Частичная сумма ряда: Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

Содержание

Вычислить сумму ряда онлайн

Для того, чтобы вычислить сумму ряда, нужно просто сложить элементы ряда заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда. Итак, частичной суммой ряда (обозначается S_n) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞130131132.

..13n

Таким образом, для вычисления суммы ряда, необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S_n). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Snb1qn1q1

здесь b₁ - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S_n для нашего ряда равна:

Sn111312332

Тогда сумма нашего ряда (S) согласно определению, данному выше, равна:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞3232

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа «sum diverges»), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n-ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Калькулятор суммы ряда

Переменная суммирования: xyztupqnms

Верхний предел суммирования: 01π-π∞-∞ввести самому

Нижний предел суммирования: 01π-π∞-∞ввести самому

∞x011x2

Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Вычислить горизонтальные асимптоты функции онлайн
Вычислить вертикальные асимптоты функции онлайн

Оставить свой комментарий:

Сообщество Экспонента

вопрос
05. 11.2022

Другое

В системе Win10 установлен MinGW64. Matlab не видит компиляторы из папки C:\mingw64 Добавил в путь матлаба и в переменные среды Windows директорию C:\mingw64\bin\, где лежит gfortran.exe, но не помога…

вопрос
05.11.2022

Другое

Добрый день! Сегодня произошло неожиданное событие. При загрузке Матлаб он мне сообщил, что лицензия отсутствует. Я поискал ее в каталоге Матлаб, и обнаружил следующее: license_DESKTOP-NITFQJQ_4101619…

Публикация
30.10.2022

Системы связи

Мероприятие призвано собрать на одной площадке всех специалистов данной тематики для обмена знаний, опыта и технологий, чтобы вооруживший последними технологиями дать быстрый старт в развитии отечественного оборудования систем связи 5G.

Подробная программа 09:…

Приглашаем разработчиков систем связи на семинар для всестороннего обсуждения вопросов построения отечественного оборудования систем связи 5G.

Пройдет офлайн в Москве 17 ноября в 10:00.

MATLAB
Simulink
САУ
ЦОС
ПЛИС
МОП
5G
Модельно ориентированное проектирование

30.10.2022

Публикация
26.10.2022

Встраиваемые системы

Эта статья написана совместно с нашими партнерами — компанией «РИТМ». Компания занимается разработкой полунатурных стендов и комплексов полунатурного моделирования «РИТМ», которые используются нашими заказчиками. Клиенты в некотор…

Уже много лет мы занимаемся продвижением модельно-ориентированного проектирования в России. Поэтому наш опыт сконцентрирован вокруг инструментов модельно-ориентированного проектирования — то есть различных сред моделирования и симуляции — и применения их в инженерных разработках.

MATLAB
Simulink
САУ
ЦОС
ПЛИС
МОП
fpga
экспонента
Модельно ориентированное проектирование

26.10.2022

Публикация
26.10.2022

Электропривод и силовая электроника

Основа всех трех сценариев – цифровое моделирование в режиме жесткого реального времени. Наша команда инженеров показала, что КПМ РИТМ способен решать ряд сложных задач, которые стоят перед российской энергетикой. Мы благодарны всем гостям и всегда рады…

13 октября в нашем офисе прошел семинар. Всего за 5 часов мы обсудили, как использовать КПМ РИТМ для:

Тестирования микропроцессорных реле;
Построения систем мониторинга переходных режимов;
Исследования кибер-инцидентов в электроэнергетике.

экспонента
микропроцессор
электроэнергетика
РИТМ
энергетика

26. 10.2022

Публикация
26.10.2022

Электропривод и силовая электроника

Вас ждут: Заметки по созданию цифровых двойников; Полезные статьи и видео; Анонсы вебинаров и семинаров. Подписывайтесь: https://t.me/exponenta_energy

Наша команда инженеров электроэнергетики создала канал, где вы найдёте множество материалов про то, как используют машины реального времени в энергетике.

MATLAB
HIL
РИТМ
Hardware In the Loop
Model In the Loop

26.10.2022

Публикация
25.10.2022

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Математика и статистика

В ходе вебинара будет рассказано о существующих подходах к организации предсказательного обслуживания. Также будет продемонстрирована экспериментальная установка, состоящая из электродвигателя, передаточного механизма, нагрузки и системы датчиков. Установка мо…

Приглашаем на вебинар «Предсказание отказов в промышленности: от теории к практике», который пройдет 8 ноября в 10:00.

Предсказание отказов промышленного оборудования достигается за счёт непрерывного мониторинга и контроля состояния оборудования.

Предсказательное обслуживание призвано существенно снизить затраты на техническое обслуживание оборудование, сократить количество поломок и время просто оборудования.

MATLAB
Simulink
САУ
ЦОС
ПЛИС
МОП
ИИ
Модельно ориентированное проектирование

25.10.2022

вопрос
24.10.2022

Системы связи, ПЛИС и СнК, Радиолокация, Робототехника и беспилотники, Встраиваемые системы, Цифровая обработка сигналов

Есть модуль в Симулинк детектор приамбулы. Он считает количество бит от начала на котором находится приамбула. Выдает на выходе число. Хочу это значение использовать в модуле Си но симулинк выдает оши…

вопрос
19.10.2022

Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов, Финансы

u = (y³)/3 + 8xy — 9y — 4x² — 10 Справка

2 Ответа

вопрос
19.10.2022

Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов, Финансы, Другое

u = (y³)/3 + 8xy — 9y — 4x² — 10

5 Ответов

Результаты поиска

Нет результатов поиска, попробуйте задать другие параметры.

Последовательность частичных сумм ; Определение n-й частичной суммы

Определения вычислений >

Последовательность частичных сумм ряда S — это последовательность, в которой каждый член представляет собой n-ю частичную сумму S. Проще говоря, в позволяет работать с бесконечными суммы (например, 1 + 2 + … ∞), которые было бы невозможно оценить без какой-либо точки отсечки. Однако последовательность частичных сумм действительно важна из-за того, что она говорит нам о своей исходной последовательности.

Распаковка последовательности частичных сумм

Следующий пример показывает, почему последовательности частичных сумм так важны.
Конечный ряд задается членами конечной последовательности, сложенными вместе. Например, взгляните на конечную последовательность:

. Для этой конкретной последовательности ряд будет:

бесконечная последовательность будет:

Этому суммированию нет конца; это продолжается вечно. Вот почему нам нужны частичные суммы : сумма первых n членов ряда. Это то, что называется «n-й частичной суммой». Например, первые 5 слагаемых ( 5 -й частичной суммы), первые 287 слагаемых ( 287 -й частичной суммы).

Итак, мы можем составить новую последовательность из всех частичных сумм. Назовите каждый член в нашей последовательности _k, и тогда мы имеем.

Эта последовательность очень интересна, потому что, если она имеет предел, мы можем сказать, что исходный бесконечный ряд имеет сумму. Если у него нет реального предела, мы знаем, что у ряда нет суммы.

Простой пример

В качестве примера рассмотрим бесконечный ряд

Частичные суммы здесь:

Последовательность этих частичных сумм расходится, поэтому мы знаем, что наш исходный бесконечный ряд также расходится.

Каталожные номера

Математический центр. Сумма бесконечного ряда. Опубликовано в 2009 г., получено с http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-convergence-2009-1.pdf 7 сентября 2019 г.

Texas Instruments. Модуль 23. Последовательность и серия. Получено с https://education.ti.com/html/t3_free_courses/calculus84_online/mod23/mod23_lesson2.

html 7 сентября 2019 г.
Lahodny, Glenn Jr. Math 152 Notes Class: Section 10.2: Series. Получено с https://www.math.tamu.edu/~glahodny/Math252/Section%2010.2.pdf 7 сентября 2019 г.

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Последовательность частичных сумм; n-е определение частичной суммы» Из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/sequence-of-partial-sums/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

Исчисление

— Помогите понять последовательность частичных сумм ряда

спросил 7 лет, 4 месяца назад

Изменено 7 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 928 раз

$\begingroup$

Я только что завершил вычисление 2 и собираю и переписываю свои заметки для дальнейшего использования. Одна вещь, которую я нашел в Интернете (Википедия и т. д.), но на самом деле не освещенная в моих текстах, — это концепция, согласно которой ряд содержит последовательность частичных сумм. Как получается, что последовательность частичных сумм, содержащая кумулятивный набор каждой n-й частичной суммы, сходится к сумме ряда? То, что я прочитал, звучит так, будто сумма последовательности n-ных частичных сумм — это то, к чему сходится весь ряд, но это кажется неправильным.

Тривиальный пример: конечный ряд 1+2+3+4 имеет последовательность n-ых частичных сумм {1,3,6,10}, а сумма этой последовательности равна 20. Однако сумма фактического ряда равна 10

Значит, сумма ряда равна последнему члену последовательности n-х частичных сумм? Или что-то еще происходит? Спасибо.

исчисление
последовательности-и-ряды

$\endgroup$