Базис (Лекция №17)
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
- При умножении вектора на число все его координаты
умножаются на это число, т.е. если .
Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложении векторов будем иметь
.
При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если .
Доказательство очевидно.
Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если , то.
Доказательство:
- Пусть вектор коллинеарен , тогда найдется λ такое, что . Значит, и . Поскольку разложение вектора по элементам базиса единственно, то .
- Пусть выполняется равенство . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно,
, т.
Пример.
- Даны векторы . Найти вектор .
.
- Найти координаты вектора в базисе, образованном
векторами , , .
Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:
Итак, .
Рассмотрим две произвольные точки и . Найдем координаты вектора .
Очевидно, что . Но по определению координат вектора и . Следовательно,
Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.
Примеры.
- Заданы точкиA(1; -2; 3), B(2; 0; -1). Найти вектор .
- Даны A(-2; 3; 1), В(-1; 2; 0), С(0; 1; 1). Найти .
- Известно, что. Найти координаты точки D, если
А(3; -4; -1), В(-4; 4; 1), С(-3; -5; 4).
Пусть тогда
. С другой стороны . Следовательно, должно выполняться равенство (x+3; y+5; z-4)=(5;10;-8). Отсюда
x=2, y=5, z=-4, т.е. точка D имеет координаты D(2; 5; -4).
- Даны векторы . Найти вектор .
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.
Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается . Итак, .
Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное
произведение по определения считается равным нулю.
Рассмотрим свойства скалярного произведения.
- Скалярное произведение двух
векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .
Очевидно, из определения скалярного произведения:
.
- Для любого числа λ и любых векторов имеем:
.
Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами и совпадает с углом между векторами и , .
Поэтому . Откуда
Аналогично доказывается и равенство .
Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.
- Для любых векторов выполняется
равенство .
Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь
- Для любого вектора выполняется
соотношение.
Действительно, так как , то .
Из этого свойства в частности следует .
- Скалярное произведение двух
векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.
Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.
Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Пример. Дан вектор . Известно, что
Найти .
Имеем, т.е. .
Найдем:
Следовательно, .
Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в координатной форме. Пусть даны два вектора и .
Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друг на друга.
Поэтому
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: .
Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:
.
Далее из определения скалярного произведения находим
.
Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами
.
Условие ортогональности двух векторов:
или .
Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.
Примеры.
- Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), . Найти:
- ;
- и ;
- .
- .
- .
- .
- Найти в , если известны координаты его вершин A(1; 5; 6),
B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).
- При каком значении m векторы и перпендикулярны?
Условие ортогональности двух векторов .
. Следовательно, m = 15.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.
Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .
Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.
Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:
- Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
- Вектор перпендикулярен
плоскости этого параллелограмма.
- Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.
Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
- Из определения следует, что
длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма,
построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:
.
Таким образом, и .
- При перестановке
сомножителей векторное произведение меняет свой знак .
Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .
- Скалярный множитель можно
выносить за знак векторного произведения, т.
.
Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения
Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .
Поэтому .
Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.
- Для любых векторов имеет место
равенство
.
Примем без доказательства.
- Векторное произведение двух
векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из
сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.
Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь
параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.
Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.
В частности .
Примеры.
- Раскрыть скобки
.
- Найти площадь треугольника,
построенного на векторах и , если известно, что и .
.
Найдем .
.
Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:
.
Примеры.
- Найти векторное произведение векторов и .
- Найти площадь , если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).
- Даны векторы . Найти параметры n, p, q если известно, что векторы и коллинеарны, а
векторы и ортогональны.
Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений
Основные уравнения прямых и плоскостей
Основные уравнения прямых и плоскостейУравнение прямой
Важным предметом школьной алгебры является «уравнение прямой».
Это означает уравнение относительно x и y, набор решений которого представляет собой линию в (x, y)
самолет.
Самая популярная форма в алгебре — это форма «пересечение наклона».
у = тх + б.
Это фактически использует x как параметр и записывает y как функцию x: y = f(x) = мх+б. Когда x = 0, y = b и точка (0,b) является пересечением прямой с осью Y.
Думая о линии как о геометрическом объекте, а не о графике функции, имеет смысл относиться к x и y более беспристрастно. Общее уравнение для строка (нормальная форма)
топор + по = с,
с условием, что по крайней мере один из a или b отличен от нуля. Это может легко преобразовать в форму пересечения наклона, решив для y:
у = (-а/б) + с/б,
, за исключением особого случая b = 0, когда линия параллельна оси y.
Если коэффициенты в нормальной форме умножаются на ненулевую константу,
множество решений точно такое же, поэтому, например, все эти уравнения
имеют ту же строку, что и решение.
2x + 3 y = 4
4x + 6y = 8
-x — (3/2) y = -2
(1/2)x + (3/4)y = 1
В общем случае, если k ненулевая константа, то это уравнений для одна и та же строка , так как они имеют одинаковые решения.
ax + by = c
(ka)x + (kb)y = kc.
Популярный выбор для k в случае, когда c не равно нулю, это k = (1/с). Тогда уравнение становится
(а/с)х + (б/с)у = 1.
Другой полезной формой уравнения является деление на |(a,b)|, квадратный корень из 2 + b 2 . Этот выбор будет объяснен в разделе Normal Vector.
Упражнение : Если на прямой стоит О, покажите, что уравнение принимает вид ax + by = 0 или y = mx.
Упражнение: Найдите точки пересечения этой прямой с координатные оси.
Упражнение : Уравнение прямой, проходящей через (0,0) и точка (h,k)?
Нахождение уравнения прямой через 2 точки на плоскости
Для любых двух точек P и Q через эти точки проходит ровно одна прямая PQ.
Если известны координаты точек P и Q, то коэффициенты a, b, c
уравнение для прямой можно найти, решив систему линейных уравнений.
Пример : Для P = (1, 2), Q = (-2, 5) найдите уравнение ax + by = c строки PQ.
Поскольку точка P находится на прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению: a1 + b2 = c,
или а + 2b = с.
Поскольку Q находится на прямой, его координаты удовлетворяют уравнению: a(-2) + b5 = c,
или -2 а + 5b = с.
Умножьте первое уравнение на 2 и прибавьте, чтобы исключить a из уравнения: 4b + 5b = 9b = 2c + c = 3c, поэтому b = (1/3)c. Затем подставляя в первый уравнение, a = c — 2b = c — (2/3)c = (1/3)c.
Это дает уравнение [(1/3)c]x + [(1/3)c}y = c . Почему нет с
решено для? Помните, что существует бесконечное количество уравнений для
линии, каждая из которых кратна другой. Мы можем вынести c (или положить c
= 1 для того же результата) и получить (1/3)x + (1/3)y =1 как один из вариантов
уравнение для прямой.
Другим выбором может быть c = 3: x+y = 3 , что
очистил знаменатели.
Этот метод всегда работает для любых различных P и Q. Конечно, существует формула также для а, б, в. Это можно найти в виде определители , или перекрестное произведение .
Упражнения : Найдите уравнения этих прямых. Обратите внимание на особые случаи.
Линия через (3, 4) и (1, -2).
Линия через (3, 4) и (-6, -8).
Линия через (3, 4) и (3, 7).
Соединение с параметрической формой линии
Имея две точки P и Q, точки прямой PQ можно записать как F(t) = (1-t)P + tQ, поскольку t охватывает все действительные числа. Если и P, и Q удовлетворяют одному и тому же уравнение ax+by = c, то вычисление показывает, что это верно и для (1-t)P + tQ для любого выбора t.
Вот это вычисление. Пусть P = (p 1 , p 2 ), Q = (q 1 , q 2 ). Тогда, поскольку точки лежат на прямой, мы знаем, что оба
ap 1 + bp 2 = c
aq 1 + bq 2 = c.
Для точки F(t) мы должны проверить a[(1-t)p 1 +tq 1 ] + b[(1-t)p 2 +tq 2 ] = с. Но левую часть можно переставить как (1-t)(ap 1 + bp 2 ) + t(aq 1 + bq 2 ), и это равно (1-t)c + tc = c. Итак равенство выполняется. Сравните это явное вычисление с вычислением, данным для плоскости, использующей скалярное произведение. Вычисления те же, но показывает больше деталей, а один скрывает координаты и показывает более концептуальный картина.
Уравнение плоскости
Плоскость в трехмерном пространстве имеет уравнение
топор+бы+ч=д,
, где хотя бы одно из чисел a, b, c должно быть ненулевым.
Что касается линии, если уравнение умножается на любую ненулевую константу k до получаем уравнение kax+kby+kcz=kd, плоскости решений совпадают.
Если с не равно нулю, часто полезно думать о плоскости как о графике
функция z от x и y.
Уравнение можно переставить так:
z = -(a/c)x + (-b/c)y + d/c
Еще один полезный вариант, когда d не равен нулю, — разделить на d так, чтобы константа срок = 1,
(a/d)x + (b/d)y + (c/d)z = 1.
Другой полезной формой уравнения является деление на |(a,b,c)|, квадрат корень a 2 + b 2 + c 2 . Этот выбор будет объяснено в разделе «Вектор нормали».
Упражнение: Где плоскость ax + by + cz = d пересекает координату топоры?
Упражнение: Что особенного в уравнении плоскости, проходящей через 0,
Нахождение уравнения плоскости через 3 точки в космос
Учитывая точки P, Q, R в пространстве, найдите уравнение плоскости через 3 точки.
Пример : P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). Ищем коэффициенты уравнения ax + by + cz = d, где P, Q и R удовлетворяют уравнениям, таким образом:
а + b + с = d
а + 2b + 0с = d
-а + 2b + с = d
Вычитание первого уравнения из второго и последующее сложение первого уравнения к третьему, мы исключаем a, чтобы получить
б — с = 0
4б + с = 2d
Сложение уравнений дает 5b = 2d или b = (2/5)d, затем решение для c = b =
(2/5)d и тогда a = d — b — c = (1/5)d.
Таким образом, уравнение (с ненулевой константой, оставленной для выбора) имеет вид d(1/5)x + d(2/5)y + d(2/5)z = d, поэтому один выбор константы дает
х + 2у + 2г = 5
или другой вариант: (1/5)x + (2/5)y + (2/5)z = 1
Учитывая координаты P, Q, R, есть формула для коэффициентов плоскость, которая использует определители или перекрестное произведение .
Упражнение. Какое уравнение плоскости через точки I, J, K?
Упражнение: Какое уравнение плоскости через (1, 1, 1), (-1, 1, -1) и (1, -1, -1)?
Упражнение: Сравните этот метод нахождения уравнения плоскости с векторным произведением метод.
Соединение с параметрической формой плоскости
Для 3 точек P, Q, R все точки плоскости можно записать в параметрическом форма F(s,t) = (1 — s — t)P + sQ + tR, где s и t варьируются по всем действительным числам.
Вычисление, подобное приведенному выше для уравнения прямой, показывает, что если P,
Q, R удовлетворяют одному и тому же уравнению ax + by + cz = d, тогда все точки F(s,t)
также удовлетворяют тому же уравнению.
Это ключ к пониманию того, что уравнение ax + by + cz = d на самом деле является уравнением плоскости (когда хотя бы одно из a, b, c не равно нулю.
Это вычисление здесь производиться не будет, так как его можно сделать намного проще используя скалярное произведение .
Назад к индексу координат вектора
Решения для домашних заданий
Решения для домашних заданийДомашнее заданиеЧ. 3, Векторы
Гл. 3; 2, 20, 37, 44, 50, 51, 57, 61
Вопросы 3, 5, 6, 7, 8
Дополнительные задачи из четвертого издания Serway
(4 изд.
) 3.1 Точка расположена в полярной системе координат
по координатам r = 2,50 м и
= 35,0 o .
Найдите декартовы координаты этой точки, предполагая два системы координат имеют одно начало.
Концептуальные вопросы
Q3.3 Модули двух векторов A и B равны A = 5 ед. и B = 2 ед. Найдите наибольшее и наименьшее значения возможно для результирующего вектора R = A + B.
Если векторы A и B указывают на то же самое направление, величина R составляет 7 ед.
Если векторы A и B указывают на напротив направлении, величина R составляет 3 ед.
Q3.5 Если компонент вектора A вдоль направления вектора
B равен нулю, что можно сказать об этих двух векторах.
Два вектора перпендикулярно (также можно сказали, что они ортогональны ).
Q3.6 Может ли величина вектора иметь отрицательную ценить?
Нет, величина всегда положительная или ноль.
Q3.7 Что из перечисленного ниже является вектором, а что нет:
сила —> вектор
температура —> скаляр
объем —> скаляр
рейтинг телепередачи —> скаляр
высота —> вектор (колодец будет иметь отрицательную высоту)
скорость —> вектор
возраст —> скаляр
Q3.8 При каких обстоятельствах ненулевой вектор, лежащий в плоскость xy когда-либо имеет компоненты, которые равны в величина?
Если вектор лежит вдоль линии 45 o в первой или
В третьем квадранте эти два компонента будут точно равны. Если
вектор лежит вдоль 45 o строка во второй или четвертой строке
квадранты две компоненты будут равны по величине.
Задачи из текущего (5-го) издания Serway и Бейхнер.
3.2 Две точки на плоскости xy имеют декартовы координаты (2,00, — 4,00) м и (- 3,00, 3,00) м.
Определить
(а) расстояние между этими точками и
Мы можем найти расстояние между двумя точками из Теорема Пифагора,расстояние = d = SQRT [ (x) 2 + (у) 2 ]d = SQRT [ ( — 3,00 — 2,00 ) 2 + ( 3,00 — ( — 4.00) ) 2 ] м
d = SQRT [ ( — 5 ) 2 + ( 7.
д = SQRT [25,00 + 49,00] м
д = SQRT [74,00] м
d = 8,60 м
(б) их полярные координаты
P 1 = (2,00, — 4,00) мP 1 Расстояние от начала координат или его радиус р 1 , это
r 1 = SQRT [ (2.00) 2 + ( — 4.00 ) 2 ] m = SQRT [ 4 + 16 ] m = SQRT [ 20 ] мr 1 = 4,47 м
желто-коричневый [ 1 ] = опп / прил = у 1 / х 1 = ( — 4) / 2 = — 2
1 = — 63,4 о
Декартовы координаты (r, ) для точки P 1 ,
P 1 = (4,47 м, — 63,4 o )Теперь то же самое для точки P 2 ,
P 2 = (- 3,00, 3,00) мP 2 Расстояние от начала координат или его радиус р 2 , это
r 2 = SQRT [ ( — 3,00) 2 + ( 3.r 2 = 4,24 м
желто-коричневый [ 2 ] = опп / прил = у 2 / х 2 = 3 / ( — 3) = — 1
2 = 135 или
Декартовы координаты (r, ) для точки P 2 ,
P 2 = (4,24 м, 135 или )ПРИМЕЧАНИЕ! Всегда будьте осторожны с арктангенсом функция (и все другие обратные триггерные функции). Когда вы говорите ваш калькулятор, что вы хотите арктангенс (- 1) это вероятно, скажет вам, что угол равен — 45 или . Ан угол — 45 o действительно имеет тангенс — 1. A точка, расположенная в точке ( + 3, — 3), расположена под углом — 45 o (измерено от оси + x). Но наша точка зрения, P 2 , находится по адресу (- 3, + 3).
3,20 Найти горизонтальную и вертикальную составляющие 100-метровой перемещение супергероя, который летит с вершины высокого здания по пути, показанному на рисунке P3.19.
х = r cos = (100 м) cos 30 o = (100 м) ( 0,866)х = 86,6 м
у = г грех = — (100 м) sin 30 o = — (100 м) (0,500)
у = — 50,0 м
(х, у) = (86,6 м, — 50,0 м)
3.37 Вертолет на рис. P3.37 показывает двух человек тянет за упрямого мула.
Найти
(а) единственная сила, эквивалентная двум силам показано, и
(b) сила, которую третье лицо должно было бы приложить к мула, чтобы результирующая сила равнялась нулю.
Нам нужен результат R,Р = Ф 1 + Ф 2 После хорошей диаграммы большинство проблем сложения векторов начинаются с нахождение компонентов векторов.
F 1x = F 1 cos 60 o = (120 Н) (0,50) = 60 Н F 1 год = F 1 sin 60 o = (120 Н) ( 0,866) = 104 Н
F 1 = 60 Н i + 104 Н j
F 2x = — F 2 cos 75 o = — (80 Н) ( 0,260) = — 20,8 Н
F 2y = F 2 sin 75 o = (80 Н) ( 0,966) = 77,3 Н
F 2 = — 20,8 Н i + 77,3 Н j
Р = Ф 1 + Ф 2
R = ( 60 Н i + 104 Н j) + ( 20,8 Н i + 77,3 Н к)
R = ( 60 — 20,8 ) N i + ( 104 + 77.3 ) Н j
Р = 39,2 Н i + 181,3 Н j
Как и прежде, теперь нам нужно найти величину равнодействующей и его направление,
R = SQRT [ R x 2 + Р у 2 ] R = SQRT [39,2 2 + 181,3 2 ] Н Р = 186,5 Н
Обратите внимание на диаграмму, что мы сейчас измеряем угол от положительной оси x; следовательно,
желтовато-коричневый = опп / прил = R y / R x = 181,3 / 39,2 = 4,65 = 78 или
3.
44 Инструкции по поиску клада, включая
следующий:Пройти 75 шагов на 240 o ,
повернуть на 135 o и пройти 125 шагов,
затем пройдите 100 шагов на 160 o .
Определите результирующее смещение от начальной точки.
Каждая часть этих направлений имеет смещение векторA: Пройдите 75 шагов на 240 oА у = А грех = (75 шагов) sin 240 o = (75 шагов) ( — 0,866) = — 64,95 шага
То есть
А = — 37,5 и — 64,95 иB: повернуть на 135 o и пройти 125 шагов
B x = B cos = (125 шагов) cos 135 o = (125 шагов) ( — 0,707) = — 88,39 шаговВ у = В грех = (125 шагов) sin 135 o = (125 шагов) (0,707) = 88,39 шагов
То есть
В = — 88.C: проехать 100 шагов на 160 o
С у = С грех = (100 шагов) sin 160 o = (100 шагов) (0,342) = 34,20 шага
То есть
С = — 93,97 i + 34,2 jТеперь мы складываем эти векторы смещения, чтобы найти результирующая, р
Р = А + В + СПомните, однако, что векторное обозначение или сложение векторов действительно элегантное сокращение для скаляра two уравнения
R х = А х + В х + С хи
Р у = А у + Б у + С уИспользуя числовые значения для них, мы имеем
R х = А х + В х + C xR x = ( — 37,50 — 88,39 — 93,97 ) шагов
R x = — 219,86 шагов
и
Р у = А у + Б у + C yR y = ( — 64,95 + 88,39 + 34,20 ) шагов
R y = 57,64 шага
Итак, мы ожидаем, что закопанное сокровище будет находиться по адресу
.(X, Y) = (R х , R у ) = ( — 219,86, 57,64 ) шаговИли мы можем найти это смещение в полярных координатах,
R = SQRT [ X 2 + Y 2 ] = SQRT [ ( — 219,86 ) 2 + (57,64) 2 ] шаговR = 227,29 шагов
загар = опп / прил = Y / X = 57 / (- 220) = — 0,26
= 165,5 o
Таким образом, мы можем представить этот результат как
.Р = ( Р, ) = (227,3 шагов, 165,5 o )
3,50 Самолет, вылетающий из аэропорта А, летит в 300 км на восток, затем 350 км 30.0 o к западу от севера, а затем 150 км к северу до прибыть в аэропорт Б.
В этот день ветра нет.(a) На следующий день другой самолет летит прямо из A в B по прямой. В каком направлении должен двигаться пилот в этом прямой перелет?
(b) Какое расстояние пролетит пилот по этому прямому полет?
Мы можем описать каждый отрезок пути этого самолета как вектор:Самолет летит на 300 км на восток, затем на 350 км 30,0 o на запад на север
и затем 150 км севернее
Теперь мы можем сложить этих векторов, чтобы найти результат Р,
Чтобы выполнить сложение векторов, мы можем записать векторы A, B, и C в виде компонентов. Помните, на этот раз нам даны и мы найдем углы, измеренные в раз от Север (или г). Будьте осторожны при использовании триггерных функций.
А = 300 км i + 0 j B = — (350 км) sin 30 o i + (350 км) cos 30 или j
В = — (350 км) (0,500) i + (350 км) (0,866) к
B = — 175 км i + 303 км j
С = 0 i + 150 км j
Р = А + В + С
R = ( 300 км i + 0 j) + ( — 175 км i + 303 км j) + ( 0 i + 150 км к)
R = ( 300 — 175 + 0 ) км i + ( 0 + 303 + 150 ) км j
R = 125 км i + 453 км j
Теперь мы хотим записать этот результат в полярных координаты, найти его длину и направление.
R = SQRT [ R x 2 + р у 2 ] R = SQRT [125 2 + 453 2 ] км
R = 470 км
загар = опп / прил = R x / R y = 125 / 453 = 0,276
= 15 или
R = ( 470 км, 15 o )
3.51 Три вектора ориентированы, как показано на рисунке P3.51, где | А | = А = 20,0 ед., | Б | = B = 40,0 единиц, и | С | = с = 30,0 ед.
Найдите (a) компоненты x и y результирующего вектора (выраженного в виде единичного вектора) и (b) величина и направление результирующий вектор (т.е. в полярных координатах)
Сначала разложите три вектора в их x- и
y-компоненты.
Б х = B cos 45 или В х = (40)(0,707) В х = 28,28 Cx = C cos 45 o Сх = (30)(0,707) Сх = 21,21 Ч х = 0 + 28,28 + 21,21 Rx = 49,49 | B y = B sin 45 o В у = (40)(0,707) Б у = 28,28 Cy = — C sin 45 или Су = — (30)(0,707) Сай = — 21.
Ry = 20,0 + 28,28 — 21,21 Ry = 27,07 |
R = SQRT [ R x 2 + Р у 2 ]
R = SQRT [(49,49) 2 + (27,07) 2 ]
Р = 56,4
загар = опп / прил = R y /R x
загар = 27,07/49,49 = 0,547
= 28.7 или
3,57 Человек, идущий на прогулку, идет по пути, показанному на Рисунок P3.57. Всего путешествие состоит из четырех прямых путей. В в конце прогулки, каково результирующее перемещение человека измеряется от начальной точки?
[ Запомнить: «Смещение» — это вектор , поэтому
Ответ: величина и направление . ]
Мы также можем пометить векторы D 1 1 , Д 2 , Д 3 и Д 4 :
| D 3x = — (150 м) cos 30 o
D 3x = — (150 м) (0,866) D 3x = — 130 м
| D 3 года = — (150 м) sin 30 o
D 3x = — (150 м) (0,500) D 3x = — 75 м
|
| D 4x = — (200 м) cos 60 o
D 4x = — (200 м) (0,500) D 4x = — 100 м
| D 4y = — (200 м) sin 60 o
D 4 года = — (200 м) (0,866) D 4 года = — 173,2 м
|
| R x = — 130 м | Р у = — 201,8 |
R = SQRT [ R x 2 + Р у 2 ]
Ч = КОРЕНЬ [(130) 2 + (201. 8) 2 ] м
R = 240 м
загар = R y /R x = — 201,8 / (- 130) = 1,55
По моему калькулятору это значит
Верно?
Это зависит. Будьте осторожны! Угол (или направление), действительно, 57,2 o , как показано на диаграмме. Обычно мы рассматриваем углы против часовой стрелки как положительный , поэтому мы запишем это как
Никогда вслепую не записывайте ответ. Всегда обязательно вы понимаете что это значит. Это очень важно!
3,61 Прямоугольный параллелепипед имеет размеры a, b и в, как на рисунке P3.61.
(a) Получите векторное выражение для диагонали грани Р 1 . Какова величина этого вектора?
(b) Получите векторное выражение для диагонального вектора тела Р 2 .
Обратите внимание, что R 1 , c k и R 2 составьте прямоугольный треугольник и докажите, что величина R 2 есть SQRT( a 2 + б 2 + с 2 ).
————————
R 1 — гипотенуза прямоугольного треугольника плоскость xy — или диагональ прямоугольника в плоскости xy. сторонами являются a (вдоль x) и b (вдоль y). Следовательно,
R 2 — гипотенуза прямоугольного треугольника плоскость, содержащая R 1 и c k (или ось Z) — или диагональ прямоугольника в этой плоскости. Стороны R 1 (по R 1 ) и c (по оси z). Следовательно,
Решения дополнительных задач от четвертого Serway’s издание
(4-е изд.