Сумма ряда | это… Что такое Сумма ряда?
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).
Содержание
|
Определение
Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .
Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
- (1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
- (1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2.
- ,
а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды
- ,
причём сумма каждого равна соответственно .
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Примеры
- где — сумма геометрической прогрессии, в частности
- .
- — гармонический ряд расходится.
- — телескопический ряд.
См. также
- Действия с числовыми рядами
Обобщения числовых рядов
- Ряд Тейлора
- Ряд Фурье
- Степенной ряд
- Функциональный ряд.
Признаки сходимости
- Логарифмический признак сходимости
- Признак Абеля
- Признак Гаусса
- Признак Дирихле
- Признак Ермакова
- Признак Лобачевского
- Признак Раабе
- Признак сходимости д’Аламбера
- Признаки Коши:
- Радикальный признак Коши
- Интегральный признак Коши
- Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
- Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
- Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2
Теория рядов.Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.
Формула для частичных сумм тригонометрического ряда Фурье
Периодические функции.
Начать изучение
Частичные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции.
Начать изучение
Периодические функции.
Мы уже знакомы с периодическими функциями. Под периодом \(T\) функции \(f(x)\) будем понимать наименьший из ее периодов. Так, функции \(\sin x\) и \(\cos x\) имеют период \(2\pi\), а функция \(\operatorname{tg} x\) имеет период \(\pi\).
Если функция \(f(x)\) имеет период \(2l\), то будем называть ее \(2l\)–периодической.
Функцию, определенную на \([-l, l)\), можно периодически продолжить на \((-\infty, +\infty)\), сдвигая последовательно график функции на промежутке \([-l, l)\) параллельно оси \(x\) на \(2nl\), где \(n = 0, \pm 1,\ldots\). Если существуют односторонние пределы \(f(-l + 0)\) и \(f(l-0)\), то, в силу периодичности выполняются равенства
$$
f(l + 0) = \lim_{x \rightarrow l + 0} f(x) = \lim_{u \rightarrow + 0} f(l + u) = \lim_{u \rightarrow + 0} f(-l + u) = \lim_{x \rightarrow -l + 0} f(x) = f(-l + 0).\nonumber
$$
Если \(f(-l + 0) \neq f(l-0)\), то продолженная функция в точках \(l(2n + 1)\), \(n \in \mathbb{Z}\), будет иметь разрывы первого рода со скачком \(f(-l + 0)-f(l-0)\) даже в том случае, когда функция \(f(x)\) была непрерывной на промежутке \([-l, l)\) (см. рис. 63.1). Функция \(f(x)\), непрерывная на промежутке \([-l, l)\), будучи периодически продолженной на \((-\infty, +\infty)\), останется непрерывной в том и только том случае, когда \(f(-l + 0) = f(l-0)\).
Рис.
{n} a_{k} \cos kx + b_{k} \sin kx.\label{ref1}$$
Заметим, что функция \(S_{n}(x)\) бесконечно дифференцируема и \(2\pi\)-периодична.
Найдем формулу для \(S_{n}(x)\) (формулу Дирихле). При \(u \neq 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\), справедливо тождество
$$
D_{n}(u) = \frac{1}{2} + \cos u + \ldots + \cos nu = \dfrac{\displaystyle\sin \left(n + \frac{1}{2}\right)u}{2\displaystyle\sin \frac{u}{2}}.\label{ref2}
$$
\(\circ\) Достаточно заметить, что
$$
2D_{n}(u) \sin \frac{u}{2} = \sin \frac{u}{2} + 2 \cos u \sin \frac{u}{2} + \ldots + 2 \cos nu \sin \frac{u}{2} =\\= \sin \frac{u}{2} + \sin \frac{3u}{2}-\sin \frac{u}{2} + \ldots + \sin (n + \frac{1}{2})u-\\-\sin (n-\frac{1}{2})u = \sin (n + \frac{1}{2})u.\ \bullet\nonumber
$$
Функция \(D_{n}(u)\), определяемая формулой \eqref{ref2}, называется ядром Дирихле.
Лемма 2.
Ядро Дирихле — бесконечно дифференцируемая, четная и \(2\pi\)-периодическая функция, причем
$$
\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} D_{n}(u)\ du = 1.
{\pi} (f(x + u) + f(x-u)) D_{n}(u)\ du.\label{ref5}
$$
математических слов: последовательность частичных сумм
математических слов: последовательность частичных сумм
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Нахождение частичных сумм в ряду
- Войти
- Биографии репетитора
- Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
- ACT Репетиторство
- SAT Репетиторство
- Репетиторство PSAT
- ASPIRE Репетиторство
- ШСАТ Репетиторство
ВЫСШАЯ ШКОЛА
- Репетиторство MCAT
- Репетиторство GRE
- Репетиторство по LSAT
- Репетиторство по GMAT
К-8
- Репетиторство AIMS
- Репетиторство по HSPT
- Репетиторство ISEE
- Репетиторство по ISAT
- Репетиторство по SSAT
- Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов
- Академическое обучение
репетиторство по математике
- Алгебра
- Исчисление
- Элементарная математика
- Геометрия
- Предварительное исчисление
- Статистика
- Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
- Анатомия
- Биология
- Химия
- Физика
- Физиология
иностранные языки
- французский
- немецкий
- Латинский
- Китайский диалект
- Испанский
начальное обучение
- Чтение
- Акустика
- Элементарная математика
прочее
- Бухгалтерский учет
- Информатика
- Экономика
- Английский
- Финансы
- История
- Письмо
- Лето
Поиск по 350+ темам
- О
- Обзор видео
- Процесс выбора наставника
- Онлайн-репетиторство
- Мобильное обучение
- Мгновенное обучение
- Как мы работаем
- Наша гарантия
- Влияние репетиторства
- Обзоры и отзывы
- Освещение в СМИ
- О преподавателях университета
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Все ресурсы по математике для старших классов
8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Справка по математике для старших классов » Предварительный расчет » Последовательности и серии » Нахождение частичных сумм в ряду
Найдите сумму всех четных целых чисел от до .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула суммы арифметического ряда:
,
, где по которой будет количество членов в ряду. это первый член и — последний член.
Мы знаем, что в ряду есть термины. Первый термин равен , а последний – . Наша формула становится:
Сообщить об ошибке
Найдите сумму всех четных целых чисел от до .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Формула суммы арифметического ряда:
,
, где по которой будет количество членов в ряду.