Биноминальное распределение это: Биномиальное распределение

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Биномиальное распределение — одно из важнейших распределений вероятностей дискретно изменяющейся случайной величины. Биномиальным распределением называется распределение вероятностей числа m наступления события А в n взаимно независимых наблюдениях. Часто событие А называют «успехом» наблюдения, а противоположное ему событие — «неуспехом», но это обозначение весьма условное.

Условия биномиального распределения:

• в общей сложности проведено n испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить;
• событие А в каждом из испытаний может наступить с одной и той же вероятностью p;
• испытания являются взаимно независимыми.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит именно m раз, можно вычислить по формуле Бернулли:

или

,

где p — вероятность наступления события А;

q = 1 — p — вероятность наступления противоположного события .

Разберёмся, почему биномиальное распределение описанным выше образом связано с формулой Бернулли. Событие — число успехов при n испытаниях распадается на ряд вариантов, в каждом из которых успех достигается в m испытаниях, а неуспех — в n — m испытаниях. Рассмотрим один из таких вариантов — B1. По правилу сложения вероятностей умножаем вероятности противоположных событий:

,

а если обозначим q = 1 — p, то

.

Такую же вероятность будет иметь любой другой вариант, в котором m успехов и n — m

неуспехов. Число таких вариантов равно — числу способов, которыми можно из n испытаний получить m успехов.

Сумма вероятностей всех m чисел наступления события А (чисел от 0 до n) равна единице:

где каждое слагаемое представляет собой слагаемое бинома Ньютона. Поэтому рассматриваемое распределение и называется биномиальным распределением.

На практике часто необходимо вычислять вероятности «не более m успехов в n испытаниях» или «не менее m успехов в n испытаниях». Для этого используются следующие формулы.

Интегральную функцию, то есть вероятность F(m) того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m

раз, можно вычислить по формуле:

.

В свою очередь вероятность F(≥m) того, что в n наблюдениях событие А наступит не менее m раз, вычисляется по формуле:

Иногда бывает удобнее вычислять вероятность того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, через вероятность противоположного события:

.

Какой из формул пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше слагаемых.

Характеристики биномиального распределения вычисляются по следующим формулам.

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Среднеквадратичное отклонение: .

Биномиальное распределение и расчёты в MS Excel

Вероятность биномиального распределения Pn(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel БИНОМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

• число успехов;
• число испытаний;
• вероятность успеха;
• интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить вероятность Pn(m) и 1 — если вероятность F(m).

Пример 1. Менеджер фирмы обобщил информацию о числе проданных в течение последних 100 дней фотокамер. В таблице обобщена информация и рассчитаны вероятности того, что в день будет продано определённое число фотокамер.

Продано в день	Число дней	Вероятность
10	8	0,08
11	12	0,12
12	19	0,19
13	23	0,23
14	18	0,18
15	20	0,20
Всего	100	1,00

День завершён с прибылью, если продано 13 или более фотокамер. Вероятность, что день будет отработан с прибылью:

Вероятность того, что день будет отработан без прибыли:

Пусть вероятность того, что день отработан с прибылью, является постоянной и равна 0,61, и число проданных в день фотокамер не зависит от дня. Тогда можно использовать биномиальное распределение, где событие А — день будет отработан с прибылью, — без прибыли.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с прибылью:

.

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП (значение интегральной величины — 0):

P6(6) = БИНОМ.РАСП(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Вероятность того, что из 6 дней 4 и больше дней будут отработаны с прибылью:

,

где ,

,

,

.

Используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП, вычислим вероятность того, что из 6 дней не более 3 дней будут завершены с прибылью (значение интегральной величины — 1):

P6(≤3) = БИНОМ.РАСП(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с убытками:

,

Тот же показатель вычислим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП:

P6(0) = БИНОМ.РАСП(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. В урне 2 белых шара и 3 чёрных. Из урны вынимают шар, устанавливают цвет и кладут обратно. Попытку повторяют 5 раз. Число появления белых шаров — дискретная случайная величина X, распределённая по биномиальному закону. Составить закон распределения случайной величины. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию.

Правильное решение и ответ.

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 3. Из курьерской службы отправились на объекты n = 5 курьеров. Каждый курьер с вероятностью p = 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Дискретная случайная величина X — число опоздавших курьеров. Построить ряд распределения это случайной величины. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров.

Решение. Случайная величина X — число опоздавших курьеров — распределена по биномиальному закону. Под наблюдением понимается отправка курьера на объект, а под «успехом» удобнее понимать его опоздание. Найдём вероятности возможных значений случайной величины и округлим их до трёх знаков после запятой:

Ряд распределения будет иметь вид:

0	1	2	3	4	5
0,168	0,360	0,309	0,133	0,028	0,002

Математическое ожидание случайной величины: .

Дисперсия случайной величины: .

Среднеквадратичное отклонение: .

Найдём вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров:

Пример 4. Игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятность того, что шестёрка появится а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.

Решение. Случайная величина X — число появлений шестёрки — имеет биномиальное распределение с параметрами n = 4; p = 1/6.

а) .

б)

Назад

Листать

Вперёд>>>

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

К началу страницы

Начало темы «Теория вероятностей»

Действия над вероятностями

Различные задачи на сложение и умножение вероятностей

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Независимые испытания и формула Бернулли

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Биномиальное распределение.

Если десять раз подбросить монетку… | by Novikov Ivan | NOP::Nuances of Programming

Все знают и любят нормальное распределение. Оно используется в инвестиционном моделировании, A/B-тестах и улучшении производственных процессов (шесть сигм). Но мало кто хорошо знаком с биномиальным распределением. Между тем, результаты бросков монеты следуют биномиальному распределению.

Важно, что здесь работает закон больших чисел. Я также должен сказать, что если мы многократно выполняем один и тот же набор экспериментов (подбрасывая монетку 10 раз) снова и снова, то число решек, наблюдаемых во всех экспериментах, следует биномиальному распределению.

Дадим более техническое определение. Биномиальное распределение — это распределение вероятностей в последовательности экспериментов, где эксперимент даёт двоичный результат. При этом результаты независимы друг от друга.

Бросок монеты — эксперимент с бинарным результатом. Для ясности уточню: результаты не обязательно должны быть одинаково вероятными, как с бросками симметричной монеты. Условия ниже также соответствуют предварительным требованиям биномиального распределения:

• Несимметричная монета.
• Опрос случайных людей на улице: “да/нет”.
• Попытка убедить посетителей веб-сайта купить продукт (вероятность того, купят они его или нет).

Одна вещь, которая может смутить новичков в теории вероятности и статистике — идея распределения. Мы склонны мыслить детерминистически: «Я подбросил монету 10 раз и получил 6 решек». Результат — 6. Где же распределение?

Распределение происходит из дисперсии. Если мы подбросим 10 монет, то, вероятно, получим разные результаты. Эта дисперсия (неопределенность) создает распределение. Оно сообщает, какие результаты вероятнее, а какие — нет.

Прежде чем писать симуляцию, определимся с переменными.

• n: количество экспериментов. У нас 10 бросков — 1 эксперимент.
• p: вероятность успеха, 50% для симметричной монеты.
• k: желаемое количество удачных попыток. 6 — в нашем примере.

Генерируем случайное число n раз и записываем результаты в списки. Если число равно 0,5 или больше, то считать его решкой, если нет — орлом. И повторим это много раз, в нашем примере 1000.

# Import librariesimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# Входные данные
# Число повторов
trials = 1000
# Бросков в каждом повторе
n = 10
# Вероятность успеха
p = 0.5
# Основная функция
# heads - это список удачных исходов
def run_binom(trials, n, p):
heads = []
for i in range(trials):
tosses = [np.random.random() for i in range(n)]
heads.append(len([i for i in tosses if i>=0.50]))
return heads # Выполняем функцию.
heads = run_binom(trials, n, p)# Plot the results as a histogram
fig, ax = plt.subplots(figsize=(14,7))
ax = sns.distplot(heads, bins=11, label='simulation results')ax.set_xlabel("Number of Heads",fontsize=16)
ax.set_ylabel("Frequency",fontsize=16)

Результат выполнения кода на гистограмме:

Изменим график так, чтобы он отображал распределение. Используем stats.binom из scipy:

# Plot the actual binomial distribution as a sanity check
from scipy.stats import binom
x = range(0,11)
ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p), 'ro', label='actual binomial distribution')
ax.vlines(x, 0, binom.pmf(x, n, p), colors='r', lw=5, alpha=0.5)
plt.legend()
plt.show()

На графике ниже показано моделируемое распределение синим цветом и фактическое — красным. Вывод: биномиальное распределение — достаточно хорошее приближение к реальности. Поэтому вместо того, чтобы тратить время на подбрасывание и записывать результаты, мы можем просто использовать биномиальное распределение!

Если мы хотим смоделировать результат последовательности из n экспериментов, то могли бы сделать это, используя биномиально распределенную случайную переменную, например:

np.random.binomial(n, p)

Наконец, ответим на наш вопрос о монетках:

# Вероятность шести решек.
prob_6 = sum([1 for i in np.random. binomial(n, p, size=runs) if i==6])/runs
print('The probability of 6 heads is: ' + str(prob_6))

Это также соответствует первой гистограмме.

Хорошо, а есть что-то кроме монет? Конечно! Представьте себе, что мы аналитики, которым поручено повышение возврата инвестиций в call-центр компании. Сотрудники звонят потенциальным клиентам и продают продукт. Вы посмотрели исторические данные и обнаружили:

• В типичном call-центре 50 звонков на 1 сотрудника.
• Вероятность конверсии 4%.
• Средний доход с конверсии 100$.
• В центре 100 сотрудников.
• Каждый сотрудник зарабатывает 200$ в день.

Такой код моделирует ситуацию с параметрами n = 50, p = 0.04:

# Количество сотрудников
employees = 100# Зарплата одного сотрудника
wage = 200# Звонков на сотрудника
n = 50# Вероятность успеха
p = 0.04# Доход с одного звонка
revenue = 100# Биномиально распределённая переменная
conversions = np. random.binomial(n, p, size=employees)# Печать ключевых метрик
print('Average Conversions per Employee: ' + str(round(np.mean(conversions), 2)))
print('Standard Deviation of Conversions per Employee: ' + str(round(np.std(conversions), 2)))
print('Total Conversions: ' + str(np.sum(conversions)))
print('Total Revenues: ' + str(np.sum(conversions)*revenue))
print('Total Expense: ' + str(employees*wage))
print('Total Profits: ' + str(np.sum(conversions)*revenue - employees*wage))

Выполнив код, вы увидите что-то вроде этого:

• Конверсий на сотрудника: 2,13.
• Стандартное отклонение конверсии: 1,48.
• Всего конверсий: 213.
• Доходы: $21 300.
• Расходы: $20 000.
• Прибыль: $1 300.

Прибыль в сравнении с расходами невелика. Но посмотрим, как изменяется дневной доход на 1000 симуляций.

Высока вероятность потерь. Что делать? Результаты каждого сотрудника соответствуют биномиальному распределению, поэтому вот, что можно сделать:

• Больше звонить.
• Поднять вероятность конверсии.
• Увы, снизить зарплаты.

Мы разработали инструмент, формирующий тёплую базу, то есть клиентов, расположенных к покупке. Время разговора сократилось, а конверсия увеличилась. Теперь n = 55, p = 5%. Пересчитаем показатели.

employees = 100
wage = 200 n = 55p = 0.05revenue = 100# Биномиально распределённая переменная
conversions_up = np.random.binomial(n, p, size=employees)sims = 1000sim_conversions_up = 
[np.sum(np.random.binomial(n, p, size=employees)) for i in range(sims)]
sim_profits_up = np.array(sim_conversions_up)*revenue - employees*wage# Отображаем и сохраняем результат как гистограмму
fig, ax = plt.subplots(figsize=(14,7))
ax = sns.distplot(sim_profits, bins=20, label='original call center simulation results')
ax = sns.distplot(sim_profits_up, bins=20, label='improved call center simulation results', color='red')ax. set_xlabel("Profits",fontsize=16)
ax.set_ylabel("Frequency",fontsize=16)
plt.legend()

Нам не нужен A/B-тест, чтобы понять, что прибыли будет больше. Красная гистограмма — результат после улучшений.

• Используя несколько параметров, мы можем прогнозировать результаты для большого количества испытаний.
• Однако, крайне важно понимать, в каких ситуациях биномиальное распределение применимо, а в каких — нет.

Проект на Github

Читайте также:

• Значение Data Science в современном мире
• Настройка Data Science окружения на вашем компьютере
• Как составить Data Science портфолио? Часть 1

Перевод статьи Tony Yiu: Fun with the Binomial Distribution

Определение, формула, анализ и пример

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, используемое в статистике, которое обобщает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.

Основные предположения биномиального распределения состоят в том, что в каждом испытании есть только один результат, что каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха и что каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.

Основные выводы

• Биномиальное распределение — это распределение вероятностей в статистике, которое обобщает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.
• В основе биномиального распределения лежат допущения о том, что в каждом испытании есть только один исход, что каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха и что каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.
• Биномиальное распределение — обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение.

Понимание биномиального распределения

Начнем с того, что «биномиальное» в биномиальном распределении означает два термина. Нас интересует не только количество успехов, не только количество попыток, а и то, и другое. Каждый бесполезен для нас без другого.

Биномиальное распределение — это обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение. Это связано с тем, что биномиальное распределение учитывает только два состояния, обычно представляемые как 1 (успех) или 0 (неудача) с учетом количества испытаний в данных. Таким образом, биномиальное распределение представляет собой вероятность x успехов в n испытаниях при заданной вероятности успеха p для каждого испытания.

Биномиальное распределение суммирует количество испытаний или наблюдений, когда каждое испытание имеет одинаковую вероятность достижения одного конкретного значения. Биномиальное распределение определяет вероятность наблюдения определенного количества успешных результатов в указанном количестве испытаний.

Биномиальное распределение часто используется в статистике социальных наук в качестве строительного блока для моделей дихотомических переменных результатов, например, победит ли республиканец или демократ на предстоящих выборах, умрет ли человек в течение определенного периода времени и т. д. Он также имеет приложения в финансах, банковском деле и страховании, среди других отраслей.

Анализ биномиального распределения

Ожидаемое значение или среднее значение биномиального распределения вычисляется путем умножения количества испытаний (n) на вероятность успеха (p), или n × p.

Например, ожидаемое значение количества голов в 100 испытаниях голов или сказок равно 50 или (100 × 0,5). Другим распространенным примером биномиального распределения является оценка шансов на успех игрока со штрафного броска в баскетболе, где 1 = попадание в корзину, а 0 = промах.

Формула биномиального распределения рассчитывается как:

P _(x:n,p) = _n C _x x p ^x (1-p) ^n-x

куда:

• n — количество испытаний (вхождений)
• x — количество успешных испытаний
• p — вероятность успеха в одном испытании
• nCx — комбинация n и x. Комбинация — это количество способов выбрать выборку из x элементов из набора n различных объектов, где порядок не имеет значения и замены не допускаются. Обратите внимание, что nCx=n!/(r!(n−r)!), где ! является факториальным (таким образом, 4! = 4 × 3 × 2 × 1).

Среднее значение биномиального распределения равно np, а дисперсия биномиального распределения равна np (1 − p). При p = 0,5 распределение симметрично относительно среднего. При p > 0,5 распределение смещено влево. При p < 0,5 распределение смещено вправо.

Биномиальное распределение представляет собой сумму серии нескольких независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли. В испытании Бернулли говорят, что эксперимент является случайным и может иметь только два возможных исхода: успех или неудачу.

Например, подбрасывание монеты считается испытанием Бернулли; каждое испытание может принимать только одно из двух значений (орел или решка), каждый успех имеет одинаковую вероятность (вероятность выпадения орла равна 0,5), и результаты одного испытания не влияют на результаты другого. Распределение Бернулли — это частный случай биномиального распределения, при котором число испытаний n = 1. (20 — 6). Следовательно, вероятность того, что при 20 подбрасываниях монеты выпадет ровно шесть решек, равна 0,037, или 3,7%. Математическое ожидание в этом случае равнялось 10 орлам, поэтому участник сделал неудачную ставку.

Так как же это можно использовать в финансах? Один пример: допустим, вы банк, кредитор, который хочет знать с точностью до трех знаков после запятой вероятность дефолта конкретного заемщика. Каковы шансы, что такое количество заемщиков не выполнит своих обязательств, что они сделают банк неплатежеспособным? Как только вы воспользуетесь функцией биномиального распределения для расчета этого числа, у вас будет лучшее представление о том, как оценивать страховку и, в конечном счете, сколько денег выдать взаймы и сколько оставить в резерве.

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, используемое в статистике, которое устанавливает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.

Как используется биномиальное распределение?

Этот образец распределения используется в статистике, но имеет значение в финансах и других областях. Банки могут использовать его для оценки вероятности дефолта конкретного заемщика или определения суммы кредита и суммы, которую нужно оставить в резерве. Он также используется в страховой отрасли для определения цен на полисы и оценки рисков.

Почему важно биномиальное распределение?

Биномиальное распределение используется для расчета вероятности положительного или отрицательного результата в опросе или эксперименте, повторяемом многократно. Есть только два возможных результата для этого типа распределения. В более широком смысле, распределение является важной частью анализа наборов данных для оценки всех потенциальных результатов данных и того, как часто они происходят. Прогнозирование и понимание успеха или неудачи результатов имеет важное значение для развития бизнеса.

Итог

Биномиальное распределение является важным статистическим распределением, описывающим бинарные результаты (например, подбрасывание монеты, ответ «да/нет» или условие «включено/выключено»). Понимание его характеристик и функций важно для анализа данных в различных контекстах, которые включают результат, принимающий одно из двух независимых значений. Он имеет приложения в социальных науках, финансах, банковском деле, страховании и других областях. Например, будет ли заемщик дефолт по кредиту или нет, будет ли опционный контракт завершен либо в деньгах, либо вне денег, или компания пропустит или превзойдет оценки прибыли.

Формула, что это такое и как ее использовать в простых шагах

Содержание:

1. Что такое биномиальное распределение?
2. Распределение Бернулли
3. Формула биномиального распределения
4. Примеры работы

Биномиальное распределение можно рассматривать как просто вероятность УСПЕХА или НЕУДАЧИ в эксперименте или опросе, который повторяется несколько раз. Биномиальное распределение — это тип распределения, который имеет два возможных исхода (приставка «би» означает два или два раза). Например, подбрасывание монеты имеет только два возможных результата: орел или решка, а прохождение теста может иметь два возможных результата: пройти или не пройти.
Биномиальное распределение показывает либо (S)успех, либо (F)неуспех.

• Первая переменная в биномиальной формуле, n, обозначает количество запусков эксперимента.
• Вторая переменная p представляет вероятность одного конкретного исхода.

Например, предположим, что вы хотите узнать вероятность выпадения 1 при броске кубика. если бы вы бросили кубик 20 раз, вероятность того, что он выпадет при любом броске, равна 1/6. Бросьте двадцать раз, и вы получите биномиальное распределение (n = 20, p = 1/6). УСПЕХ будет означать «бросьте один», а НЕУДАЧА — «бросьте что-нибудь еще». Если бы рассматриваемым результатом была вероятность того, что кубик выпадет на четное число, тогда биномиальное распределение стало бы (n = 20, p = 1/2). Это потому, что ваша вероятность выбросить четное число равна половине.

Критерии

Биномиальные распределения также должны соответствовать следующим трем критериям:

1. Количество наблюдений или испытаний фиксировано. Другими словами, вы можете вычислить вероятность того, что что-то произойдет, только если вы сделаете это определенное количество раз. Это здравый смысл: если вы подбросите монету один раз, вероятность того, что выпадет решка, составляет 50%. Если вы подбросите монету 20 раз, вероятность того, что выпадет решка, очень и очень близка к 100%.
2. Каждое наблюдение или испытание являются независимыми. Другими словами, ни одно из ваших испытаний не влияет на вероятность следующего испытания.
3. Вероятность успеха (решка, орел, провал или сдача) равна точно такой же от одного испытания к другому.

 
Узнав, что ваше распределение является биномиальным, вы можете применить формулу биномиального распределения для расчета вероятности.

Посмотрите видео для примера:

Как определить, является ли эксперимент биномиальным

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Биномиальное распределение тесно связано с распределением Бернулли. Согласно Вашингтонскому государственному университету, «если каждое испытание Бернулли является независимым, то количество успешных результатов в тропах Бернулли имеет биномиальное распределение. С другой стороны, распределение Бернулли — это биномиальное распределение с n = 1».

Распределение Бернулли — это набор испытаний Бернулли. Каждое испытание Бернулли имеет один возможный результат, выбираемый из S (успех) или F (неудача). В каждом испытании вероятность успеха P(S) = p одинакова. Вероятность неудачи равна всего 1 минус вероятность успеха: P(F) = 1 – p. (Помните, что «1» — это общая вероятность возникновения события… вероятность всегда находится между нулем и 1). Наконец, все испытания Бернулли независимы друг от друга, и вероятность успеха не меняется от испытания к испытанию, даже если у вас есть информация об исходах других испытаний.

Что такое биномиальное распределение? Примеры из реальной жизни

Многие случаи биномиального распределения можно найти в реальной жизни. Например, если новое лекарство вводится для лечения болезни, оно либо лечит болезнь (успешно), либо не лечит болезнь (неудача). Если вы покупаете лотерейный билет, вы либо выиграете деньги, либо нет. По сути, все, о чем вы можете думать, может быть только успехом или неудачей, может быть представлено биномиальным распределением.

Биномиальное распределение показывает либо (S)успех, либо (F)неудачу.

Посмотрите видео для примера:

Формула биномиального распределения

Посмотрите это видео на YouTube.

Видео не видно? Кликните сюда.

Формула биномиального распределения:

b(x; n, P) = _n C _x * P ^x * (1 – P) ^{n – x}

2: 9 = биномиальная вероятность
x = общее количество «успехов» (прошел или не прошел, орел или решка и т. д.)
P = вероятность успеха в отдельном испытании.
n = количество испытаний. / х!(п – х)! (в этой формуле биномиального распределения используются факториалы (Что такое факториал?). «q» в этой формуле – это просто вероятность неудачи (вычтите вероятность успеха из 1).

Формула биномиального распределения может рассчитать вероятность успеха для биномиальных распределений.Часто вам будет предложено «подставить» числа к 9Формула 0097 и вычислить . Это легко сказать, но не так просто сделать — если вы не будете очень соблюдать порядок операций, вы не получите правильного ответа. Если у вас есть Ti-83 или Ti-89, калькулятор может сделать большую часть работы за вас. Если нет, вот как разбить проблему на простые шаги, чтобы всегда получать правильный ответ.

Пример 1

В. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что выпадет ровно 6 орлов?

94 = 210 * 0,015625 * 0,0625 = 0,205078125

Совет: Вы можете использовать калькулятор комбинаций , чтобы вычислить значение для _n C _x .

Как работать с формулой биномиального распределения: пример 2

80% людей, приобретающих страховку для домашних животных, составляют женщины. Если случайным образом выбрано 9 владельцев страховых полисов, найдите вероятность того, что среди них ровно 6 женщин.

Шаг 1: Найдите «n» в задаче. Используя наш пример вопроса, n (количество случайно выбранных элементов) равно 9..

Шаг 2: Определите «X» в проблеме. X (число, для которого вас просят найти вероятность) равно 6.

Шаг 3: Выполните первую часть формулы. Первая часть формулы

n! / (н – Х)! ИКС!

Замените свои переменные:

9! / ((9 – 6)! × 6!)

Что равно 84. Отложите это число на минутку.

Шаг 4: Найдите p и q. p – вероятность успеха, q – вероятность отказа. Нам дано p = 80%, или 0,8. Таким образом, вероятность отказа составляет 1 – 0,8 = 0,2 (20%).

Шаг 5: Работаем по второй части формулы.

p ^X
= 0,8 ⁶
= 0,262144

Отложите это число на мгновение.

Шаг 6: Работаем по третьей части формулы.

q ^{(n – X)}
= 0,2 ^(9-6)
= 0,2 ³
= 0,008

вместе.
84 × 0,262144 × 0,008 = 0,176.

Пример 3

60% людей, которые покупают спортивные автомобили, — мужчины. Если случайным образом выбрать 10 владельцев спортивных автомобилей, найти вероятность того, что среди них ровно 7 мужчин.

Шаг 1: : Определите «n» и «X» из проблемы. Используя наш примерный вопрос, n (количество случайно выбранных элементов — в данном случае случайным образом выбираются владельцы спортивных автомобилей) равно 10, а X (число, для которого вас просят «найти вероятность») равно 7.

Шаг 2: Вычислите первую часть формулы, а именно:

н! / (н – Х)! ИКС!

Подстановка переменных:

10! / ((10 – 7)! × 7!)

Что равно 120. Отложите это число на минутку.

Шаг 3: Найдите «p» вероятность успеха и «q» вероятность неудачи. Нам дано p = 60%, или 0,6. следовательно, вероятность отказа составляет 1 – 0,6 = 0,4 (40%).

Шаг 4: Выполните следующую часть формулы.

p ^X
= 0,6 ⁷
= 0,0279936

Отложите это число, пока будете работать над третьей частью формулы.

Шаг 5: Работаем по третьей части формулы.

q ^{(0,4 – 7)}
= 0,4 ^(10-7)
= 0,4 ³
= 0,064

Шаг 6: умножение на три шага из 5 вместе.
120 × 0,0279936 × 0,064 = 0,215.

Вот оно!

Ссылки

Beyer, WH CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, с. 531, 1987.
Папулис, А. Вероятность, случайные величины и случайные процессы, 2-е изд. Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 102-103, 1984.
Шпигель, М.