Элементарная алгебра
Элементарная алгебра
ОглавлениеГлава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ§ 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8.  Частные приемы решения уравнений высших степеней§ 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII.  СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ§ 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.  § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1.  Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений§ 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА |
УРАВНЕНИЯ | Энциклопедия Кругосвет
Содержание статьи- ТИПЫ УРАВНЕНИЙ
- Алгебраические уравнения.
- Трансцендентные уравнения.
- Дифференциальные уравнения.
- Интегральные уравнения.
- Диофантовы уравнения.
- РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- Линейные уравнения.
- Квадратные уравнения.
- Другие алгебраические уравнения.
- Системы линейных уравнений.
УРАВНЕНИЯ. Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений.
Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.
Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения.
Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.
Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.
ТИПЫ УРАВНЕНИЙ
Алгебраические уравнения.
Уравнения вида fn = 0, где fn – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида
fn = a0 xiyj … vk + a1 xlym … vn + ј + asxpyq .
.. vr,
где x, y,…, v – переменные, а i, j,…, r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:
f(x) = a0xn + a1xn – 1 +… + an – 1x + an
или, в частном случае, 3x4 – x3 + 2x2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) = 0. Если a0 № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.
Трансцендентные уравнения.
Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:
где lg – логарифм по основанию 10.
Дифференциальные уравнения.
Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы. См. также ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Интегральные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.
Диофантовы уравнения.
Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах.
Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.
Линейные уравнения.
Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.
Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Квадратные уравнения.
Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Другие алгебраические уравнения.
Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней.
Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.
Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:
Таким образом, корни равны x = –1, , т.е. всего 3 корня.
Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.
Системы линейных уравнений.
Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде
Решение такой системы находится с помощью определителей
Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система
(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.
Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:
Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:
где Aji – алгебраическое дополнение элемента aijв матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r – ранг матрицы (aij), s – ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi.
Тогда: (1) если r = s, то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r , то уравнения несовместны и решений не существует.
Решение алгебраических уравнений поля | Блог COMSOL
Многие наши пользователи хорошо осведомлены о том, что COMSOL Multiphysics можно использовать для решения уравнений в частных производных (УЧП), а также обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и задач с начальными значениями. Может быть менее очевидно, что вы также можете решать алгебраические и даже трансцендентные уравнения, или, другими словами, находить корни нелинейных уравнений с одной или несколькими переменными без производных от них. Есть ли реальные приложения для этого? Абсолютно!
Закон неидеального газа
Рассмотрим случай, когда вы запускаете CFD-моделирование, в результате которого получается поле скорости u=(u,v,w) и поле давления p. Теперь предположим, что вы одновременно хотите найти конвекцию и теплопроводность температурного поля T в газе:
-\nabla \cdot(k\nabla T)+\rho C \textbf{u} \cdot\nabla T=0
Кроме того, предположим, что плотность \rho определяется законом идеального газа:
\rho= \frac{pM}{RT}
Чтобы решить это, вы можете просто подставьте выражение для \rho как функцию T в уравнение теплопроводности.
Это приведет к:
-\nabla \cdot(k\nabla T)+\frac{pM}{RT} C \textbf{u}\cdot\nabla T=0
где известны все величины кроме T, которую вы сейчас решаете для COMSOL.
Это просто; закон идеального газа — это закон состояния, который позволяет нам получить доступ к \rho(T) в закрытой алгебраической форме, подходящей для прямой замены.
Однако давайте теперь рассмотрим случай, когда закон идеального газа не годится. Это может быть, например, если у вас есть газ с высокой молекулярной массой при высоком давлении. Схематически такой государственный закон мог бы выглядеть так: 92)(1-C\rho)-D\rho=0
Если вас интересуют физические параметры такого закона штата, ознакомьтесь с этим ресурсом.
Это уравнение третьей степени относительно \rho, и мы хотели бы решить относительно \rho. Сделать это в принципе можно, но это довольно громоздко и нельзя забывать, что уравнение вообще будет иметь три корня. Вы можете прочитать о том, как решать такие уравнения вручную, в этом ресурсе по кубическим функциям.
В этой задаче есть кое-что, чего нельзя сразу осознать: поскольку p — это (предположительно известное) поле давления в пространстве, у нас фактически есть одно полиномиальное уравнение третьей степени, которое нужно решить в каждой точке пространства в нашей области CFD. Мы могли бы назвать это алгебраическое уравнение поля или распределенное алгебраическое уравнение . Решение всех этих корней вручную — не очень выполнимая задача. Вместо этого нам пришлось бы полагаться на решатели в COMSOL. Как нам поступить?
Мы можем концептуально рассматривать это алгебраическое уравнение как вырожденную форму дифференциального уравнения в частных производных без производных ни по пространству, ни по времени. В среде COMSOL есть несколько способов сформулировать такое уравнение. Например, с помощью Коэффициент формы интерфейса PDE или интерфейса доменных ODE и DAE . Используя интерфейс Coefficient Form PDE , мы просто обнулим все коэффициенты производных по пространству и времени и решим с помощью стационарного исследования.
Использование интерфейса ODE домена и DAE , возможно, немного проще, поскольку для начала нет терминов, производных от пространства.
Использование интерфейса доменных ОДУ и ДАУ
Давайте теперь рассмотрим быстрый пример, основанный на вышеупомянутом законе неидеального газа. Мы хотим начать с выбора Домен ОДУ и ДАУ интерфейс в мастере моделей:
Чтобы решить алгебраическое уравнение, мы должны использовать Исследование, которое является Стационарным . Это делается на следующем шаге в Мастере моделей и будет использовать демпфированный решатель Ньютона по умолчанию, который является достаточно общим для большинства задач поиска корней:
После завершения Мастера моделей дерево модели будет выглядеть следующим образом:
По умолчанию окно настроек уравнения для Распределенного ОДУ выглядит так:
Неизвестная переменная поля, представляющая плотность, здесь называется u (но мы могли бы легко изменить это на rho, если бы захотели).
Теперь мы можем установить коэффициент d_a равным нулю. Однако, поскольку мы уже выбрали стационарное исследование, производные по времени члены этого уравнения не будут учитываться решателем, поэтому мы также можем оставить его как есть. В этом случае имеет значение только то, что мы поместили в Исходный термин. Затем мы вводим уравнение для закона неидеального газа в исходный член, используя имя переменной u для плотности:
Осталось определить коэффициенты A, B, C и D, а также заданное поле давления p. Теперь сделаем несколько упрощающих предположений.
Предположим, что наша область CFD представляет собой простой единичный квадрат в 2D. Кроме того, здесь мы предполагаем, что поле давления изменяется в пространстве как p(x,y)=xy, и мы выберем работу с безразмерными единицами измерения. В реальном случае это поле давления, конечно, будет взято из результатов моделирования CFD, решенного вместе с этим уравнением. Мы также присвоим этим коэффициентам произвольные числа: A=1, B=2, C=3 и D=4.
Все это можно сделать, определив параметры в разделе «Глобальные определения» следующим образом:
После этого мы можем решить это уравнение и получить результирующее поле плотности:
Этот поверхностный график показывает решение полиномиального уравнения третьей степени для каждого значения p во всем единичном прямоугольнике.
Обработка нескольких корней
Для каждого значения p в каждой точке приведенный выше график показывает только одно из трех возможных решений, соответствующих трем корням уравнения. Могут быть дополнительные критерии непрерывности, которые нам нужно будет наложить на решение, исходя из физических соображений. Например, если некоторые из корней являются комплексными, мы можем игнорировать их. У нас может быть случай, когда решение резко меняется от одного физически реализуемого корня к другому в середине области. Такое событие, возможно, соответствовало бы фазовому переходу, такому как переход от жидкости к газу.
Откуда мы знаем, какое из этих решений мы получим? В общем, на этот вопрос сложно ответить.
Если мы запускаем нестационарную симуляцию вместе с алгебраическим законом состояния, то история времени может определить, в какую корневую ветвь соскользнет закон состояния — в каждой точке пространства. При использовании стационарного решателя найденный корень может быть определен настройками начального значения, которые затем используются решателем Ньютона в качестве отправной точки для его итераций, а затем в области сходимости решателя относительно этой начальной точки. . Кроме того, выбор схемы дискретизации, например порядок элементов и тип конечного элемента, может повлиять на выбор корней решателем. 92-p=0
Если мы решим это вручную, мы получим:
u=2 \pm \sqrt{p}
, так что если мы решим это на нашем единичном квадрате, мы получим единственное решение u=2 в (0,0) и u=1 или u=3 в (1,1). Если теперь мы введем это более простое уравнение в COMSOL, используя те же методы, которые описаны выше, мы получим следующие результаты для двух разных начальных значений:
Решение с одинаковым начальным значением 1.
9.
Решение с равномерным начальным значением 2.1.
Заметим, что в общем случае можно использовать неоднородное распределение начальных значений и получить разные корни в разных частях расчетной области:
Решение с неравномерным распределением начальных значений: u =1,9*(у=0,5) . Здесь сетка выровнена с
шагом, определяемым этим начальным распределением значений, и межэлементное сглаживание отключено.
Заключение
Для некоторых типов моделирования может быть недостаточно решения только основных дифференциальных уравнений в частных производных. В COMSOL Multiphysics есть возможность решать алгебраические уравнения наряду с обычными физическими интерфейсами, такими как интерфейсы для потока жидкости, которые могут иметь решающее значение для более сложных физических симуляций. Возможности не ограничиваются алгебраическими уравнениями, но могут также включать так называемые трансцендентные уравнения, включая такие функции, как sin() или cos(), или даже более общие уравнения, включающие интегралы.
Во всех приведенных выше примерах используются основные функции COMSOL Multiphysics.
Дополнительная литература
- Закон штата Ван дер Уоллс
- Решение кубических уравнений вручную
- О решении нелинейных статических задач конечных элементов
- Заархивированный веб-семинар по моделированию на основе уравнений в COMSOL Multiphysics
Решение алгебраических уравнений
Обзор
[Вернитесь к началу страницы]
Когда уравнение имеет одну переменную, решением уравнения является число, которое удовлетворяет уравнению (то есть делает уравнение верным), когда мы подставляем это число вместо имени переменной везде, где оно появляется в уравнении. Рассмотрим следующее уравнение:
6 х + 13 = 43
Это уравнение относительно легко решить, поскольку мы можем просто перестроить уравнение, чтобы показать, что 
0031 пять . Подставив пять вместо x , мы можем переписать уравнение, используя простые арифметические термины, следующим образом:
6 х 5 + 13 = 30 + 13 = 43
Уравнение типа «6 x + 13 = 43» называется линейным уравнением с одной переменной . Такое уравнение обычно имеет только одно решение. Это предлагает один подход, который можно использовать для решения уравнения, который заключается в подстановке значений в уравнение до тех пор, пока оно не станет истинным. Этот подход, который можно назвать грубая сила или метод проб и ошибок
практичный подход, только если значения, которые могут удовлетворять уравнению, являются членами конечного набора чисел. Даже в этом случае такой подход практичен только в том случае, если число возможных ответов относительно невелико. Если известно, что ответ представляет собой целое число, такой подход вполне может сработать при достаточном количестве времени.
Если ответ может быть рациональным числом или числом с рациональным компонентом, потенциально огромное количество возможных решений, вероятно, сделает метод проб и ошибок непрактичным.Предполагая, что метод проб и ошибок возможен для решения конкретной проблемы, иногда даже неверная догадка может быть полезной. Например, может стать ясно, что искомое число больше или меньше значения неудачного кандидата. В этом случае мы можем уменьшить количество возможных ответов до гораздо меньшего диапазона значений. Хотя подход к решению уравнений методом проб и ошибок может показаться не особенно научным, он может быть единственным возможным подходом, когда нет установленного метода решения определенного типа задач. Одним из примеров его использования являются попытки взломать коды шифрования с помощью компьютеров.
Для кодирования сообщения используется стандартный алгоритм шифрования для шифрования сообщения с использованием ключа .
Алгоритм, по сути, представляет собой серию математических операций, которые выполняются над незашифрованным сообщением. Процесс преобразует сообщение таким образом, что оно становится непонятным. Ключ предоставляет случайную переменную, используемую алгоритмом. Сообщение может быть расшифровано получателем с использованием того же алгоритма, но только в том случае, если у него есть копия ключа. Сам алгоритм шифрования часто находится в открытом доступе, но ключ представляет собой очень большое, случайно сгенерированное число, известное только отправителю и получателю сообщения. Единственный способ прочитать сообщение без ключа — попробовать все возможные перестановки цифр с помощью алгоритма, чтобы увидеть, какая из них дает связное сообщение. Это может занять несколько суперкомпьютеров на очень долгое время!
К счастью для нас, обычно существуют более надежные методы решения тех алгебраических задач, с которыми мы, вероятно, столкнемся. К сожалению, универсального решения не существует, поэтому необходимо определить, с какой проблемой мы имеем дело, а затем применить соответствующую процедуру для ее решения.
Подход, используемый для решения конкретного уравнения, будет зависеть от типа уравнения, вида выражений, используемых в уравнении, и характера возможных значений, которые могут принимать переменные. Для некоторых классов уравнений существуют хорошо зарекомендовавшие себя методы их решения, которые могут быть реализованы в виде вычислительных алгоритмов. Во многих случаях эти методы одинаково хорошо работают при использовании карандаша и бумаги.
Упрощение уравнений
[Вернитесь к началу страницы]
Упрощение уравнений по определению облегчает их решение. Конечная цель упрощения уравнения в большинстве случаев состоит в том, чтобы получить неизвестное значение само по себе на одной стороне уравнения. Другая сторона уравнения в этот момент должна состоять либо из одного известного значения, и в этом случае мы уже решили уравнение, либо из ряда известных значений, связанных выражением, которое может быть оценено, чтобы дать нам результат.
Есть несколько способов упростить уравнение:
- Вычислить выражения в круглых скобках.
- Объедините похожие термины.
- Добавьте некоторое значение к обеим частям уравнения.
- Вычтите некоторое значение из обеих частей уравнения.
- Умножьте обе части уравнения (на любое число, кроме нуля).
- Разделите обе части уравнения (на любое число, кроме нуля).
Вычислить выражения в скобках
[Вернитесь к началу страницы]
Если уравнение включает выражение, содержащее термины в квадратных скобках, мы должны попытаться убрать скобки. Рассмотрим следующий пример:
3( x + 4) = 24 ⇒ 3 x + 3 x 4 = 24 ⇒ 3 x + 12 = 24
Умножив выражение 3 ( x + 4), теперь мы можем вычесть двенадцать из обеих частей уравнения:
3 x + 12 — 12 = 24 — 12 ⇒ 3 x = 12
Теперь разделите обе части уравнения на три, чтобы получить:
| 3 x | = | 12 | ⇒ x = 4 |
| 3 | 3 |
На самом деле мы использовали три упомянутых выше метода для решения этого уравнения, что служит иллюстрацией того, что большинство алгебраических задач (даже относительно простых) решаются в несколько этапов, каждый из которых сводит задачу к более простым терминам.
Обратите внимание, что в этом конкретном примере мы могли бы также убрать скобки, разделив каждую часть уравнения на три, а затем вычтя четыре из обеих частей:
| 3 ( x + 4) | = | 24 | ⇒ x + 4 = 8 | ||||
| 3 | |||||||
| 3 | 929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292792929292929279292929292929292929н x + 4 — 4 = 8 — 4 ⇒ x = 4
Оба других члена являются целыми кратными переменной х . Мы можем комбинировать числовые термины следующим образом:
Значения неизвестных величин (то есть переменных), которые удовлетворяют уравнению (то есть делают его истинным), известны как набор решений . Для данной переменной может быть только одно такое значение или их может быть много. Что бы мы ни делали с уравнением, чтобы упростить его, мы должны убедиться, что набор решений остается таким же для новой (эквивалентной) версии уравнения, как и для исходной версии. По определению обе части уравнения равны. Чтобы сохранить это равенство, мы должны принять руководящий принцип: все, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны делать и с другой. Рассмотрим следующий (очень тривиальный) пример:
Предположим, у нас есть:
Мы делаем это, избавляясь от числовой части выражения на той стороне, сохраняя при этом эквивалентность обеих сторон. То, что мы сделали, функционально эквивалентно переместить ненужную часть выражения из левой части уравнения в правую и затем изменить ее знак . Хотя идея перемещения членов из одной части уравнения в другую, возможно, является удобным способом визуализации того, что мы сделали, мы не должны упускать из виду тот факт, что на самом деле мы применили одинаковую математическую операцию к обеим сторонам уравнения. стороны.
Рассмотрим следующий (очень тривиальный) пример:| y | = 14 |
| 3 |
Если мы теперь умножим обе части на три, мы получим:
| 3 × | Y | = 3 × 14 ⇒ Y = 42 |
| 3 |
99
Иногда вместо того, чтобы умножать обе части на некоторое значение, нам может понадобиться разделить их. Предположим, у нас есть:3 х = 63
Если мы хотим получить x само по себе, нам нужно разделить левую часть уравнения на три, а это значит, что (для сохранения равенства между двумя частями уравнения) мы также должны разделить правую — рука рядом с тремя, следующим образом:
| 3 x | = | 63 | ⇒ x = 21 | 3 | 3 |
Опять же, если вы находите концепцию деления, связанную с чем-то, называемым принципом умножения , немного странным, вы можете вместо этого думать об этом как об умножении обеих частей на одну треть (т. :
1 / 3 (3 x ) = 1 / 3 (63) ⇒ x = 21
Собираем все вместе
[Вернитесь к началу страницы]
Мы столкнемся со многими проблемами в алгебре, для которых нам нужно будет применить некоторые или все принципы, изложенные выше, чтобы решить уравнение.
Они будут одинаково хорошо работать в ситуациях, когда в обеих частях уравнения есть неизвестные значения. Рассмотрим следующее уравнение:
6 ( х + 4) = 2 ( х + 15) + 12 + х
Мы можем начать с того, что избавимся от скобок:
6 х + 24 = 2 х + 30 + 12 + х
Теперь объедините одинаковые члены в правой части уравнения:
6 х + 24 = 3 х + 42
Вычесть 3 x с обеих сторон:
6x — 3 x + 24 = 3 x — 3 x + 42 ⇒ 3 x + 24 = 42
Вычтите двадцать четыре с обеих сторон:
3 x + 24 — 24 = 42 — 24 ⇒ 3 x = 18
Наконец, разделите обе части на три:
| 3 x | = | 18 | ⇒ x = 6 |
| 3 | 3 |
42
Описанные выше методы решения уравнений могут быть применены к широкому кругу общих алгебраических задач, включая линейные уравнения с одним типом переменных.