Алгебра теория: Факультет математики и компьютерных наук » Алгебра и теория чисел

Программа Ловера может быть до некоторой степени расширена дальше: можно работать с теориями Ловера, которые являются локально малыми (не просто малыми) категориями. Здесь теория может быть не ограничена, но, по крайней мере, имеется лишь небольшой набор операций каждой арности. Примеры таких больших теорий включают

• Теория алгебр с произвольными суммами (одной из моделей которой является [0,∞][0,\infty]),

• Теория надрешеток, в которой имеется по одной операции каждой арности и

• Теория компактных хаусдорфовых пространств, где операции параметризуются ультрафильтрами.

Эти примеры выходят за рамки ограниченного (малой теории) случая. Локально малые теории в этом смысле соэкстенсивны понятию монады (на SetSet): между SetSet и категорией моделей имеется свободное-забывающее примыкание, и алгебры теории эквивалентны алгебрам монады.

В худшем случае существуют алгебраические теории, в которых количество поддающихся определению операций резко возрастает, так что может существовать надлежащий класс операций некоторой фиксированной арности. В этом случае свободных алгебр нет, и переформулировка Ловера больше не применима. Примером может служить теория полных булевых алгебр. (Примечание: теоретики категорий, определяющие категорию U:A→SetU: A \to Set над множествами как алгебраическую, если она монадична, поэтому не будут считать многообразие алгебр в таких случаях «алгебраическим»).

Дальнейшие комментарии по этим аспектам можно найти в дюжине или около того комментариев в этой ветке, датированных 13 апреля — 7 мая 2009 г. , §§3.7 и 8. Скажем, категория CC:

• малая алгебраическая , если она задана (маленьким) набором символов операций и уравнений;
• алгебраический если задается монадой на категории (малых) множеств;
• большой алгебраический , если он задается (возможно, правильным) классом символов операций и уравнений.

Тогда любая малая алгебраическая категория является алгебраической, и любая алгебраическая категория является большой алгебраической, но ни одна из импликаций не может быть обращена.

Многосортные операции

Теории Ловера также могут быть обобщены для обработки многосортных операций. {n_s} \to t 9{op} \to T

и развитие проходит почти так же, как и в односортном случае.

Обобщенные алгебраические теории

См. обобщенная алгебраическая теория .

Определение

Сейчас мы обсудим односортный случай. Многосортный случай должен быть прямым расширением.

Для любого кардинального числа nn пусть [n][n] будет множеством этой мощности (иногда мы используем просто nn).

Определение:

A Теория Ловера 9{op} \to C: [1] \mapsto x

существенно сюръективен.

Варианты

Алгебраические теории могут быть расширены или специализированы в различных направлениях. Вот несколько вариаций на тему.

Существенно алгебраические теории

Существенно алгебраические теории допускают частично определенные операции. Точно так же, как финитарные алгебраические теории могут быть поняты как теории Ловера, живущие в учении о декартовых моноидальных категориях, так и финитарные по существу алгебраические теории могут быть поняты посредством обобщения на конечно полные категории. 9{op} \to C

, так что (n,x:n→S)(n, x: n\to S) переходит в ∏i∈nΦ(x(i))\prod_{i \in n} \Фи(х(я)). Сразу видно, что Π\Pi — функтор, сохраняющий произведение, и с точностью до единственного изоморфизма — единственный сохраняющий произведение функтор, продолжающий Φ\Phi.

Определение

многосортная алгебраическая теория над множеством сортов SS состоит из локально малой категории с малыми произведениями CC вместе с заданием сортировки Φ:S→C\Phi: S \to C таким, что расширение для сохранения продукта 9{op} \to C

существенно сюръективен. операция арности x1,…,xn→yx_1, \ldots, x_n \to y в CC является морфизмом вида Π(n,x)→Φ(y)\Pi(n, x) \to \ Фи(у) в CC. Если DD имеет малые произведения, то модель модели CC в DD является сохраняющим произведение функтором M:C→DM: C \ to D. Гомоморфизм моделей является просто естественным преобразованием функторов, сохраняющих произведение.

Нарушает принцип эквивалентности, но тем не менее безвредно и иногда удобно предполагать, что Π\Pi является изоморфизмом объектов, поскольку мы можем определить C′C’ как имеющую те же объекты, что и Set/SSet/S, и определить hom -множества C′(x,y)=C(Π(x),Π(y)C'(x, y) = C(\Pi(x), \Pi(y). {op} \to C, очевидно, делит на 9{ор} \к С’.

Коммутативные теории

Коммутативные алгебраические теории — это (односортные) алгебраические теории, для которых каждая операция является алгебраическим гомоморфизмом. Они образуют важный подкласс. Их категории моделей замкнуты: hom-множества имеют естественную модель-структуру (алгебра-структуру), а обогащенный Hom-функтор имеет левосопряженное тензорное произведение .

Теория RR-модулей фиксированного коммутативного кольца RR — пожалуй, самый известный пример. Интересным нефинитным примером является теория полных решеток и функций, сохраняющих супремум.

Отношение к монадам

Мы конкретизируем отношения между алгебраическими теориями и монадами, начиная с самой общей ситуации и затем добавляя условия, чтобы сократить размер теорий. Используемый здесь термин «теория Ловера» будет означать большую (но локально малую) бесконечную теорию Ловера. (При этом отношении обычные финитарные теории Ловера соответствуют финитарных монад . )

Монада локально малой теории Ловера

Предположим, что CC является (локально малой, многосортной) теорией Ловера, поэтому мы имеем сохраняющую произведение функтор 9{op}, последний изоморфизм — это всего лишь пример леммы Йонеды, и на этом доказательство завершается.

Монада теории Ловера CC — это монада T:Set/S→Set/ST: Set/S \to Set/S, связанная с этим присоединением.

Большая теория монады Ловера

Теперь пусть T:Set/S→Set/ST: Set/S \to Set/S будет монадой на Set/SSet/S с единицей измерения u:1→Tu: 1 \ на T и умножение m:TT→Tm: T T \to T.

Определение

большая теория Ловера Th(T)Th(T) 9{оп}

От естественности диаграммы

X(∏isi)→f(∏isi)Y(∏isi)X(π)↓↓Y(πi)X(si)→f(si)Y(si)\array{ X(\prod_i s_i) & \overset{f(\prod_i s_i)}{\to} & Y(\prod_i s_i) \\ \mathllap{X(\pi)} \downarrow & & \downarrow \mathrlap{Y(\pi_i)} \\ X(s_i) и \underset{f(s_i)}{\to} & Y(s_i) }

и того факта, что YY сохраняет продукты, мы видим, что компонента ff в точке ∏isi\prod_i s_i однозначно определяется из компонент f(s):X(s)→Y(s)f(s): X(s ) \to Y(s), когда ss пробегает образ Πi:S→Kl(T)op\Pi i: S \to Kl(T)^{op}, другими словами, что функтор UU, определенный U( X)=XΠiU(X) = X \Pi i является точным.

Таким образом, АА является эквивалентностью с существенным обратным ММ.

Метафора

Теория колец — раздел математики с хорошо разработанной терминологией. Кольцо AA определяет и определяется алгебраической теорией, модели которой являются левыми AA-модулями и чьи nn-арные операции имеют вид

(x1,…,xn)→a1x1+⋯+anxn(x_1,\ldots ,x_n) \to a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n

для некоторого n-набора (a1,…,an)(a_1,\ldots ,a_n) элементов AA. Мы можем назвать такую ​​алгебраическую теорию кольцевой . Игра слов модель/модуль принадлежит Джону Беку. Представление о том, что алгебраическая теория является обобщенным кольцом, часто является плодотворным, что автоматически приводит к множеству наводящих на размышления терминов и интересных проблем. Многие фундаментальные идеи теории колец/модулей являются просто ограничением на кольцевые алгебраические теории идей, которые более широко применяются к алгебраическим теориям и их моделям.

Обозначим категорию моделей и гомоморфизмов (в SetSet) алгебраической теории AA через AModA Mod. Затем сравните следующее с их аналогами в теории колец:

• Тензорное произведение теорий
• Матричные теории
• Бимодели

• существенно алгебраическая теория

• алгебраическая теория / теория Ловера / 2-теория Ловера / (∞,1)-алгебраическая теория

  • алгебраический побочный эффект

• обобщенная алгебраическая теория

• шаровая теория

• монада / (∞,1)-монада

• операда / (∞,1)-операда

• конечно полная категория, декартов функтор, декартова логика, декартова теория

• регулярная категория, регулярный функтор, регулярная логика, регулярная теория, регулярное покрытие, регулярный топос

• когерентная категория, когерентный функтор, когерентная логика, когерентная теория, когерентное покрытие, когерентный топос

• геометрическая категория, геометрический функтор , геометрическая логика, геометрическая теория

Каталожные номера

• Ernest G. Manes, Algebraic Theories , Springer (1976) (doi:10.1007/978-1-4612-9860-1)

• Йиржи Адамек, Йиржи Росицки, Энрико Витале, Алгебраические теории , Cambridge University Press (2011) [doi:10.1017/CBO9780511760754, pdf]

• Питер Джонстон, Stone Spaces

• Б. Бадзиох, «Алгебраические теории в теории гомотопий», Анналы математики, 155, 895–913 (2002).

• Андреас Нюйтс, Понимание универсальной алгебры с использованием диаграмм Клейсли-Эйленберга-Мура-Лаввера , примечание

Основу для сравнения различных понятий алгебраической теории см.

• Soichiro Fujii, Единая структура понятий алгебраической теории , (arXiv:1904.08541)

Последняя редакция: 14 февраля 2023 г., 11:29:00. См. историю этой страницы для получения списка всех вкладов в нее.

Алгебра | История, определение и факты

математики греко-римского мира

Смотреть все СМИ

Ключевые люди:

Джон фон Нейман Сэр Уильям Роуэн Гамильтон Диофант Томас Хэрриот Эмми Нётер

Связанные темы:

элементарная алгебра современная алгебра линейная алгебра теорема о рациональном корне биномиальная теорема

Просмотреть весь связанный контент →

Популярные вопросы

Что такое алгебра?

Алгебра — это раздел математики, в котором абстрактные символы, а не числа, обрабатываются или оперируются с помощью арифметики. Например, x + y = z или b — 2 = 5 являются алгебраическими уравнениями, а 2 + 3 = 5 и 73 * 46 = 3358 — нет. Используя абстрактные символы, математики могут работать с общими терминами, применимыми гораздо шире, чем конкретные ситуации, связанные с числами.

Чем отличаются алгебра и геометрия?

Алгебра — это раздел математики, в котором арифметические операции и другие формальные операции применяются к абстрактным символам, а не к конкретным числам. Геометрия — это раздел математики, изучающий форму объектов, их пространственные отношения и свойства пространства, в котором находятся объекты.

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

алгебра , раздел математики, в котором арифметические операции и формальные манипуляции применяются к абстрактным символам, а не к конкретным числам. Представление о существовании такой отдельной дисциплины математики, а также термин алгебра для ее обозначения возникли в результате медленного исторического развития. В этой статье представлена ​​эта история, прослеживается эволюция во времени понятия уравнения, систем счисления, символов для передачи математических утверждений и манипулирования ими, а также современного абстрактного структурного взгляда на алгебру. Для получения информации о конкретных разделах алгебры, см. элементарная алгебра, линейная алгебра и современная алгебра.

Возникновение формальных уравнений

Возможно, самым основным понятием в математике является уравнение, формальное утверждение о том, что две части математического выражения равны — как в простом уравнении x + 3 = 5 — и что обе части можно одновременно манипулировать уравнением (складывать, делить, извлекать корни и т. д. с обеих сторон), чтобы «решить» уравнение. Тем не менее, каким бы простым и естественным ни казалось это понятие сегодня, его принятие сначала потребовало развития многочисленных математических идей, каждая из которых требовала времени, чтобы созреть. Фактически, только в конце 16 века закрепилась современная концепция уравнения как единого математического объекта.

Особого внимания заслуживают три основных направления процесса, ведущего к этой консолидации:

1. Попытки решить уравнения с одной или несколькими неизвестными величинами. При описании ранней истории алгебры слово уравнение часто используется из соображений удобства для описания этих операций, хотя ранние математики не знали о таком понятии.

2. Эволюция представления о том, что именно считается допустимым числом. Со временем это понятие расширилось, чтобы включить более широкие области (рациональные числа, иррациональные числа, отрицательные числа и комплексные числа), которые были достаточно гибкими, чтобы поддерживать абстрактную структуру символической алгебры.

3. Постепенное совершенствование символического языка, подходящего для разработки и передачи обобщенных алгоритмов или пошаговых процедур для решения целых категорий математических задач.

Эти три нити прослеживаются в этом разделе, особенно в том, как они развивались на древнем Ближнем Востоке и в Греции, в исламскую эпоху и в эпоху европейского Возрождения.

Викторина «Британника»

Числа и математика

Решение задач в Египте и Вавилоне

Самый ранний дошедший до нас математический текст из Египта — папирус Ринда (ок. 1650 г. до н. э.). Этот и другие тексты свидетельствуют о способности древних египтян решать линейные уравнения с одним неизвестным. Линейное уравнение — это уравнение первой степени, то есть уравнение, в котором все переменные даны только в первой степени. (В сегодняшних обозначениях такое уравнение с одним неизвестным будет 7 x + 3 x = 10.) Свидетельства примерно 300 г. до н.э. указывают на то, что египтяне также знали, как решать задачи, включающие систему двух уравнений с двумя неизвестными величин, включая квадратные (второй степени или квадраты неизвестных) уравнения. Например, учитывая, что периметр прямоугольного участка земли составляет 100 единиц, а его площадь 600 квадратных единиц, древние египтяне могли найти длину поля l и ширина w . (В современных обозначениях они могли решить пару одновременных уравнений 2 w 90 338 + 2 90 337 l 90 338 = 100 и 90 337 w 90 338 90 337 l 90 338 = 600.) Однако на протяжении всего этого периода символы не использовались — задачи формулировались. и решается устно. Типична следующая задача:

• Метод расчета количества,

• умножить на 1 ¹ / ₂ прибавить 4, получилось 10.

• Какое количество говорит об этом?

• Сначала вы вычисляете разницу этих 10 и этих 4. Затем 6 результатов.

• Затем вы делите 1 на 1 ¹ / ₂ . Тогда ² / ₃ результатов.

• Затем вы вычисляете ² / ₃ из этих 6. Затем 4 результата.

• Вот, это 4, количество, которое сказало это.

• То, что вы нашли, верно.

Обратите внимание, что за исключением ² / ₃ , для которых существовал специальный символ, египтяне выражали все дробные количества, используя только единичные дроби, то есть дроби, имеющие числитель 1. Например, ³ / ₄ будет записано как ¹ / ₂ + ¹ / ₄ .

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Вавилонская математика восходит к 1800 г. до н.э., о чем свидетельствуют клинописные тексты, сохранившиеся на глиняных табличках. Вавилонская арифметика была основана на хорошо разработанной позиционной шестидесятеричной системе счисления, то есть на системе с основанием 60, в отличие от современной десятичной системы, основанной на единицах 10. Вавилоняне, однако, не использовали постоянно ноль. . Большая часть их математики состояла из таблиц, например, для умножения, обратных величин, квадратов (но не кубов), а также квадратных и кубических корней.

Помимо таблиц, многие вавилонские таблички содержали задачи, требующие решения какого-то неизвестного числа. Такие задачи объясняли процедуру решения конкретной проблемы, а не предлагали общий алгоритм решения подобных задач.