Бесконечно малые эквивалентные: определения, формулы и примеры решения

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 13Следующая ⇒

применение для вычисления пределов

Определение.

Бесконечно малые функции называются эквивалентными бесконечно малыми при , если

Пишут так: при .

Теорема.

Пусть в окрестности точки , за исключением, быть может, ее самой, задана функция и бесконечно малые функции . Тогда

Это равенство понимается в смысле: если существует предел его правой части, то существует равный ему предел левой части (и обратно). Отсюда же следует, что если один из пределов не существует, то не существует и другой.

Доказательство.

Пусть тогда

Аналогично доказывается обратное утверждение.

Пары эквивалентных бесконечно малых, которые используют при вычислении пределов:

9) при

Монотонные функции. Теорема о существовании

И непрерывности обратной функции

Определение.

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на отрезке , если для любых

выполняется неравенство .

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Если неравенства строгие, то функция называется возрастающей (убывающей) на отрезке. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Теорема.

Рассмотрим непрерывную строго возрастающую функцию на отрезке , причем Тогда существует обратная к f функция , однозначная, строго возрастающая и непрерывная на .

Доказательство существования.

Поскольку каждому значению соответствует только одно значение , то любому значению y из можно поставить в соответствие именно то значение x, для которого обозначим это соответствие так: .

Доказательство возрастания.

Из условия возрастания следует: если Верно и обратное утверждение: если

Но и получаем: если т.е. обратная функция – возрастающая.

Доказательство непрерывности обратной функции.

Докажем непрерывность обратной функции в произвольной точке . Обозначим и выберем произвольное , такое, что . Пусть

Выберем Тогда, очевидно,

а . (*)

Пусть теперь , т.е. .

С учетом (*) можно записать, что .

В силу возрастания функции следует, что

Но , поэтому или А это и означает, что функция непрерывна в точке

Разрывы первого и второго рода

Определение.

Рассмотрим график . Кружок в точке А означает, что эта точка входит в область значений , т.е. . Стрелка в точке В означает, что точка В в область значений функции не входит. Поскольку , функция имеет разрыв в точке с.

Другие возможные случаи разрывов.

Если функция f имеет конечные пределы и , но , то функция имеет в точке разрыв I рода.

Если , то в точке устранимая особенность.

Если доопределить так, что , то получим непрерывную функцию.

Пример разрывной функции (функция Кронекера):

Точка является точкой разрыва I рода.

Если у функции не существует ни левого, ни правого предела, либо одного из них, либо эти пределы бесконечны в точке С, то функция имеет разрыв II рода.

Пример 1.

;

–точка разрыва II рода.

Пример 2.

Ее график имеет вид:

Эта функция не имеет в точке ни левого, ни правого предела. – точка разрыва II рода.

Пример 3.

Точки , – точки разрыва II рода. В них не определена, а пределы слева и справа бесконечны.

Функции, непрерывные на отрезке

Определение.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна справа в точке a, слева в точке b.

Теорема 1.

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем, т.е. существует число , такое, что для всех .

Теорема 2 (теорема Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает минимума и максимума на , т.е. существуют точки , такие, что для всех .

Теорема 3.

Если функция непрерывна на и числа не равны нулю и имеют противоположные знаки, то на интервале имеется по крайней мере одна точка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Читайте также:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 2098; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

Среди б.м. функций одного порядка особое место в приложениях занимают эквивалентные б.м. функции. Определение 10.5. Б.м. при х а функции а(х) и Р(х) называют эквивалентными при х а и обозначают ), если предел их отношения при х а равен единице, или Эквивалентные бесконечно малые функции. Главная часть бесконечно малой функции. Сравнение бесконечно больших функций Свойство эквивалентности б.м. функций симметрично, поскольку из (10.8) следует lim Транзитивность свойства эквивалентности вытекает с учетом (10.8) непосредственно из (10.2).

Запись вида ot(x)x~аР(х) иногда называют асимптотическим равенством функций а(х) и 0(х) в окрестности точки а.

Для того чтобы две б.м. при х а функции а(х) и 0(х) были эквивалентными при а, необходимо и достаточно, чтобы их разность а(х) — 0(х) была б.м. более высокого порядка по сравнению с каждой из них, т.е. Пусть а(х) Х~а0{х). Тогда с учетом определения 10.5 и, согласно определению ). Аналогично можно доказать, что а(ж) — /3(я)х5ао(а(а;)). Обратно, при ) с учетом определения 10.2 имеем .. а это, по определению 10.5, означает, что а(х) X~afi{x).

Из предположения а(х) — х=ао(а(х)) следует такой же результат. Теорема 10.3. Если б.м. при х -у а функции а(х) и 0(х) являются эквивалентными при х а, а функция x(t) в Эквивалентные бесконечно малые функции. Главная часть бесконечно малой функции.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В силу непрерывности функции In у в точке с учетом (9.12) получим ИЛИ Поскольку loge(l + x) = (ln(l + x))/lna, согласно (10.14) имеем 6. В силу непрерывности функции Согласно (10.14) можно записать — 1. Возвращаясь к обозначению аргумента через х, получим Эквивалентные бесконечно малые функции. Главная часть бесконечно малой функции. Сравнение бесконечно больших функций 7. С учетом (10.16) вычислим Следовательно, (1 -f x)* — или при s £ R \ {0} В частности, при Из полученных соотношений (10. cosx-1. Теорема 10.4. Пусть a(x) и /(х) — некоторая функция, определенная в проколотой окрестности точки а.

Тогда, если существует предел при х а произведения (или частного f(x)/a(x)), он не изменится при замене а(х) на эквивалентную при х-ча б.м. функцию /?(х), или Действительно, с учетом Из этой теоремы следует удобное для использования (10.18) правило: предел отношения б.м. при i-4a функций равен пределу отношения эквивалентных им при х -»а б.м. функций. Пример 10.4. Вычислим с учетом (10.18) Главная часть бесконечно малой функции Согласно утверждению 7.4 сумма конечного числа функций, б.м. при х а, есть снова б.м. при х а функция.

Пусть an(x), n=l, N} — б.м. при х-ta функции и а(х) —их сумма.

Если для n = 2, N orn(x)x=eo(ai(x)), то ai(x) называют главной частью суммы б.м. при х а функций. Инаг че, главная часть суммы б.м. — это слагаемое более низкого порядка малости по сравнению с каждым из остальных слагаемых. Ясно, что если в сумме есть несравнимые слагаемые (см. /х б.м. при х 0 функций главной частью будет f/xy поскольку с учетом (10.18) и теоремы 10.4 согласно определению.

Когда для каждого слагаемого в сумме б.м. при х а функций можно указать порядок к относительно х — а, главной частью такой суммы будет слагаемое (если оно единственное) низшего порядка. В сумме б.м. при х -> оо функций главной частью будет слагаемое низшего порядка относительно 1/х при условии, что оно единственное, и для каждого слагаемого можно указать порядок малости.

Теорема 10.6:

Сумма конечного числа б.м. при х а функций эквивалентна своей главной части, или 4 Если ai(s) — главная часть суммы a(x), то с учетом свойства (7.22) суммы функций, имеющих конечные пределы) и определения 10.2 найдем I что, согласно (10.8), означает эквивалентность при х а суммы б.м. функций и ее главной части. Следствие 10.1. В некоторой проколотой окрестности о U (а) точки а сумма конечного числа б.м. при х а функций сохраняет знак своей главной части, или В ходе доказательства теоремы 10. ao((x-a)m), то, согласно теореме 10.2, что возможно в силу (10.8) лишь при В = А и т = к.

Процедура выделения главной части в виде А(х — а)к для б.м. при х-ьа, функции а(х) связана с рассмотрением предела и подбором значений А: и Л, так, чтобы этот предел оказался равным единице. После выделения главной части ее можно использовать для приближенного вычисления значений функции ог(х) при значениях х в некоторой окрестности точки а. Возникающая при этом абсолютная |7(х)| и относительная |7(я)/а(х)| погрешности будут стремиться к нулю при х -4 а. Если требуется более высокая точность вычисления значений или представления функции в окрестности точки а, то следует попытаться выделить главную часть из б.м. при х а функции 7(ж). Эту процедуру можно продолжить.

Такую процедуру уточнения называют построением асимптотического разложения функции в окрестности данной точки. Пример 10.7. Пусть точность замены по (10.17) при s = = 1/2 и х->0 функции \Л + х -1 на функцию х/2 недостаг точна. o(x2).

Если потребуется еще более высокая точность, то наступит очередь выделять главную часть из б.м. при х-» О функции £(х) и т.д. # Если для двух б.м. при х а функций а(х) и /3(х) известны их главные части, соответственно А(х-а)к и J9(x-a)m, то что можно сказать о главной части суммы а(х) 4-/?(х) ? При к ф т главной частью суммы будет то из слагаемых А(х — а)* и В(х — а)т, в котором показатель степени меньше. Если же к = т, то главная часть суммы есть (Л-f В)(х — а)* при условии, что А + В ф 0. В противном случае главные части слагаемых взаимно уничтожаются, и сумма а(х) + 0(х) оказывается при х а б.м. функцией более высокого порядка, чем каждое из слагаемых.

В этом случае приходится выделять из нее б.м. функцию вида С (х- а)4 при q > к. Пример 10.8. а. Функции а(х) = у/1 + х — 1 и (3(х) = = у/1-х -1 являются б.м. при х 0. Из примера 10.7 следует, что при х —> 0 2. Отсюда где , и главной частью суммы заданных функций при х 0 будет -х2/4. б. Рассмотрим теперь функции а(х) = 1п(1 + Зх + х2) и /?(х) = 1п(1 — Зх + х2), являющиеся б. м. при х 0. Из (10.18) с учетом теоремы 10.3 получим Теперь, казалось бы, можно сказать, что главной частью суммы а(х) + /3(х) при х 0 будет 2х2. Но такой вывод является поспешным и поверхностным, а потому, как часто бывает, неверным.

Дело в том, что из (10.18) непосредственно следует лишь эквивалентность ln(l + z) т.е., согласно теореме 10.2, справедлива запись . На основании теоремы 10.3 полагаем z равным либо Зх + х2,либо —Зх + х2, и тогда После сложе- ния заданных б.м. функций получим но два последних слагаемых в правой части сами могут содержать слагаемые вида Ах2, которые обязаны войти в главную часть суммы ot(x)+0(x) при х 0. Поэтому для выделения главной части суммы исходных б.м. функций преобразуем эту сумму к виду где е(х)x=qo(-7×2 + х4). Вот теперь вполне определенно и обоснованно можно сказать, что при х 0 главная часть этой суммы равна -7х2.

Сравнение бесконечно больших функций

Для 6.6. функций можно ввести классификацию, аналогичную классификации б. м. функций (см. 10.1), также связанную с пределом их частного. Пусть v(s) и w(x) — функции, б.б. при х а (см. определение 7.11), где а — конечная или бесконечная точка расширенной числовой прямой. Если существует lim v(x)/w(x) = с6 R \ {0}, то в этом х—¥а случае v(x) и w(x) называют б.б. функциями одного порядка при х а и записывают v(x)x=aO(u;(a;)) или t0(s)r=aO(v(a:)).

При с = 0 v(x) называют б.б. функцией более низкого порядка роста по сравнению с w(x) при х а и записывают а в случае бесконечного предела отношения v(x)/w(x) — б.б. функцией более высокого порядка роста по сравнению с w(x) при х а и записывают w(x)x=eo(t;(a;)) (слово „роста» часто опускают). Наконец, если не существует ни бесконечного, ни конечного предела этого отношения, то и(х) и ги(х) называют несравнимыми при х а б.б. функциями. Пример 10.9. а.

Функции 2х2 и х2 + х являются б.б. одного порядка при , так как б. Функция ах (а > 1) является б.б. более высокого порядка роста по сравнению с хк {к> 0) при х +оо, так как согласно (7. 32) в. Функции x(2 + sinx) и х являются несравнимыми б.б. при х оо, поскольку при х —> оо не существует предела отношения z(2 + sina:)/x = 2 +sin а: (ни конечного, ни бесконечного). является суммой б.б. при х оо функций, причем порядок роста к относительно х каждого слагаемого совпадает с соответствующим показателем степени. Поэтому слагаемое а$хп высшего порядка роста (к = п), поскольку оно единственно, и будет главной частью этой суммы при х оо.

Аналогично, если в сумме конечного числа б.б. функций при х а можно указать для каждого слагаемого порядок роста к относительно 1/(х — а), слагаемое высшего порядка будет также главной частью такой суммы при хча, если это слагаемое единственное. Например, в сумме l/sin2g+ctgz двух б.б. функций при х 0 согласно (10.18) первое слагаемое имеет второй порядок относительно 1/х, а второе — первый порядок. Поэтому главной частью этой суммы при х —>0 будет l/sin2x. Утверждение 10.2.

Сумма конечного числа б.б. функций эквивалентна своей главной части. В общем случае можно говорить о главной части не только алгебраической суммы конечного числа б.б. при х а (или при х оо) функций, но и произвольной по структуре функции f(x)y эквивалентной при х а степенной функции А/(х — а)* (при х оо —степенной функции Ахк), Аф 0, к > 0. Эта степенная функция и будет главной частью б.б. функции соответственно при х —у а или при х оо. Путь нахождения коэффициента А и показателя степени к основан на использовании определения 10.7 и утверждения 10.2 и подобен процедуре выделения главной части б.м. функции.

Пример 10.10. Функция /(ж) = yj 1/х — 1 определена в полуинтервале (0, 1] и как элементарная функция — непрерывна в этом промежутке (см. 3.6 и 9.5). Так как при х +0 эта функция является б.б., а прямая х = 0 будет вертикальной асимптотой графика . Найдем главную часть f(x) при х->+0 в виде А/хк из условия (10.27) эквивалентности б.б. функции и ее главной части: limQf{x)/(A/xk) = = 1. Отсюда Ясно, что предел в правой части этого равенства будет конечным и отличным от нуля, если к = 1/2.

Тогда А = 1, и главной частью f(x) при х->+0 будет 1/у/х (рис. 10.1). Поскольку lim fix) = lim — 1 = 0, г-И-0 v ‘ г-fl-O V х при х 1 — 0 , f(x) является б.м. функцией. Найдем главную часть }(х) при z-4 1-О в виде А(1-х)к Рис. 10.1 из условия (10.8) эквивалентности б.м. функции и ее главной части: lim q f(x)/(A(l — х)*) = 1. Отсюда Эквивалентные бесконечно малые функции. Главная часть бесконечно малой функции. Сравнение бесконечно больших функций (1 — х)к Предел в правой части этого равенства будет конечным и отличным от нуля, если А: = 1/2. Тогда А = 1, и главной частью f(x) при х-» 1-0 будет у/1 -х (см. рис. 10.1).

21/01/17
3

06/04/13
1916
Москва

21/01/17
3

21/12/05
5784
Новосибирск

23/11/09
173

25/08/11
∞
1074

21/12/05
5784
Новосибирск

21/01/17
3