Частная производная что такое: Частная производная | это… Что такое Частная производная?

Содержание

Частная производная | это… Что такое Частная производная?

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x.

Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.

Примеры

Объем конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

Частная производная объема V относительно радиуса r

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема , т.

е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на .

Частная производная относительно h

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.

Полная производная V относительно r и h

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

Это дает полную производную относительно

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. также

Смешанная частная производная
Производная по направлению
Полная производная функции
Производная функции

Частная производная.

m}∂xim∂mf, – несмешанной. При достаточно широких предположениях смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования по различным переменным. Это имеет место, например, если все рассматриваемые частные производные непрерывны.

Если при определении частной производной положить в основу понятие не обычной, а обобщённой в том или ином смысле производной, то получают определение обобщённой частной производной.

Кудрявцев Лев Дмитриевич. Первая публикация: «Математическая энциклопедия» под ред. И. М. Виноградова, 1985.

Частные производные | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Определение
Векторное исчисление и производные более высокого порядка
Всего производных и фиксированных количеств
Уравнения с частными производными
Рекомендации

Определение частной производной в направлении $x$ функции $f$ двух переменных $x$ и $y$ равно

\[\frac{\partial f }{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) — f(x,y)}{h}. \]

Расширение этого определения до более чем двух переменных прост: все переменные, кроме переменной в производной, считаются фиксированными в приведенном выше определении. То же верно и для частных производных в направлениях, отличных от направления $x$: например, для частной производной в направлении $y$ первый член в приведенном выше числителе принимается равным $f (х,у+ч)$. Обратите внимание, что это определение представляет собой обычный коэффициент разности, определяющий наклон касательной, за исключением фиксированных дополнительных переменных. 9{\prime}\) обычно обозначает частную производную по пространству $\partial_x$.

Все обычные правила для обычной производной с одной переменной сохраняются и в случае частных производных:

Линейность : $\partial_x (af + bg) = a\partial_x f + b \partial_x g, $ где $a,b$ — константы, а $f,g$ — функции.
Правило продукта : $\partial_x (fg) = f\partial_x g + g\partial_x f$.
Цепное правило : $\partial_x f\big(g(x)\big) = \frac{\partial f}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial x}$.

Поскольку правило отношения и другие правила, такие как правило степени, правила дифференцирования логарифмов и тригонометрических функций и т. д., могут быть выведены из приведенного выше с помощью рядов Тейлора, они не перечислены отдельно, но все такие правила остаются в силе.

Вычислите частную производную в направлении $y$ числа
\[f(x,y) = \sin(xy),\]

, во-первых, непосредственно из определения, а во-вторых, рассматривая частную производную как обычную производную со всеми другими переменными, остающимися постоянными.
Подстановка $f(x,y) = \sin (xy)$ в определение дает
\[\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h)-f(xy)}{h} = \lim_{h \ до 0} \ frac {\ sin \ big (x (y + h) \ big) — \ sin (xy)} {h} = \ frac {\ sin (xy + hx) — \ sin (xy)} {h } . \]
Теперь, используя тригонометрическое тождество для суммы, правая часть выше может быть переписана как
\[\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\sin(xy + hx) — \sin(xy)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (xy) \big(\cos (hx) -1\big) + \cos (xy) \sin (hx)}{h}.\]
Оценивая пределы в правой части по правилу Лопиталя, находим
\[\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \big(-x \sin(xy) \sin (hx) + x\cos (xy) \cos(hx )\big) = x \cos (xy).\]

Вместо этого вычисляя частную производную, рассматривая переменную $x$ как константу, цепное правило дает
\[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \big(\sin (xy)\big) = x\cos (xy)\]
в соответствии с первым подходом. Этот пример демонстрирует, что второй подход (считая все переменные, не участвующие в производной, постоянными), как правило, более целесообразен, чем вычисление частной производной непосредственно из определения. $_\квадрат$ 92 y\big) — z\cos(x) + \log(xz),\]
что такое частная производная $\partial_z f?$
\[0\] \[\фракция{1}{\пи}\] \[1\] \[\pi\]
Чему равна частная производная в направлении $y$ функции
\[f(x,y) = \tan(xy)\]
вычисленной в точке \ ((x,y) = (1,\pi)?\)
Поскольку для каждой координаты существует один оператор частных производных, частные производные функции можно представить в виде вектора, называемого

. 0028 градиент и обозначается $\vec{\nabla} f$:
\[\vec{\nabla} f = \left \langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\ partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right \rangle.\]
Приведенное выше определение написано для трехмерного случая, но обобщение на произвольные размерности (включая только два измерения) является прямым; каждая компонента вектора является частной производной в независимом направлении координат. Оператор $\vec{\nabla}$ часто называют оператором градиента или оператором дел оператора . Его можно рассматривать как вектор производных операторов:
\[\vec{\nabla} = \left \langle \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z} \right \rangle.\]

При использовании оператора del в векторных операциях, таких как перекрестное произведение и скалярное произведение, были созданы новые типы объектов, подобных производным, которые называются curl $ \vec{\nabla} \times \vec{F}$ и расхождений $\vec{\nabla} \cdot \vec{F}$ можно определить на векторных полях $\vec{F} = \big\langle F_1 (x,y,z) , F_2(x,y,z), \ldots \big\rangle$ в многомерном исчислении. 92} \\ &= 0.\ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

\[xyz\] \[х+у+г\] \[xy+yz+zx\] \[x+y\]

Какова дивергенция векторного поля $\vec{F} = \left \langle xy,yz,zx \right \rangle ?$

Вычисление частных производных высшего порядка также работает так же, как и в исчислении с одной переменной; просто примените оператор производной несколько раз: 92_{ху} е:\) Разные значения смешанных вторых частных производных соответствуют разным пределам выражения смешанной второй частной производной при приближении к началу координат с разных направлений.

Точно так же, как частные производные первого порядка можно расположить в виде вектора (градиента), частные производные второго порядка можно расположить в виде матрицы, называемой матрицей Гессе 92 ?\]

При работе с функциями многих переменных часто встречаются производные, записанные с помощью $d$ вместо $\partial$. Эти производные называются полными производными и отличаются от частных производных. Например, рассмотрим функцию $f(x,t)$, где $x(t)$ — это некоторая зависящая от времени позиция. Поскольку $x$ сам по себе зависит от времени, то зависимость $f$ от времени зависит не только от явного вида $f(x,t)$, но и от пути $x(t )$. Этот факт фиксируется полной производной 92,\]

, где $x$ представляет путь, параметризованный как $x(t) = \sin(t)$.

Неявная зависимость $f$ от $t$ равна

\[\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} = 2x \cos t = \sin (2t).\]

Явная зависимость $f$ от $t$ есть

\[\frac{\partial f}{\partial t} = 2t.\]

Таким образом, полная производная равна

.
\[\frac{df}{dt} = \sin(2t) + 2t.\]
Существует дополнительный член $\sin (2t)$ из зависимости $x$ от времени, которого нет только в частной производной по $t$. $_\квадрат$
Обычно при вычислении частных производных предполагается, что все направления координат, кроме одного, остаются фиксированными. n\).
Теплоемкость идеального газа определяется как частная производная тепловложения по изменению температуры. То есть теплоемкость количественно определяет, насколько температура идеального газа реагирует на добавление тепла. Однако в зависимости от того, как система внешне обслуживается, теплоемкость может принимать разные значения. Двумя стандартными определениями являются теплоемкость при постоянном объеме $C_V$ и теплоемкость при постоянном давлении $C_P$, определенные по формуле
. 92}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T}.\]
Для идеального газа $(PV = nRT),$ вычислить явно разницу между теплоемкостями через число молей газа $n$ и газовую постоянную $R$.
Вычисление каждой из частных производных в данной формуле с использованием закона идеального газа,
\[ \начать{выравнивать} \left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P &= \frac{\partial}{\partial T} \left(\frac{nRT}P\right) = \frac{nR} {П} \\ \left(\frac{\partial V}{\partial P} \right)_T &= \frac{\partial}{\partial P} \left(\frac{nrT}P\right) = -\frac{nrT {Р^2}. \end{выравнивание} \] 92}\справа)} = nR .\]
Этот результат обеспечивает конкретное физическое доказательство того, что величина, удерживаемая фиксированной при вычислении частной производной, имеет значение. $_\квадрат$
Частные производные в математике и физических науках часто встречаются в дифференциальных уравнениях в частных производных, дифференциальных уравнениях, содержащих более одной частной производной. Подобно тому, как обыкновенные дифференциальные уравнения обычно возникают путем моделирования небольших изменений в системе в течение небольшого интервала времени или пространства, уравнения в частных производных обычно возникают путем моделирования небольших изменений в системе в течение обоих времен 92 u\)
Волновое уравнение описывает распространение колебаний амплитудой $u(x,t)$ некоторого объекта, включая световые волны, волны давления (звука) и колебания физических объектов, таких как веревки. Решения в общем случае могут быть записаны как линейные комбинации функций $f(x+vt)$ и $f(x-vt)$, описывающих распространение волны влево или вправо во времени со скоростью $v\ ). 2 \psi + V \psi$
Уравнение Шрёдингера описывает эволюцию волновых функций $\psi (x,t)$ в квантовой механике, описывающих частицы массы $m$, движущиеся в потенциале $V(x)$. В нем говорится, что «скорость» распределения вероятностей местоположения частицы пропорциональна кривизне волновой функции. Локализация частицы в пространстве придает волновой функции огромную кривизну в небольшой области, поэтому распределение вероятностей будет стремиться быстро двигаться наружу из этой области, что является проявлением принципа неопределенности Гейзенберга. 94} T_{\mu \nu}\)
Уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор многих связанных дифференциальных уравнений в частных производных, которые решают геометрию пространства-времени в общей теории относительности с точки зрения материи/энергии $T_{\mu \nu }$, который присутствует в пространстве-времени. Левая часть выше включает выражения $R_{\mu \nu}$ и $R$, которые определяются через сложную комбинацию частных производных метрики пространства-времени $g_{\mu \nu }$, который определяет способ измерения расстояний. {ixt}\]
Что из следующего не является функцией $f(x,t)$, которая удовлетворяет следующему уравнению в частных производных первого порядка:
\[t\partial_t f = x\partial_x f?\]
[1] Вайсштейн, Эрик В. Частная производная. Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html.
Процитировать как: Частные производные. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/partial-derivatives/
Введение в частные производные — Math Insight
Обзор видео
Введение в частные производные.
Подробнее о видео.
Обычные производные в исчислении с одной переменной
Ваш счет за отопление зависит от средней температуры снаружи. Я упал другие факторы остаются постоянными, то счет за отопление будет увеличиваться когда температура падает. Обозначим среднюю температуру через $T$, а определить функцию $h : \R \to \R$ (перепутали?), чтобы $h(T)$ задавала нагрев счет как функция $T$.
Тогда мы можем интерпретировать обычную производную (т.е. производную вы узнали об исчислении в первом семестре) как указание, сколько счет за отопление изменится при изменении температуры: \начать{выравнивать*} \diff{h}{T}(a) = \frac{\text{изменение $h$}}{\text{изменение $T$}} (\text{ в $T=a$}). \конец{выравнивание*} Если изобразить зависимость $h$ от $T$, то $\displaystyle \diff{h}{T}(a)$ дает наклон графика в точке, где $T=a$. Мы говорим, что $\displaystyle \diff{h}{T}$ является производной от $h$ с относительно $T$. Если $T$ указано в градусах Цельсия, то $\displaystyle \diff{h}{T}(a)$ – изменение стоимости отопления на градус. Цельсия увеличения температуры, когда температура равна $a$. С $h$ уменьшается по мере увеличения $T$, мы ожидаем, что $\displaystyle \diff{h}{T}$ быть отрицательным. (Скорость изменения стоимости отопления на градус Цельсия температуры уменьшение положительное. Но это положительная ставка равна $\displaystyle -\diff{h}{T}$.)
Хотя я не знаю, как на самом деле должен выглядеть $h(T)$, притворись выглядит как кривая, изображенная в апплете ниже. Мы можно визуализировать производную, нарисовав прямую, касательную к кривая в точке $(a,h(a))$. Наклон линии равен наклон графика при $T=a$; следовательно, наклон линии равен равно производной $\displaystyle \diff{h}{T}(a)$.
Обыкновенная производная стоимости отопления. Представьте себе, что функция $h(T)$, показанная зеленой линией, представляет собой стоимость отопления вашего дома при внешней температуре $T$. Производная $dh/dT$ вычисляется при температуре $T=a$. Вы можете изменить $a$, перетащив мышью красную точку $(a,h(a))$. Тонкая синяя линия касается графика $h(T)$ в точке $T=a$, а ее наклон представляет собой производную $dh/dT$.
Дополнительная информация об апплете.
Частные производные аналогичны обычным производным 92 \к \R$, так что $h(T,I)$ дает счет за отопление как функцию температура $T$ и изоляция $I$.
Кто знает, может эта функция будет выглядеть примерно так, как на графике ниже.
Загрузка апплета
Затраты на отопление в зависимости от температуры и изоляции. Можно представить себе, что это график функции $h(T,I)$, которая определяет стоимость отопления в зависимости от наружной температуры $T$ и степени изоляции $I$.
Дополнительная информация об апплете.
Предположим, вы не меняете теплоизоляцию в вашем доме, поэтому что мы рассматриваем $I$ как фиксированное число. Тогда, если мы посмотрим, как счет за отопление меняется по мере изменения температуры, мы вернулись к нашему первому дело выше. Единственное отличие состоит в том, что теперь мы рассматриваем $h$ как функцию как $T$, так и $I$, и мы явно оставляем один из переменные ($I$) константы. В этом случае мы называем изменение $h$ частная производная от $h$ относительно $T$, термин, который отражает тот факт, что некоторые переменные остаются постоянными. Мы также меняем нашу записи, записав $d$ как $\partial$, так что \начать{выравнивать*} \pdiff{h}{T}(a,b) = \frac{\text{изменение $h$}}{\text{изменение $T$}} (\text{при $T=a$, сохраняя $I$ постоянным при $b$}). \конец{выравнивание*} Если значение $T$ указано в градусах Цельсия, то $\displaystyle \pdiff{h}{T}(a,b)$ — изменение стоимости отопления на градус Цельсия повышение температуры, когда наружная температура равна $a$, а количество изоляции $b$.
Теперь представьте, что вы рассматриваете возможность снизить отопление счёт за счёт установки дополнительной изоляции. Чтобы помочь вам решить, если это будет стоить ваших денег, вы можете узнать, сколько стоит добавить теплоизоляция уменьшит счет за отопление, при условии, что температура остается постоянным. Другими словами, вы хотите знать частичную производная от $h$ по $I$: \начать{выравнивать*} \pdiff{h}{I}(a,b) = \frac{\text{изменение $h$}}{\text{изменение $I$}} (\text{при $I=b$, сохраняя $T$ постоянным при $a$}). \конец{выравнивание*} Если $I$ указано в сантиметрах изоляции, то $\displaystyle \pdiff{h}{I}(a,b)$ — изменение стоимости отопления на добавленный сантиметр изоляции при температуре наружного воздуха $a$ и количестве изоляция $b$.
Частная производная $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ показывает, насколько Влияние дополнительного утепления на счет за отопление. С дополнительная изоляция предположительно снизит счет за отопление, $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ будет отрицательным. Если дополнительные изоляция будет иметь большой эффект, тогда $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ будет большое отрицательное число. Если для вашего дома $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ большой и отрицательный, вы можете добавить шумоизоляция для экономии.
На графике $h(T,I)$ частные производные можно рассматривать как наклоны графиков в направлении $T$ и в направлении $I$, как показано в апплете ниже.
Загрузка апплета
Частные производные стоимости отопления. Частные производные стоимости отопления $h(T,I)$ по наружной температуре $T$ и количеству изоляции $I$ можно рассматривать как наклон графика в направлении $T$ и в направлении $ I$ направление. Частная производная $\displaystyle \pdiff{h}{T}$ соответствует наклону красной линии, а частная производная $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ соответствует наклону зеленой линии. Вы можете перетаскивать синюю точку, чтобы изменить значения $T$ и $I$, в которых вычисляются частные производные.
Дополнительная информация об апплете.
Вы можете перетащить изменение значений $T$ и $I$ в см., например, как частная производная $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ зависит как от температуры, так и от изоляции. Следовательно, ваше решение добавить изоляцию будет зависеть от того, что температуры, которую вы ожидаете, и сколько изоляции уже есть в вашем доме. Вы можете ожидать, что дополнительная изоляция будет иметь больший эффект. (т. е. $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ будет большим отрицательным числом) для более низких температур и меньшего количества изоляции. Итак, если вы жить в каком-то холодном месте в Миннесоте, США, и иметь старый, плохо изолированный дом, вполне вероятно, что $\displaystyle \pdiff{h}{I}$ будет очень большим отрицательным число, так что добавление умеренного количества изоляции может резко снизить счет за отопление.
Как упоминалось выше, счет за отопление зависит от гораздо большего числа факторов, чем Температура и изоляция. Мы могли бы определить функцию $h$ многих переменные, чтобы дать более точную оценку затрат на отопление. Однако, математика одинакова независимо от того, от скольких переменных зависит $h$, т.к. пока это зависит от двух или более. Итак, если вы хотите включить влияние размера дома $S$, вы можете определить $h(T,I,S)$ как счет за отопление в зависимости от температуры, изоляции и размера. Затем $\displaystyle \pdiff{h}{S}(T,I,S)$ расскажет вам, сколько затраты на отопление меняются при изменении размера, температуры на выходе и постоянная изоляции. (Мы все еще можем понять эти частичные производные, даже если мы не можем построить график $h(T,I,S)$.) Значение $\displaystyle \pdiff{h}{S}$ предположительно будет полезен, только если вы планируете переехать с вы, вероятно, не планируете отрезать комнату от своего дома, чтобы сэкономить на отоплении затраты (хотя можно было просто не отапливать комнату и эффективно уменьшить размер).
Вы можете изучить некоторые примеры вычисления частных производных.
No related posts.