Что при сложении дает плюс на минус: Сложение Чисел с Разными Знаками

2+2=2, или что общего у пальм и чисел? / Хабр

Прежде всего, со всей ответственностью скажу, что два плюс два действительно равняется двум. Согласны? Или думаете, что здесь есть какой-то подвох? И да, и нет. Два плюс два равно двум, но не в традиционном смысле, а в тропическом. Если я еще не сумел заинтересовать пытливого читателя, то скажу заранее: в статье, кроме чудес сложения и умножения, будет еще одно. Бесконечность — это ноль. Но обо всем по порядку.

И что же общего?

На самом деле, общего много. Есть такой специальный раздел математики под названием тропическая математика. Иногда, в зависимости от контекста, используется термин «идемпотентная». Тропическая она потому, что её основы заложил ученый из Бразилии. Так название и прижилось. Главное отличие такой математики от нашей традиционно-обыденной в том, что в качестве сложения в ней используется операция максимум. Таким образом, . Наверное, вы никогда не задумывались, почему при суммировании получается то, что получается. Оно ведь из жизненного опыта очевидно: если взять два яблока и прибавить два яблока, будет четыре яблока, как ни крути. Это действительно так. Живем в такой вселенной и выбирать не приходится. Но даже в нашей вселенной с её предустановленными правилами есть, где разойтись.

В качестве операций над числами можно задать любое правило или алгоритм. Это не значит, что сейчас каждый придумает себе свое сложение с блек джеком и умножением. Оно-то конечно так, но, чтобы его признали и использовали, необходима практическая польза. Или, на худой конец, теоретическая. Придумать можно, но вряд ли будет полезно, поэтому критерий практичности сужает область для исследований и фантазии. В данной вселенной нам в хозяйственной жизни удобно использовать натуральные числа и определенные для них сложение и умножение. Но, если бы мы считали количество капель воды, то вполне могли бы использовать сложение, которое дает .Ведь одна капля плюс одна капля будет все та же одна капля, но побольше. А какое же сложение может таить микроуровень, где работают другие законы физики? Я как-то слышал, кстати, что там, на микроуровне, все треугольники равнобедренные. Или, например, другие вселенные, где, количество «пальцев» доминирующего вида вполне может быть иррациональным, а их сложение — процесс нам интуитивно незнакомый? Может и оказатся как гласят рекламы многих современных магазинов. Но тема сегодняшнего обсуждения весьма простая, а тема принципиальной вариативности математики и ее инвариантности во вселенных более обширная и глубокая.

Но, конечно, не все направления математики имеют ценность в контексте хозяйственно-бытовой деятельности. Некоторые разделы математики ценны, так как давали начало важным теоретическим разделам той же физики и развивались вместе с ними, а уже потом применялись на практике. Кроме того, теоретические наработки могут сотнями лет не выходить на пользу обществу, но сопровождать развитие самой науки. Так, например, было с теорией чисел, которая с самого начала рассматривалась как набор занимательных задачек. Возможно, я несколько упрощаю, но теория чисел была еще у древних греков, а обширное практическое применение получила только в середине двадцатого века.

Неужели бразилец заменил традиционный плюс максимумом, и в честь его местонахождения целый раздел математики назвали и изучают теперь? Именно. Ведь тропическая математика, в отличие от большинства других, которые мы можем придумать, имеет теоретическую и практическую ценность.

Алгебраическая структура. Что за зверь?

Чтобы понять теоретическую ценность тропической математики, необходимо познакомиться с понятием алгебраической структуры. Алгебраическая структура — это структура, состоящая из множества элементов и определенной операцией над ними. Например, натуральные числа, действительные числа и сложение или действительные числа с аналогичным сложением. Операция над множеством может быть не одна. В классическом случае обычно рассматриваются сложение и умножение в парах с обратными операциями: вычитанием и делением. Иногда алгебраическая структура называется коротко «алгебра». Поэтому в школе разделы, связанные с арифметикой, называют алгеброй. Иначе говоря, в школе изучают всего одну алгебру, которая максимально полезна в быту для счета и измерений.

Давайте придумаем свою алгебру. Для простоты возьмем конечное множество элементов: Для конечных алгебраических структур удобно задавать правила сложения через таблицы Кэли — мощнейший инструмент анализа алгебраических структур.

+	0	1	2
0	1	2	1
1	0	2	1
2	2	1	0

На пересечении двух элементов стоит элемент, который будет результатом сложения элемента из строки и элемента из столбца. Вот, собственно, и все — это полноценная алгебраическая структура.

Как мы выяснили, у математиков припрятано большое множество структур и разных алгебр, но алгебра алгебре рознь. Как существует классификация животных и растений, есть классификация алгебраических структур. Одной из самых продвинутых видов алгебраических структур с одной операцией является группа. Если алгебраическая структура является группой и по сложению, и по умножению, то это уже поле. Если нет обратных элементов по умножению, то это кольцо. Продвинутые они за счет того, что в них выполняется большое число правил. Каждый набор правил соответствует алгебраической структуре, поэтому таких типов структур очень много. Одна из самых бедных алгебраических структур называется «Магма»: там практически нет никаких требований. Структура, которую мы придумали, надеюсь, является магмой, но я не проверял. Выше приведены очень упрощенные понятия, кому интересно узнать нюансы и прочесть более формальные и точные определения, могу посоветовать замечательную книгу Винберга «Курс алгебры». Изучение в общем виде позволяет изучать целые классы структур, как это любят математики. Например, можно доказать теорему для кольца, и она будет справедлива для всех алгебраических структур, которые являются кольцами.

Элементы тропической математики

Тропическая математика изучает алгебраические структуры с идемпотентными операциями. Идемпотентной операцией называется операция, которая при применении ее к одному и тому же аргументу дает в результат этот аргумент: . Например, операция максимум .

Такая алгебраическая структура назвается (эр макс) алгебра, она определена на множестве действительных чисел. В качестве сложения используется максимум и для удобства обозначается а умножение определено в обычном смысле. является полукольцом. В отличие от кольца, для нее не выполняется требование обязательного наличия для каждого элемента обратного элемента, такого, что в сумме они давали бы ноль (нейтральный элемент по сложению). А значит, в этой структуре просто нет вычитания. Более того, в такой структуре в качестве 0 (нейтрального) выступает минус бесконечность. Ведь ноль — это такой элемент, прибавление которого ничего не меняет: . В случае, когда сложение — это максимум, ничего не менять в результате будет только минус бесконечность, ведь любое число больше минус бесконечности. И только минус бесконечность меньше всех чисел.

А в остальном все остается так, как есть: возведение в степень, матрицы, векторы, норма, функции и т.д. Только нужно не забывать, что при сложении берется максимум, а умножаются числа в обычном смысле.

Поскольку структура ни много ни мало целое полукольцо, то в ней есть, что изучать. Можно смело доказывать теоремы и применять аналитические методы. Есть и другие идемпотентные полукольца, но они изоморфны друг другу. На основе тропических алгебраических структур развиваются алгебра (как наука), методы оптимизации, теория чисел, математическое моделирование, тропическая геометрия, теория принятия решений и другие. На русском языке есть замечательная самодостаточная книга по тропической математике Н. К. Кривулина «Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем». Тропическая математика также имеет широкое применение на практике.

Насколько это применимо?

В первую очередь это, конечно же, методы оптимизации. Методы оптимизации лежат в основе всей прикладной математики и составляют базу для эконометрики, методов математического моделирования, статистики, машинного обучения, сетевого планирования и других.

Тропическая математика позволяет находить решения для задач оптимизации в аналитической векторной форме. Иными словами алгоритмы могут быть представлены аналитически в матричной форме, что дает возможность исследовать их на качественно другом уровне. Это позволяет перерабатывать уже известные решения, доказывать их эффективность. Но большую ценность представляет возможность формализации новых и уже известных задач в терминах идемпотентной математики, которые можно решить с помощью методов тропической оптимизации.

Видов таких задач очень много. В большей степени охвачены задачи аппроксимации, оптимизации, принятия решений, ранжирования, моделирования систем, сетевого планирования, о 1-центре, эконометрики и другие. Конкретные статьи гуглятся по паттерну (задача, проблема) + «tropical mathematics».

Так что можно смело говорить, что два плюс два равняется двум, и это не какое-то девиантное мнение или самопридуманная математика. Это вполне обоснованная математическая структура.

Можно еще добавить, что справедливо и то, что а , но это уже в следующий раз, когда я напишу про вычеты каких-то там колец.

Минус на минус, дает дефиз?)) — Спрашивалка

Руслан Федорович

Минус на минус, дает дефиз?)) минус

4 года

326

19

0

Ответы

Ася

Песня сразу вспомнилась, минус на минус даёт плюс, не помню кто поёт, но поёт прикольно)))

4 года

0

ЗД

Зоя Данилова

Вопрос не понятен! Что такое ДЕФИЗ?

4 года

0

Руслан Федорович

хз

4 года

1

ЗД

Зоя Данилова

А при чём тут ХЗ? Есть два слова: дефиС и деВиз! Какое из этих слов Вам нужно прокомментировать?

4 года

1

Руслан Федорович

1 — дефис

4 года

1

ЗД

Зоя Данилова

Для дебилов: минус написали на минус (ручка плохо писала, обвести пришлось) то получится ДЕФИС. Но он (дефис) им (дебилам) никогда не пригодится, потому что они ни за что не запомнят, когда дефис пишется. Они даже не знают, как пишется слово ДЕФИС.
Умные знают, что при умножении и делении отрицательных чисел минус на минус даёт плюс:
-2*(-3)=6 -6:(-2)=3
При алгебраическом сложении двух отрицательных чисел получится число отрицательное: -2-3=-5

Понятно? Ещё вопросы будут?

4 года

1

А-

Анна — Муза-Эфсун-Хатиже Штырбул(Фелтон)

нет это получается плюс…

4 года

0

Руслан Федорович

)))

4 года

1

А-

Анна — Муза-Эфсун-Хатиже Штырбул(Фелтон)

4 года

1

Лẙ

Лẙн₳

Тире.

.

4 года

0

Stanger

ахаххахаа

4 года

1

Лẙ

Лẙн₳

И «Дай Дорогу.» )))

4 года

1

Stanger

Для некоторых: «Давай Дунем»

4 года

1

Лẙ

Лẙн₳

«Дэнгы Давай».)))

4 года

1

Руслан Федорович

Давай)))

4 года

1

Ям

Ямаха

Даёт+

4 года

0

Руслан Федорович

))) Крутой ник сеструха!))) Респект!)))

4 года

1

Ям

Ямаха

Спасибо!

4 года

1

Руслан Федорович

Мотор да?))))

4 года

1

Ям

Ямаха

Ага

4 года

1

Руслан Федорович

Класс!))))

4 года

1

. К

…Дикая Кошка

нет) =

4 года

0

Руслан Федорович

)))))

4 года

1

.К

…Дикая Кошка

4 года

1

Руслан Федорович

Кыс-кыс-кыс?)))))))))

4 года

1

.К

…Дикая Кошка

Нажмите,
чтобы загрузить
GIF

4 года

1

Другие вопросы

Как загрузить фото в e-mail,что бы отображалось в письме, которое получают от меня?

пищит материнка. 1 короткий, потом длительный. что это?

Посоветуйте какую-нибудь стратегию, что нибудь про рим, грецию, но только не варкрафт итд

Исчезли все файлы с флешки и превратились в программы

Подскажите пожалуйста, как создать сайт для фирмы?

Нужно название программы. Программа: камера с разными эффектами для adroid. Какие варианты?

как устанавливать моды на gta 4 eflc 1.1.1.0

Разбор мелодии на ноты

портативный DVD Supra SDTV 719D перестал читать диски всех форматов, пишет нет диска, при этом лазер загорается…

Наруто карта на WarCraft III вопрос читайте даллее

Вопрос связан с модемом.

Какой игровой ноутбук на базе Windows 7 вы бы посоветовали? Не могу найти нормальный игровой ноутбук

Очень нужна помощь! Скажите, почему вебка на ноутбуке показывает очень темное изображение? Ноутбук Lenovo

У меня такая проблемка игра Resident Evil 5 озвучка русская а субтитры и все остальное меню не по русски.

Помогите настроить LAN сеть между двумя компьютерами

Большой спор о том, 1+2+3+4.

.+ ∞ = -1/12 | Smart News

Итак, вы живете своей жизнью, довольный своим пониманием того, как устроен мир: верх есть верх, низ есть низ, Солнце встает на востоке, а заходит на западе. Затем из нигде не кучка математиков пытается вам сказать, что сумма всех натуральных чисел, то есть 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +… и так далее до бесконечности равна …-1/12.

Ну, это явно смешно, да? Каким образом все большие числа, сложенные вместе, могут дать маленькое число? Как целые числа могут составить дробь? Как положительные числа могут образовывать отрицательные?

Итак, вы смотрите оставшуюся часть видео (выше), сделанного Numberphile, группой математических фанатов с популярным (и в целом заслуживающим доверия) YouTube-каналом о математике. (Смотрите. Это того стоит. Мы подождем.) Их доказательства кажутся надежными. Группа действительно умных людей, от астронома Фила Плэйта до сотрудников Центра физики, удваивают ставку на утверждение. «Оказывается, выводы, которые они делают в этом видео, буквально верны. Вы можете добавить бесконечный ряд положительных чисел, и в сумме они дадут отрицательную дробь», – сказал Плэйт. 

Так вот что, верно? Математика не имеет смысла, и мир странен.

Но это еще не конец истории.

Вторая группа склонных к математике людей, включая американского блогера Эвелин Лэмб и физика Грега Гбура, обратилась в Интернет, чтобы показать, что, хотя сумма всех положительных чисел может быть равна -1/12 (результат, который , объясняют они, постоянно используется для точного решения физических задач), этот умопомрачительный ответ действительно работает, только если вы полностью переопределите некоторые основные понятия математики.

Фил Плэйт и команда Центра физики в конце концов пришли к пониманию, и именно продолжение от Центра физики больше всего помогло нам разобраться в этом затруднительном положении.

По данным Physics Central, 1 + 2 + 3 + 4 + … равно -1/12 только потому, что математики изменили определение знака равенства. В этом стиле математики, называемом аналитическим продолжением, «=» перестало означать «равно» и стало означать «связан с». Хитрые математики.

Этот математический трюк уходит своими корнями в далекое прошлое, говорят в Physics Central. Например, в работе индийского математика-первопроходца Шринивасы Рамануджана:

Рамануджан тоже немного виноват. В конце концов, как мы должны понять, что он хотел здесь сказать?

«Я сказал ему, что сумма бесконечного числа членов ряда: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 по моей теории. Если я скажу вам это, вы сразу же укажете для меня сумасшедший дом как моя цель».
-С. Рамануджан в письме Г.Х. Харди 

Должны ли мы понимать, что «согласно моей теории» означает, что «=» не означает «равно»?

Я не нашел его оригинальную работу, но несколько человек воспроизвели вычисление Эйлера, в котором таким же образом используется знак равенства. Если две стороны не равны, то, насколько я помню из математики второго класса, вы не можете использовать знак равенства.

Значит, 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. = -1/12? Да, но только если для вас знак равенства означает нечто иное, чем «равно».

Это не значит, что команда Numberphile просто заморочила нам голову. Значение -1/12 можно доказать несколькими способами, и результат, безусловно, полезен. Но 1 + 2 + 3 + 4 + … определенно не «равно» -1/12 в том смысле, в котором человек обычно думает об этом.

То, что команда Numberphile сделала такой скачок, не объяснив это людям, говорит физик Грег Гбур, немного позорно:

На видео это кажется таким простым и бесспорным, почти очевидным. Но в их аргументе скрыты некоторые большие математические допущения, которые, на мой взгляд, вводят его в заблуждение. Другими словами: в узком, специализированном математическом смысле можно присвоить значение -1/12 возрастающей положительной сумме. Но в обычном смысле сложения, которое интуитивно используют большинство людей, результат бессмысленен.

Для меня это важное различие: удручающе большая часть населения автоматически предполагает, что математика — это какое-то неинтуитивное, причудливое волшебство, которое может понять только сверхразум. Показ такого сумасшедшего результата без оговорок только укрепляет эту точку зрения и, на мой взгляд, оказывает медвежью услугу математике.

Мы даже не пытались браться за длинные доказательства, необходимые для разрешения этого спора здесь, но если вы хотите больше, проверьте:

Исправление: делает 1+2+3+4+ . . . =-1/12? Точно нет! Автор Physics Central 

Бесконечная серия: не такая уж и странная, как некоторые сказали бы, Грег Гбур

Продолжение: Бесконечная серия и умопомрачительный результат Фил Плейт

Делает ли 1+2+3… Действительно равно -1 /12? Эвелин Лэмб

Рекомендуемые видео

Реальные числа | Начальная алгебра

Результаты обучения

• Сложение и вычитание действительных чисел
  • Сложение действительных чисел с одинаковыми и разными знаками
  • Вычитание действительных чисел с одинаковыми и разными знаками
  • Упрощение комбинаций, требующих как сложения, так и вычитания действительных чисел.
• Умножение и деление действительных чисел
  • Умножение двух или более действительных чисел.
  • Разделить действительные числа
  • Упростите выражения с помощью умножения и деления
  • Упростите выражения с помощью действительных чисел
• Распознавать и комбинировать одинаковые термины в выражении
  • Используйте порядок операций для упрощения выражений
• Упрощение составных выражений с помощью действительных чисел
  • Упрощение выражений с помощью разделителей, скобок и круглых скобок
  • Используйте распределительное свойство для упрощения выражений с помощью группирующих символов
  • Упрощение выражений, содержащих абсолютные значения

Прежде чем мы начнем, необходимо запомнить некоторые важные термины:

• целые числа:  считать числа, такие как 1, 2, 3 и т. д., включая отрицательные значения и ноль
• действительное число: дроби, отрицательные числа, десятичные дроби, целые числа и ноль — все это действительные числа
• абсолютное значение: расстояние числа от нуля; это всегда позитив. [латекс]|-7| = 7[/латекс]
• знак:  относится к тому, является ли число положительным или отрицательным, мы используем [латекс]+[/латекс] для положительного (справа от нуля в числовой строке) и [латекс]-[/латекс] для отрицательного (слева от нуля на числовой прямой)
• разница: результат вычитания
• сумма: результат сложения

Умение комфортно работать с отрицательными числами необходимо для успеха в алгебре. По этой причине мы сделаем краткий обзор сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел. Целые числа — это все положительные целые числа, нуль и их противоположности (отрицательные). Поскольку это обзор целых чисел, описания и примеры не будут такими подробными, как в обычном уроке.

Сложение и вычитание действительных чисел

При сложении целых чисел необходимо учитывать два случая. Первый случай – совпадают ли знаки (оба положительные или оба отрицательные). Если знаки совпадают, мы сложим числа вместе и сохраним знак.

Если знаки не совпадают (одно положительное и одно отрицательное число), мы вычтем числа (как если бы все они были положительными) и затем используем знак большего числа. Это означает, что если большее число положительно, то и ответ положительный. Если большее число отрицательное, ответ отрицательный.

Чтобы сложить два числа с одинаковым знаком (оба положительные или оба отрицательные)

• Сложите их абсолютные значения (без знака [латекс]+[/латекс] или [латекс]-[/латекс])
• Присвойте сумме тот же знак.

Чтобы сложить два числа с разными знаками (одно положительное и одно отрицательное)

• Найдите разность их абсолютных значений. (Обратите внимание, что когда вы находите разницу абсолютных значений, вы всегда вычитаете меньшее абсолютное значение из большего.)
• Присвойте сумме тот же знак, что и у числа с большим абсолютным значением.

 

Еще один способ представить вычитание — это подумать о расстоянии между двумя числами на числовой прямой. В приведенном ниже примере [латекс]382[/латекс] находится справа от от 0 на [латекс]382[/латекс] единиц, а [латекс]-93[/латекс] находится от слева от 0 на 93 единицы. Расстояние между ними равно сумме их расстояний до 0: [латекс]382+93[/латекс].

В следующем видео показано, как вычесть два целых числа со знаком.

В следующем видео вы увидите пример сложения трех дробей с общим знаменателем, имеющих разные знаки.

В следующем видео приведены примеры сложения и вычитания десятичных дробей с разными знаками.

Умножение и деление действительных чисел

Умножение и деление являются обратными операциями , так же как сложение и вычитание. Вы, наверное, помните, что при делении дроби вы умножаете на обратную. Обратные операции «отменяют» друг друга.

Умножение действительных чисел

Умножение действительных чисел ничем не отличается от умножения целых чисел и положительных дробей. Однако вы не узнали, какое влияние оказывает отрицательный знак на товар.

Умножение целых чисел можно представить как многократное сложение. Используя числовую линию, вы можете сделать несколько прыжков заданного размера. Например, на следующем рисунке продукт [latex]3\cdot4[/latex] показан как 3 прыжка по 4 единицы каждый.

Итак, чтобы умножить [латекс]3(−4)[/латекс], вы можете повернуться налево (в отрицательную сторону) и сделать три «прыжка» вперед (в отрицательном направлении).

Произведение положительного числа и отрицательного числа (или отрицательного и положительного) отрицательно.

Произведение положительного числа на отрицательное число

Чтобы умножить положительное число на отрицательное число , умножьте их абсолютные значения. Продукт отрицательный .

В следующем видео приведены примеры умножения десятичных чисел с разными знаками.

Произведение двух чисел с одинаковым знаком (положительных или отрицательных)

Чтобы умножить два положительных числа , умножьте их абсолютные значения. Продукт положительный .

Чтобы умножить два отрицательных числа , умножьте их абсолютные значения. Продукт положительный .

В следующем видео показаны примеры умножения двух дробей со знаком, включая упрощение ответа.

Подведем итог:

• положительный [латекс]\cdot[/латекс]  положительный : Продукт положительный .
• отрицательный [латекс]\cdot[/латекс] отрицательный : Продукт положительный .
• отрицательный [латекс]\cdot[/латекс]  положительный : Продукт отрицательный .
• положительный [латекс]\cdot[/латекс] отрицательный : Произведение отрицательное .

Вы можете видеть, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Итак, если вы умножаете более двух чисел, вы можете подсчитать количество отрицательных множителей.

Умножение более двух отрицательных чисел

Если есть четное число (0, 2, 4, …) отрицательных множителей для умножения, произведение положительное .
Если имеется нечетное число (1, 3, 5, …) отрицательных множителей, произведение равно отрицательный .

Следующее видео содержит примеры умножения более чем двух целых чисел со знаком.

Деление действительных чисел

Возможно, вы помните, что при делении дробей вы умножали на обратное . Обратное — это другое название мультипликативной инверсии (так же, как напротив — это другое название аддитивной инверсии).

Самый простой способ найти обратное мультипликативное число — просто «перевернуть» числитель и знаменатель, как вы это делали, чтобы найти обратное. Вот несколько примеров:

• Обратная величина [латекс]\frac{4}{9}[/latex] равна [латекс] \frac{9}{4}[/latex], потому что [латекс]\frac{4}{9}\ влево(\frac{9}{4}\right)=\frac{36}{36}=1[/latex].
• Обратное число 3 равно [латекс]\frac{1}{3}[/latex], потому что [латекс]\frac{3}{1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac {3}{3}=1[/латекс].
• Обратная величина [латекс]-\frac{5}{6}[/latex] равна [латекс]\frac{-6}{5}[/latex], потому что [латекс]-\frac{5}{6} \left( -\frac{6}{5} \right)=\frac{30}{30}=1[/latex].
• Обратная величина 1 равна 1, поскольку [латекс]1(1)=1[/латекс].

Когда вы делили на положительные дроби, вы научились умножать на обратную. Вы также делаете это, чтобы разделить действительных чисел .

Подумайте о том, чтобы разделить мешок с 26 шариками на два меньших мешка с одинаковым количеством шариков в каждом. Вы также можете сказать, что в каждом меньшем мешочке 90 143 и половина 90 144 шариков.

[латекс] 26\div 2=26\left( \frac{1}{2} \right)=13[/latex]

Обратите внимание, что 2 и [латекс] \frac{1}{2}[/ латекс] являются обратными.

Попробуйте еще раз, разделив мешочек с 36 шариками на меньшие мешочки.

Количество пакетов	Деление на количество мешков	Умножение на обратное
3	[латекс]\фракция{36}{3}=12[/латекс]	[латекс] 36\влево( \frac{1}{3} \right)=\frac{36}{3}=\frac{12(3)}{3}=12[/latex]
4	[латекс]\фракция{36}{4}=9[/латекс]	[латекс] 36\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{36}{4}=\frac{9\влево(4\вправо)}{4}=9[/латекс]
6	[латекс]\фракция{36}{6}=6[/латекс]	[латекс] 36 \ влево (\ гидроразрыва {1} {6} \ вправо) = \ гидроразрыва {36} {6} = \ гидроразрыва {6 \ влево (6 \ вправо)} {6} = 6 [/ латекс]

Деление на число равносильно умножению на его обратную величину. (То есть вы используете обратную величину делителя , второго числа в задаче на деление.)

Теперь давайте посмотрим, что это означает, когда одно или несколько чисел отрицательные. Число и его обратное имеют один и тот же знак. Поскольку деление переписывается как умножение с использованием обратной величины делителя, а взятие обратной величины не меняет никаких знаков, деление подчиняется тем же правилам, что и умножение.

Правила деления

При делении перепишите задачу как умножение, используя в качестве второго множителя обратную величину делителя.

Когда одно число положительное , а другое отрицательное , частное равно отрицательное .

Когда оба числа отрицательные , частное положительное .

Когда оба числа положительны , частное равно положительный .

В следующем видео показано, как разделить дроби со знаком.

Помните, что черта дроби также указывает на деление, поэтому знак минус перед дробью соответствует числителю, знаменателю или всей дроби: [латекс]-\frac{3}{4}=\frac {-3}{4}=\frac{3}{-4}[/latex].

В каждом случае общая дробь отрицательна, потому что в делении есть только одно отрицательное число.

В следующем видео показано, как разделить дроби со знаком.

Упрощение выражений с помощью действительных чисел

Прежде чем мы начнем, немного важной терминологии:

• операции/операторы:  В математике мы называем такие операции, как умножение, деление, сложение и вычитание. Это глаголы математического мира, выполняющие работу с числами и переменными. Символы, используемые для обозначения операций, называются операторами, например [латекс]+{, }-{, }\times{, }\div[/latex]. Чем больше вы будете изучать математику, тем больше вы узнаете операторов. 92b[/латекс] или [латекс]-3[/латекс] и [латекс]8[/латекс]. Если у нас есть одинаковые термины, нам разрешено добавлять (или вычитать) числа перед переменными, тогда оставьте переменные одинаковыми. Поскольку мы объединяем одинаковые термины, нам нужно интерпретировать знаки вычитания как часть следующего термина. Это означает, что если мы видим знак вычитания, мы рассматриваем следующий термин как отрицательный термин. Знак всегда остается с термином.

  Это показано в следующих примерах:

  Пример

  Объедините похожие термины:  [латекс]5x-2y-8x-7y[/latex] 92+3x-1[/latex]

  Показать решение

  В следующем видео вам будет показан еще один пример сочетания похожих терминов. Обратите внимание, почему у вас не получается объединить в примере все три термина.

  Порядок действий

  Вы можете помнить или не помнить порядок действий для применения нескольких математических операций к одному выражению. Точно так же, как в обществе принято ездить по правой стороне дороги, порядок операций представляет собой набор соглашений, используемых для обеспечения порядка, когда вам требуется использовать несколько математических операций для одного выражения. На приведенном ниже рисунке показан порядок, в котором выполняются математические операции.

  Порядок операций

  В следующем примере показано, как упростить выражение, содержащее и умножение, и вычитание, используя порядок операций.

  Когда вы применяете порядок операций к выражениям, содержащим дроби, десятичные дроби и отрицательные числа, вам также нужно будет вспомнить, как выполнять эти вычисления.

  В следующем видеоролике показано, как использовать порядок операций для упрощения выражения, содержащего умножение, деление и вычитание с элементами, содержащими дроби. 9{2}[/latex], 7 — основание, 2 — показатель степени; показатель степени определяет, сколько раз основание умножается само на себя.)

  Показатель степени представляет собой способ представления многократного умножения; порядок операций помещает его перед любым другим умножением, делением, вычитанием и сложением.

  В следующем видео выражение с показателями в его терминах упрощается с помощью порядка операций.

  Группировка символов

  Символы группировки, такие как круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ], фигурные скобки [латекс] \displaystyle \left\{ {} \right\}[/latex] и дроби, можно использовать для дальнейшего управления порядком четырех арифметических операций. . Правила порядка операций требуют, чтобы сначала выполнялись вычисления внутри символов группировки, даже если вы выполняете сложение или вычитание внутри символов группировки и у вас есть умножение вне символов группировки. После вычисления внутри группирующих символов разделите или умножьте слева направо, а затем вычтите или прибавьте слева направо. При наличии группирующих символов внутри группирующих символов расчет производится изнутри наружу. То есть сначала начните упрощение внутри самых внутренних группирующих символов. 9{3}}\cdot \,32[/латекс].

  Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как упростить это выражение с дробями и символами группировки.

  Показать решение

  Упрощение составных выражений с помощью вещественных чисел

  В этом разделе мы воспользуемся навыками из предыдущего раздела для упрощения математических выражений, содержащих множество символов группировки и множество операций. Мы используем термин составной для описания выражений, которые имеют много операций и много символов группировки. С этими выражениями нужно быть более осторожным, когда вы применяете порядок операций. Кроме того, вы увидите, как обрабатывать термины с абсолютными значениями при упрощении выражений.

  Следующее видео содержит пример, аналогичный написанному выше. Обратите внимание, как числитель и знаменатель дроби упрощены по отдельности.

  Распределяющее свойство

  Скобки используются для группировки или объединения выражений и терминов в математике. Вы можете увидеть, как они используются, когда вы работаете с формулами и когда вы переводите реальную ситуацию в математическую задачу, чтобы найти количественное решение.

  Распределение комбинированных обедов Имущество

  Например, вы едете на встречу с друзьями и звоните им, чтобы спросить, не хотят ли они что-нибудь из вашего любимого ресторана. Три человека хотят одно и то же комбинированное блюдо из 2 тако и одного напитка. Вы можете использовать распределительное свойство, чтобы узнать, сколько всего тако и сколько всего напитков вы должны взять с собой.

  [латекс]\begin{array}{c}\,\,\,3\left(2\text{ тако}+ 1 \text{напиток}\right)\\=3\cdot{2}\text { тако }+3\text{ напитки }\\\,\,=6\text{ тако }+3\text{ напитки }\end{массив}[/latex]

  Свойство распределения позволяет нам явно описать итог, являющийся результатом группы групп. В случае комбинированных блюд у нас есть три группы (два тако плюс один напиток). Следующее определение описывает, как использовать свойство распределения в общих чертах.

  Распределительное свойство умножения

  Для всех действительных чисел a, b, и c , [latex]a(b+c)=ab+ac[/latex].
  Это означает, что когда выражение, заключенное в круглые скобки, умножается на число, вы можете распределить умножение на каждый член выражения отдельно.

  Для упрощения  [латекс]3\влево(3+у\вправо)-у+9[/латекс] может помочь увидеть выражение, переведенное в слова:

  умножить три на (сумму трех и у) , затем вычтите y, затем прибавьте 9

  Чтобы умножить три на сумму трех и y, вы используете распределительное свойство –

  [латекс]\begin{array}{c}\,\,\,\,\, \,\,\,\,3\влево(3+y\вправо)-y+9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\underbrace{3\cdot{ 3}}+\underbrace{3\cdot{y}}-y+9\\=9+3y-y+9\end{array}[/latex]

  Теперь вы можете вычесть y из 3y и прибавить 9до 9.

  [латекс]\begin{array}{c}9+3y-y+9\\=18+2y\end{array}[/latex]

  В следующем примере показано, как использовать свойство распределения когда один из задействованных терминов отрицательный.

  No related posts.