Алгебраическая прогрессия: Арифметическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Алгебраическая прогрессия

И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия это специального вида последовательность. Поэтому прежде чем давать определение арифметической (а затем и геометрической) прогрессии, нам нужно вкратце обсудить важное понятие числовой последовательности.

Последовательность

Вообразите устройство, на экране которого высвечиваются одно за другим некоторые числа. Скажем, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Такой набор чисел как раз и является примером последовательности.

Определение. Числовая последовательность это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число)1. Число с номером n называется n-м членом последовательности.

Так, в приведённом выше примере первый номер имеет число 2 это первый член последовательности, который можно обозначить a1; номер пять имеет число 6 это пятый член последовательности, который можно обозначить a5.

Вообще, n-й член последовательности обозначается an (или bn, cn и т. д.).

Очень удобна ситуация, когда n-й член последовательности можно задать некоторой формулой. Например, формула an = 2n 3 задаёт последовательность: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = ( 1)n задаёт последовательность: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всякое множество чисел является последовательностью. Так, отрезок [0; 1] не последовательность; в нём содержится ¾слишком много¿ чисел, чтобы их можно было перенумеровать. Множество R всех действительных чисел также не является последовательностью. Эти факты доказываются в курсе математического анализа.

Арифметическая прогрессия: основные определения

Вот теперь мы готовы дать определение арифметической прогрессии.

Определение. Арифметическая прогрессия это последовательность, каждый член которой (начиная со второго) равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (называемого разностью арифметической прогрессии).

Например, последовательность 2; 5; 8; 11; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 2 и разностью 3. Последовательность 7; 2; 3; 8; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью 5. Последовательность 3; 3; 3; : : : является арифметической прогрессией с разностью, равной нулю.

Эквивалентное определение: последовательность an называется арифметической прогрессией, если разность an+1 an есть величина постоянная (не зависящая от n).

Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убывающей, если её разность отрицательна.

1А вот более лаконичное определение: последовательность есть функция, определённая на множестве натуральных чисел. Например, последовательность действительных чисел есть функция f : N ! R.

По умолчанию последовательности считаются бесконечными, то есть содержащими бесконечное множество чисел. Но никто не мешает рассматривать и конечные последовательности; собственно, любой конечный набор чисел можно назвать конечной последовательностью. Например, конечная последовательность 1; 2; 3; 4; 5 состоит из пяти чисел.

1

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Легко понять, что арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: первым членом и разностью. Поэтому возникает вопрос: как, зная первый член и разность, найти произвольный член арифметической прогрессии?

Получить искомую формулу n-го члена арифметической прогрессии нетрудно. Пусть an

арифметическая прогрессия с разностью d. Имеем:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
В частности, пишем:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и теперь становится ясно, что формула для an имеет вид:
an = a1 + (n 1)d:	(1)

Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; : : : найти формулу n-го члена и вычислить сотый член.

Решение. Согласно формуле (1) имеем:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

Отсюда

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и признак арифметической прогрессии

Свойство арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии an для любого

n > 2 выполнено равенство
an =	an 1 + an+1	:	(2)
2

Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим соседних членов.

	Доказательство. Имеем:
	an 1 + an+1	=	(an d) + (an + d)	= an;
	2		2

что и требовалось.

Более общим образом, для арифметической прогрессии an справедливо равенство

an = an k + an+k

2

при любом n > 2 и любом натуральном k < n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2).

Оказывается, формула (2) служит не только необходимым, но и достаточным условием того, что последовательность является арифметической прогрессией.

2

Признак арифметической прогрессии. Если для всех n > 2 выполнено равенство (2), то последовательность an является арифметической прогрессией.

Доказательство. Перепишем формулу (2) следующим образом:

an an 1 = an+1 an:

Отсюда видно, что разность an+1 an не зависит от n, а это как раз и означает, что последовательность an есть арифметическая прогрессия.

Свойство и признак арифметической прогрессии можно сформулировать в виде одного утверждения; мы для удобства сделаем это для трёх чисел (именно такая ситуация часто встречается в задачах).

Характеризация арифметической прогрессии.

Три числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = a + c.

Задача 2. (МГУ, экономич. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.

Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:

2(3 x2) = 8x 4 , 2×2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Если x = 1, то получается убывающая прогрессия 8, 2, 4 с разностью 6. Если x = 5, то получается возрастающая прогрессия 40, 22, 4; этот случай не годится.

Ответ: x = 1, разность равна 6.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Легенда гласит, что однажды учитель велел детям найти сумму чисел от 1 до 100 и сел спокойно читать газету. Однако не прошло и нескольких минут, как один мальчик сказал, что решил задачу. Это был 9-летний Карл Фридрих Гаусс, впоследствии один из величайших математиков в истории.

Идея маленького Гаусса была такова. Пусть

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Запишем данную сумму в обратном порядке:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и сложим две этих формулы:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Каждое слагаемое в скобках равно 101, а всего таких слагаемых 100. Поэтому

2S = 101 100 = 10100;

откуда

S = 5050:

Мы используем эту идею для вывода формулы суммы

S = a1 + a2 + : : : + an

3

первых n членов арифметической прогрессии. Именно, запишем друг под другом:

S= a1 + a2 + a3 + : : : + an 2 + an 1 + an;

S= an + an 1 + an 2 + : : : + a3 + a2 + a1

и сложим:

2S = (a1 + an) + (a2 + an 1) + (a3 + an 2) + : : : + (an 2 + a3) + (an 1 + a2) + (an + a1):

Каждое слагаемое в скобках равно a1 + an, а всего таких слагаемых n. Поэтому

2S = (a1 + an) n;

откуда

S = a1 + an n: (3)

2

Полезная модификация формулы (3) получается, если в неё подставить формулу n-го члена an = a1 + (n 1)d:

	S =	2a1 + (n 1)d		n:	(4)
		2

Задача 3. Найти сумму всех положительных трёхзначных чисел, делящихся на 13.

Решение. Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 104 и разностью 13; n-й член этой прогрессии имеет вид:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Давайте выясним, сколько членов содержит наша прогрессия. Для этого решим неравенство:

an 6 999; 91 + 13n 6 999;

13n 6 908;

n 6 90813 = 691113 ; n 6 69:

Итак, в нашей прогрессии 69 членов. По формуле (4) находим искомую сумму:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

4

Алгебра 7-9 класс. Арифметическая прогрессия — math200.ru

Skip to content

Алгебра 7-9 класс. Арифметическая прогрессияadmin2022-10-11T16:41:35+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 7-9 класс. Арифметическая прогрессия

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии    – 6; 1; 8; … Найдите 6-й член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: 29.

Задача 2. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии    20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: -22.

Задача 3. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии   –9; –5; –1; … Найдите 8-й член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: 19.

Задача 4. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии    –7; –5; –3; … Найдите 9-й член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: 9.

Задача 5. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии    –1; 2; 5; … Найдите сумму первых пяти её членов. Ответ ОТВЕТ: 25.

Задача 6. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии    –7; –4; –1; … Найдите сумму первых шести её членов. Ответ ОТВЕТ: 3.

Задача 7. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии    1; 3; 5; … Найдите сумму первых восьми её членов. Ответ ОТВЕТ: 64.

Задача 8. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии    –4; –2; 0; … Найдите сумму первых десяти её членов. Ответ ОТВЕТ: 50.

Задача 9. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \(4,3,\;\;{a_1} =  — 8,2.\)  Найдите a8. Ответ ОТВЕТ: 21,9.

Задача 10. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \( — 8,5,\;\;{a_1} =  — 6,8.\;\)  Найдите a5. Ответ ОТВЕТ: -40,8.

Задача 11. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \(1,9,\;\;{a_1} = 3,9.\)  Найдите a8. Ответ ОТВЕТ: 17,2.

Задача 12. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \(3,\;\;{a_1} =  — 2.\)  Найдите a4. Ответ ОТВЕТ: 7.

Задача 13. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \(5,1,\;\;{a_1} =  — 0,2.\;\)  Найдите сумму первых семи её членов. Ответ ОТВЕТ: 105,7.

Задача 14. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \(0,6,\;\;{a_1} = 6,2.\;\)  Найдите сумму первых шести её членов. Ответ ОТВЕТ: 46,2.

Задача 15. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \( — 4,9,\;\;{a_1} =  — 6,4.\;\)  Найдите сумму первых пяти её членов. Ответ ОТВЕТ: -81.

Задача 16. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна  \( — 0,1,\;\;{a_1} = 9,1.\;\)  Найдите сумму первых семи её членов. Ответ ОТВЕТ: 61,6.

Задача 17. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_1} = 43,\;\;{a_{n + 1}} = {a_n} + 5\).   Найдите сумму первых семи её членов. Ответ ОТВЕТ: 406.

Задача 18. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_1} =  — 9,\;\;{a_{n + 1}} = {a_n} + 4\).   Найдите сумму первых шести её членов. Ответ ОТВЕТ: 6.

Задача 19. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_1} = 23,\;\;{a_{n + 1}} = {a_n} — 15\).   Найдите сумму первых восьми её членов. Ответ ОТВЕТ: -236.

Задача 20. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_1} =  — 16,\;\;{a_{n + 1}} = {a_n} — 19\).   Найдите сумму первых пяти её членов. Ответ ОТВЕТ: -270.

Задача 21. Выписаны несколько последовательных членов арифметической  прогрессии \(…;\;\;11;\;\;x;\;\;19;\;\;23;\;\;…\). Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. Ответ ОТВЕТ: 15.

Задача 22. Выписаны несколько последовательных членов арифметической прогрессии \(…;\;\; — 9;\;\;x;\;\; — 13;\;\; — 15;\;\;…\). Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. Ответ ОТВЕТ: -11.

Задача 23. Выписаны несколько последовательных членов арифметической прогрессии \(…;\;\;7;\;\;x;\;\;13;\;\;16;\;\;…\). Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. Ответ ОТВЕТ: 10.

Задача 24. Выписаны несколько последовательных членов арифметической прогрессии \(…;\;\;2;\;\;x;\;\; — 8;\;\; — 13;\;\;…\). Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. Ответ ОТВЕТ: -3.

Задача 25. Найдите разность арифметической прогрессии (an), в которой \({a_3} =  — 21,4,\;\;{a_{13}} =  — 40,4.\) Ответ ОТВЕТ: -1,9.

Задача 26. Найдите разность арифметической прогрессии (an), в которой \({a_3} = 6,9,\;\;{a_{16}} = 26,4. \) Ответ ОТВЕТ: 1,5.

Задача 27. Найдите разность арифметической прогрессии (an), в которой \({a_9} =  — 22,2,\;\;{a_{23}} =  — 41,8.\) Ответ ОТВЕТ: -1,4.

Задача 28. Найдите разность арифметической прогрессии (an), в которой \({a_1} = 8,7,\;\;{a_9} = 28,7.\) Ответ ОТВЕТ: 2,5.

Задача 29. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_n} = 8,2 — 9,3n\). Найдите а6. Ответ ОТВЕТ: -47,6.

Задача 30. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_n} =  — 11,9 + 7,8n\). Найдите а10. Ответ ОТВЕТ: 66,1.

Задача 31. Арифметическая прогрессия(an) задана условиями \({a_n} = 3,8 — 5,7n\). Найдите а6. Ответ ОТВЕТ: -30,4.

Задача 32. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_n} = 9,6 + 5,3n\). Найдите а8. Ответ ОТВЕТ: 52.

Задача 33. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_n} =  — 0,6 + 8,6n.\) Найдите сумму первых десяти её членов. Ответ ОТВЕТ: 467.

Задача 34. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_n} = 1,9 — 0,3n\). Найдите сумму первых пятнадцати её членов. Ответ ОТВЕТ: -7,5.

Задача 35. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_n} = 3,8 — 5,7n\). Найдите сумму первых шести её членов. Ответ ОТВЕТ: -96,9.

Задача 36. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями \({a_n} = 5,6 + 0,6n\). Найдите сумму первых четырнадцати её членов. Ответ ОТВЕТ: 141,4.

Задача 37. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду? Ответ ОТВЕТ: 38.

Задача 38. В первом ряду кинозала 13 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в шестом ряду? Ответ ОТВЕТ: 23.

Задача 39. В первом ряду кинозала 35 мест, а в каждом следующем на 1 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в тринадцатом ряду? Ответ ОТВЕТ: 47.

Задача 40. В первом ряду кинозала 50 мест, а в каждом следующем на 1 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в седьмом ряду? Ответ ОТВЕТ: 56.

Задача 41. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \(93;\;\;85,5;\;\;78;\;\;…\). Найдите первый отрицательный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: -4,5.

Задача 42. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \(28;\;\;26;\;\;24;\;\;…\). Найдите первый отрицательный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: -2.

Задача 43. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \(36;\;\;33;\;\;30;\;\;…\). Найдите первый отрицательный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: -3.

Задача 44. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \(97;\;\;91;\;\;85;\;\;…\). Найдите первый отрицательный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: -5.

Задача 45. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \( — 39;\;\; — 30;\;\; — 21;\;\;…\). Найдите первый положительный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: 6.

Задача 46. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \( — 57;\;\; — 44;\;\; — 31;\;\;…\). Найдите первый положительный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: 8.

Задача 47. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \( — 87;\;\; — 69;\;\; — 51;\;\;…\). Найдите первый положительный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: 3.

Задача 48. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии \( — 95;\;\; — 89;\;\; — 83;\;\;…\). Найдите первый положительный член этой прогрессии. Ответ ОТВЕТ: 1.

Задача 49. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте? Ответ ОТВЕТ: -250.

Задача 50. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: ?6; 1; 8. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 51-м месте? Ответ ОТВЕТ: 344.

Задача 51. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: ?17; ?14; ?11. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 81-м месте? Ответ ОТВЕТ: 223.

Задача 52. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 3; 7; 11. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 63-м месте? Ответ ОТВЕТ: 251.

Задача 53. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: \(7,6;\;\;7,4;\;\;…\) Ответ ОТВЕТ: 148,2.

Задача 54. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: \(12,8;\;\;12,4;\;\;…\) Ответ ОТВЕТ: 211,2.

Задача 55. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: \(8,4;\;\;8,1;\;\;…\) Ответ ОТВЕТ: 121,8.

Задача 56. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: \(9,2;\;\;8,7;\;\;…\) Ответ ОТВЕТ: 89,3.

Реклама

Поддержать нас

Таблица арифметической прогрессии

Таблица арифметической прогрессии

Задача 1 :

Первый член арифметической прогрессии равен 6, а общая разность равна 5. Найдите ее общую арифметическую прогрессию.

Задача 2 :

Найдите общую разность и 15 ^й член арифметической прогрессии :

125, 120, 115, 110,…………

Задача 3 :

Какой член арифметической прогрессии 24, 23¼, 22½, 21¾, ……… равен 3?

Задача 4:

Найдите 12-й член арифметической прогрессии;

√2, 3√2, 5√2,………………

Задача 5 :

Найдите 17-й член арифметической прогрессии:

4, 9, 14,……………….

Задача 6:

Сколько членов в следующей арифметической последовательности?

7, 11, 15,……………483

Задача 7:

Сколько членов в следующей арифметической прогрессии?

-16, -12, -8,……………16

Задача 8 : 

Найдите 27-й член

Задача 9 :

Найдите n так, чтобы n ^-й -й член следующих двух арифметических прогрессий был равен.

1, 7, 13, 19,

и

100, 95, 90, ………… …

Задача 10 :

Сколько двузначных чисел делятся на 13?

Ключ к развернутому ответу

Задача 1 : 

Первый член арифметической прогрессии равен 6, а общая разность равна 5. Найдите общий член арифметической прогрессии.

Решение:

a ₁  =  6

d = 5

Арифметическая прогрессия:

a ₁ , (a ₁  + d), (a ₁  + d), (a ₁  + 9 2d), (a ₁  + 2d), (a + 2d), (a 9 010) …………….

Замените 6 на ₁  и 5 на d.

6, (6   + 5), (6   + 2 ⋅ 5), (6     + 3 ⋅ 5), ……………… ..

6, 11, 16, 21,………………

Общий термин: 

a _n   =  a ₁  + (n — 1)d

Замените 6 на ₁  и 5 на d.

A _N = 6+ (N — 1) 5

A _N = 6+ 5N — 5

A _N = 5N+ 1

Проблема 2:

. Найдите общее. разность и 15 ^th  член арифметической прогрессии:

125, 120, 115, 110,……………

Решение:

a _{6 6 6 =  125}

A ₂ = 120

Общая разница:

D = A ₂ — A ₁

D = 120 — 125

D = -5

15 9007 Th :

a _n   =  a ₁  + (n — 1)d

Подставьте 15 вместо n, 125 вместо ₁ и -5 вместо d.

a ₁₅   =  125 + (15 — 1)(-5)

a ₁₅   =  125 + (14)(-5)

A ₁₅ = 125 — 70

A ₁₅ = 55

С. арифметическая прогрессия 24, 23¼, 22½, 21¾, ……… равно 3 ?

Решение:

A ₁ = 24

D = A ₂ — A ₁ = 23¼ — 24 = -3/4

LET 3 — NTH LEMP данной арифметической прогрессии.

Тогда

a _n   =  3

a ₁  + (n — 1)d  =  3

Подставьте 24 вместо ₁

/4 вместо  и -.

24 + (n — 1)(-3/4)  =  3

96/4 — 3n/4 + 3/4  =  3

(96 — 3n + 3) / 4  =  3

(- 3n + 99) / 4 = 3

Умножьте каждую сторону на 4. 

-3n + 99  =  12

Вычтите 99 из каждой стороны.

-3n  =  -87

Разделите каждую сторону на -3.

n = 29

Следовательно, 3 – это 29 ^-й -й член данной арифметической прогрессии.

Задача 4:

Найдите 12-й член арифметической прогрессии;

√2, 3√2, 5√2, …………

Решение:

A ₁ = √2

A ₂ = 3√2

Общая разница:

d = а ₂  — а ₁

d = 3√2 — √2

d d = 2√2

12 ^TH Термин:

A _N = A ₁ + (N — 1) D

Заменитель 12 для N, √2 для ₁ и 2√2 для D.

а ₁₂   =  √2 + (12 — 1)(2√2)

а ₁₂   =  √2 + (11)(2√2)

+2 √02 _{06 = 2 √9 9 2}

a ₁₂   =  23√2

Итак, 12 ^-й -й член данной арифметической прогрессии равен 23√2.

Задача 5 :

Найдите 17 -й член арифметической прогрессии:

4, 9, 14, …………

Решение:

A ₁ = 4

A ₂ =

A ₂ =

A ₂ =

A ₂ =

A ₂ =

A ₂ =

A ₂ =

.

Общая разница:

D = A ₂ — A ₁

D = 9- 4

D = 5

17 ^TH Термин:

A _{N 9010 = A . 1}  + (n — 1)d

Замените 17 на n, 4 на ₁ и 5 на d.

A ₁₇ = 4+ (17 — 1) (5)

A ₁₇ = 4+ (16) (5)

A ₁₇ = 4+ 80

A ₁₇ = 84

Итак, 17 ^й член данной арифметической прогрессии равен 84.

Задача 6 :

Сколько членов в следующей арифметической прогрессии?

7, 11, 15,……………483

Решение:

A ₁ = 7

D = A ₂ — A ₁ = 11- 7 = 4

Формула, чтобы найти количество терминов в арифметической прогрессии:

n = [l- a ₁ ) / d] + 1

Замените 7 на ₁  и 4 на d.

n = [(483 — 7) / 4] + 1

n = [476 / 4] + 1

n = 119 + 1

n = 120

2. заданная арифметическая последовательность.

Задача 7 : 

Сколько членов в следующей арифметической прогрессии ?

-16, -12, -8, …………… 16

Решение:

A ₁ = -16

D = A ₂ -A ₁

D. = -12 — (-16)

d  =  -12 + 16

d  =  4

Формула для нахождения количества членов арифметической прогрессии:

n  =  [(l — a ₁ ) / d] + 1

Замените 16 на l, -16 на ₁  и 4 на d.

n = [{16 — (-16)} / 4] + 1

n = [{16 + 16} / 4] + 1

n = [32 / 4] + 1

n = 8 + 1 

n = 9

Следовательно, в данной арифметической прогрессии 9 членов.

Задача 8 :

10 и 18 члены арифметической последовательности равны 41 и 73 соответственно. Найдите 27-й член

Решение:

a 10   =  41 a 1  + (10 — 1)d  =  41 a 1  + 9d  =  41 ——(1)

a 18   =  73 a 1  + (18 — 1)d  =  73 a 1  + 17d  =  73 ——(2)

Решение (1) и (2), 

a ₁   =  5

d  =  4

27-й член:

A ₂₇ = A ₁ + (27 — 1) D

A ₂₇ = A ₁ + 26D

. для д.

a ₂₇   =  5 + 26(4)

a ₂₇   =  5 + 104

a ₂₇ = 109

С. члены следующих двух арифметических прогрессий равны.

1, 7, 13, 19,

и

100, 95, 90, ………… …

Решение:

Первая последовательность:

A ₁ = 1

D = A ₂ — A ₁

D = 7 — 1

D = 6

Формула, чтобы найти N ^TH термин:

A 6. n   =  a ₁  + (n — 1)d

Замените 1 на ₁ и 6 на d.

a _n   =  1 + (n — 1)(6)

a _n   =  1 + 6n — 6

a _n   =  6n — 9 

Вторая последовательность:0004

A ₁ = 100

D = A ₂ — A ₁

D = 95- 100

D = -5

Формула, чтобы найти n ^TH термин:

A _n   =  a ₁  + (n — 1)d

Подставьте 100 вместо ₁  и 5 вместо d.

A _N = 100 + (N — 1) ( — 5)

A _N = 100 — 5N + 5

A _N = 105 — 5N

Дано: _N = 105 — 5N

. 0004 n ^th члены двух арифметических прогрессий равны.

Затем

6н — 5  =  105 — 5н

Прибавьте 5н и 5 с каждой стороны.

11n = 110

Разделите каждую сторону на 11.

n = 10

Задача 10 :

Сколько двузначных чисел делятся на 13 ?

Решение:

Два числа:

10, 11, 12,………… 99

Найдите двузначные числа, которые делятся на 13. 

Первое двузначное число, которое делится на 13, равно

13

Второе двузначное число, которое делится на 13, равно

13 + 13  =  26

Третье двузначное число, которое делится на 3 6 13, равно

9

…………….

Последним двузначным числом, которое делится на 13, является 

91

Затем двузначным числом, которое делится на 13, является 

13, 26, 39,………………….91

В приведенной выше последовательности разница между любыми двумя последовательными членами равна 13. Итак, приведенная выше последовательность арифметическая прогрессия.

Формула для нахождения количества членов в арифметической прогрессии:

n  =  [(l — a ₁ ) / d] + 1

Подставьте 91 вместо l, 13 вместо ₁ и 13 вместо d.

n = [(91 — 13) / 13] + 1

n = [78 / 13] + 1

n = 6 + 1

n = 7

900 делится на 13.

Помимо материалов, указанных выше, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

nt.number theory — О первой последовательности без троек в арифметической прогрессии

В этом видео Numberphile (с 3:36 до 7:41) Нил Слоан объясняет удивительную последовательность:

Это лексикографически первая среди последовательностей натуральных чисел без троек в арифметической прогрессии (т. n$ ). Это связано с Джеком В. Гралом (2013): A229.037. $1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 5, 5, 8, 5 , 5, 9, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 4, \dots$$ Его график удивителен:

Следующий цветной график из 16 миллионов терминов принадлежит пользователю Reddit garnet420 (горизонтальные деления 1000000, вертикальные деления 25000).

Эта последовательность раскрывает множество возможных вопросов (таких как существование сходящегося паттерна, фрактальной структуры), следующий принадлежит Чарльзу Р. Грейтхаусу (и заслуживает того, чтобы быть размещенным здесь): 9{th}$ срок равен $1$ задается A236246.
$$1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, 31, 32, 37, 38, 40, 41, 82, 83, 85, 86, 92, 93, 96, 105, \точки$$

Кроме того, мы видим, что последовательность $1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 4$ встречается несколько раз, так что мы могли бы также спросить, встречается ли она бесконечно много раз.

Наконец, мы можем создать варианты первой последовательности, заменив тройку на $r$-кортеж для фиксированного $r \ge 3$, и задать те же вопросы.

No related posts.