Числовые ряды онлайн калькулятор: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Содержание

Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:
.
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные.
Необходимый признак сходимости состоит в том, что: .
Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.

Решение онлайн
Видеоинструкция

С помощью данного калькулятора можно проверить сходимость ряда. В случае знакопеременного или знакочередующегося ряда проверются выполнение условий Лейбница.
Для степенного ряда используйте этот калькулятор.

∞
∑
n =

Применять признак сравнения (по умолчанию)
Использовать признак Даламбера
Применять радикальный признак Коши

Правила ввода данных

В качестве переменной используйте только n.

2/(n+2)
≡ n+sqrt(n-1)

Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .

1. Признак Даламбера.
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.

2. Радикальный признак Коши.
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.

3. Интегральный признак Коши.
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.

4. Признак сравнения.
Если сходится и u_n ≤ v_n, то также сходится, если расходится и u_n ≥ v_n, то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A — произвольная постоянная величина; причем .

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:

Применим признак Даламбера:
;
= = ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:

ряд сходится.

Замечание: вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n² соответственно из числителя и знаменателя.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:

, так как интеграл не существует, то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной

n: α=2 > 1. При этом , следовательно ряд также сходится.

Числовые ряды — онлайн калькулятор.

Числовой ряд — это выражение вида

где члены ряда

действительные или комплексные числа, общий член ряда.
Ряд задан, если известен общий член ряда un, выраженный как функция его номера n:

n-я частичная сумма ряда — это сумма первых n членов ряда

Рассмотрим следующие суммы:

Ряд сходится, если существует конечный предел

последовательности частичных сумм ряда.

Предел называется суммой ряда

Ряд расходится, если

не существует или равен бесконечности.

Примеры

Покажем, что сумма данного ряда равна единице. Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

Вычислим коэффициенты А и В:

Составим n-ю частичную сумму ряда:

Вычислим предел последовательности частичных сумм:

Свойство 1. Если ряд

сходится и его сумма равна S, то ряд

где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1. 2) расходится и

, то и ряд (1.3) расходится.

Доказательство

Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд (1.3) сходится и имеет сумму cS.

2. Покажем, что если ряд (1.2) расходится,

, то и ряд (1.3) расходится. Допустим противное: ряд (1.3) сходится и имеет сумму

Тогда

откуда

т. е. ряд (1.2) сходится, что противоречит условию о расходимости данного ряда.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.2) и сходится ряд

а их суммы соответственно равны

то сходятся и ряды

причем сумма каждого равна S1 ± S2.

Доказательство

Пусть

n-е частичные суммы рядов (1.2), (1.4), (1.5) соответственно. Тогда

т. е. каждый из рядов (1.5) сходится и сумма его равна S1 ± S2.

Следствие Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Замечание Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1.2) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1.2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство Пусть S — сумма отброшенных членов ряда, k — наибольший из этих номеров.
Будем считать, что на место отброшенных членов ряда поставим нули. Тогда при n > k будет выполняться равенство

где n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1.2) пу- тем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому

Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1.2) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов. Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов.
Ряд вида

называется n-м остатком ряда (1.2), который получается из ряда (1. 2) отбрасыванием его n первых членов.
Согласно свойству 3: 1) ряд (1.2) и его остаток одновременно либо сходятся, либо расходятся; 2) если ряд (1.2) сходится, то его остаток

при стремится к нулю, то есть

Поиск пробелов и пропущенных чисел

  Исследование  Математика

Этот онлайн-калькулятор поможет вам найти пропуски и пропущенные числа в целочисленной последовательности.

Отказ от ответственности: Этот калькулятор был создан специально для поиска пропусков в непрерывной числовой последовательности. Если вы ищете решение математических задач, то это, вероятно, арифметическая последовательность или геометрическая последовательность — пожалуйста, посмотрите Калькулятор арифметической последовательности и решение задач или Калькулятор геометрической последовательности и решение задач

Предположим, у вас есть текстовый файл с последовательными числами, как показано ниже, где каждое число находится в отдельной строке:

2
3
4
6
7
12
900 2 18 80 , есть некоторые пропущенные числа и пробелы. В приведенном выше примере пропущено 5, и есть два пробела: между 8 и 11, а также между 14 и 17.
Конечно, в этом примере легко увидеть проблемы, просто взглянув на числа, но если мы говорили о тысячах чисел, было бы слишком обременительно находить пробелы на глаз. Вот почему я создал этот калькулятор. Вы можете вставить список чисел, и он отобразит все пропущенные числа и пробелы, которые удалось найти в последовательности, ограниченные первой и последней строкой списка.
Я также добавил пару опций:
Вы можете установить флажок «Свернуть промежутки», чтобы выводить промежутки в свернутом виде, другими словами, взяв в качестве примера 8 — 11, 8 — это начало промежуток и 11 конец. Эта опция включена по умолчанию. Если вы снимите этот флажок, вы получите список всех чисел в промежутке, то есть 8, 9, 10, 11.

Вы можете установить флажок «Использовать регулярное выражение для анализа числа», чтобы анализировать строку вашего текстового файла с помощью регулярного выражения.
Причина второго варианта в том, что ваш список вряд ли будет состоять только из цифр. Ваш текстовый файл, вероятно, будет содержать дополнительный текст, например:
1 Бумага лучше камня
2 Ножницы лучше бумаги
3 Камень лучше ножниц
В этом случае вы можете использовать регулярное выражение для извлечения числа из строки, а затем проверьте последовательность. Вам необходимо установить флажок «Использовать регулярное выражение для анализа числа» и ввести регулярное выражение и группу соответствия, которая будет использоваться для извлечения числа.
Регулярное выражение по умолчанию соответствует строке, в которой число находится в начале строки.

Средство поиска пропусков и отсутствующих чисел
1 2 3 4 6 7 12 13 18
Числа в последовательности
Разрывы в коллапсе
Используйте регулярное выражение для извлечения номера
Регулярное выражение
Соответствующие группы группы
Используйте пустые линии в качестве групп сепараторов
Пропущенные числа и пробелы
0007
Аналогичные калькуляторы
• Дальномер
• Рациональное число в виде дроби
• Египетская дробь к рациональному числу
• Сравнение целых чисел и попарно взаимно простых чисел
•
• Комбинаторная система счисления
900 разделов Математические калькуляторы (
  PLANETCALC, поиск пропусков и отсутствующих чисел
 Тимур  2022-02-09 09:19:07
Калькулятор последовательностей — удобный и эффективный онлайн-инструмент для быстрого решения
Хотите преуспеть в последовательностях и решить все сложные задачи в кратчайшие сроки? Вот идеальное руководство, чтобы начать эффективно изучать концепции последовательностей, а также оценивать свои ответы с помощью бесплатных онлайн-калькуляторов. Если вы ищете надежные онлайн-инструменты, которые вычисляют числовую последовательность и отображают результат за считанные секунды, то вот список калькуляторов последовательностей — бесплатные онлайн-инструменты.
Здесь представлен список бесплатных онлайн-калькуляторов последовательности, которые помогут вам выполнять домашние задания и задания. Простые описания, точные результаты с подробными шагами помогут вам понять концепцию так легко и быстро. После того, как вы обратитесь и попробуете наши калькуляторы последовательностей, вы не оставите нас с грустными лицами, поскольку мы обещаем вам предоставить решения для заданных последовательностей за доли секунд с шагами.
Калькуляторы последовательности
Калькулятор арифметической последовательности
Калькулятор геометрической последовательности
Формулы последовательностей и серий
Калькулятор формулы последовательности
Найти последовательность и следующий член
Первые пять членов последовательности
Калькулятор предела последовательности

Калькулятор суммы последовательности
Калькулятор уравнения арифметической последовательности
Калькулятор общей разности арифметической последовательности
Арифметическая последовательность частичной суммы
Калькулятор преобразования единиц измерения объемного веса (строительства)
Калькулятор Фибоначчи
Сумма последовательности линейных чисел Калькулятор
Калькулятор последовательности гармоник
Калькулятор числовой последовательности
Калькулятор рекурсивной последовательности
Калькулятор связанной последовательности
Отсутствующие термины в калькуляторе артиметической последовательности
Калькулятор отношения геометрических последовательностей
Калькулятор уравнения геометрической последовательности
Калькулятор монотонной последовательности
Калькулятор бесконечного ряда
Единица измерения объемного веса (приготовление) Калькулятор преобразования
Калькулятор арифметической последовательности
Используя этот Калькулятор арифметической последовательности, вы можете легко вычислить члены арифметической последовательности между двумя индексами этой последовательности за несколько кликов. Общая форма арифметической последовательности может быть сформулирована как a _n = a ₁ + f × (n-1)
Например, последовательность 3, 5, 8, 11, 13, 15, 17……. Разница между двумя последовательными терминами равна 2, поэтому она называется разницей «d».
В приведенном выше примере мы видим, что a ₁ = 3 и a ₂ = 5.
Разница между двумя последовательными членами равна
a ₂ – a _{1 _{= 7 2 а ₃ – а ₂ = 2}}
В арифметической последовательности, если первый член равен ₁, а общая разность равна d, то n-й член последовательности определяется как:
a _n = a ₁ + (n−1) d
= 3 + (7-1) x 2
= 3 + 12 = 15.
Калькулятор геометрической последовательности
Геометрическая последовательность – это последовательность, в которой каждый член имеет постоянное отношение к предыдущему члену. Формула геометрической последовательности: a _n = ar ^{n — 1}
Где «a _n» — n-й член последовательности, «a» — первый член, «r» — отношение между двумя числами, а «n» — n-й член, который необходимо получить.
Например, рассчитайте геометрическую прогрессию до 6 членов, если первый член (a) = 8, а знаменатель (r) = 3. Решение для этой геометрической прогрессии объяснено ниже:
a = 8, d = 3
a _n = ar ^{n — 1}
a ₁ (первый член) = 8 × 3 ^{1 — 1} = 8
a ₂ (второй член) = 8 × 3 ^{2 — 1} = 8 × 3 = 24
a ₃ (третий член) = 8 × 3 ^{3 — 1 8 ×} = 8 × 3 ^{3 — 1 8 ×} 9 = 72
a ₄ (четвертый член) = 8 × 3 ^{4 — 1} = 8 × 21 = 168
a ₅ (пятый член) = 8 × 3 ^{2 — 91 = 8 90 24 = 192}
a ₆ (шестой член) = 8 × 3 ^{6 — 1} = 8 × 27 = 216
Следовательно, геометрическая последовательность равна {8, 24, 72, 168, 192, 216).
Калькулятор гармонической последовательности
Онлайн-инструмент, который помогает детям вычислять значения гармонических чисел и их обратных величин, называется Калькулятор гармонической последовательности. Используйте эту формулу номера n-й гармоники, т. е. H(N) = 1+1/2+1/3+…+1/N, и решите последовательность номеров гармоник.
N-й член гармонической прогрессии (H.P) = 1/ [a+(n-1)d]
Формулы последовательности и ряда
Здесь приведен список нескольких фундаментальных формул арифметической прогрессии и геометрической прогрессии. в табличной форме. Взгляните на формулы Sequence и Series в приведенной ниже таблице и легко вычислите проблемы:
Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
Последовательность а, а+г, а+2д,……,а+(n-1)д,…. а, ар, ар ² ,…. ,ар ^(н-1) ,…
Общая разность или соотношение Последующий термин – Предыдущий термин

Общая разница = d = a ₂ – а ₁
Последующий термин/предыдущий термин

Общее отношение = r = ar ^(n-1) /ar ^(n-2)
Общий срок (n-й срок) а _n = а + (n-1)d a _n = ar ^(n-1)
n-й семестр с последнего семестра a _n = l – (n-1)d a _n = 1/r ^(n-1)
Сумма первых n слагаемых с _n = n/2(2a + (n-1)d) s _n = a(1 – r ⁿ )/(1 – r), если r < 1

s _n = a(r ⁿ -1)/(r – 1), если r > 1
Где, a = первый член, d = обычная разность, r = обыкновенное отношение, n = положение члена, l = последний член
Калькулятор Фибоначчи
Набор чисел, в котором каждое число в последовательности представляет собой сумму двух чисел, которые мгновенно прогрессируют, называется последовательностью Фибоначчи.
F0=0, F1=F2=1 и Fn=Fn-1+Fn-2
Формула Фибоначчи задается следующим образом.
Fn = Fn−1 + Fn−2, где n > 1
Например, 10-й член последовательности Фибоначчи равен 67, затем найдите следующий член последовательности. Мы знаем, что 11-й член = 10-й член × золотое сечение.
F11 = 67 × 1,618034
≈ 108,408.
Калькулятор суммы последовательности линейных чисел
Калькулятор суммы последовательности линейных чисел позволяет детям и учителям вычислять сумму членов последовательности между двумя индексами ряда. Кроме того, этот онлайн-инструмент можно использовать в соответствующем подходе для решения частичных сумм некоторых рядов.
Формула для нахождения суммы последовательности линейных чисел: Начальное значение = Конечное значение — (периоды-1)*Разница или S _n = (n/2) *(a+l)
где:
n — n-е значение в последовательности
a — начальное значение последовательности
d — разница в каждом значении
l — последнее значение в последовательности
Что имеется в виду последовательность?
Упорядоченный список чисел известен в математике как Последовательность. Арифметическая последовательность, геометрическая последовательность, гармоническая последовательность и ряд Фибоначчи — это четыре типа последовательности. В последовательности каждое число распознается как термин. Три точки на краю последовательности означают, что последовательность чисел будет продолжена.
Пример: Рассмотрим 2, 4, 6, 8, 10,… как последовательность. Из этого примера вы можете найти, что первый член последовательности равен 2, второй член равен 4 и так далее. Разница между каждым членом равна 2, и, следовательно, общая разница равна 2, так что продолжение последовательности можно вычислить, прибавив 2 к предыдущему члену.
Что такое типы последовательности и серии?
Последовательности: Конечная последовательность заканчивается на краю списка чисел, таких как a1, a2, a3, a4, a5, a6……an. тогда как бесконечная последовательность бесконечна, то есть a1, a2, a3, a4, a5, a6……an…..
Серия: В конечной серии конечное число членов записывается как a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ……an. В случае бесконечного ряда количество элементов не конечно, т.е. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ……an +…..
Каковы первые значения гармонического ряда?
Список номеров первой гармоники приведен здесь в таблице:
n Н(н) ≈ Н(н)
1 1/1 1
2 3/2 1,5
3 11/6 1,83333
4 25/12 2.08333
5 137/60 2,28333
6 49/20 2,45
7 363/140 2,59286
8 761/280 2,71786
9 7129/2520 2,82896
10 2,92897
100 5. 18738
1000 7.48547
10000 9.78761
100000 12.09015
1000000 14.39272
10000000 16.69531
100000000 18,99790
1000000000 21.30048
1. Какова функция калькулятора последовательности?
Основной функцией калькулятора последовательности является вычисление последовательности заданной функции. Онлайн-калькуляторы последовательности SequenceCalculator мгновенно решают заданные входные данные и мгновенно предоставляют окончательную последовательность функции.
2. Как найти следующие члены последовательности?
Вычтите первый член из второго члена и второй член из третьего члена, чтобы найти общее различие для последовательности. Чтобы найти следующий член последовательности, добавьте общую разность к последнему заданному члену.
3. Какая последовательность 2 4 8?
Данный вид последовательности 2 4 8 является геометрической последовательностью.
4. Какая последовательность 2 5 8?
Последовательность 2 5 8 является арифметической последовательностью, потому что между каждым термином есть общая разница.
5. Где я могу найти Калькулятор арифметической последовательности?
SequenceCalculators.com — это проверенный и надежный веб-сайт, который предоставляет бесплатные инструменты онлайн-калькулятора для всех концепций последовательностей, таких как калькулятор арифметической последовательности, калькулятор геометрической последовательности, формулы последовательности и ряда, калькулятор Фибоначчи, калькулятор суммы последовательности линейных чисел и гармоническая последовательность.
No related posts.