Алгебра признаки делимости: Признаки делимости натуральных чисел | Статья в журнале «Юный ученый»

Открытая Математика. Алгебра. Сравнения по модулю и признаки делимости

Сравнения по модулю и признаки делимости

Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m: a ≡ b (mod m).

Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой.

В том случае, если число n делится на m, то оно сравнимо с нулем по модулю m: n ≡ 0 (mod m).

Свойства сравнений по модулю вытекают из свойств арифметических операций.

• Пусть a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m). Тогда:
  • a + c ≡ b + d (mod m),
  • a – c ≡ b – d (mod m),
  • ac ≡ bd (mod m).
• Пусть ab ≡ 0 (mod m), и числа a и m взаимно просты. Тогда b ≡ 0 (mod m).

Отметим, что обе части сравнения не всегда можно сократить на какой-либо множитель. Так, 6 ≡ 3 (mod 3), но 2 не сравнимо с 1 по этому же модулю.

Простейшим применением сравнений по модулю является определение делимости чисел. Дадим для начала несколько правил.

Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным, не делящееся на 2 – нечётным. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули.

Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Произвольное число x=xn…x2x1¯=x1+x2ċ101+x3ċ102+. ..+xnċ10n-1, где x1, …, xn – цифры числа x в десятичной записи. Так как 10 ≡ 1 (mod 9), то 10² ≡ 1 (mod 9) и вообще 10^k ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k. Отсюда x1+x2ċ10+…+xnċ10n-1≡x1+x2+…+xn (mod 9). Теорема доказана.

Доказать, что число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Для любого натурального x верно равенство x = x₁ + 10x₂, где x₁ – число единиц, x₂ – число десятков этого числа. Пусть y = x₂

+ 2x₁ (то есть y – число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц). Тогда 10y – x = 19x₁ ≡ 0 (mod 19), откуда следует, что x ≡ 0 (mod 19) тогда и только тогда, когда 10y ≡ 0 (mod 19), то есть y ≡ 0 (mod 19). Утверждение доказано.

В заключение этого параграфа приведем формулировку малой теоремы Ферма.

Пусть p – простое число, a – натуральное число. Тогда a^p – a делится на p: a^p ≡ a (mod p).

В частности, если p – простое число, a – натуральное число, взаимно простое с p, то a^{p – 1} ≡ 1 (mod p).

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Воспользуемся малой теоремой Ферма:

a^{p – 1} ≡ 1 (mod p). Положим a = 10, p = 17. Тогда 10¹⁶ ≡ 1 (mod 17) или 10¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod 17). Число 10¹⁶ – 1 состоит из 16 девяток. Это и есть одно из чисел, которые делятся на 17 без остатка.

Ответ. 9 999 999 999 999 999.





 

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ «Облако знаний».

Признак делимости на 9 : Школьная алгебра

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

_v_l	Признак делимости на 9 21.10.2009, 10:30
29/04/09 103	За ранее прошу за название не пинать . Начну из далека: со школы остались в голове два признака делимости целых чисел: «Если число оканчивается на чётную цифру, то оно кратно двум», «Если сумма цифр в числе кратна 3, то и само число кратно 3». Видел (в одном школьном сборнике) формулировки признаков делимости на 7 и 11. Заметил следующее: «Если сумма цифр в числе кратна 9, то оно само кратно 9». Полного и исчерпывающего доказательства нет, да и не нужно пока (есть идея проверить по мат. индукции, но есть «некрасивые» места). Вот из-за «некрасивых» мест меня и смущает, является ли это утверждение признаком делимости (т.е. если делится, то сумма цифр кратна 9 и наоборот). P.S. Вопрос назрел чисто из интереса. Есть ли другой способ, кроме мат. индукции доказать утверждение (если оно справедливо). P.P.S. Нашёл в русской Википедии [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Признаки_делимости[/url], так что выходит наблюдение не подвело , как насчёт доказательства?

AKM	Re: Признак делимости на 9 21. 10.2009, 10:41
Заблокирован по собственному желанию 18/05/09 3612	Посмотрите на разность числа и суммы его цифр , и наделайте выводов о делимости. Можно также поделать выводы о степени дискуссионности темы.

PAV	Re: Признак делимости на 9 21. 10.2009, 10:50
Супермодератор 29/07/05 8248 Москва	Переезжаем в «Помогите разобраться», вопрос не дискуссионный.

_v_l	Re: Признак делимости на 9 21. 10.2009, 11:57
29/04/09 103	AKM в сообщении #253590 писал(а): Посмотрите на разность числа и суммы его цифр , и наделайте выводов о делимости. Можно также поделать выводы о степени дискуссионности темы. , кратно 9, вот протупил P.S. Тему можно закрыть

Коровьев	Re: Признак делимости на 9 21. 10.2009, 21:01
Заслуженный участник 18/12/07 762	А вот первоклассная первоклассная штучка — таблица усножения на 9 на пальцах. Пуcть нужно умножить, к примеру, 6*9 1.Положите на стол обе руки, растопырив пальцы. 2. Отсчитайте слева направо шестой палец и загните его. 3. Тогда, слева от загнутого пальца будет число десятков в пальцах, а справо число единиц в пальцах 4. IIIII_IIII. Я проверил для всех чисел до 10. Точно!

ИСН	Re: Признак делимости на 9 21. 10.2009, 21:09
Заслуженный участник 18/05/06 13395 с Территории	Ага, первоклассная, как же. Обе руки заняты, и чем считать пальцы? (Гусары, молчать!)

ИС	Re: Признак делимости на 9 21. 10.2009, 21:16
21/04/09 195	ИСН А сосед по парте на что? пусть он и считает =)

Коровьев	Re: Признак делимости на 9 21. 10.2009, 21:29
Заслуженный участник 18/12/07 762	ИСН в сообщении #253741 писал(а): Ага, первоклассная, как же. Обе руки заняты, и чем считать пальцы? (Гусары, молчать!) Я, потренировавшись, научился считать зрительно… и носом.

Батороев	Re: Признак делимости на 9 22. 10.2009, 17:36
23/01/07 3377 Новосибирск	А я все думал, чего это некоторые при разговоре пальцы гнут? Оказывается, это они в уме что-то считают. _v_l Теперь для тренировки можете подумать, каковы признаки делимости на 11?

Ketchup	Re: Признак делимости на 9 23. 11.2009, 20:30
20/05/09 1	признак делимости на 11 известен, ну по крайней мере мне, в учебнике был написан как и на 9 а то что заметил — хорошо)

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 10 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Правила делимости алгебры-DUMMIES

BY: Мэри Джейн Стерлинг и

Обновлены: 03-26-2016

Из книги: Algebra I для Dummies

Allebra Is для Dummies

9 Купить на Amazon

В алгебре знание правил делимости может помочь вам решать быстрее. Разлагая алгебраические выражения на множители для решения уравнений, вы должны иметь возможность извлечь наибольший множитель. Вам также понадобятся общие множители при сокращении алгебраических дробей. Правила делимости помогают найти общие множители и изменить алгебраические выражения, чтобы они были представлены в более удобной форме.

• Делимость на 2: Число делится на 2, если последняя цифра в числе 0, 2, 4, 6 или 8.

• Признак кратности 3: Число делится на 3, если сумма цифр в числе делится на 3.

• Делимость на 4: Число делится на 4, если последние две цифры в числе образуют число, кратное 4.

• Делимость на 5: Число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5.

• Делимость на 6: Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

• Делимость на 8: Число делится на 8, если последние три цифры образуют число, кратное 8.

• Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

• Делимость на 10: Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

• Признак делимости на 11: Число делится на 11, если суммы чередующихся цифр отличаются на 0, 11, 22 или 33 или на любое двузначное число, кратное 11. Другими словами, у вас есть шестизначное число: Сложите первую, третью и пятую цифры — нечетные. Затем добавьте цифры на четных местах — вторую, четвертую и шестую. Затем вычтите меньшую из этих сумм из большей суммы, и если ответ кратен 11, исходное число делится на 11.

• Признак кратности 12: Число делится на 12, если две последние цифры образуют число, кратное 4, и если сумма цифр делится на 3.

Эта статья из книги:

• Алгебра I для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг является автором Алгебра I для чайников, Algebra Workbook90 For Dummies прочее Для чайников книги. Она преподавала в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет, преподавая алгебру, бизнес-расчеты, геометрию и конечную математику.

Эту статью можно найти в категории:

• Алгебра,

Теория элементарных чисел — Обозначение «делится на»

спросил 10 лет, 6 месяцев назад

Изменено 9несколько месяцев назад

Просмотрено 64к раз

$\begingroup$

Существует ли стандартный способ записи $a$ делится на $b$ в математической записи?

Из того, что я искал, кажется, что запись $a \equiv 0 \pmod b$ является одним из способов? Но также вы можете написать $b \mid a$ (средний символ — труба)? И иногда эта труба заменяется вертикальными точками $3$?

Или есть способ записать $a$ кратно $b$ , что, я думаю, означает одно и то же?

РЕДАКТИРОВАТЬ: спасибо за ответы, есть ли способ расширить это и написать что-то вроде: $b \mid a$, когда $a = k$

• элементарная теория чисел
• обозначение
• делимость

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Я видел следующее:

• $b \mid a$ с $\LaTeX$ \mid
• $a = 0 \mod b$, то есть с $\LaTeX$ \mod
• $a = 0 \pmod b$, то есть с $\LaTeX$ \pmod
• $a \bmod b = 0$, то есть с $\LaTeX$ \bmod
• $а \экв 0\ (б)$
• $a \equiv_{b} 0$

и, конечно,

• $a = bk$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$

Выбирайте то, что подходит вам (и вашим друзьям или читателям) лучше всего!

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Александр Меркурьев давным-давно научил меня гениальной русской нотации $6 \vdots 2$, которую я тут же перенял.
Приятно «рифмуется» с эквивалентом $(6)\subset (2)$

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Существует также » $a \in b\mathbb Z$ «.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я часто пишу, что как b делит a

Обозначение:

$$b \mid a$$

$\endgroup$

1

$\begingroup$

• Определение: Целое число $n$ делится на целое число $d$, когда $\существует k \in \mathbb{Z}, n=d\times k$.

• Обозначение: $d \mid n$

• Синоним:

• $n$ кратно $d$.

  No related posts.