Частные производные первого и второго порядка: Частные производные, дифференциал, производная по направлению, градиент.

Содержание

54. Частные производные первого порядка.

Определение. Если существует , то он называется частной производной (первого порядка) функциипо переменнойи обозначается

Аналогично определяется частная производная по переменной y:

55. Производные от сложной функции многих переменных

Обобщим понятие сложной функции на случай функции многих переменных. Пусть дана функция

(1)

аргументы, которой и– функции других переменныхи:

Если в соотношение (1) вместо иподставить их выражения черези, то в результате получим сложную функцию переменныхи:

В частном случае, если изависят только от одного переменного:то сложная функцияявляется функцией одного переменного.

56. Частные производные второго порядка

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

= ,=.

Две последние называют смешанными производными.

Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:

57. Теорема о смешанных производных

Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны.

Пример. .

, ,

, ,,,

58. Полный дифференциал первого порядка

Функция называется дифференцируемой в точкеx₀, если ее приращение Δy(x

0,Δx) может быть представлено в виде

Главная линейная часть приращения Δy называется дифференциалом этой функции в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом dy (x₀,Δx).

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точкеx₀,необходимо, чтобы существовала производная , при этом справедливо равенство.

Выражение для дифференциала имеет вид

Где .

Свойства дифференциала:

1. , где C− постоянная;

2. ;

3. ;

4. ;

59. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:

Если поверхность задана уравнением , то его можно представить в вида; тогда имеем, отсюда получаем,и. В этом случае уравнение касательной будет иметь вид

а уравнение нормали

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»):

При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу:

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

61. Производная функции по направлению.

Определение. Предел отношения , если он существует, называется Производной функции Z=F(M) в точке M(X; Y) по направлению вектора L .

Обозначение.

Если функция F(M) дифференцируема в точке М(х; у), то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L, исходящему из М; вычисляется она по следующей формуле:

(8)

Где Cos

 И Cos — направляющие косинусы вектора L.

62. Дифференциалы второго порядка, матрица Гeccе.

Определение. Пусть функция дважды дифференцируема в точке x. Дифференциалом второго порядка от функции иливторым дифференциалом в точке x называется дифференциал от ее первого дифференциала d(dy). Второй дифференциал обозначается d²y .

Теорема

Если функция у = f(x) дважды дифференцируема и

х — независимая переменная, то формула для второго дифференциала имеет вид:

Квадратная симметрическая матрица порядка n, элементами которой являются частные производные целевой функции второго порядка, называется матрицей Гессе и обозначается:

44.

1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆_хz. Итак,

Δ_хz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Δ_уz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством

Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М₀(х₀;у₀) обычно обозначают символами

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + е^х2-у
+1. Решение:

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у₀) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = у_о. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что ƒ’x(х_о;у_о) = tg а, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у₀) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).

Аналогично, f’y (х₀;у₀)=tgβ.

44.2. Частные производные высших порядков

Частные производныеназывают частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так,и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.Таковыми являются, например,

Пример 44.2. Найти частные производные второго порядка функции z = x⁴-2x2y³+y⁵+1.

Решение: Так както

Оказалось, что

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для z=ƒ(х; у) имеем:

44.

3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy. (44.2)

Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz=Adx+Bdy. (44.3)

Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz/dx и dz/dy, причем dz/dx = А, dz/dy = В.

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1), получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда находимПереходя

к пределу при Δх → 0, получим

Таким образом, в точке М существует частная производная ƒ’x(х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная

Равенство (44.1) можно записать в виде

где g=аΔх+βΔу→0 при Δх → 0, Δу → 0.

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функцияне дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

или

где— частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z’_x и z’_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).

Примем теорему без доказательства.

Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

3 — ФЗ второго порядка

Индекс Содержание Вопросы

Пред. Next

Исчисление функций многих переменных

Раздел 3

Частные производные второго порядка

Частная производная функции $n$ переменных сама является функцией $n$ переменных. Взяв частные производные от частных производных, мы вычисляем производные более высокого порядка. Производные более высокого порядка важны для проверки вогнутости функции, подтверждения того, является ли крайняя точка функции максимальной или минимальной и т. д.

Учитывая, что функция $f(x,y)$ непрерывно дифференцируема на открытой области, мы можем получить следующие наборы частных производных второго порядка:

Прямые частные производные второго порядка:

$ f_{xx} = \frac{\partial f_{x}}{\partial x}$, где $f_{x}$ — частная производная первого порядка по $x$.

$f_{yy} = \frac{\partial f_{y}}{\partial y}$, где $f_{y}$ — частная производная первого порядка по $y$ .

Перекрестные частные производные:

$f_{xy} = \frac{\partial f_{x}}{\partial y}$, где $f_{x}$ — частная производная первого порядка по $Икс$.

$f_{yx} = \frac{\partial f_{y}}{\partial x}$, где $f_{y}$ — частная производная первого порядка по $y$ .

Теорема Юнга: Соответствующие взаимные частные производные равны. (Чтобы узнать больше о теореме Юнга, см. Simon & Blume, Mathematics for Economists, стр. 330.) 9{2}$$ Частные производные первого порядка: $$f_{x} = 2x + 5y + 0 = 2x + 5y$$ $$f_{y} = 0 + 5x + 4y = 5x + 4y$$ Прямые частные производные второго порядка: $$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + 5y) = 2$$ $$f_{yy} = \frac{\partial }{\partial y}(5x + 4y) = 4$$ Перекрестные частные производные второго порядка: $$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 5y) = 5$$ $$f_{yx} = \frac{\partial }{\partial x}(5x + 4y) = 5$$ Обратите внимание, что в этом примере перекрестные частные производные равны.

UWO Economics Math Resources by Mohammed Iftekher Hossain находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

10.3: Частные производные второго порядка — Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 107863

Мэтью Болкинс, Дэвид Остин и Стивен Шликер
Valley State University 90Grand Valley State University 90Grand Valley @ ScholarWorks
Мотивирующие вопросы
- Учитывая функцию $f$ двух независимых переменных $x$ и $y\text{,}$, как определяются частные производные второго порядка от $f$?
- Что означают частные производные второго порядка $f_{xx}\text{,}$ $f_{yy}\text{,}$ $f_{xy}\text{,}$ и \ (f_{yx}\) функции $f$ расскажет нам о поведении функции?
Напомним, что для функции с одной переменной $f\text{,}$ вторая производная от $f$ определяется как производная от первой производной. То есть $f»(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]\text{,}$, что можно сформулировать в терминах предельного определения производной, написав
\[ f»(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) — f'(x)}{h}. \номер\]
Далее мы начнем изучение четырех различных частных производных второго порядка функции двух переменных и попытаемся понять, что эти различные производные говорят нам о поведении функции. 92\sin(2y)}{32}\), который измеряет дальность полета снаряда в зависимости от его начальной скорости $x$ и угла запуска $y\text{.}$ График этой функции, включая трассы с $x=150$ и $y=0,6\text{,}$ показано на рисунке $\PageIndex{1}$.
Рисунок $\PageIndex{1}$. Функция расстояния со следами $x=150$ и $y=0.6\text{.}$
a. Вычислить частную производную $f_x\text{.}$ Обратите внимание, что $f_x$ сама по себе является новой функцией $x$ и $y\text{,}$, так что теперь мы можем вычислить частную производную производные от $f_x\text{.}$ Найдите частную производную $f_{xx} = (f_x)_x$ и покажите, что $f_{xx}(150,0,6) \приблизительно 0,058\text{. }$
б. На рисунке $\PageIndex{2}$ показана трассировка $f$ с $y=0,6$ с включением трех касательных линий. Объясните, как результат выполнения части (а) этого предварительного задания отражен на этом рисунке.
Рисунок $\PageIndex{2}$. Трассировка с $y=0.6\text{.}$
c. Определите частную производную $f_y\text{,}$, а затем найдите частную производную $f_{yy}=(f_y)_y\text{.}$ Оцените $f_{yy}(150, 0,6) \text{.}$
Рисунок $\PageIndex{3}$. Больше следов функции диапазона.
д. На рисунке $\PageIndex{3}$ показана трасса $f(150, y)$ и три касательные линии. Объясните, как значение $f_{yy}(150,0.6)$ отражено на этом рисунке.
эл. Поскольку $f_x$ и $f_y$ являются функциями как $x$, так и $y\text{,}$, каждая из них имеет две частные производные. Мы можем не только вычислить $f_{xx} = (f_x)_x\text{,}$, но также и $f_{xy} = (f_x)_y\text{;}$ в дополнение к $ f_{yy} = (f_y)_y\text{,}$, но и $f_{yx} = (f_y)_x\text{.}$ Для функции диапазона $f(x,y) = \ frac{x^2\sin(2y)}{32}\text{,}$ используйте ваши предыдущие вычисления $f_x$ и $f_y$, чтобы теперь определить $f_{xy}$ и \ (f_{yx}\text{. 2 f}{\partial х\частное у} = f_{ух}. \номер\]
Внимательно отметьте разницу между нотацией Лейбница и индексной нотацией, а также порядок, в котором $x$ и $y$ появляются в каждой из них. Кроме того, помните, что всякий раз, когда мы вычисляем частную производную, мы сохраняем постоянными переменные, отличные от той, по которой мы дифференцируем.
Activity $\PageIndex{2}$
Найдите все частные производные второго порядка следующих функций. Для каждой вычисляемой частной производной четко укажите, какая переменная поддерживается постоянной. 99 + 9\) есть? Найдите $h_{xz}$ и $h_{zx}$ (вам не нужно находить другие частные производные второго порядка).

В действии предварительного просмотра $\PageIndex{1}$ и действии $\PageIndex{2}$ вы могли заметить, что смешанные частные производные второго порядка равны. Это наблюдение справедливо в целом и известно как теорема Клеро.

Теорема Клеро

Пусть $f$ — функция многих переменных, для которой частные производные $f_{xy}$ и $f_{yx}$ непрерывны вблизи точки $(a, б)\текст{. }$ Тогда

\[ f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b). \nonumber \]

Интерпретация частных производных второго порядка

Напомним из исчисления одной переменной, что вторая производная измеряет мгновенную скорость изменения производной. Это наблюдение является ключом к пониманию значения частных производных второго порядка.

Кроме того, мы помним, что вторая производная функции в точке дает нам информацию о вогнутости функции в этой точке. Поскольку несмешанная частная производная второго порядка $f_{xx}$ требует, чтобы мы считали $y$ постоянным и дважды дифференцировали по $x\text{,}$, мы можем просто просмотреть $f_{ xx}$ как вторая производная следа $f$, где $y$ фиксировано. Таким образом, $f_{xx}$ будет измерять вогнутость этой трассы. 9{-y}\), у которого $x$ остается постоянным с $x = 1,75\text{.}$. Мы также видим три разные линии, которые касаются следа $f$ в $ y$ при значениях $y$, возрастающих слева направо на рисунке. Напишите пару предложений, описывающих, увеличивается или уменьшается наклон касательных к этой кривой по мере увеличения $y$, и после вычисления $f_{yy}(x,y)\text{,}$ объясните, как это наблюдение связано со значением $f_{yy}(1.75,y)\text{.}$ Обязательно коснитесь понятия вогнутости в своем ответе. (Вы должны быть осторожны с указаниями в которые $x$ и $y$ возрастают.)

b. На рисунке $\PageIndex{6}$ мы начинаем думать о смешанной частной производной, $f_{xy}\text{.}$. Здесь мы сначала удерживаем константу $y$, чтобы сгенерировать первую Частная производная -порядка $f_x\text{,}$, а затем мы сохраняем константу $x$ для вычисления $f_{xy}\text{.}$ Это наводит на мысль о трассировке с $ x$ является постоянным, за которым следуют наклоны касательных линий в направлении $x$, которые скользят по исходной трассе. Вы можете подумать о том, чтобы провести карандашом вниз по трассе с постоянной $x$ таким образом, чтобы ее наклон показывал $(f_x)_y$, чтобы дополнительно оживить три снимка, показанные на рисунке. 9{-y}\) с $x = 1,75\text{,}$ вместе с касательными в направлении $y$ в трех разных точках.

Исходя из рисунка $\PageIndex{6}$, является ли $f_{xy}(1,75, -1,5)$ положительным или отрицательным? Почему?

в. Определите формулу для $f_{xy}(x,y)\text{,}$ и, следовательно, оцените $f_{xy}(1,75, -1,5)\text{.}$ Как это значение соотносится с ваши наблюдения в (b)?

д. Мы знаем, что $f_{xx}(1,75, -1,5)$ измеряет вогнутость следа $y = -1,5$ и что $f_{yy}(1,75, -1,5)$ измеряет вогнутость следа $x = 1,75$. Как вы думаете, что измеряет количество $f_{xy}(1,75, -1,5)$?

эл. На рисунке $\PageIndex{6}$ нарисуйте трассу с $y = -1,5\text{,}$ и нарисуйте три касательные линии, наклоны которых соответствуют значению $f_{yx}(x, -1,5)$ для трех различных значений $x\text{,}$, среди которых $x = -1,5\text{.}$ Is $f_{yx}(1,75, -1,5 )$ положительный или отрицательный? Почему? Что измеряет $f_{yx}(1,75, -1,5)$?

Как и в случае с частными производными первого порядка, мы можем аппроксимировать частные производные второго порядка в ситуации, когда у нас есть только частичная информация о функции.

Действие $\PageIndex{4}$

Как мы видели в Упражнении 10.2.5, охлаждение ветром $w(v,T)\text{,}$ в градусах Фаренгейта является функцией скорость ветра в милях в час и температура воздуха в градусах по Фаренгейту. Некоторые значения охлаждения ветром записываются в таблицу $\PageIndex{1}$.

Таблица $\PageIndex{1}$. Охлаждение ветром как функция скорости ветра и температуры.

$v \обратная косая черта T$	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20
5	-46	-40	-34	-28	-22	-16	-11	-5	1	7	13
10	-53	-47	-41	-35	-28	-22	-16	-10	-4	3	9
15	-58	-51	-45	-39	-32	-26	-19	-13	-7	0	6
20	-61	-55	-48	-42	-35	-29	-22	-15	-9	-2	4
25	-64	-58	-51	-44	-37	-31	-24	-17	-11	-4	3
30	-67	-60	-53	-46	-39	-33	-26	-19	-12	-5	1
35	-69	-62	-55	-48	-41	-34	-27	-21	-14	-7	0
40	-71	-64	-57	-50	-43	-36	-29	-22	-15	-8	-1

Оценить частные производные $w_{T}(20,-15)\text{,}$ $w_{T}(20,-10)\text{,}$ и $ w_T(20,-5)\text{. }$ Используйте эти результаты для оценки частичного второго порядка $w_{TT}(20,-10)\text{.}$
Аналогичным образом оцените частичное значение второго порядка $w_{vv}(20,-10)\text{.}$
Оценить частные производные $w_T(20,-10)\text{,}$ $w_T(25,-10)\text{,}$ и $w_T(15,-10)\text{ ,}$ и используйте полученные результаты для оценки частичного $w_{Tv}(20,-10)\text{.}$
Аналогичным образом оцените частную производную $w_{vT}(20,-10)\text{.}$
Напишите несколько предложений, объясняющих значения $w_{TT}(20, -10)\text{,}$ $w_{vv}(20,-10)\text{,}$ и $ w_{Tv}(20,-10)$ указывает на поведение $w(v,T)\text{.}$

Как мы обнаружили в Activity $\PageIndex{3}$ и Activity $\PageIndex{4}$, мы можем думать о $f_{xy}$ как об измерении «поворота» графика по мере того, как мы увеличиваем $y$ вдоль конкретной трассы, где $x$ поддерживается постоянным. Точно так же $f_{yx}$ измеряет, как график скручивается при увеличении $x\text{. }$. Если мы помним, что теорема Клеро говорит нам, что $f_{xy} = f_{yx }\text{,}$ мы видим, что величина скручивания одинакова в обоих направлениях. Это скручивание, возможно, легче увидеть на рисунке $\PageIndex{7}$, на котором показан график $f(x,y) = -xy\text{,}$, для которого $f_{xy} = -1\текст{.}$

Резюме

Имеются четыре частные производные второго порядка функции $f$ двух независимых переменных $x\ ) и \(у\текст{:}$
\[ f_{xx} = (f_x)_x, f_{xy} = (f_x)_y, f_{yx} = (f_y)_x,\ \mbox{and} \ f_{yy} = (f_y)_y. \номер\]
Несмешанные частные производные второго порядка $f_{xx}$ и $f_{yy}\text{,}$ говорят нам о вогнутости следов. Смешанные частные производные второго порядка, $f_{xy}$ и $f_{yx}\text{,}$, говорят нам, как закручивается график $f$.

Эта страница под названием 10.3: Частичные производные второго порядка распространяется под лицензией CC BY-SA 4.