Cosx производная: Производная косинуса (cosx)’

Вывод производной sin(x) и cos(x) — Лисья нора

Главная » Математика » Вывод производной sin(x) и cos(x)

§

Производная sin(x)

По формуле нахождения производной:

sin'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin(x + \Delta x) — sin(x)}{\Delta x}

На самом деле, здесь используется формула разности синусов:

sin(a) — sin(b) = 2sin\frac{a-b}{2}cos\frac{a+b}{2}

В данном случае,

a = x + \Delta x

и

b = x

, необходимо подставить выражение:

• Первое \frac{a-b}{2} = \frac{x + \Delta x — x}{2} = \frac{\Delta x}{2}
• Второе \frac{a+b}{2} = \frac{x + \Delta x + x}{2} = \frac{2x + \Delta x}{2} = x + \frac{\Delta x}{2}

Если подставить эти вычисленные выражения, то получится так:

sin(x + \Delta x) — sin(x) = 2sin\frac{\Delta x}{2}cos(x+\frac{\Delta x}{2})

Теперь надо перенести в формулу для поиска производной

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2sin\frac{\Delta x}{2}cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}

Есть один нюанс. Дело в том, что можно сделать так, чтобы верхняя 2 перенеслась под

{\Delta x}

внизу и получится следующее:

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}cos(x+\frac{\Delta x}{2})

Можно заметить первый замечательный предел с синусом, который будет равен 1, а значит, остается только лишь один косинус:

sin'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} cos(x+\frac{\Delta x}{2}) = cos(x)

Поскольку лимит здесь стремится к 0, потому дельта x обнуляется. Вот, собственно и всё.

§

Производная косинуса

Как и в предыдущем параграфе, необходимо найти решение лимита для получения производной:

cos'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{cos(x + \Delta x) — cos(x)}{\Delta x}

Но вместо разности синусов нужно подставить разность косинусов:

cos(a) — cos(b) = -2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}

Добавим вычисленные ранее суммы углов в эту формулу и получим следующее:

cos(a) — cos(b) = -2sin (x + \frac{\Delta x}{2}) sin (\frac{\Delta x}{2})

Теперь впишем, как и ранее, в формулу с лимитом, и, как в прошлый раз, перенесем 2 под

\Delta x

.

cos'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} -2sin (x + \frac{\Delta x}{2}) \frac{ sin (\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} -sin (x + \frac{\Delta x}{2}) \frac{ sin (\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}

Здесь отлично видно первый замечательный предел с синусом, который стремится к 1, то есть, его можно убрать из формулы, а дельту заменить на ноль:

cos'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} -sin (x + \frac{\Delta x}{2}) = -sin(x)

Таким образом, доказано, что производная от косинуса равна минус синус от икс.

Мяу.

30 янв, 2022

© 2007-2023 Отличная мышь болела

10 класс. Алгебра. Производная. Типовые задачи на производную. — Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x)=cos²x-cosx.

Комментарии преподавателя

Функ­ция f(x)=cos2x-cosx

Три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции имеют важ­ную осо­бен­ность – на­ли­чие пе­ри­о­да. Всю ме­то­ди­ку, ко­то­рую знаем для ис­сле­до­ва­ния функ­ций без три­го­но­мет­ри­че­ских вклю­че­ний, ис­поль­зу­ем, но надо учесть на­ли­чие пе­ри­о­да.

На­ли­чие пе­ри­о­да дает воз­мож­ность про­ве­сти ис­сле­до­ва­ние функ­ции и по­стро­е­ние гра­фи­ка на от­рез­ке дли­ной, рав­ной пе­ри­о­ду. Затем гра­фик функ­ции пе­ри­о­ди­че­ски рас­про­стра­ня­ет­ся для всех зна­че­ний ар­гу­мен­та из об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции.

За­да­ча.

По­стро­ить гра­фик функ­ции .

Пре­об­ра­зу­ем фор­му­лу: .

Най­дем пе­ри­од дан­ной функ­ции. У функ­ции  наи­мень­ший пе­ри­од . У функ­ции , если по­ни­зить сте­пень и вы­ра­зить через  — пе­ри­од . Итак,

функ­ция  имеет наи­мень­ший пе­ри­од . Это озна­ча­ет, что гра­фик функ­ции сна­ча­ла можно по­стро­ить на про­ме­жут­ке дли­ной , а потом про­дол­жить по пе­ри­о­дич­но­сти.

Функ­ция чет­ная, так как  для всех  из . Гра­фик сим­мет­рич­ный от­но­си­тель­но оси .

Учи­ты­вая пе­ри­о­дич­ность функ­ции, можно по­стро­ить гра­фик этой функ­ции на любом про­ме­жут­ке, дли­ной . Свой­ство чет­но­сти функ­ции дает воз­мож­ность за­да­чу упро­стить, а имен­но, по­стро­ить гра­фик на участ­ке , а на участ­ке  — по­стро­ить по сим­мет­рии.

Най­дем  ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции.

:  .

, когда , от­сю­да  или .

Знак функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле удоб­но опре­де­лить с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.1). Точки , ,  — точки, ко­то­рые фор­ми­ру­ют ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции.

Рис. 1. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции  на еди­нич­ной окруж­но­сти

Вы­яс­ним знак функ­ции на ин­тер­ва­ле . Для этого возь­мем зна­че­ние функ­ции в ка­кой-ни­будь точке из этого ин­тер­ва­ла. На­при­мер,

 , зна­чит, на этом ин­тер­ва­ле функ­ция от­ри­ца­тель­на. Даль­ше, на ин­тер­ва­ле  функ­ция ме­ня­ет знак. В силу сим­мет­рии, на ин­тер­ва­ле  — функ­ция от­ри­ца­тель­на, а на ин­тер­ва­ле  — функ­ция по­ло­жи­тель­на (см. рис.2).

Рис. 2 Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции

По­стро­им гра­фик функ­ции в окрест­но­сти каж­до­го корня.

Точка  — яв­ля­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма, так как на про­ме­жут­ках  и  — функ­ция от­ри­ца­тель­на, кри­вая на­хо­дит­ся под осью , и толь­ко в точке  она равна нулю. Зна­чит, функ­ция в окрест­но­сти кор­ней ведет себя сле­ду­ю­щим об­ра­зом (см. рис.3):

Рис. 3. Гра­фик функ­ции в окрест­но­сти каж­до­го корня

По­нят­но, что на ин­тер­ва­лах  и  – функ­ция будет иметь точки экс­тре­му­ма.

Ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной:

 При­рав­ня­ем ее к нулю:

 , от­сю­да  .

Най­дем кри­ти­че­ские точки:

   — это все кри­ти­че­ские точки, ко­то­рые имеет функ­ция. Но нам нужны те, ко­то­рые по­па­да­ют в вы­бран­ный про­ме­жу­ток: , , . Вы­чис­лим зна­че­ние функ­ции в точ­ках , и опре­де­лим – это точки мак­си­му­ма или ми­ни­му­ма.

Най­дем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной на еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.4).

Рис. 4. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной

Най­дем знак про­из­вод­ной, в ка­кой- либо точке из ин­тер­ва­ла :

. Таким об­ра­зом, точка  — точка ми­ни­му­ма, а  — точка мак­си­му­ма. Вы­чис­лим:

; .

По­стро­им гра­фик  функ­ции  (см. рис.5-6).

Рис. 5. Гра­фик функ­ции  на 

Рис. 6. Гра­фик функ­ции 

Одна из ти­по­вых задач – на­хож­де­ние мно­же­ства зна­че­ний функ­ции.

Ответ:  .

На уроке рас­смот­ре­ны осо­бен­но­сти ис­сле­до­ва­ния и по­стро­е­ния гра­фи­ка три­го­но­мет­ри­че­ской функ­ции.  Все ти­по­вые за­да­чи ре­ша­ют­ся ана­ло­гич­но  за­да­чам из преды­ду­щих уро­ков.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/issledovanie-trigonometricheskih-funktsiy-funktsiya-f-x-cos-sup-2-sup-x-cosx

http://www.youtube.com/watch?v=sX-A2wpY5NE

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/779ef72b0b73617de61c4dc2c21838459e86176ed8f801b37481d34346768467/56a16f54/KmTYbqVG3TgKGL9iUHPR0em0RlLtpxhP_BVgRtkosSgfwonkMOj8PI__aMfad3WZY71hHToni_M3mTC7aMwq3A%3D%3D?uid=0&filename=666.PDF&disposition=attachment&hash=RaLDsjqwggBTdSmademPwU40mOjt%2BFWdduHVDt9R80E%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=8352787&hid=021760e85b03ef221c6c4091fc10c607&media_type=document&tknv=v2

http://matematikalegko.