
Мы также рекомендуем Math-U-See, особенно для учащихся, которым трудно усвоить абстрактные концепции. Затем мы рекомендуем Джейкобса для алгебры I и геометрии, Ферстера для алгебры II и предварительного исчисления и Ларсона для исчисления.
Saxon с его постепенными улучшениями и постоянным просмотром лучше всего работает на этапе грамматики. К счастью, Гарольд Джейкобс понимает студентов-диалектиков и написал для них превосходную учебную программу по алгебре I и геометрии. Один из его бывших студентов, Пол Фёрстер, пишет там, где остановился Джейкобс, предоставляя нам наши любимые тексты по алгебре II и предварительному исчислению. Наконец, Ларсон, самый плодовитый производитель текстов по математическому анализу, обеспечивает основу для нашей учебной программы по математике.
Некоторые предпочитают придерживаться Саксона в школьные годы. Мы согласны с этим — даже предлагаем варианты занятий в реальном времени с использованием саксонского языка — но предпочитаем тексты, написанные с более классическим педагогическим подходом.
Math-U-See также используется на вторичном уровне. Опять же, его наибольшие преимущества получают студенты, которые борются с абстрактными понятиями.
Сегодня все математическое образование должно быть направлено на использование технологий. В Veritas все просто: используйте технологии как инструмент, а не как костыль. Очень важно научиться работать с алгебраическим уравнением с двумя переменными. Однако, когда вы справитесь, зачем тратить время на втыкание и пыхтение чисел для разработки графического решения? Пусть машина обрабатывает числа. Студенты просто должны знать, как это сделать.
Математика имеет решающее значение для классического образования. Не позволяйте никому говорить вам обратное.
١Американцы отстают в математике: http://www.pewresearch.org/fact-tank/2017/02/15/u-s-students-internationally-math-science/
٢Краткая история американского математического образования K-12 : https://www.csun.edu/~vcmth00m/AHistory.
html
٣Нужен ли расчет? http://www.math.harvard.edu/~knill/pedagogy/use/index.html
Пятый вариант математики | ФАМУ-ФСУ
Math Option to Replace MAP 3306MAD3401, MAD3703, MAP3306, MAP3341/MAP4341, MAS3105, STA3034/STA3032
Print Diagram
| FAMU | БСС |
|---|---|
MAD 3401 Численный анализ (3). Основные темы: решения скалярных нелинейных и конечно-разностных уравнений; численное дифференцирование и интегрирование; ошибка и сходимость; общие интерполяционные задачи, интерполяция и квадратуры, численные решения алгебраических и трансцендентных уравнений. | MAD 3401 Вводный численный анализ (3). Необходимые условия: MAC 2312; знание языка программирования, подходящего для числовых вычислений. Полиномиальная интерполяция, подгонка данных, решения нелинейных уравнений, численное интегрирование и дифференцирование. Не открыт для специальностей по математике. |
| Рекомендуется для студентов ME, интересующихся вычислительной механикой или занимающихся курсами Dynamic Systems and Thermal Fluids. | |
| MAD 3703 Численный анализ I (3). Необходимые условия: MAC 2312; МАС 3105; FORTRAN или PASCAL или C. Нахождение корня, интерполяция и полиномиальная аппроксимация, численное дифференцирование и интегрирование, прямые и итерационные методы для систем линейных уравнений. | |
Рекомендуется для студентов ME, интересующихся вычислительной механикой или изучающих курс тепловых жидкостей. | |
| MAP 3306 Инженерная математика II (3). Необходимые условия: MAP 3305 и MAC 3313. Векторное исчисление. Решение уравнений в частных производных с разделением переменных, задачи Штурма-Лувилля, ряды Фурье, комплексные числа, комплексные интегралы. | MAP 3306 Инженерная математика II (3). Необходимые условия: MAC 2313; МАР 2302 или МАР 3305. Недоступно для студентов, имеющих кредит в MAP 4341. Ряды Фурье и преобразования Фурье, введение в уравнения в частных производных. |
| Настоятельно рекомендуется для студентов ME, намеревающихся получить докторскую степень в области машиностроения, магнитных наук и технологий, треков тепловых жидкостей. | |
| MAP 3341 Уравнения в частных производных (3). Условие: MAC 2313. Основные темы: решение уравнений в частных производных первого порядка, классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка, разделение переменных, начально-краевая задача. | MAP 4341 Элементарные дифференциальные уравнения в частных производных I (3). Необходимые условия: MAC 2313; КАРТА 2302 или 3305. Разделение переменных, ряды Фурье, задачи Штурма-Лиувилля, многомерные начально-краевые задачи, неоднородные задачи, функции Бесселя и полиномы Лежандра. |
| Рекомендуется для студентов ME, изучающих курс термальных жидкостей. | |
| MAS 3105 Линейная алгебра (3). Требования: MAC 2312 или согласие инструктора. Исследование систем линейных уравнений, векторных пространств над полем, линейных преобразований, теории определителей и канонических форм. | MAS 3105 Прикладная линейная алгебра 1 (4). Необходимое условие: MAC 2312. Исключение Гаусса, векторные пространства, задачи наименьших квадратов, определители, собственные значения и собственные векторы, линейные преобразования, приложения. |
| Рекомендуется для студентов ME, следующих по Dynamic Systems Track. Требуется для переводных студентов, поступающих с дифференциальными уравнениями. | |
| STA 3032 Прикладная статистика для инженеров и ученых Студенты ME принимают за 3). Необходимое условие: MAC 2312. Этот курс будет охватывать вероятность на основе исчисления, дискретные и непрерывные случайные величины, совместные распределения, выборочные распределения и центральную предельную теорему. Темы включают описательную статистику, интервальные оценки и проверки гипотез, ANOVA, корреляцию, простую и множественную регрессию, анализ категорийных данных и статистический контроль качества. | |
| Рекомендуется для студентов ME, которые будут работать в отрасли после получения степени бакалавра ME. Обязательно для студентов BSMS | |
STA 3034 Математическая статистика (3). Необходимое условие: MAC 2312. Основные темы: дисперсионный анализ; множественная регрессия; таблицы непредвиденных обстоятельств; экспериментальный дизайн, основанный на исчислении. | |
| Рекомендуется для студентов ME, которые будут работать в отрасли после получения степени бакалавра ME. | |
| EML 4930 Численные методы для инженеров (3). Условие: КАРТА 3305 Целью курса «Численные методы для инженеров» является обучение программированию и численным методам решения инженерных/научных задач эффективным и действенным образом для удовлетворения потребностей промышленности, правительства и научных кругов. Для достижения цели в курсе будет использоваться MATLAB, который в настоящее время является стандартом де-факто для научных вычислений. Этот стиль обучения предназначен для вовлечения учащихся и развития практических навыков программирования. | |
