\(\ A_{11}=6 \), \(\ A_{12}=-16 \), \(\ A_{13}=-1 \), \(\ A_{21}=1 \), \(\ A_{22}=6 \)
\(\ A_{23}=2 \), \(\ A_{31}=-5 \), \(\ A_{32}=9 \), \(\ A_{33}=3 \)
Физика
166
Реклама и PR
31
Педагогика
80
Психология
72
Социология
7
Астрономия
9
Биология
30
Культурология
86
Экология
8
Право и юриспруденция
36
Политология
13
Экономика
49
Финансы
9
История
16
Философия
8
Информатика
20
Право
35
Информационные технологии
6
Экономическая теория
7
Менеджент
719
Математика
338
Химия
20
Микро- и макроэкономика
1
Медицина
5
Государственное и муниципальное управление
2
География
542
Информационная безопасность
2
Аудит
11
Безопасность жизнедеятельности3
Архитектура и строительство
1
Банковское дело
1
Рынок ценных бумаг
6
Менеджмент организации
2
Маркетинг
238
Кредит
3
Инвестиции
2
Журналистика
1
Конфликтология
15
Этика
9
Формулы дифференцирования Умножение матрицы на число Сложение матриц Ранг матрицы Обратная матрица и методы ее вычисления
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Имя
Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругоеПодпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях
Алгебра и теория чисел
Алгебра и теория чисел
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава первая. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ § 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Формулы логики высказываний. Законы логики. Упражнения § 2. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ Схемы доказательств. § 3. ПРЕДИКАТЫ Предикаты. Операции над предикатами. Упражнения § 4. КВАНТОРЫ Запись высказываний на языке логики предикатов. Упражнения § 5. ПРЕДИКАТНЫЕ ФОРМУЛЫ.  Предикатные формулы. Законы логики предикатов. Упражнения Глава вторая. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ § 1. МНОЖЕСТВА Подмножества. Пустое множество. Операции над множествами. Основные свойства операций над множествами. Универсальное множество. Дополнение множества. Диаграммы Эйлера — Венна. Упражнения § 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Упражнения § 3. ФУНКЦИИ Композиция функций. Инъективные функции. Обратимые функции. Ограничение функции. Упражнения § 4. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Отношение эквивалентности. Фактор-множество. Отношение равнообразности отображения. Упражнения § 5. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА Упорядоченное множество. Упражнения Глава третья. АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ § 1. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ Виды бинарных операций. Нейтральные элементы. Симметричные элементы. Подмножества, замкнутые относительно операций. Аддитивная и мультипликативная формы записи.  Конгруэнция. Упражнения. § 2. АЛГЕБРЫ Гомоморфизмы алгебр. Подалгебры. Фактор-алгебра. Упражнения § 3. ГРУППЫ Примеры групп. Простейшие свойства группы. Гомоморфизмы групп. Подгруппы. Упражнения § 4. КОЛЬЦА Простейшие свойства кольца. Гомоморфизмы колец. Подкольца. Упражнения § 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Изоморфизмы алгебраических систем. Подсистемы. Упражнения Глава четвертая. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ § 1. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Слова в однобуквенном алфавите. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Упражнения § 2. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Свойства умножения. § 3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Полная упорядоченность множества натуральных чисел. § 4. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел. Кольцо целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел.  Упражнения § 5. ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Поле рациональных чисел. Упражнения § 6. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Система действительных чисел. Упражнения § 7. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Поле комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел. Упражнения § 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Корни n-й степени из единицы. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа. Упражнения Глава пятая. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Линейная зависимость и независимость системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов. Упражнения § 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.  Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы. Теоремы о следствиях системы линейных уравнений. Упражнения. § 3. СТУПЕНЧАТЫЕ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Приведенные ступенчатые матрицы. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Упражнения Глава шестая. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА Транспонирование произведения матриц. § 2. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы. Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме. Упражнения § 3. ПОДСТАНОВКИ Четные и нечетные подстановки. Знак подстановки. Упражнения § 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Основные свойства определителей. Упражнения § 5. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ Разложение определителя по строке или столбцу.  Определитель произведения матриц. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя. § 6. ТЕОРЕМЫ О МАТРИЦАХ. ПРАВИЛО КРАМЕРА Правило Крамера. Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения. Упражнения Глава седьмая. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Упражнения § 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА Линейная оболочка множества векторов. Сумма подпространств. Линейные многообразия. Упражнения § 3. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА Дополнение независимой системы векторов до базиса. Размерность векторного пространства. Упражнения. § 4. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ Изоморфизм векторных пространств. Упражнения § 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации.  Упражнения. § 6. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Норма вектора. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизмы евклидовых пространств. Упражнения. Глава восьмая. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Ядро и образ линейного оператора. Упражнения § 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ Связь между координатными столбцами векторов х и ф(x). Ранг линейного оператора. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. Упражнения § 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ Алгебра линейных операторов векторного пространства Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры. Упражнения § 4. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ Полная линейная группа. Упражнения § 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Нахождение собственных векторов линейного оператора.  Характеристическое уравнение. Линейные операторы с простым спектром. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице. Упражнения Глава девятая. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ § 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы. Следствия однородной системы линейных неравенств. Теорема Минковского. Критерий несовместности системы линейных неравенств. Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств. Упражнения § 2. СТАНДАРТНЫЕ И КАНОНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ Допустимые и оптимальные векторы. Теорема двойственности для стандартных задач. Теорема двойственности для канонических задач. Теорема равновесия. Упражнения § 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД Упражнения Глава десятая. ГРУППЫ § 1. ПОЛУГРУППЫ И МОНОИДЫ Моноиды. Обобщенный закон ассоциативности. Упражнения § 2. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ Смежные классы.  Теорема Лагранжа. Упражнения § 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Циклические группы. Подгруппы циклической группы. Упражнения § 4. НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОР-ГРУППЫ Фактор-группа. Ядро гомоморфизма. Упражнения Глава одиннадцатая. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ Простые числа. Разложение целых чисел на простые множители. Делители целого числа. Число и сумма натуральных делителей числа. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Упражнения § 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное. Упражнения § 3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Конечные цепные дроби. Подходящие дроби. Упражнения. § 4. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Арифметические операции над целыми систематическими числами Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения § 5.  РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛФункции T(х) и Л(х). Неравенства для функции Т(х). Неравенства Чебышева. Простые числа в арифметических прогрессиях. Упражнения Глава двенадцатая. ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ § 1. СРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА Упражнения § 2. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ Упражнения § 3. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Упражнения § 4. СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. СРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому модулю. Упражнения § 5. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ Первообразные корни по простому модулю. Индексы по простому модулю. Двучленные сравнения. Упражнения § 6. ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРИОДА СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ДРОБИ Упражнения Глава тринадцатая. КОЛЬЦА § 1.  ИДЕАЛЫ КОЛЬЦА. ФАКТОР-КОЛЬЦОСравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор-кольцо. Теорема об эпиморфизмах колец. Характеристика кольца. Наименьшее подкольцо кольца. Упражнения § 2. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ Изоморфизм полей частных. Упражнения § 3. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ Простые и составные элементы области целостности. Кольца главных идеалов. Факториальность кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Упражнения § 4. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Наименьшее общее кратное. Упражнения Глава четырнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца. Степень полинома. Деление полинома на двучлен и корни полинома. Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности. Алгебраическое и функциональное равенства полиномов. Упражнения § 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ Алгоритм Евклида.  Неприводимые над данным полем полиномы. Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей. Упражнения § 3. ФАКТОРИАЛЬНОСТЬ КОЛЬЦА ПОЛИНОМОВ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ Факториальность кольца полиномов. § 4. ФОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОЛИНОМА. НЕПРИВОДИМЫЕ КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ Разложение полинома по степеням разности х – с. Неприводимые кратные множители полинома. Кратные корни полинома. Упражнения Глава пятнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Кольцо полиномов от нескольких переменных. Изоморфизм колец полиномов. Нормальное представление полинома и степень полинома. Факториалыюсть кольца полиномов. § 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ Лемма о высшем члене произведения двух полиномов. Симметрические полиномы. Леммы о симметрических полиномах. Основная теорема о симметрических полиномах. Упражнения 3. РЕЗУЛЬТАНТ ПОЛИНОМОВ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Исключение переменных.  Глава шестнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Непрерывность модуля полинома. Наименьшее значение модуля полинома. Лемма Даламбера. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Формулы Виета. Упражнения § 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами. Уравнения четвертой степени. § 4. ОТДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА Теорема Штурма. Глава семнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА § 1. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ ПОЛИНОМА. КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ § 2. ПРОСТОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ § 3. СОСТАВНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ § 4. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ ЛИТЕРАТУРА |
Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.
линейная алгебра — Найдите основу для ортогонального дополнения матрицы
Задавать вопрос
спросил
Изменено 7 лет, 2 месяца назад
Просмотрено 10 тысяч раз
$\begingroup$ 94$ — векторы, компоненты которых удовлетворяют $x_1 + x_2 — x_3 + x_4 = 0$
Найдите размерность S, а затем найдите основу для ортогонального дополнения S
Итак, чтобы найти измерение, я понимаю, что ищу нулевое значение, поскольку уравнение равно 0, поэтому установка $x_4=r$ $x_3=t$ и $x_2=s$ и наличие $x_1=-x_2+x_3- x_4$, так что вы получите
$\begin{bmatrix} -2+т-р \\ с\\ т\\ р \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} -1\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+r\begin{bmatrix} -1\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$, что дает dim(S)=3
Однако теперь я застрял на том, как найти ортогональное дополнение?
- линейная алгебра
- матрицы
- матричные уравнения
- ортогональность
- ранг матрицы
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Подпространство $S$ является нулевым пространством матрицы
$$
A=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}
$$
таким образом, ортогональное дополнение является пространством-столбцом $A^T$.
\perp$ порождается
$$
\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}
$$ 9Т$.
$\endgroup$
..
. }-матрицы тесно связаны с теорией графов и комбинаторной математикой [1, 2, 3, 4]. Они также имеют широкий спектр практических приложений в статистике и вероятностях [5, 6, 7, 8]. Обозначим через М м , n {0, 1} множество m × n {0, 1}-матриц, и M n , n 9 {07, 18 n 9 М н {0, 1}. Пусть A ∈ M m , n {0, 1}. Тогда матрица A c = J m , n − A называется дополнением к A , где0067 J M , N — M × N Матрица, причем каждая вход — 1. Ясно, что A и A C — это мутано комплементарные.
А с ) с = А .
Напомним, что матрица смежности орграфа D представляет собой квадратную матрицу A = ( a ij ), где a ij — количество дуг ( i , j ) в D . Орграф называется строгим , если в нем нет ни петель, ни параллельных дуг. Таким образом, матрица смежности строгого орграфа представляет собой {0, 1}-матрицу, в которой каждая диагональная запись равна 0. Дополнение строгого орграфа D , обозначаемое вершины такие, что ( i , j ) является дугой в D тогда и только тогда, когда ( i , j ) не является дугой в D . Пусть A будет n × n матрицей смежности строгого орграфа D . Then the adjacency matrix of D is J n − I n − A , where J n = J n , n and I n является единичной матрицей порядка n .
Обозначим через Ω n {0, 1} множество n × n {0, 1}-матриц, каждая диагональная запись которых равна 0. Таким образом, для A ∈ Ω n { 1}, мы определяем другой тип матрицы дополнения A как A = J n − I n − A . Ясно также, что А и А взаимно дополняют друг друга, т. е. ( А ) = А .
В этой статье мы в основном исследуем ранговые отношения между {0, 1}-матрицей и ее дополнением. Обозначим через r ( A ) ранг матрицы A . In Section 2, we determine the possible values of r ( A ) ± r ( A c ) for A ∈ M m , n {0, 1} в общем случае и в симметричном случае. В разделе 3 мы определяем возможные значения r ( A ) ± r ( A ) для A ∈ Ом n {0, 1} в общем случае и в симметричном случае.
Мы используем O m , n для обозначения нулевой матрицы m × n . O n , n будут сокращены как O n . Обозначим через E ij матрицу с ее записью в i -я строка и j -й столбец равен 1, а все остальные элементы равны 0. ( A ) ± r ( A c ) в общем случае.
3 Ранговые отношения между
A и A В этом разделе мы рассматриваем только A ∈ Ом n {0, 1}, что соответствует матрице смежности строгого орграфа. Recall that for an n × n matrix A = ( a ij ), the main diagonal of A is the list of entries a 11 , a 22 , …, a nn , и побочная диагональ из A список записей a 1 n , 0068 2, n − 1 , …, a n 1 .
Пусть C 1 будет квадратной матрицей, в которой все элементы над главной диагональю равны 1, а все остальные элементы — нули. Размер C 1 будет понятен из контекста.
Сначала определим возможные значения r ( A ) ± r ( A ) в общем случае.
Доказательство
(i) и (ii) легко проверить.
(iii) Сначала докажем необходимость. Ясно, что − n ≤ r ( A ) − r ( A ) ≤ n . Если R ( A ) — R ( A ) = — ( N — 1), то либо R ( A ) = 0, R ( A 9008) = 0, R ( A 9008) = 0, R ( A ) = 0, R ( A ) = 0, R ( A n − 1, или r ( A ) = 1, r ( A ) = n . В первом случае A = O n и, следовательно, A = J n − I n неособенно, противоречие.
В последнем случае заметим, что любая ненулевая симметричная A ∈ Ω n {0, 1} всегда имеет подматрицу 2 × 2
0110. Тогда r ( A ) ≥ 2, противоречие. Таким образом, r ( A ) — r ( A ) ≠ — ( n — 1). Аналогично, r ( A ) — r ( A ) ≠ n − 1.
Далее докажем достаточность. Мы будем использовать симметричные матрицы G 1 ∈ Ω p {0, 1} и G , H ∈ Ω n 9006} в леммах 4.3.3 и 3.3 9006}.
Обратите внимание, что R ( G ) = R ( G 1 ) = P — 1 IF P и R ( G 9008) = 9007) = 9007) = 9007) = 9007) = 9007).0068 ( G 1 ) = p , если p ≥ 2 четно. Затем по лемме 3.3, R ( G ) — R ( G ) = N +1 — P для ODD P и R ( G r и R ( G 9008) – r r r и R ( G r и R ( G r и R ( G r и R ( G и R ( G и R .
( G ) = N — 1 — P даже для P ≥ 2. Когда N ≥ 5 IS ODD, для ODD P с 1 ≤ P ≤ N с 1 ≤ P ≤ N . , р ( G ) − r ( G ) может быть 3, 5, 7, …, n − 2, n ; для четных p с 2 ≤ p ≤ n − 1, r ( G ) − r ( G ) может быть 5 n − 90, 8, 06, … , n − 3. Таким образом, k может быть 0, ±2, ± 3, …, ± ( n − 2), ± n для нечетных n ≥ 5. При n ≥ 4 четно, для нечетных p с 1 ≤ p ≤ n − 1, r ( G ) − r ( G ) может быть 2, 4, 6, …, n − 2, n 9; для четных p с 2 ≤ p ≤ n − 2, r ( G ) − r ( G ) может быть 5 n − 90, 8, 06, … , n − 3.
Таким образом, k может быть ±1, ±2, …, ±( n − 2), ± n для четных n ≥ 4.
По лемме 3.4 (i) , для нечетных н ≥ 5, r(H+E1,n−12+En−12,1)=n. Поскольку r(H+E1,n−12+En−12,1¯)=r(H¯−E1,n−12−En−12,1) = n − 1, когда n нечетно, r(H+E1,n−12+En−12,1)−r(H¯−E1,n−12−En−12,1)=1. Таким образом, k может быть ±1 для нечетных n ≥ 5. По лемме 3.4 (ii) для четных n ≥ 4, r(H+E1,n2+En2,1)=n. Поскольку r(H+E1,n2+En2,1¯)=r(H¯−E1,n2−En2,1)=n, когда n четно, k может быть 0 для четных n ≥ 4 ,
Таким образом, для k = 0, ± 1, ± 2, …, ±( N — 2), ± N с N ≥ 4, существует симметричный A ∈ ω N {0, 1}, что R ( A {0, 1}, что R ( A ) – ) — R {0, 1} r ( A ) {0, 1}. ( А ) = к . Это завершает доказательство.