Дифференциальные уравнения в частных производных. — КиберПедия
1.Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные или дифференциалы. Символически дифференциальное уравнение записывается так:
,
Дифференциальным уравнением называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференцированного уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Решением (или интегралом) дифференцированного уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решением (или общим интегралом) дифференцированного уравнения называется такое уравнения, в которое входит столько независимых производных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференцированного уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значение произвольных постоянных находятся при предельных начальных значениях аргумента и функции. График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными 1-го порядка называется уравнение вида:
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:
А затем проинтегрировать обе части полученного равенства:
Уравнение вида: , где и функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае и могут быть постоянными величинами. Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, и новые функции от .
Т. о. , или
Здесь подинтегральная функция, подинтегральное выражение, с – произвольная постоянная.
1.Найти общее решение уравнения
Решение: Разделить переменные, имеем:
Интегрируем обе части полученного уравнения:
Т. к. произвольная постоянная с может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо с мы напишем . потенцируя последнее выражение получим . Это есть общее решение данного уравнения.
2.Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при
Решение: Разделив переменные, имеем
Проинтегрируем обе части полученного уравнения
или
общее решение
Используя и , получим
Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
3.Найти общее решение уравнения
Решение: Это линейное уравнение: здесь
Положим и продифференцируем это равенство по . Подставив теперь выражение для у и в данное уравнение, получим
или
Т. к. одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем:
(произвольную постоянную с примем = 0, т. к. находим одно из частных решений) подставим теперь выражение для в уравнение ; тогда получим уравнение:
или
Отсюда находим:
Зная и получим общее решение:
2.Уравнения, содержащие производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называются дифференциальными уравнениями второго порядка. Общий вид уравнения записывается следующим образом или
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида:
где и постоянные величины
Для нахождения общего решения составляется характеристическое уравнение:
, где
Решив, полученное уравнение находим и . Зависимости от и возможны случаи:
1) Если корни и действительные и различные, то решение уравнения имеет вид:
2) Если корни и равны, то общее решение имеет вид:
3) Если корни и комплексно-сопряженные, т. е. Уравнения, содержащие производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называются дифференциальными уравнениями второго порядка. Общий вид уравнения записывается следующим образом:
или
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида:
где и постоянные величины
Для нахождения общего решения составляется характеристическое уравнение:
, где
Решив, полученное уравнение находим и . Зависимости от и возможны случаи:
1) Если корни и действительные и различные, то решение уравнения имеет вид:
2) Если корни и равны, то общее решение имеет вид:
3) Если корни и комплексно-сопряженные, т. е. и
То общее решение имеет вид:
1.Найти общее решение уравнения
Это неполное дифференциальное уравнение 2-го порядка вида . Полагаем ; тогда данное уравнение можно записать в виде , т. е. откуда Интегрируя равенство, получим т. е.
Следовательно, , т. е.
Снова интегрируя, находим
, или . Это и есть общее решение данного уравнения.
2.Найти частное решение уравнения , если и при . Составим характеристическое уравнение . Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид т. е.
Для нахождения искомого частного решения значение , , получим . Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения , , имеем . Отсюда находим:
. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
3.Решить уравнение
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ; ; здесь . Так как характеристическое уравнение имеет два комплексно – сопряженных корня, то общее решение дифференциального уравнения согласно формуле: записывается в виде
Вопросы для самопроверки:
1. Какое уравнение называют дифференциальным уравнением? Приведите примеры.
2.Если искомая функция зависит от одного независимого переменного, то как называют такое дифференциальное уравнение?
3.Какие из следующих уравнений являются дифференциальными: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ?
4.Что называют порядком дифференциального уравнения?
5.Какая функция называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения?
6.Какое уравнение называют общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения?
7. Какое решение называют частным решением дифференциального уравнения?
8.Какое уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?
9.Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?
10.Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?
11.Сколько постоянных интегрирования имеет общее решение дифференциального уравнения первого порядка?
12.Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения?
13. Какое уравнение называют дифференциальным уравнением 2-го порядка?
14. Какой вид имеет дифференциальное уравнение 2-го порядка?
15. Сколько произвольных постоянных содержит общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка?
16. Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
17. Какое уравнение составляется для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения?
18. Опишите возможные случаи общего решения дифференциального уравнения.
19.Что такое характеристическое уравнение?
Симметрия | Бесплатный полнотекстовый | Частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием дискретных групп симметрии
1. Введение
Групповой анализ Ли, основанный Софусом Ли, является важным методом решения дифференциальных уравнений, особенно для решений нелинейных дифференциальных уравнений. В основе этого метода лежит инвариантность дифференциальных уравнений относительно группы непрерывных преобразований. Эти преобразования называются точечными группами симметрии Ли дифференциального уравнения, когда эта группа преобразований оставляет дифференциальное уравнение инвариантным [1,2,3,4,5]. Ли разработал алгоритм для систематического определения групп симметрии, связанных с данным дифференциальным уравнением [2,5,6]. Как только группа симметрии дифференциального уравнения открыта, ее можно использовать для исследования решений этого дифференциального уравнения различными способами. Например, группы симметрии можно использовать (а) для получения новых решений из старых [4,7], (б) для понижения порядка данного дифференциального уравнения [1,7], (в) для определения того, является ли дифференциальное уравнение можно линеаризовать и построить явную линеаризацию, если она существует [8,9,10] и (d) для нахождения сохраняющихся величин [7]. Симметрии точки Ли дифференциальных уравнений могут быть описаны очень маленькими генераторами.
Существуют симметрии, которые не могут быть описаны очень малыми образующими, и одна из них — дискретные симметрии [1,11]. Дискретные симметрии имеют множество применений в дифференциальных уравнениях, например, для упрощения численного вычисления решений уравнений в частных производных и для получения новых точных решений из известных решений [12]. Дискретные группы симметрии также определяют характер бифуркаций в нелинейных динамических системах [13].
Хайдон разработал метод [1] для нахождения всех дискретных точечных симметрий дифференциальных уравнений, основанный на результате [11] о том, что каждый генератор точечной симметрии Ли алгебры Ли L дифференциального уравнения индуцирует автоморфизм, сохраняющий коммутаторное соотношение
Его метод классифицирует все возможные автоморфизмы алгебры Ли L, выделяя те автоморфизмы, которые эквивалентны под действием непрерывной симметрии в группе Ли, порожденной алгеброй Ли L, и дает наиболее общую реализацию этих автоморфизмов как точечные преобразования . Наконец, эти точечные преобразования используются для получения полного списка дискретных точечных симметрий дифференциального уравнения.
Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений представляют большой интерес для физиков, инженеров, математиков и биологов, поскольку многие физические явления моделируются в виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, например дифференциальное уравнение Лежандра [14], используемое в физике . В литературе существует множество методов, например, преобразование Лапласа [15], методы интегрального преобразования [16], преобразование Сумуду [17] и метод групп Ли [5] для решения нелинейных ОДУ. Среди этих методов метод групп Ли является более мощным методом получения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Группа Ли преобразований симметрии нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения используется для нахождения его общих решений путем приведения его к линеаризуемой форме, путем нахождения его инвариантов или путем получения новых решений из старых решений, но дискретная группа симметрии преобразования могут быть непосредственно использованы для получения частных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
В этой статье мы объясняем, как дискретные группы симметрии используются для получения частных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта статья разделена на три раздела следующим образом: В разделе 2 описывается алгоритм нахождения дискретных симметрий ОДУ. В разделе 3 обсуждается процедура нахождения частных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием дискретных групп симметрии и получаются частные решения некоторых нелинейных ОДУ с использованием их дискретных симметрий. Резюме настоящей работы дано в последнем разделе.2. Метод нахождения симметрии дискретных точек ОДУ
ОДУ n-го порядка вида
имеет конечномерную алгебру Ли L генераторов точечной симметрии (если она существует) с базисом
где N= dim(L). Хайдон [18] предложил метод нахождения полного списка всех дискретных групп симметрии для данного обыкновенного дифференциального уравнения (1) с алгеброй Ли L генераторов симметрии, заданной (2).
где cijm — структурные константы базиса {Xi}.
Метод, разработанный Хайдоном, классифицирует все мыслимые автоморфизмы L, выделяя те из них, которые эквивалентны под действием любой симметрии в группе Ли, порожденной L. Тогда можно будет достичь наиболее общей реализации неэквивалентного автоморфизма в виде точечное преобразование. Наконец, заменив эти точечные преобразования условием симметрии
можно получить полный список дискретных групп симметрии ОДУ (1). Детальный аспект этого метода можно увидеть в [18].
Пример:Рассмотрим ОДУ третьего порядка, полученное Уиттакером [19]
чья алгебра Ли L [20] порождена
Эта алгебра Ли неабелева, и ее единственная ненулевая структурная константа равна
Элементы невырожденной матрицы B удовлетворяют следующей системе нелинейных ограничений
Для n=1 приведенные выше ограничения становятся
Из приведенного выше уравнения получается только одно значение путем установки (i,j)=(1,2), т. е.
Аналогично для n=3 в (6) получается, что
При n=2 ограничения (6) дают следующие значения элементов B.
Теперь невырожденная матрица B принимает вид
Так как X3 находится в центре алгебры Ли (5), то матрицы, соответствующие автоморфизмам, порожденным X1 и X2, равны
Для дальнейшего упрощения B предварительно умножьте его на A(2,b12), чтобы заменить b12 нулем, и предварительно умножьте B на A(1,−lnb22), чтобы заменить b22 на α. Таким образом, B принимает следующий вид
Теперь необходимо решить следующие определяющие уравнения
Общее решение приведенных выше определяющих уравнений:
где c – постоянная интегрирования, а определяющие уравнения требуют, чтобы b13=0.
Из (7) получаем, что
Подставляя приведенные выше результаты в условие симметрии (3), было найдено, что
и
являются дискретными симметриями (4). Таким образом, единственная нетривиальная дискретная группа симметрии (4) порождаетсякоторый изоморфен Z2.
3. Применение дискретных групп симметрии для получения частных решений нелинейных ОДУ
В этом разделе объясняется процедура нахождения частных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на некоторых примерах.
3.1. Процедура поиска конкретных решений с использованием дискретных групп симметрии
Пусть ОДУ n-го порядка, заданное (1), имеет следующую дискретную группу симметрии
Дискретная группа симметрии (9) указывает, что либо
или же
3.
2. Частные решения некоторых нелинейных ОДУ с использованием дискретных групп симметрииТеперь представлены частные решения некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием их дискретных групп симметрии.
Нелинейное ОДУ третьего порядка, полученное Уиттакером [19]
имеет дискретную группу симметрии, указанную в (8). Эта дискретная группа симметрии указывает, что частное решение ОДУ может иметь вид
Если мы возьмем f(x)=ex, то увидим, что −w=ex или w=−ex является частным решением (4). График частного решения w=−ex уравнения (4) показан на рис. 1.
Рассмотрим уравнение Блазиуса
которая инвариантна двумерной алгеброй Ли
Следуя методу, представленному в [18], установлено, что дискретная группа симметрии (12) есть Υ:(x,w)↦(−x,w), что показывает, что w=−f(x), т.е. , w=−x — частное решение (12). График частного решения w=−x уравнения (12) представлен на рис. 2.
Рассмотрим следующее ОДУ
имеющая шестимерную алгебру Ли [20]
Используя приведенную выше алгебру Ли и применяя метод Хайдона, приведенный в [18], находим, что
две дискретные группы симметрии ОДУ (13). Теперь, используя (14) и (15), можно найти два частных решения (13). Из Υ1 и Υ2 был сделан вывод, что w=1x и w=-x являются двумя частными решениями уравнения (13), которые вычисляются с использованием его дискретных групп симметрии. График частного решения w=1x уравнения (13) показан на рис. 3.
Дискретная группа симметрии нелинейного ОДУ [21]
является
Теперь, используя (10), Υ вывести, что 12×2−w=−x или w=12×2+x является частным решением (16). График частного решения w=12×2+x уравнения (16) представлен на рис. 4.
Рассмотрим следующее уравнение Шази
дискретные симметрии которого обсуждались в [18], и одно из этих преобразований дискретной симметрии есть
что указывает на то, что решение (17) имеет вид
или же
Чтобы найти частное решение (17), необходимо найти значение c1. Таким образом, производные w’, w» и w’ получаются с использованием уравнения (18), и путем подстановки значений этих производных в уравнение (17) получается, что c1=0. Таким образом, x2w+6x=0, т. е. w=−6x является частным решением (17). График этого частного решения показан на рисунке 5.
Примечание:
Все рассмотренные примеры, представленные в предыдущем разделе, показывают, как дискретные группы симметрии помогают строить некоторые частные решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
4.
РезюмеЭта статья содержит применение дискретных точечных симметрий для обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой статье мы объяснили, как можно использовать дискретные группы симметрии для нахождения частных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены некоторые нелинейные ОДУ вдоль их дискретных преобразований симметрии и получены частные решения этих онлайновых ОДУ с помощью их дискретных симметрий.
Дальнейшее применение дискретных групп симметрии, которое необходимо исследовать, заключается в изучении того, могут ли и как нелинейные ОДУ быть инеаризованы с помощью дискретных групп симметрии.
Финансирование
Это исследование финансируется NUST, Пакистан.
Благодарности
Автор выражает благодарность редактору и анонимным рецензентам за их предложения и ценные комментарии, позволившие улучшить рукопись.
Конфликт интересов
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Ссылки
- «> Hydon, P.E. Методы симметрии для дифференциальных уравнений: руководство для начинающих; Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания, 2000. [Google Scholar]
- Стефани, Х. Дифференциальные уравнения: их решения с использованием симметрии; Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания, 1989. [Google Scholar]
- Ибрагимов, Н. Х. Справочник CRC по групповому анализу дифференциальных уравнений Ли; CRC Press: Бока-Ратон, Флорида, США, 1996; Том III. [Google Scholar]
- Bluman, G.W.; Кумей, С. Симметрии и дифференциальные уравнения; Springer: New York, NY, USA, 1989. [Google Scholar]
- Ибрагимов Н. Х. Элементарный групповой анализ Ли и обыкновенные дифференциальные уравнения; John Wiley & Sons: Чичестер, Великобритания, 19 лет.99. [Google Scholar]
- Олвер, П. Дж. Эквивалентность, инварианты и симметрия; Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания, 1995. [Google Scholar]
- Олвер П. Дж. Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям; Springer: New York, NY, USA, 1986. [Google Scholar]
- Bluman, G.W.; Кумей, С. Алгоритмы, основанные на симметрии, связанные с уравнениями в частных производных: I. Локальные симметрии. Евро. Дж. Заявл. Мат. 1990 , 1, 189–216. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
- Кумей С.; Блуман, Г.В. Когда нелинейные дифференциальные уравнения эквивалентны линейным дифференциальным уравнениям. СИАМ Дж. Заявл. Мат. 1982 , 42, 1157–1173. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
- Магомед, Ф.М.; Лич, П.Г.Л. Алгебра Ли sl(3,R) и линеаризация. Кваест. Мат. 1989 , 12, 121–139. [Google Scholar] [CrossRef]
- Hydon, P.E. Как использовать симметрии Ли для поиска дискретных симметрий; Издательство MARS: Тронхейм, Норвегия, 1999 г.; стр. 141–147. [Google Scholar] «> Ян, Х.; Ши, Ю.; Инь, Б .; Донг, Х. Анализ дискретных симметрий и точные решения невязкого уравнения Бюргерса. Дискретный. Дин. Нац. соц. 2012 , 2012, 908975. [Google Scholar] [CrossRef]
- Голубицкий М.; Стюарт, И.; Шеффер, Д.Г. Особенности и группы в теории бифуркаций; Спрингер: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 1988; Том 2. [Google Scholar]
- Арфкен Г. Самосопряженные дифференциальные уравнения. Математические методы для физиков, 3-е изд.; Academic Press: Орландо, Флорида, США, 19 лет.85; стр. 497–509. [Google Scholar]
- Шпигель, М. Р. Теория и проблемы преобразований Лапласа; Серия набросков Шаумса; McGraw-Hill: New York, NY, USA, 1965. [Google Scholar]
- Тариг, М. Эльзаки, Новое интегральное преобразование «Преобразование Эльзаки». Глоб. J. Pure Appl. Мат. 2011 , 7, 57–64. [Google Scholar]
- Belgacem, FBM; Карабалли, А.А. Сумуду преобразует фундаментальные свойства, исследования и приложения. Дж. Заявл. Мат. стох. Анальный. 2006 , 2006, 91083. [Google Scholar] [CrossRef]
- Hydon, P.E. Дискретно-точечные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений. проц. Р. Соц. Лонд. сер. А 1998 , 454, 1961–1972. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
- Whittaker, J.V. Аналитическое описание некоторых простых случаев хаотического поведения. Являюсь. Мат. Пн. 1991 , 98, 489–504. [Google Scholar] [CrossRef]
- Ибрагимов Н.Х.; Нуччи, М.К. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка методом Ли: уравнения, допускающие трехмерные алгебры Ли. Ли группирует свои приложения. 1994 , 1, 49–64. [Google Scholar]
- Laine-Pearson, FE; Хайдон, П.Е. Классификация дискретных симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений. Стад. заявл. Мат. 2003 , 111, 269–299. [Google Scholar] [CrossRef]
Рисунок 1. График частного решения w=−ex уравнения (4).
Рисунок 1. График частного решения w=−ex уравнения (4).
Рисунок 2. График частного решения w=−x уравнения (12).
Рисунок 2. График частного решения w=−x уравнения (12).
Рисунок 3. График для частного решения w=1x уравнения (13).
Рисунок 3. График для частного решения w=1x уравнения (13).
Рисунок 4. График частного решения w=12×2+x уравнения (16).
Рисунок 4. График частного решения w=12×2+x уравнения (16).
Рисунок 5. График для частного решения w=−6x уравнения (17).
Рисунок 5. График для частного решения w=−6x уравнения (17).
© 2020, автор. Лицензиат MDPI, Базель, Швейцария. Эта статья находится в открытом доступе и распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution (CC BY) (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
Численность, математика и статистика — Набор академических навыков
Принудительные дифференциальные уравнения второго порядка
ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Решение вынужденных дифференциальных уравнений 3 Примеры работы 4 См. также 92} + b\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + cy = f(x),\]
, где $a$, $b$ и $c$ — действительные числа, а $f(x)$ является функцией $x$. Функция $f(x)$ известна как принудительный член или принудительная функция . Правая часть может быть любой функцией; эта страница охватывает три наиболее распространенные категории: полиномы, тригонометрические и экспоненциальные.
Примечание: Эта форма дифференциального уравнения аналогична однородному дифференциальному уравнению второго порядка, где в правой части стоит $0$: 92} + b\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + cy = 0.\]
Для решения вынужденных дифференциальных уравнений необходимо знать метод решения однородных уравнений.
Решение вынужденных дифференциальных уравнений
Трудность при решении задач такого типа состоит в том, чтобы найти функцию, которая при прохождении через дифференциальное уравнение дает правильную правую часть. Это не всегда просто и часто сводится к угадыванию общей формы решения, а затем подстановке его в дифференциальное уравнение, чтобы найти подходящее решение. Эта функция известна как частное решение , $y_p$. Есть несколько общих правил, которым нужно следовать при работе с тремя категориями функций, приведенными выше.
Частного решения недостаточно для полного решения задачи, так как в нем не будет произвольных констант, удовлетворяющих граничным условиям. Однако для удовлетворения граничных условий можно использовать общее решение однородной формы того же уравнения. Поскольку это второе решение сводится к нулю дифференциальным уравнением, оно не повлияет на способность конкретного решения давать правильную правую часть. Функция, которая решает однородное уравнение, известна как 92.\]
Приравнивание коэффициентов при степенях $x$ по обе стороны от знака равенства дает систему уравнений для $A$, $B$ и $C$:
\[\begin{align} -2А &= 1, \\ 2А — 2В &= 0, \\ 2A + B — 2C &= 0. \end{align}\]
Из первого уравнения $A = -\frac{1}{2}$. Подставив это во второе уравнение, мы получим $B = -\frac{1}{2}$. Подстановка этих значений для $A$ и $B$ в третье уравнение дает $C = -\frac{3}{4}$.
Таким образом, особое решение: 9{-2x},\]
, где $\hat{A}$ и $\hat{B}$ — произвольные константы. Обозначение шляпы было введено, чтобы подчеркнуть, что это не те же $A$ и $B$, которые появились при поиске конкретного решения.
Примечание: Чтобы найти значения $\hat{A}$ и $\hat{B}$, удовлетворяющие заданной задаче, необходимо применить граничные условия к полному решению, а не только к дополнительной функции. Полное общее решение должно быть сформировано перед решением для $\hat{A}$ и $\hat{B}$. 9{-2x} — x — \frac{1}{2}.\]
Применение граничных условий дает::
\[\begin{align} y(0) &= \hat{A} + \hat {B} — \frac{3}{4} = 0, \\ y'(0) &= \hat{A} - 2\hat{B} — \frac{1}{2} = 0. \end{align}\]
Преобразование первого уравнения дает $\hat {A} = \frac{3}{4} — \hat{B}$. Подстановка этого во второе уравнение дает $\frac{1}{4} — 3\hat{B} = 0$, поэтому $\hat{B} = \frac{1}{12}$ и $\hat{A } = \frac{2}{3}$.
Подстановка этих значений $\hat{A}$ и $\hat{B}$ в общее решение дает решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям: 92} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} — 2y = \sin{x}. \]
Решение
Начните с поиска конкретного решения. Поскольку функция в правой части является тригонометрической функцией, разумно предположить, что частное решение также является тригонометрическим. Угадайте, что конкретное решение имеет вид:
\[y_p = A\sin{x} + B\cos{x}.\]
Примечание: Распространенной ошибкой является включение только одной из тригонометрических функций в предположении для конкретного решения. Поскольку дифференциальное уравнение включает в себя как первую, так и вторую производную от $y$, и $\sin{x}$, и $\cos{x}$ должны быть включены в предположение для $y_p$, чтобы гарантировать, что члены, включающие $\sin {x}$ и $\cos{x}$ также появляются в терминах $y_p»$ и $y_p’$.
Чтобы найти $A$ и $B$, подставьте предположение частного решения $y_p$ в дифференциальное уравнение. Первая и вторая производные $y_p$ равны:
\[\begin{align} y’_p &= A\cos{x} — B\sin{x}, \\ y»_p &= -A\sin{x} — B\cos{x}. \end{align}\]
Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:
\[(-A\sin{x} — B\cos{x}) + (A\cos{x} — B\sin{ x}) — 2(A\sin{x} + B\cos{x}) = \sin{x}.