Операции над векторами — онлайн справочник для студентов
Определение
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Сложение и вычитание векторов
Определение
Сложение векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) осуществляется по правилу треугольника.
Суммой \(\ \overline{a}+\overline{b} \) двух векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) называют такой третий вектор \(\ \overline{c} \), начало которого совпадает с началом \(\ \overline{a} \) , а конец — с концом \(\ \overline{b} \) при условии, что конец вектора \(\ \overline{a} \) и начало вектора совпадают (рис. 1).
\(\ \overline{b} \)
Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.
Определение
Правило параллелограмма — если два неколлинеарных вектора \(\
\overline{a}
\) и \(\
\overline{b}
\) привести к общему началу, то вектор \(\
\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}
\) совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\
\overline{a}
\) и \(\
\overline{b}
\) (рис.
Определение
Вектор \(\ \overline{a} \) называется противоположным вектором к вектору \(\ \overline{a} \) , если он коллинеарен вектору \(\ \overline{a} \), равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору \(\ \overline{a} \)
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1. \(\ \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a} \) — коммутативность
2. \(\ (\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c}) \) – ассоциативность
3. \(\ \overline{a}+\overline{0}=\overline{a} \)
4. \(\ \overline{a}+(-\overline{a})=\overline{0} \)
Определение
Разностью \(\ \overline{a}-\overline{b} \) векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) называется вектор \(\ \overline{c} \) такой, что выполняется условие: \(\ \overline{b}+\overline{c}=\overline{a} \) (рис. 3).
Умножение вектора на число
Определение
Произведением \(\
\alpha \overline{a}
\) вектора 1.
\(\
\overline{b}\|\overline{a}
\)
2.\(\ |\overline{b}|=|\alpha||\overline{a}| \)
3. \(\ \overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b} \) если \(\ \alpha>0, \overline{a} \uparrow \overline{b} \) , если \(\ \alphaСвойства умножения вектора на число:
1. \(\ (\alpha \pm \beta) \overline{a}=\alpha \overline{a} \pm \beta \overline{a} \)
2. \(\ \alpha(\overline{a} \pm \overline{b})=\alpha \overline{a} \pm \alpha \overline{b} \)
3. \(\ \alpha(\beta \overline{a})=(\alpha \beta) \overline{a}=\beta(\alpha \overline{a}) \)
4. \(\ 1 \cdot \overline{a}=\overline{a} \)
5. \(\ -1 \cdot \overline{a}=-\overline{a} \)
6.\(\ 0 \cdot \overline{a}=\overline{0} \)
Здесь \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \)- произвольные векторы, \(\ \alpha, \beta \) — произвольные числа.
Физика
166
Реклама и PR
31
Педагогика
80
Психология
72
Социология
7
Астрономия
9
Биология
30
Культурология
86
Экология
8
Право и юриспруденция
36
Политология
13
Экономика
49
Финансы
9
История16
Философия
8
Информатика
20
Право
35
Информационные технологии
6
Экономическая теория
7
Менеджент
719
Математика
338
Химия
20
Микро- и макроэкономика
1
Медицина
5
Государственное и муниципальное управление
2
География
542
Информационная безопасность
2
Аудит
11
Безопасность жизнедеятельности
3
Архитектура и строительство
1
Банковское дело
1
Рынок ценных бумаг
6
Менеджмент организации
2
Маркетинг
238
Кредит
3
Инвестиции
2
Журналистика
1
Конфликтология
15
Этика
9
Формулы дифференцирования Векторы: основные понятия и определения Периметр квадрата Периметр ромба Периметр прямоугольника
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Имя
Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое Принимаю Политику конфиденциальностиПодпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме | Математика
Пусть векторы и заданы в координатной форме:
(1. 45) |
Непосредственно из теорем 1.5 и 1.6 о проекциях векторов на ось и определения координат вектора (1.38) вытекают правила:
| , если | (1.46) |
Помощь с решением задач
| (1.47) |
| (1.48) |
| , где | (1.49) |
ПРИМЕР 1.1.19
(Условие коллинеарности двух векторов).
Установить условие коллинеарности векторов и , если
.
Решение Так как векторы коллинеарны, то , где некоторое число. Согласно (1.46) — (1.49) имеем
(1. 50) |
Легко проверяется, что если координаты векторов удовлетворяют равенствам (1.50), то
Равенства (1.50) называются условием коллинеарности двух векторов.
Координаты единичного вектора
ПРИМЕР 1.1.20
Определить координаты единичного вектора , если .
Решение.
Согласно формуле (33)
.
Из (1.44) следует, что
.
Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении.
Задача определения расстояния между двумя точками
Пусть в пространстве заданы своими координатами две точки Построим векторы (рис. 1.1.16).
Рисунок 1.1.16
Тогда
Согласно правилу (1.48)
.
Так как длина вектора равна расстоянию между точками и , то искомое расстояние найдется по формуле (1.43). Итак,
(1. 51) |
Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек:
| (1.52) |
Задача деления отрезка в данном отношении
Пусть даны две точки и . Требуется на прямой (рис. 1.1.17) найти точку , которая разделила бы отрезок в заданном отношении , т.е. так, что . Согласно формуле (1.52)
Тогда по правилу (1.49) равенство примет вид .
Определяя из этих равенств, получим
| (1.53) |
где .
Рисунок 1.1.17
Формулы (1.53) являются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при получим формулы деления отрезка пополам:
(1. 54) |
ПРИМЕР 1.1.21
Вершины треугольника имеет координаты . Найти длину медианы этого треугольника.
Решение Точка делит отрезок пополам. Тогда, согласно формул (1.53), получим:
Искомое расстояние найдем по формуле (1.51)
- Скалярное произведение векторов
- Курс математики
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Подробнее
- Решение задач и контрольных
- Написание учебных работ
- Онлайн помощь на экзамене
Подробнее
НАША ГРУППА ВКОНТАКТЕ
Помощь с решением
Поиск математических формул
3D-векторный плоттер | Academo.
org Интерактивный график 3D-векторов. Посмотрите, как два вектора связаны с их результирующей, разностью и перекрестным произведением.
Математика Геометрия График участок вектор
В приведенной выше демонстрации вы можете ввести до трех векторов в форме (x, y, z). Нажатие кнопки рисования отобразит векторы на диаграмме (масштаб диаграммы будет автоматически подстраиваться под величину векторов). Вы можете перетаскивать диаграмму и увеличивать или уменьшать масштаб, прокручивая мышью. Нажатие на конец вектора также покажет его отдельные компоненты.
Демонстрация также имеет возможность построить 3 других вектора, которые могут быть вычислены из первых двух входных векторов. Первый из них является равнодействующим, и он получается, когда компоненты каждого вектора складываются. Если результат равен \(\textbf{c} \), то
\[ \textbf{c} = \textbf{a} + \textbf{b} \] \[ \left( \begin{массив}{c} с_х \\ с_у \\ c_z \end{массив} \right) = \оставил( \начать{массив}{с} а_х \\ а_у \\ а_я \конец{массив} \справа) + \оставил( \начать{массив}{с} б_х\\ к \\ б_з \конец{массив} \правильно) знак равно \оставил( \начать{массив}{с} а_х + б_х \\ а_у+б_у\ а_з + б_з \конец{массив} \правильно) \]
Аналогичным образом, разница заключается в том, что получается при вычитании одного вектора из другого, в данном случае \(\textbf{d} \),
\[ \textbf{d} = \textbf{a} — \textbf{b} \] \[ \left( \begin{массив}{c} д_х\\ д_у \\ d_z \end{массив} \right) = \оставил( \начать{массив}{с} а_х \\ а_у \\ а_я \конец{массив} \справа) — \оставил( \начать{массив}{с} б_х\\ к \\ б_з \конец{массив} \правильно) знак равно \оставил( \начать{массив}{с} а_х — б_х\ а_у — б_у\ а_з — б_з \конец{массив} \правильно) \]
Наконец, векторное произведение (также известное как векторное произведение) определяется как
\[ \textbf{e} = \textbf{a} \times \textbf{b} = \lvert a \rvert\ \lvert b \rvert\ \sin(\theta)\hat{n} \] \[ \left( \begin{массив}{c} бывший \\ е_у \\ e_z \end{массив} \right) = \оставил( \начать{массив}{с} а_х \\ а_у \\ а_я \конец{массив} \справа) \ раз \оставил( \начать{массив}{с} б_х\\ к \\ б_з \конец{массив} \правильно) знак равно \оставил( \начать{массив}{с} а_yb_z — а_zb_y\ a_zb_x — a_xb_z\\ а_xb_y — а_yb_x \конец{массив} \правильно) \]
С геометрической точки зрения длина векторного произведения равна произведению величин \( \textbf{a} \) и \( \textbf{b} \), умноженных на синус угла между ними.