3. Даны три неколлинеарных вектора а, и Найдите значения р и q, при которых… 10 класс Зив Б.Г. Геометрия. Контрольные работы 5. Вариант 1
3. Даны три неколлинеарных вектора а, и Найдите значения р и q, при которых… 10 класс Зив Б.Г. Геометрия. Контрольные работы 5. Вариант 1 – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
3.
Даны три неколлинеарных вектора а, и Найдите значения р и q, при которых векторы т = pa + qb + 8с и h = а + pb + qc коллинеарны.
ответы
ответ
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Экскурсии
Мякишев Г.Я.
Досуг
Химия
похожие вопросы 5
1. Точки А, С, М и Р лежат в плоскости а, а точка B ¢ α (рис. 66). Постройте… Геометрия 10 класс Зив Б.Г. Контрольные работы. Вариант 1
1. Точки А, С, М и Р лежат в плоскости а, а точка B ¢ α (рис. 66). Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью АВС. (Подробнее…)
ГДЗГеометрияЗив Б. Г.10 класс
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и М.
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и М параллельно прямой а (рис. 81).
ГДЗГеометрияЗив Б. Г.10 класс
3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между гранями ВМС и DMC. Геометрия 10 класс Зив Б.Г. Контрольные работы 4. Вариант 2
3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между гранями ВМС и DMC.
ГДЗГеометрияЗив Б. Г.10 класс
Решите пожалуйста Дополнительное задание а) б) в) г)
(Подробнее…)
ГДЗЭкзамены
Помогите определить перевод. Lesson 13. № 4. ГДЗ Английский язык 4 класс Верещагина.
Read the words and guess their meaning.
sandals [‘sændəlz], hospital [‘hɒspɪtl], Canada [‘kænədə], rock- (Подробнее…)
ГДЗАнглийский язык4 классВерещагина И.Н.
Глава 16. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности двух векторов
Определение
Скалярным произведением векторов A и B называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается скалярное произведение так: (Ab), (A, b) или A×B. Итак
(2.2.1) |
Поскольку (см. рис. 2.2.1), то получаем:
Рис. 2.2.1
, . | (2.2.2) |
Если известны координаты перемножаемых векторов, т. е. A={ax, ay, az}, B={bx, by, bz}, то скалярное произведение этих векторов можно вычислить по формуле:
A×B = axbx + ayby + azbz. | (2.2.3) |
Свойства скалярного произведения:
1. A×B = B×A.
2. A×(B + c) = A×B + A×C.
3. l( a×B) = (lA)×B = A×(lB).
4. Векторы A И B взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
. | (2.2.4) |
5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
. | (2.2.5) |
Пример
Даны вершины треугольника A(–1,–2,4), B(–4,–2,0), C(3,–2,1). Определить его внутренний угол при вершине B.
Решение
Внутренний угол при вершине B (рис. 2.2.2) – это угол между векторами и : .
Рис. 2.2.2
Найдем координаты векторов и : = {xA–xB, yA–yB, zA–zB} = {3, 0, 4}; = {xC–xB, yC–yB, zC–zB} = {7, 0, 1}. Скалярное произведение этих векторов и их длины:
.
Итак
.
Пример
Даны три вектора: A = 3I – 6J – K, B = I +4J – 5K, C = 3I – 4J + 12K.
Найти .
Решение:
Векторы заданы их разложением по базису. Выпишем их координаты: A = {3, –6, –1}, B = {1, 4, –5}, C = {3, –4, 12}, A + B = {3+1, –6+4, –1+(–5)} = {4, –2, 6}.
Знак “минус” говорит о том, что угол между векторами A + B и C Тупой.
Пример
Определить при каком значении m векторы A = mI – 3J + 2K и B = I + 2J – mK взаимно перпендикулярны.
Решение
A = {m, –3, 2}, B = {1, 2, –m}. Векторы взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: A×B = m – 6 – 2m = –6 – m; –6 – m = 0; m = –6.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Решение | Имея три вектора, можем ли мы найти точку, равноудаленную от них всех? | Объединение векторов
Векторы положения точек \(A\), \(B\) и \(C\), отнесенные к началу \(O\), равны \(\mathbf{a}\), \( \mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) соответственно, где
\[\начать{выравнивать*}
\mathbf{a} &= 3\mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 5\mathbf{k}, \\
\mathbf{b} &= 7\mathbf{i} — \mathbf{k}, \\
\mathbf{c} &= 5\mathbf{i} + 5 \mathbf{j}.
\(P\) — точка, равноудаленная от прямых \(OA\), \(OB\) и \(OC\). Запишите выражения для косинуса угла между \(OP\) и \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) соответственно и, следовательно, выведите выражение для единичного вектора в направлении \(\mathbf{OP}\).
Пусть \(A’\) точка на \(OA\) такая, что \(A’P\) перпендикулярна \(OA\), и пусть \(B’\) и \(C’\) — эквивалентные точки на \(OB\) и \(OC\) соответственно.
Если мы подумаем о трех прямоугольных треугольниках \(A’OP\), \(B’OP\) и \(C’OP\), мы получим общую гипотенузу \(OP\) и \(P\ ) был определен как равноудаленный от линий \(OA\), \(OB\) и \(OC\). Таким образом, \(OA’=OB’=OC’\) делает треугольники конгруэнтными (RHS).
Вопрос касается косинуса угла \(\alpha\), что предполагает использование скалярного произведения. Пусть вектор \(OP\) равен \(\mathbf{p} = \begin{pmatrix}p_i \\ p_j \\ p_k\end{pmatrix}\), поэтому мы имеем \(\mathbf{p}.\mathbf {а} = 3p_i+4p_j+5p_k\).
Поскольку три треугольника равны, каждый из них содержит один и тот же угол \(\alpha\). Также обратите внимание, что \(|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=\sqrt{50}\).
Таким образом, для вектора \(\mathbf{b}\) мы имеем \(\cos \alpha= \dfrac{7p_i-p_k}{|\mathbf{p}|\sqrt{50}}\), а для \ (\mathbf{c}\) имеем \(\cos\alpha = \dfrac{5p_i+5p_j}{|\mathbf{p}|\sqrt{50}}\).
Комбинируя их, мы можем написать \(3p_i+4p_j+5p_k = 7p_i-p_k= 5p_i+5p_j\).
Использование второй и третьей частей дает \(p_k = 2p_i — 5p_j\), а подстановка этого в первые две части дает \(3p_i+4p_j+5(2p_i — 5p_j) = 7p_i-(2p_i — 5p_j)\) . 92} = \sqrt{221}\), поэтому единичный вектор в направлении \(\mathbf{OP}\) равен \[\hat{\mathbf{p}} = \frac{13}{\sqrt {221}} \mathbf{i} + \frac{4}{\sqrt{221}}\mathbf{j} + \frac{6}{\sqrt{221}}\mathbf{k}.\]
Учитывая, что прямая \(OP\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(Q\), найдите \(\mathbf{OQ}\).
Мы можем определить плоскость \(ABC\) из трех векторов положения \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) через \[\ mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda(\mathbf{b}-\mathbf{a}) + \mu(\mathbf{c}-\mathbf{a}),\] где \(\lambda \) и \(\mu\) являются скалярными параметрами.
Если мы начнем с начала координат, \(\mathbf{a}\) перенесет нас на плоскость. Векторы \((\mathbf{b}-\mathbf{a})\) и \((\mathbf{c}-\mathbf{a})\) являются различными векторами, лежащими на плоскости, поэтому линейная комбинация они доставят нас куда угодно на плоскости из \(\mathbf{a}\).
Таким образом, плоскость \(ABC\) равна \[\mathbf{r} = (3+4\lambda+2\mu)\mathbf{i} + (4-4\lambda+\mu) \mathbf{j} + (5-6\lambda-5\mu)\mathbf{k}.\]
Строка \(OP\) задается выражением \(\mathbf{r} = t (13\mathbf{i}+ 4 \mathbf{j}+ 6\mathbf{k})\). Чтобы найти пересечение, мы устанавливаем их равными, тогда три компонента дают нам три уравнения с тремя неизвестными: \(\lambda\), \(\mu\) и \(t\).Одновременное их решение дает \(t = \dfrac{5}{13}\), поэтому \(\mathbf{OQ}\) = \(5\mathbf{i} + \frac{20}{13}\mathbf{ j} +\frac{30}{13}\mathbf{k}\).
Учитывая, что \(G\) является центром тяжести треугольника \(ABC\), покажите, что \(QG\) параллелен координатной плоскости \(Oyz\).
Вектор положения центроида \(G\) треугольника, вершины которого имеют векторы положения \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) определяется выражением \[\mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}.\] В нашем случае \[\mathbf{g}=5 \mathbf{i} + 3 \mathbf{j} + \frac{4}{3} \mathbf{k}.\]
Направление линии \(QG\) задается вектором \(\mathbf{g}-\mathbf{OQ}\).
Если этот вектор направления параллелен плоскости \(Oyz\), то его \(x\)-компонента будет равна нулю. Следовательно, мы должны показать, что \(q_i = g_i\).
\(x\)-компоненты \(\mathbf{g}\) и \(\mathbf{OQ}\) равны \(5\), поэтому \(QG\) действительно параллелен плоскости .
Даны три единичных вектора \[a, b, c\] ; никакие два из которых не лежат на одной прямой и удовлетворяют \[a \times \left( {b \times c} \right) = \dfrac{1}{2} \times b\]. Угол между \[a\] и \[b\] равен A) \[\dfrac{\pi }{3}\] B) \[\dfrac{\pi }{4}\] C) \[ \dfrac{\pi }{2}\] D) Ни один из этих
Последняя обновленная дата: 29 января 2023 г.
•
Общее представление: 224,7K
•
Просмотр сегодня: 2,17K
Ответ
Проверенные
224.7K+ виды
HINT:
1 здесь. воспользуемся данным условием с векторным тройным произведением и упростим данное уравнение. Затем, используя условие коллинеарности и скалярное произведение векторов, найдем угол между данными векторами.
{ — 1}}0 = \dfrac{\pi }{2}\]
Полное пошаговое решение:
Даны три единичных вектора \[a,b,c\] .
Дано, что никакие две точки не лежат на одной прямой и удовлетворяют \[a \times \left( {b \times c} \right) = \dfrac{1}{2} \times b\].
Теперь, используя формулу векторного тройного произведения \[a \times \left( {b \times c} \right) = \left( {a \cdot c} \right)b — \left( {a \cdot b } \right)c\], получаем
\[ \Rightarrow \left( {a \cdot c} \right)b — \left( {a \cdot b} \right)c = \dfrac{1}{2 } \раз б\]
Переписывая уравнение, получаем
\[ \Rightarrow \left( {a \cdot c} \right)b — \dfrac{1}{2} \times b = \left( {a \cdot b} \right) c\]
Теперь, вынеся общие множители, мы получим
\[ \Rightarrow \left( {\left( {a \cdot c} \right) — \dfrac{1}{2}} \right)b = \left( {a \cdot b} \right)c\].