Cos x sin x cos x sin х: Решите уравнение cosx=sinx — ответ на Uchi.ru

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)

Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции

Пример 1.

y» +2y’ = 3e^x(cos(x)+sin(x))

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx с помощью калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +2 r + 0 = 0
D = 2² — 4 • 1 • 0 = 4


Корни характеристического уравнения:
r₁ = 0
r₂ = -2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3•e^x•(cos(x)+sin(x))
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 1, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 1 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y^* = e^x(Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = e^x((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))
y» = 2•e^x(B•cos(x)-A•sin(x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» + 2y’ = (2•e^x(B•cos(x)-A•sin(x))) + 2(e^x((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))) = 3•e^x•(cos(x)+sin(x))
или
-4•A•e^x•sin(x)+2•A•e^x•cos(x)+2•B•e^x•sin(x)+4•B•e^x•cos(x) = 3•e^x•(cos(x)+sin(x))
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-4A + 2B = 3
2A + 4B = 3
Решая ее методом обратной матрицы, находим:
A = ^-3/₁₀;B = ⁹/₁₀;
Частное решение имеет вид:
y^* = e^x(^-3/₁₀cos(x) + ⁹/₁₀sin(x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

см.

также пример решения дифференциального уравнения с начальными условиями.

1. Сборник решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть e^x*(Ax + B)
4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

3 6 Решить для ? cos(x)=1/2 7 Найти x sin(x)=-1/2 8 Преобразование градусов в радианы 225 9 Решить для ? cos(x)=(квадратный корень из 2)/2 10 Найти x cos(x)=(квадратный корень из 3)/2 11 Найти x sin(x)=(квадратный корень из 3)/2 92=9 14 Преобразование градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование градусов в радианы 180 16 Найти точное значение желтовато-коричневый(195) 92-4 38 Найти точное значение грех(255) 39 Оценить лог база 27 из 36 40 Преобразовать из радианов в градусы 2 шт.