Число возвести в дробную степень онлайн: Калькулятор степеней, возведение числа в степень онлайн

х
=
6,
то
мы
столкнемся
с
проблемами.
Представить шестерку как какую-то степень двойки
не получается. Графический метод показывает, что
у этого уравнения есть единственный корень,
который лежит между числами 2 и 3, но точно
определить его значение не получается:
Можно доказать (мы не будем этого делать),
что искомый нами корень невозможно выразить с
помощью дробей и даже корней n-ой степени.
Поэтому возникает необходимость ввести какое-то
новое обозначение, чтобы записывать корни таких
уравнений. Математики придумали для такого
числа обозначение log2 6, которое читается как
«логарифм шести по основанию два».
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть
есть некоторое уравнение
Если число b положительно, то уравнение имеет
корень,
и
при
том
единственный.
Для
его
обозначения используется запись logab. Покажем,
как графически показать значение величины logab.
Для этого надо построить показательную функцию
у = а^х и горизонтальную линию у = b. –t/10
Получили простейшее показательное уравнение,
однако его левую часть (число 0,3) нельзя
представить как степень двойки. Однако с помощью
определения логарифма мы можем записать, что
– t/10 = log2 0,3
Умножаем ур-ние на (– 10) и получаем:
t = – 10 log2 0,3
С помощью калькулятора или компьютера можно узнать, что
log2 0,3 ≈ – 1,737
Тогда искомое нами время примерно равно
t = – 10 log2 0,3 ≈ – 10•(– 1,737) ≈ 17,37 минут ≈ 17 минут 22 секунды
Ответ: – 10 log2 0,3 минут ≈ 17 минут 22 секунды.
Иногда бывает удобнее использовать иное
определение, которое по своей сути почти не
отличается от первого:
Вычислим для примера несколько простейших
логарифмов:
Ограничения, связанные с логарифмом
Заметим, что сам логарифм может оказаться любым
вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в
отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные
степени.
Однако
для
логарифма
logab
некоторые
ограничения накладываются на значение числа а (оно
называется основанием логарифма) и на значение числа b
(будем называть его аргументом логарифма). х = b имеет решение только при положительных
значениях b. Это решение и представляет собой
logab. Если же число b отрицательно, то корня у
уравнения
нет,
а
значит
и
вычислить
logab
невозможно. Поэтому аргумент логарифма не
может быть отрицательным.
Сформулируем эти ограничения в виде одного
правила:
Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда
выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит
при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе
дроби, что, по сути, одно и то же). Во-вторых, выражения
бессмысленны, если под корнем четной степени находится
отрицательное
число.
В-третьих,
не
имеют
смысла
выражения, в которых отрицательные числа возводятся
в дробную степень, ведь возведение в дробную степень
можно заменить извлечением корня
а отрицательное число не должно оказываться под знаком
Сейчас мы узнали четвертый подобный случай,
связанный с понятием логарифма. 1 = а
Из него, пользуясь определением логарифма,
получаем первое важное его свойство: logаa = 1.
Продемонстрируем
правила:
использование
этого
Любое
число
при
возведении
в
нулевую
степень равно единице:
Из этого следует второе важное правило:
логарифм единицы по любому основанию равен
нулю:
Покажем несколько примеров использования
этого тривиального правила:
Для получения третьего свойства логарифма
запишем очевидно справедливое равенство:
Пользуясь определением логарифма, мы можем
записать, что logaac = c.
Продемонстрируем, как работает это свойство
логарифмов:
Это правило можно применить для вычисления
некоторых простейших логарифмов:
Логарифм
logab,
согласно
одному
из
своих
определений, это та степень, в которую нужно
возвести а, чтобы получилось b. Это определение
можно представить в виде формулы:
Данное
равенство
называют
логарифмическим тождеством. х и график
обратной ей функции у = log0,5x:
Возможно, вы заметили, что графики у = log2x и у =
log0,5x
чем-то
действительно,
похожи
если
друг
построить
на
их
друга.
на
И
одной
плоскости, то мы увидим, что они симметричны
относительно оси Ох:
Причиной такой симметрии является то, что их
основания, числа 2 и 0,5, являются обратными
числами, то есть при перемножении дают единицу
(2•0,5 = 1).
Аналогично такой же симметрией будут обладать
любые две логарифмические кривые с обратными
основаниями.
Это
свойство
логарифмов
мы
докажем чуть позднее.
Далее построим ещё несколько графиков, чтобы
лучше
функции:
понять
свойства
логарифмических
Анализируя полученные графики, мы можем
заметить следующие свойства функции логарифма:
Область
определения
логарифмической
функции – это множество всех положительных
чисел, то есть промежуток (0; + ∞). Действительно,
выражение logаb имеет смысл только тогда, когда
число b> 0.
Областью
значения
логарифмической
функции является множество всех действительных
Логарифмическая
функция
является
строго
монотонной. При этом при основании а > 1 она
возрастает, а при основании 0 <a< 1 она убывает.
График
каждой
логарифмической
функции
проходит через точку (1; 0). Это связано с тем, что
для любого основания справедливо равенство
loga1 = 0.
Три основных вида логарифмов
Математика изучает логарифмы с любыми
положительными
основаниями.
Однако
практике наиболее распространены три их вида.
на
Первым из них является десятичный логарифм,
основание которого равно 10. Дело в том, что его
помощью
до
изобретения
калькуляторов
и
компьютеров можно было быстро и с высокой
точностью перемножать большие числа, используя
такой прибор, как логарифмическая линейка.
История понятия логарифма начиналась в XVI-XVII
веках и была связана именно с необходимостью
выполнения сложных арифметических действий с
большими числами. Для обозначения десятичных
логарифмов используют специальный символ lg,
то есть
Сегодня
из-за
логарифмы
развития
электроники
используются
значительно
десятичные
реже
по
сравнению с 50-60 г. XX века. Но, так как почти вся
вычислительная техника построена на использовании
двоичной
системы
счета,
возросла
значимость
двоичного логарифма log2b. Для его обозначения не
используются никакие специальные символы, однако в
работах,
посвященным
информатике
и
оценке
сложности алгоритмов, он используется особенно
Наконец, самым важным является натуральный
логарифм. Это логарифм, основанием которого
является число e, примерно равное 2,71828… Для
его обозначения используют символ ln, то есть
Свойства
натурального
логарифма,
которые
отличают его от других логарифмов, будут изучены
нами
позднее. r
можно
представить
как
произведение
r
множителей, равных b. Однако логарифм такого
произведения
логарифмов:
можно
заменить
на
сумму
r
Однако более строгое доказательство должно
рассматривать
и
случай,
когда
r
–
это
отрицательное или даже дробное число. Поэтому,
как и в ситуации с доказательством первого
правила, введем переменные. Пусть
Получается, что нам надо доказать, что у = r•x.
Из определения логарифма следуют следующие
формулы:
Подставляя
первую
формулу
во
вторую,
получаем:
И снова, если у двух равных степеней равны
основания, то и показатели обязательно будут
равными:
Это равенство мы и пытались доказать.
Продемонстрируем, как работает это свойство
логарифмов:
Правило работает и в обратную сторону:
Задание. Чему равна дробь
Третье правило помогает вычислять логарифм
от частного или дроби.
Для доказательства этого свойства логарифмов
воспользуемся уже доказанными нами двумя
правилами. Но предварительно напомним, что
произвольное число с в степени (– 1) представляет
собой дробь 1/с:
Тогда доказательство будет записываться в две
строчки:
С помощью полученной формулы возможно
выполнить следующие преобразования:
Заметим,
что
все
полученные
формулы
справедливы только в том случае, когда под знаком
логарифма стоят исключительно положительные
числа. Например, вполне допустимо преобразование
но ошибочной будет такая запись:
ведь в левой части стоит выражение, имеющее
смысл, а в правой – выражение, смысла не имеющее.
Но что делать в случае, если необходимо
упростить выражение с переменными, которые могут
принимать как положительные, так и отрицательные
значения? Получается, что запись
не является корректной. Действительно, если и х,
и у являются отрицательными числами, то их
произведение ху положительно. Но тогда получается,
что при некоторых значениях переменных левая часть
равенства имеет смысл, а правая – нет. 2 = 2logaх,
если допускается, что х может быть и
отрицательным?
Нет,
нельзя,
ведь
при
отрицательных
х
выражение
левая
часть
равенства будет иметь смысл, а правая нет.
Однако использование модуля поможет и в этом
случае. Можно написать, что
Аналогичным образом можно упростить и
любые другие логарифмы, аргументы которых
возведены в четную степень:
Ещё
раз
уточним,
что
эти
правила
используются при упрощении выражений с
переменными,
если
те
могут
принимать
отрицательные значения. Если же известно, что
числа b и c положительны, то лучше использовать
формулы, не содержащие модулей.
Переход к новому основанию алгоритма
До этого мы рассматривали преобразования, в
ходе которых не менялось основание логарифма.
Однако иногда возникает необходимость сложить
или
вычесть
логарифмы
с
различными
основаниями. Пусть надо вычислить значение
выражения
Так как основания двух логарифмов различны,
то мы не можем использовать выведенную нами
формулу разности логарифмов. z и получим:
Отсюда следует, что zx = у, или х = y/z. Теперь
заменим х, у и z на логарифмы и получим то самое
тождество, которые необходимо доказать:
Вернемся к примеру
Теперь мы можем произвести эти вычисления,
но для этого сначала приведем log259 к основанию
5:
Теперь можно вычислить, чему равна искомая
разность:
Формула перехода к новому основанию
позволяет
иначе
взглянуть
на
графики
логарифмических функций. Пусть дана функция у
=log4x. Попытаемся привести ее к показателю 2:
Выходит, что график у = log4x можно получить
из графика у = log2x его сжатием в 2 раза.
Убедимся в этом, построив оба графика в одной
плоскости:
Заметим, что и более общем случае графики
функций у = logax и у = logbx могут быть получены
друг из друга растяжением или сжатием в
некоторое число раз. Действительно, формулу
перехода к новому основанию можно переписать в
таком виде:
Теперь
подставим
вместо
числа b переменную х и получим соотношение,
связывающее
любые
две
логарифмические
функции:
В данном случае logсx и logax – это
логарифмические функции, а logca – некоторое
число. В результате можно заключить, что график
функции у = logсx может быть получен из графика
logax его растяжением в logca раз.
Попытаемся привести логарифм logab
обратному основанию, то есть к основанию 1/а:
к
Итак, logab = – log1/аb. Именно из-за этого
графики логарифмов с обратными основаниями
(например, 2 и 0,5) симметричны относительно оси
Ох:
Покажем
формулы:
примеры
использования
этой
А что будет, если мы попробуем logab привести
к основанию b? Сделаем это:
Получили
ещё
одну
логарифмическую формулу.
замечательную
Её работу иллюстрируют следующие примеры:
Ещё
одна
логарифмическая
формула
позволяет возводить основание логарифма и его
аргумент в одинаковую степень:
Докажем это тождество в «обратном порядке»,
то есть из правой части выведем левую. Для этого
просто перейдем к основанию а:
Проиллюстрируем, как это свойство можно
применять на практике:
Использование логарифма для вычислений
Исторически развитие теории логарифмов было
связано с необходимостью выполнять громоздкие
вычисления. 500.
Сделать напрямую это довольно затруднительно.
Однако в силу основного логарифмического тождества
мы можем записать, что
Напомним,
что
десятичный
логарифм
обозначают символом lg, поэтому перепишем это
равенство в более привычном виде:
Степень
вынести:
из-под
знака
логарифма
можно
Значение числа lg 7 можно узнать с помощью
калькулятора, в древности же использовали
специальные таблицы, в которых были указаны
десятичные логарифмы всех чисел от 1 до 10 (с
маленьким шагом, равным, например, 0,001). Так
или иначе, можно узнать, что
Получили число, записанное в стандартном виде.
При этом наши расчеты были относительно простыми,
если сравнить их с необходимостью умножить число 7
само на себя 500 раз. Аналогично и многие другие
сложные операции выполняются значительно быстрее,
если используются логарифмы. Поэтому долгое время
знание теории логарифмов было необходимо для
выполнения сложных инженерных расчетов. Но сегодня
развитие компьютерной техники позволило избавиться
от необходимости использования логарифмических
линеек и таблиц.
Логарифмическая функция в природе и науке
Логарифм – это не просто инструмент для
выполнения сложных операций. Например, в теории
вероятностей
существуют
логарифмическое
и
логнормальное
(от
слов
«логарифм»
и
«нормальное») распределение случайных величин,
которые используются в генетике и физике. Так,
размеры
астероидов
в
Солнечной
системе
описываются логарифмическим распределением, а
размеры градин во время града – логнормальным.
В компьютерной технике многие величин можно
вычислить
с
использованием
логарифмов.
Например, ясно, что чем больше телефонных
номеров находится в базе данных, тем дольше
компьютер будет искать требуемый необходимый
номер в ней. Зависимость времени поиска от
количества номеров в базе данных описывается
логарифмической функцией.
Огромное значение логарифмы имеют в
астрономии. Так, яркость звезд на небе
характеризуется таким параметром, как «видимая
звездная величина». Однако в физике для оценки
яркости
света
используют
величину
«освещенность»,
измеряемую
в
люксах.
Зависимость между освещенностью звезд и их
видимой
величиной
также
является
логарифмической.
Используются логарифмы и в термодинамике
для вычисления такой характеристики систем, как
энтропия. При расчете количества топлива,
необходимого ракете для набора определенной
скорости, используется формула Циолковского,
содержащая натуральный логарифм:
В биологии давно замечено, что зависимость
человеческих ощущений от силы воздействующих
на них факторов окружающей среды носит
логарифмический характер. В связи с этим для
измерения
громкости
звуков
используется
специальная шкала децибелов, которая является
логарифмической.
В строении ряда организмов можно обнаружить
логарифмические кривые. Классическим примером
является форма некоторых ракушек.
Спасибо
за внимание!

(1/n)=корень(n)a`

Значение: n -й корень из а при умножении на себя n раз дает нам а .

a ^{1/ n} × a ^{1/ n} × a ^{1/ n} × … × a ^{1/ n} =

[Умножить на раз]

Пример 1 9(1/4) = корень (4) 625 = 5`

Определения

Радиканд

Число под корнем называется подкоренной и (в примере 3 подкоренной является число 625).

Заказ/Индекс коренного

Число, обозначающее извлекаемый корень, называется порядком (или индексом ) корня (в примере 3 порядок равен «4»).

Эти определения приведены здесь, чтобы вы знали, о чем говорится в вашем учебнике. 9(4/3)`

В первой строке мы использовали это правило из последнего раздела:

( a ^m ) ⁿ = a ^mn

То есть мы взяли каждый элемент в скобках и возвели их в степень `1/3`. Мы можем это сделать, потому что каждое слагаемое внутри скобки умножается (если бы они были добавлены или вычтены, мы не смогли бы этого сделать).

Когда мы расширяем это, единственное, что мы можем сделать, это найти кубический корень из 8, то есть 2, а затем просто записать 9(1 text(/)2)` `=10 xx 20` `=200`

Доступные числовые форматы в Excel

Форматирование

Справка по Excel и обучение

Форматирование

Форматирование

Доступные числовые форматы в Excel

• Доступные числовые форматы в Excel
  Статья
• Условное форматирование
  Статья
• Выравнивание или поворот текста в ячейке
  Статья
• Изменить формат ячейки
  Статья
• Копировать форматирование ячейки
  Статья
• Добавить водяной знак в Excel
  Статья
• Показать или скрыть нулевые значения
  Статья
• Создание пользовательского числового формата
  Статья

Следующий: Формулы и функции

В Excel вы можете форматировать числа в ячейках для таких вещей, как валюта, проценты, десятичные дроби, даты, номера телефонов или номера социального страхования.

1. Выберите ячейку или диапазон ячеек.

2. На вкладке Домашний выберите Номер из раскрывающегося списка.
   
   Или вы можете выбрать один из следующих вариантов:

   • Нажмите CTRL + 1 и выберите Номер .

   • Щелкните правой кнопкой мыши ячейку или диапазон ячеек, выберите Формат ячеек… и выберите Число .

   • Выберите маленькую стрелку, средство запуска диалогового окна, а затем выберите Число .

3. Выберите нужный формат.

Числовые форматы

Чтобы просмотреть все доступные числовые форматы, щелкните кнопку запуска диалогового окна рядом с Номер на вкладке Домашний в группе Номер .

Формат	Описание
Общий	Числовой формат по умолчанию, который Excel применяет при вводе числа. По большей части числа, отформатированные в формате General , отображаются именно так, как вы их вводите. Однако, если ширина ячейки недостаточна для отображения всего числа, формат General округляет числа до десятичных знаков. В числовом формате General также используется научная (экспоненциальная) запись для больших чисел (12 и более цифр).
Номер	Используется для общего отображения чисел. Вы можете указать количество десятичных знаков, которые вы хотите использовать, хотите ли вы использовать разделитель тысяч и как вы хотите отображать отрицательные числа.
Валюта	Используется для общих денежных значений и отображает символ валюты по умолчанию с цифрами. Вы можете указать количество десятичных знаков, которые вы хотите использовать, хотите ли вы использовать разделитель тысяч и как вы хотите отображать отрицательные числа.
Бухгалтерский учет	Также используется для денежных значений, но выравнивает символы валюты и десятичные точки чисел в столбце.
Дата	Отображает порядковые номера даты и времени в виде значений даты в соответствии с указанным типом и языковым стандартом (местоположением). Форматы даты, начинающиеся со звездочки ( * ), соответствуют изменениям региональных настроек даты и времени, указанных в панели управления. На форматы без звездочки настройки Панели управления не влияют.
Время	Отображает порядковые номера даты и времени в виде значений времени в соответствии с указанным типом и языковым стандартом (местоположением). Форматы времени, начинающиеся со звездочки ( * ) реагировать на изменения региональных настроек даты и времени, указанных в Панели управления. На форматы без звездочки настройки Панели управления не влияют.
Процент	Умножает значение ячейки на 100 и отображает результат с символом процента ( % ). Вы можете указать количество десятичных разрядов, которое хотите использовать.
Фракция	Отображает число в виде дроби в соответствии с указанным типом дроби.
Научный	Отображает число в экспоненциальной записи, заменяя часть числа на E+n, где E (обозначающее Exponent) умножает предыдущее число на 10 в n-й степени. Например, 2-значный формат Scientific отображает 12345678901 как 1,23E+10, что равно 1,23, умноженному на 10 в 10-й степени. Вы можете указать количество десятичных разрядов, которое хотите использовать.
Текст	Обрабатывает содержимое ячейки как текст и отображает содержимое точно так, как вы его вводите, даже если вы вводите числа.
Специальный	Отображает число в виде почтового индекса (ZIP Code), номера телефона или номера социального страхования.
Пользовательский	Позволяет изменить копию существующего кода числового формата. Используйте этот формат для создания пользовательского числового формата, который добавляется в список кодов числовых форматов. Вы можете добавить от 200 до 250 пользовательских числовых форматов, в зависимости от языковой версии Excel, установленной на вашем компьютере. Дополнительные сведения о настраиваемых форматах см. в разделе Создание или удаление настраиваемого числового формата.

Вы можете применять различные форматы к числам, чтобы изменить их внешний вид. Форматы изменяют только способ отображения чисел и не влияют на значения. Например, если вы хотите, чтобы число отображалось в виде валюты, щелкните ячейку с числовым значением > Валюта .

Применение числового формата изменяет только способ отображения числа и не влияет на значения ячеек, которые используются для выполнения вычислений. Вы можете увидеть фактическое значение в строке формул.

Вот список доступных числовых форматов и способов их использования в Excel для Интернета:

Числовой формат	Описание
Общий	Формат номера по умолчанию. Если ячейка недостаточно широка, чтобы показать все число, этот формат округляет число. Например, 25,76 отображается как 26, . Кроме того, если число состоит из 12 или более цифр, Общий формат отображает значение в экспоненциальном представлении.
Номер	Работает очень похоже на общий формат , но отличается способом отображения чисел с разделителями десятичных разрядов и отрицательными числами. Вот несколько примеров того, как оба формата отображают числа:
Валюта	Показывает денежный символ с цифрами. Вы можете указать количество знаков после запятой с помощью Увеличить десятичное число или Уменьшить десятичное число .
Бухгалтерский учет	Также используется для денежных значений, но выравнивает символы валюты и десятичные точки чисел в столбце.
Короткая дата	Показывает дату в следующем формате:
Длинная дата	Показывает месяц, день и год в следующем формате:
Время	Показывает порядковые номера даты и времени в виде значений времени.
Процент	Умножает значение ячейки на 100 и отображает результат с символом процента ( % ). Используйте Увеличить десятичное число или Уменьшить десятичное число , чтобы указать желаемое количество знаков после запятой.
Фракция	Показывает число в виде дроби. Например, 0,5 отображается как ½.
Научный	Отображает числа в экспоненциальном представлении, заменяя часть числа на E+ n , где E (Экспонента) умножает предыдущее число на 10 в n -й степени. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт